16702-Aula_Circuitos_em_corrente_alternada

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Análise do Regime Permanente Senoidal 
Circuitos elétricos CA
 
Josimar Hendrio Ferraz Borges 
Sumário 
 Fonte Senoidal; 
 Resposta Senoidal; 
 O Conceito de Fasor; 
 Elementos Passivos no Domínio da Frequência; 
 As Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência; 
 Associação em Série, em Paralelo e Transformação ∆⟷ 𝑌; 
Fonte Senoidal 
Análise do Regime Permanente 
Senoidal 
Fonte Senoidal 
 Análise de circuitos: Fonte de tensão ou corrente que varia no tempo; 
 Interesse: Fontes variantes no tempo de forma senoidal; 
 Uma senóide é um sinal que tem a forma de uma função SENO ou 
COSSENO; 
 Os circuitos constituídos por fontes de tensão ou corrente senoidal são 
normalmente chamados de circuitos de corrente alternada (CA); 
Fonte Senoidal 
 A fonte de tensão senoidal muda sua polaridade e a fonte de 
corrente muda sua direção durante a passagem pelo zero em um 
certo intervalo de tempo; 
 Considere a tensão senoidal: 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 sin(𝜔𝑡) 
Onde: 
 𝑉𝑚 é a amplitude da senóide;
 𝜔 é a frequência angular em radianos/s;
 𝜔𝑡 é argumento da senóide;
Fonte Senoidal 
Figura: Sinal senoidal na forma de uma função seno. 
Fonte Senoidal 
Figura: Formas de ondas alternadas. 
Fonte Senoidal 
 Apresenta inúmeras vantagens técnicas e econômicas, dentre as quais se 
destacam: 
 Facilidade de geração; 
 Facilidade de transmissão; 
 Simplicidade de tratamento matemático; 
Fonte Senoidal 
 A obtenção de uma f.e.m. senoidal pode ser explicada com o auxílio de 
um gerador de corrente alternada, na qual é um dispositivo que 
converte a energia mecânica em energia elétrica; 
Figura: Gerador elétrico CA simplificado. 
Fonte Senoidal 
 O gerador mais simples consta de uma espira retangular que gira em 
um campo magnético uniforme; 
Figura: Gerador elétrico CA simplificado. 
Fonte Senoidal 
 O movimento de rotação das espiras é produzido pelo movimento de 
uma turbina acionada por uma corrente de água em uma central 
hidroelétrica; 
 
 Uma parte da energia potencial da água represada se transforma em 
energia elétrica; 
 
 Quando a espira gira, o fluxo do campo magnético através da espira 
varia com o tempo e é produzida uma f.e.m.; 
 
Fonte Senoidal 
 Os extremos da espira são conectados a dois anéis que giram com a 
espira; 
 
 As conecções ao circuito externo são feitas mediante escovas 
estacionárias em contato com os anéis; 
Figura: Gerador elétrico CA simplificado. 
Fonte Senoidal 
 Se conectarmos uma lâmpada ao gerador veremos que pelo filamento da 
lâmpada circula uma corrente que faz com que se torna incandescente, e 
emite tanto mais luz quanto maior seja a velocidade com que gira a 
espira no campo magnético; 
Figura: Gerador elétrico CA simplificado. 
Fonte Senoidal 
 Com este exemplo, completamos as três formas que existe de variar 
com o tempo o fluxo de um campo magnético através de uma 
espira, Φ =B.S, como produto escalar de dois vetores, o vetor 
campo B e o vetor superfície S. 
 
 Quando o campo varia com o tempo; 
 Quando a área da espira varia com o tempo; 
 Quando o ângulo entre o vetor campo B e o vetor superfície S varia 
com o tempo. 
 
Fonte Senoidal 
 Suponha que a espira gira com velocidade angular constante 𝜔 . Ao cabo 
de um certo tempo 𝑡 o ângulo que forma o campo magnético e a 
perpendicular ao plano da espira é 𝜔𝑡 . O fluxo do campo 
magnético 𝐵 através de uma espira de área 𝑆 é: Φ = 𝑩. 𝑺 =
𝐵. 𝑆. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 
Fonte Senoidal 
 A f.e.m. na espira é: 
 
𝑉𝜀 = −
𝑑Φ
𝑑𝑡
= 𝜔𝐵𝑆 sin(𝜔𝑡) 
Figura: f.e.m. do Gerador elétrico CA simplificado. 
Fonte Senoidal 
 A f.e.m 𝑉𝜀 varia senoidalmente com o tempo; 
 
 A f.e.m. alcança seu valor máximo em valor absoluto quando 𝜔𝑡 = 𝜋 2 
e 3𝜋 2 , quando o fluxo Φ é mínimo (o campo magnético está no plano 
da espira), e é nula quando 𝜔𝑡 = 0 e π , quando o fluxo é máximo (o 
campo magnético é perpendicular ao plano da espira). 
Fonte Senoidal 
Figura: Um ciclo de tensão senoidal gerada. 
Fonte Senoidal 
 Uma onda senoidal pode ser medida em uma base temporal ou 
angular; 
 
 O ângulo de uma onda senoidal pode ser relacionado ao ângulo de 
rotação de um gerador; 
 
Figura: Um ciclo de tensão senoidal gerada com base temporal e angular. 
Fonte Senoidal 
 Quando uma fonte de tensão senoidal é aplicada a um circuito resistivo, 
um fluxo de corrente alternada senoidal circula como resultado; 
 
 Quando a tensão muda de polaridade, a corrente muda de direção; 
Figura: Sinal senoidal aplicado a um circuito resistivo. 
Fonte Senoidal 
 O semiciclo positivo e negativo forma um ciclo da onda senoidal; 
 
 O ciclo é a menor parte que não se repete em uma onda periódica; 
 
Figura: Ciclo da onda senoidal. 
Fonte Senoidal 
 O tempo necessário para uma onda senoidal completar um ciclo é 
denominado de período; 
 
 O período de uma onda é o menor espaço de tempo T que separa um 
conjunto completo de valores diferentes; 
 
Figura: Ciclos da onda senoidal. 
Fonte Senoidal 
 A frequência (f ) de uma onda é o número de ciclos que a onda completa 
em um segundo. O hertz (Hz) é a unidade da frequência; 
 
 
 Como um período T, medido em segundos, equivale a um ciclo, o 
número de ciclos em um segundo define a frequência da onda; 
1 ciclo/s = 1 Hz 
f
T
T
f
1
1


T (s) → 1 ciclo 
1s → f (ciclos) 
Fonte Senoidal 
Figura: Demonstrando o efeito de uma mudança na frequência sobre o 
período de uma onda senoidal. 
Fonte Senoidal 
Figura: A frequência é proporcional à velocidade de rotação da bobina. 
Fonte Senoidal 
 Uma outra forma de aumentar a frequência é aumentar o número de 
polos magnéticos; 
 
 
 
 
 
 Uma expressão para a frequência em termos do número de polos, p, e 
de rotações por minuto, n, é dada por: 
Figura: Aumento da 
frequência com o aumento de 
polos. 
Hz][
120602
npnp
f


Fonte Senoidal 
 Padrão dos sistemas de energia elétrica brasileiros: 60 Hz; 
 
 Muitos países adotam: 50 Hz; 
 
 Aparelhos projetados para 60 Hz são mais leves e têm custos inferiores; 
 
 LT operando com 50 Hz apresentam perdas menores; 
Fonte Senoidal 
 Considere uma expressão mais geral para a senóide: 
 
 
 
 
 v(t), i(t): Valores instantâneos das ondas de tensão e corrente; 
 Vp , Ip: Amplitudes das ondas de tensão e corrente; 
 ω: Frequência ou velocidade angular da onda; 
 ωt: Ângulo de tempo; 
 𝜃𝑉, 𝜃𝑖: Ângulos de fase das ondas de tensão e corrente; 
 
)tsen(Ii(t)
)tsen(Vv(t)
ip
vp




Fonte Senoidal 
Figura: Valores instantâneos de onda senoidal. 
Fonte Senoidal 
 Valor de Pico (Vp, Ip): O valor de pico ou amplitude de uma onda 
senoidal de tensão e corrente é o máximo valor positivo ou negativo em 
relação ao zero; 
 
 Valor de Pico-a-Pico (Vpp, Ipp): O valor pico-a-pico de uma tensão 
ou corrente senoidal compreende o valor desde o pico positivo ao pico 
negativo; 
 
pppppp I2Iou V2V 
Fonte Senoidal 
 Velocidade ou Frequência Angular: é definida como a relação 
entre um ciclo completo, expresso em radianos, e o tempo para 
percorrê-lo; 
 
 
 A velocidade angular multiplicada pelo t define o ângulo de tempo, ωt, que 
corresponde ao valor angular instantâneo de uma onda senoidal; 
 
[rad/s] πf2
T
2π

Fonte Senoidal 
Ângulo de fase: 
 A fase de uma onda senoidal é uma medida angularque especifica a 
posição da senóide em relação a uma referência; 
 
 Duas ondas de mesma frequência podem apresentar diferença de fase. 
Isto significa que os valores de pico e zeros das ondas não ocorrem ao 
mesmo tempo; 
 
 A medida do ângulo de fase em uma onda senoidal é obtida desde o 
ponto onde a senóide é zero até o ponto em que o tempo é zero; 
 
 
Fonte Senoidal 
 Caso 1: Onda atrasada (Ângulo de fase = -) 
Fonte Senoidal 
 Caso 2: Onda adiantada (Ângulo de fase =+) 
Fonte Senoidal 
 Equações das ondas: 
 
 Atrasada: 
 
 
 Adiantada: 
 
 Obs.: O ângulo de fase  de uma onda determina o valor da função 
senoidal em t=0; portanto o ângulo de fase fixa o ponto na onda 
periódica em que o tempo começa a ser medido; 
 
)tsen(Vv(t) p  )tsen(Vv(t) p  
Fonte Senoidal 
 A diferença de fase entre duas ondas senoidais de mesma frequência 
pode ser encontrada subtraindo-se os ângulos de fase das ondas; 
Figura: Diferença de fase de duas ondas senoidais. 
Fonte Senoidal 
Exercício 
 Exercício: Considere as seguintes grandezas senoidais: 
 
𝑣1 𝑡 = 1 sin(𝜔𝑡 − 20°) 
𝑣2 𝑡 = 2 sin(𝜔𝑡 + 10°) 
𝑣1 𝑡 = 2,5 sin(𝜔𝑡 − 20°) 
 
Determine a diferença de fase entre as grandezas quando se toma: 
a) 𝑣1 𝑡 como referência; 
b) 𝑣2 𝑡 como referência. 
Exercício 
𝑣1 𝑡 – Azul 
𝑣2 𝑡 – Vermelho 
𝑣3 𝑡 - Verde 
Fonte Senoidal 
 Valor médio: 
 Está relacionado com a componente contínua de uma onda 
alternada periódica (Tensão, Corrente e Potência); 
 
 
𝑉𝑚𝑒𝑑 =
1
𝑇
 𝑉𝑚s𝑖 𝑛 𝜔𝑡 + ∅ 𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
 
 
 Graficamente: Área sob a curva dividido pelo período T; 
 
 
 
 
Fonte Senoidal 
 Valor médio: 
 
Fonte Senoidal 
 Para uma função periódica senoidal, o valor médio é: 
 
 
𝑉𝑚𝑒𝑑 =
1
2𝜋
 𝑉𝑚𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 0 𝑑𝑡
2𝜋
0
=
𝑉𝑚
2𝜋
 sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡
2𝜋
0
= ⋯ 
 
⋯ =
𝑉𝑚
2𝜋
−
cos(𝜔𝑡)
𝜔
2𝜋
0
=
𝑉𝑚
2𝜋𝜔
−cos 2𝜋 + cos 0 = ⋯ 
 
⋯
𝑉𝑚
2𝜋
−1 + 1 = 0 
 
 
 
Fonte Senoidal 
Valor Médio (exemplo) 
Fonte Senoidal 
Valor Médio (exemplo) 
Fonte Senoidal 
Valor Eficaz: 
 Definição: O valor eficaz de uma corrente senoidal corresponde ao valor 
de corrente CA capaz de dissipar em um resistor R uma potência média 
equivalente à potência dissipada por uma corrente CC sobre o mesmo 
resistor. Assim: 
 
 
 
2
CC RIP 










(t)dti
T
1
P
(t)dtRi
T
1
P
T
0
2
CA
T
0
2
CA
R
Fonte Senoidal 
 A quantidade entre colchetes é o valor médio da função 𝑖2 𝑡 e é 
interpretada como o quadrado de uma corrente que se convencionou 
chamar de corrente eficaz; 
 
 
 
 
 Para PCA = PCC, têm-se: 
 
 
dt(t)i
T
1
i
T
0
2
eficaz 2
CAP eficazRI






  (t)dtiT
1
T
0
22
eficazi
Fonte Senoidal 
 De modo análogo o valor eficaz da tensão é definido: 
 
 
 
 
e finalmente: 
 
 
 
R
V
P dt;
R
(t)v
T
1
P
2
CC
T
0
2
CA   dtv(t)
T
1
V
T
0
2
eficaz 
Fonte Senoidal 
 Para uma função periódica senoidal, o valor eficaz é: 
 
 
𝑉𝑒𝑓 =
1
2𝜋
 𝑉𝑚
2𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 0 𝑑𝑡
2𝜋
0
= ⋯ 
 
⋯ =
𝑉𝑚
2
2𝜋
 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 0 𝑑𝑡
2𝜋
0
= ⋯ 
 
⋯ =
𝑉𝑚
2
2𝜋
𝑡
2
−
𝑠𝑖𝑛 2𝜔𝑡
4𝜔
2𝜋
0
= ⋯ 
 
 
 
 
 
𝑠𝑒𝑛2(𝜔𝑡) =
1 − cos 2𝜔𝑡
2
 
Fonte Senoidal 
 Para uma função periódica senoidal, o valor eficaz é: 
 
 
⋯ =
𝑉𝑚
2
2𝜋
2𝜋
2
−
𝑠𝑖𝑛 4𝜋
4𝜔
−
0
2
+
sin 0
4𝜔
= ⋯ 
 
⋯ =
𝑉𝑚
2
2𝜋
2𝜋
2
= ⋯ 
 
⋯𝑉𝑒𝑓 =
𝑉𝑚
2
2
=
𝑉𝑚
2
 
 
 
 
 
Fonte Senoidal 
Relação entre o Valor Eficaz e o Valor Médio: 
 
 
 
 
De modo semelhante tem-se que: 
médioeficaz
eficazpmédio
V11,1V
V2637,0V637,0V


médioeficaz
pmédio
I11,1I
I637,0I


Fonte Senoidal 
Fator de Crista 
 Definição: O valor crista de uma onda de tensão ou corrente periódica é 
definido como a relação entre o valor de pico e o valor eficaz: 
 
 
 Para ondas senoidais o fator de crista é igual a 1,4142; 
 
 Fator muito elevado significa sobrecargas pontuais consideráveis; 
ef
P
V
V
FC 
Fonte Senoidal 
Fator de Forma 
 Definição: É definido como a relação entre o valor eficaz e o valor médio de 
uma onda: 
 
 
 
 Para ondas senoidais o fator de forma é igual a 1,11; 
 
Observação: Para o cálculo do fator de forma de um sinal senoidal foi usado o 
valor médio de um semiciclo, já que o valor médio do ciclo completo é zero. 
 
 
 
médio
EF
V
V
FF 
médioeficaz V11,1V 
Exercícios 
 Uma corrente senoidal tem uma amplitude máxima de 20 A. A corrente 
passa por um ciclo completo em 1 ms. O valor da corrente em t = 0 s é 
10 A. 
 
a) Qual é a frequência da corrente em hertz ? 
b) Qual é a frequência em radianos por segundo ? 
c) Escreva a expressão para i(t) usando a função cosseno. Expresse ∅ em 
graus. 
d) Qual é o valor rms da corrente ? 
Exercícios 
 Uma tensão senoidal é dada pela expressão: 
𝑣 = 300 cos 120𝜋 + 30° . 
 
a) Qual é o período da tensão em milissegundos ? 
b) Qual é a frequência em Hertz ? 
c) Qual é a magnitude de 𝑣 em 𝑡 = 2,778 𝑚𝑠 ? 
d) Qual é o valor de rms de 𝑣 ? 
 
Resposta Senoidal 
Análise do Regime Permanente 
Senoidal 
Resposta Senoidal 
i(t) 
 tidi cosVR
dt
L
p

L
R
+
-
V1
Vpcos(t) 
 
 
 
 
 
  R
L
t
eitti














 0
LR
cosV
cos
LR
V
L
22
p
22
p


Resposta Permanente 
A Amplitude da corrente depende 
da amplitude da fonte, de R, de L e 
da freqüência  da fonte 
Reposta Transitória 
ou Natural 
A corrente está defasada em 
atraso  radianos em relação a 
cossenóide da fonte 
R
L
 
Resposta Senoidal 
0 50 100 150 200 250 300 
-5 
-4 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
  R
L
t
eitti














 0
LR
cosV
cos
LR
V
L
22
p
22
p

R
L
 
Forma de 
onda da 
Fonte V1(t) 
Forma de 
onda da 
Corrente 
i(t) 
Regime Transitório Regime Permanente 
V1(t) 
i(t) 
t 
 
Resposta Senoidal 
 Em REGIME PERMANENTE todo Circuito RLC excitado com fontes 
senoidais de frequência “” terá todas as correntes e tensões em seus 
dispositivos: 
 Possuindo forma de onda senoidal de frequência “” igual a das fontes; 
 Defasadas  radianos em atraso ou adianto com relação as fontes; 
  depende da estrutura e dos elementos do circuito; 
 Amplitudes dependentes da frequência , da amplitude das fontes e dos 
valores dos dispositivos R, L e C; 
 
 
Resposta Senoidal 
Sabendo disso, seria possível obter 
a Resposta em Regime 
Permanente para Excitação 
Senoidal sem precisar resolver 
uma equação diferencial ??? 
Resposta Senoidal 
 Para determinar uma tensão ou corrente em regime permanente, tudo o 
que precisamos saber é sua amplitude e sua fase em relação a senóide da 
fonte. A frequência e a forma de onda já se sabe qual será. 
 Usualmente, tensões ou correntes em regime permanente são obtidas de 
uma solução particularda equação diferencial do circuito. 
Vpsen(wt) 
Fonte 
AP sen( wt +  ) 
Tensão ou 
Corrente do 
circuito em RP CIRCUITO 
RLC 
Amplitude ? 
Fase ? 
Resposta Senoidal 
Preciso escrever e 
resolver uma equação 
diferencial!!?? 
Resposta Senoidal 
 
 
 Não é preciso escrever a equação diferencial do circuito nem ao menos 
resolve-la para se obter a amplitude e fase de uma tensão ou corrente 
em RP em um circuito com excitação senoidal; 
 
 Ao invés disso usaremos o conceito de FASORES e IMPEDÂNCIAS 
COMPLEXAS; 
 
 Fasores e Impedâncias Complexas convertem um problema envolvendo 
equações diferenciais em um problema envolvendo equações algébricas; 
 
 
 
 
Boas Novas!!! 
O conceito de Fasor 
Análise do Regime Permanente 
Senoidal 
Fasores 
 Senóide podem se expressar em termo de fasores, que são convenientes 
para trabalhar com funções seno e cosseno; 
 
 Fasor é um numero complexo que contém as informações de amplitude e 
ângulo de fase de um função senoidal; 
 
 Um número complexo 𝑧 pode ser escrito na forma retangular como: 
 
𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 
 
Onde 𝑗 = −1; 𝑥é a parte real de 𝑧; y é a parte imaginária de 𝑧. 
 
Fasores 
 O número complexo 𝑧 pode ser escrito na forma polar como: 
 
𝑧 = 𝑟∠𝜑 = 𝑟𝑒𝑗𝜑 
 
Onde 𝒓 é a magnitude de 𝑧 e 𝝋 é a fase de 𝑧. 
 
 𝑧 pode ser representado em três formas: 
 
 Retangular: 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 
 Polar: 𝑧 = 𝑟∠𝜑 
 Exponencial: 𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜑 
 
Fasores 
 Se conhecermos 𝑥 e 𝑦, a relação entre a forma polar e retangular é: 
 
 
 
 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 
 𝜑 = tan−1
𝑦
𝑥
 
Fasores 
 Se conhecermos 𝑟 e 𝜑, podemos obter 𝑥 e 𝑦: 
 
𝑥 = 𝑟 cos𝜑 e 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 
 
 Então, 𝑧 pode ser escrito como: 
 
𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 = 𝑟∠𝜑 = 𝑟 cos𝜑 + 𝑗 sin 𝜑 
Fasores 
 Operações: 
 
 Adição: 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑗 𝑦1 + 𝑦2 
 Subtração: 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑗 𝑦1 − 𝑦2 
 Multiplicação: 𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2∠ 𝜑1 + 𝜑2 
 Divisão: 
𝑧1
𝑧2
=
𝑟1
𝑟2
∠ 𝜑1 − 𝜑2 
 Recíproco:
1
𝑧
=
1
𝑟
∠(−𝜑) 
 Raiz Quadrada: 𝑧 = 𝑟∠(
𝜑
2
) 
 Conjugado Complexo:𝑧∗ = 𝑥 − 𝑗𝑦 = 𝑟∠ − 𝜑 = 𝑟𝑒−𝑗𝜑 
 
Fasores 
 A ideia da representação por fasores é fundamentado na identidade de 
Euler, que relaciona uma função exponencial com a função 
trigonométrica: 
𝑒±𝑗𝜑 = cos𝜑 ± 𝑗 sin𝜑 
 
 O que mostra que podemos tratar cos𝜑 e sin𝜑 como as partes real e 
imaginária de 𝑒𝑗𝜑 como: 
cos 𝜃 =ℜ 𝑒𝑗𝜃 
 
sin 𝜃 = ℑ 𝑒𝑗𝜃 
Fasores 
 Dada uma senóide 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑), pode-se expressá-la por: 
 
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 = ℜ(𝑉𝑚𝑒
𝑗(𝜔𝑡+𝜑)) 
Ou 
𝑣 𝑡 = ℜ(𝑽𝑒𝑗(𝜔𝑡)) 
Onde: 
𝑽 = 𝑉𝑚𝑒
𝑗𝜑 = 𝑉𝑚∠𝜑 
 
𝑽 é portanto a representação fasorial da senóide 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 
 
 
Fasores 
Figura: Representação de 𝑽𝑒𝑗𝜔𝑡 : (a) rotação na direção anti-horário. 
(b) Projeção no eixo real como uma função do tempo. 
Fasores 
 Suprimindo o fator tempo, transforma-se a senóide do domínio do 
tempo para o domínio do fasor: 
 
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 ⟺ 𝑽 = 𝑉𝑚∠𝜑 
 
 Note que o fator 𝒆𝒋𝝎𝒕foi suprimido e a frequência não aparece no fasor, 
pois é constante, porém a resposta depende dela, por isso, o domínio do 
fasor é também conhecido como domínio da frequência; 
Fasores 
Figura: Diagrama fasorial mostrando 𝑽 = 𝑉𝑚∠∅ e 𝑰 = 𝐼𝑚∠ − 𝜃. 
Fasores 
Tabela: Transformação senóide-fasor. 
Obs.: cos 𝜔𝑡 ∓ 90° = ±sin(𝜔𝑡) 
Fasores 
 Das equações anteriores temos: 
𝑣 𝑡 = ℜ 𝑽𝑒𝑗𝜔𝑡 = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 
Então: 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝜔𝑉𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜑 = 𝜔𝑉𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 + 90° = ⋯ 
⋯ ℜ 𝜔𝑉𝑚𝑒
𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗90° = ℜ(𝑗𝜔𝑽𝑒𝑗𝜔𝑡) 
Isso mostra que: 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 ⟺ 𝑗𝜔𝑽 
Fasores 
 Das equações anteriores temos: 
𝑣 𝑡 = ℜ 𝑽𝑒𝑗𝜔𝑡 = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 
Então: 
 𝑣𝑑𝑡 =
𝑉𝑚
𝜔
sin 𝜔𝑡 + 𝜑 =
𝑉𝑚
𝜔
cos 𝜔𝑡 + 𝜑 − 90° = ⋯ 
⋯ ℜ
𝑉𝑚
𝜔
𝑒𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗−90° = ℜ
−𝑗
𝜔
𝑽𝑒𝑗𝜔𝑡 = ℜ(
1
𝑗𝜔
𝑽𝑒𝑗𝜔𝑡) 
Isso mostra que: 
 𝑣𝑑𝑡 ⟺ 
1
𝑗𝜔
𝑽 
Fasores 
 As equações anteriores são úteis para encontrar a solução em regime 
permanente, sem precisar conhecer as condições iniciais das variáveis 
envolvidas; 
 
 As diferença entre 𝑣 𝑡 e 𝑽 são: 
1. 𝑣 𝑡 é a representação instantânea ou no domínio do tempo, 
enquanto 𝑽 é a representação fasor ou no domínio da frequência; 
2. 𝑣 𝑡 é dependente do tempo, enquanto 𝑽 não é; 
3. 𝑣 𝑡 é sempre real sem termo complexo, enquanto 𝑽 é 
geralmente complexo. 
Fasores 
 
Atenção: 
 
A análise de fasores somente se aplica quando a frequência é 
constante e é a mesma para dois ou mais sinais senoidais. 
 
Exemplo 
 Determinar a transformada fasorial de cada função trigonométrica: 
a) 𝑣 = 170 cos(377𝑡 − 40°) V 
b) 𝑖 = 10 sin(1.000𝑡 + 20°) A 
c) 𝑖 = [5 cos 𝜔𝑡 + 36,87° + 10 cos(𝜔𝑡 − 53,13°)]A 
d) 𝑣 = [300 cos 20.000𝜋𝑡 + 45° − 100 sin(20.000𝜋𝑡 + 30°)] mV 
Elementos Passivos no Domínio da Frequência 
Análise do Regime Permanente 
Senoidal 
Elementos Passivos no Domínio da Frequência 
 Resistor: 
 Seja a corrente através de um resistor R: 𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 
 Lei de Ohm: 
 𝑣 𝑡 = 𝑖 𝑡 𝑅 = 𝑅𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 ⟺ 𝑽 = 𝑅𝐼𝑚∠𝜑 
Como: 𝑰 = 𝐼𝑚∠𝜑 ⟹ 𝑽 = 𝑅𝑰 
Elementos Passivos no Domínio da Frequência 
 No resistor: 
 A tensão e a corrente estão em fase; 
 
Figura: Relação tensão-corrente para 
o RESISTOR no domínio do tempo e 
da frequência. 
Figura: Diagrama de fasores para o 
RESISTOR. 
Elementos Passivos no Domínio da Frequência 
Elementos Passivos no Domínio da Frequência 
 Indutor: 
 Seja a corrente através do indutor L: 𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 
 A tensão no indutor: 
 𝑣 𝑡 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝐿
𝑑(𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡+𝜑 )
𝑑𝑡
= −𝜔𝐿𝐼𝑚 sin ( 𝜔𝑡 + 𝜑) 
Como: −sin 𝜑 = cos 𝜑 + 90° ⟹ 𝑣 𝑡 = 𝜔𝐿𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝑽 = 𝜔𝐿𝐼𝑚𝑒
𝑗 𝜑+90° = 𝜔𝐿𝐼𝑚𝑒
𝑗𝜑𝑒𝑗90° = 𝑗𝜔𝐿𝐼𝑚∠𝜑 
Como: 𝑰 = 𝐼𝑚∠𝜑 ⟹ 𝑽 = 𝑗𝜔𝐿𝑰 
  A tensão tem como fase (𝜑 + 90°) e a corrente tem como fase (𝜑), 
portanto estão defasados de 90°; 
Elementos Passivos no Domínio da Frequência 
 No Indutor: 
 A tensão está adiantada em 90° em relação à corrente; 
 
Figura: Relação tensão-corrente para 
o INDUTOR no domínio do tempo e 
da frequência. 
Figura: Diagrama de fasores para o 
INDUTOR. 
Elementos Passivos no Domínio da Frequência 
Elementos Passivos no Domínio da Frequência 
 Capacitor: 
 Seja a tensão sobre o capacitor C: 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 
 A corrente no capacitor: 
 𝑖 𝑡 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝐶
𝑑(𝑉𝑚 cos 𝜔𝑡+𝜑 )
𝑑𝑡
= −𝜔𝐶𝑉𝑚 sin ( 𝜔𝑡 + 𝜑) 
Como: −sin 𝜑 = cos 𝜑 + 90° ⟹ 𝑖 𝑡 = 𝜔𝐶𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝑰 = 𝜔𝐶𝑉𝑚𝑒
𝑗 𝜑+90° = 𝜔𝐶𝑉𝑚𝑒
𝑗𝜑𝑒𝑗90° = 𝑗𝜔𝐶𝑉𝑚∠𝜑 
Como: 𝑽 = 𝑉𝑚∠𝜑 ⟹ 𝑰 = 𝑗𝜔𝑪𝑽 ⟹ 𝑽 =
𝑰
𝑗𝜔𝐶
 
 
 A tensão tem como fase 𝜑 e a corrente tem como fase (𝜑 + 90°), 
portanto estão defasados de 90°; 
Elementos Passivos no Domínio da Frequência 
 No Capacitor: 
 A corrente está adiantada em 90° em relação à tensão; 
 
Figura: Relação tensão-corrente para 
o CAPACITOR no domínio do tempo 
e da frequência. 
Figura: Diagrama de fasores para o 
CAPACITOR. 
Elementos Passivos no Domínio da Frequência 
Elementos Passivos no Domínio da Frequência Resumo das relações em tensão-corrente para R, L e C: 
 
Impedância e Admitância 
Análise do Regime Permanente 
Senoidal 
Impedância e Admitância 
 A impedância 𝒁 de um circuito é a relação entre tensão fasor 𝑽 e a 
corrente fasor 𝑰, medida em Ohms (Ω). 
 
 
 
 
 Da tabela, têm-se que: 
 Para 𝜔 = 0: 𝑍𝐿 = 0 e 𝑍𝐶⟶∞; 
 Para 𝜔 ⟶ ∞: 𝑍𝐿⟶∞ e 𝑍𝐶 = 0; 
 
Impedância e Admitância 
Impedância e Admitância 
 Sendo uma quantidade complexa, a impedância pode ser expressa na 
forma retangular: 
𝒁 = 𝑅 + 𝑗𝑋 
 
Onde 𝑅 = ℜ(𝒁) é a resistência e X = ℑ 𝒁 é a reatância. 
 
 A reatância X pode ser positiva (reatância indutiva) ou negativa 
(reatância capacitiva). Então: 
 
 𝒁 = 𝑅 + 𝑗𝑋 (reatância indutiva – Corrente atrasada em relação a tensão) 
 𝒁 = 𝑅 − 𝑗𝑋 (reatância capacitiva – Corrente adiantada em relação a tensão) 
 
 
Impedância e Admitância 
 A impedância 𝒁 pode também ser escrita na forma polar: 
𝒁 = 𝑍 ∠𝜃 
Onde: 
𝒁 = 𝑅 + 𝑗𝑋 = 𝑍 ∠𝜃 
E onde: 
𝒁 = 𝑅2 + 𝑋2 e 𝜃 = tan−1
𝑋
𝑅
 
 
 𝑅 = 𝒁 cos 𝜃 e X = 𝒁 sin 𝜃 
 
Impedância e Admitância 
 A admitância 𝒀 é o inverso da impedância, medida em siemens (S); 
𝒀 =
1
𝒁
=
𝑰
𝑽
 
 
 Pode ser escrita: 
𝒀 = 𝐺 + 𝑗𝐵 
 
Onde 𝐺 = ℜ(𝒀) é a condutância e B = ℑ 𝒀 é a susceptância. 
 
 
Impedância e Admitância 
 Relacionando 𝒀 e 𝒁: 
𝐺 + 𝑗𝐵 =
1
𝑅 + 𝑗𝑋
 
 
 Temos os termos real e imaginário: 
𝐺 =
𝑅
𝑅2+𝑋2
 e 𝐵 = −
𝑋
𝑅2+𝑋2
 
Exercício 
 A Corrente no indutor de 20 mH é 10 cos(10.000𝑡 + 30°) mA. 
Calcule: (a) reatância indutiva; (b) a impedância do indutor; (c) a tensão 
fasorial V e (d) a expressão de regime permanente para 𝑣(𝑡). 
Exercício 
 A tensão nos terminais do capacitor de 5µF é 30 cos 4.000𝑡 + 25° 
V. Calcule: (a) a reatância capacitiva; (b) a impedância do capacitor; (c) a 
corrente fasorial I e (d) a expressão de regime permanente para i(𝑡). 
Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência 
 
Análise do Regime Permanente 
Senoidal 
Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência 
 Para analisar circuitos no domínio da frequência deve-se expressar as 
Leis de Kirchhoff no domínio da frequência: 
 
𝑣1 + 𝑣2 +⋯+ 𝑣𝑛 = 0 
 
 No regime permanente senoidal: 
𝑉𝑚1 cos(𝜔𝑡 + 𝜑1) + 𝑉𝑚2 cos(𝜔𝑡 + 𝜑2) + ⋯+ 𝑉𝑚𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑛)=0 
ℜ 𝑉𝑚1𝑒
𝑗𝜑1𝑒𝑗𝜔𝑡 +ℜ 𝑉𝑚2𝑒
𝑗𝜑2𝑒𝑗𝜔𝑡 +⋯+ℜ 𝑉𝑚𝑛𝑒
𝑗𝜑𝑛𝑒𝑗𝜔𝑡 = 0 
ℜ[(𝑉𝑚1𝑒
𝑗𝜑1 + 𝑉𝑚2𝑒
𝑗𝜑2 +⋯+ 𝑉𝑚𝑛𝑒
𝑗𝜑𝑛)𝑒𝑗𝜔𝑡] = 0 
 
 
 
Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência 
 Se 𝑽𝒌 = 𝑉𝑚𝑘𝑒
𝑗𝜑𝑘, então: 
 
ℜ[(𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 +⋯+ 𝑽𝒏)𝑒
𝑗𝜔𝑡] = 0 
 
 Como 𝑒𝑗𝜔𝑡 ≠ 0, então: 
 
𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 +⋯+ 𝑽𝒏 = 0 
 
 Portanto, a LTK se mantém para fasores; 
 
 
Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência 
 Para analisar circuitos no domínio da frequência deve-se expressar as 
Leis de Kirchhoff no domínio da frequência: 
 
𝑖1 + 𝑖2 +⋯+ 𝑖𝑛 = 0 
 
 No regime permanente senoidal: 
𝐼𝑚1 cos(𝜔𝑡 + 𝜑1) + 𝐼𝑚2 cos(𝜔𝑡 + 𝜑2) + ⋯+ 𝐼𝑚𝑛 cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑛)=0 
ℜ 𝐼𝑚1𝑒
𝑗𝜑1𝑒𝑗𝜔𝑡 +ℜ 𝐼𝑚2𝑒
𝑗𝜑2𝑒𝑗𝜔𝑡 +⋯+ℜ 𝐼𝑚𝑛𝑒
𝑗𝜑𝑛𝑒𝑗𝜔𝑡 = 0 
ℜ[(𝐼𝑚1𝑒
𝑗𝜑1 + 𝐼𝑚2𝑒
𝑗𝜑2 +⋯+ 𝐼𝑚𝑛𝑒
𝑗𝜑𝑛)𝑒𝑗𝜔𝑡] = 0 
 
 
 
Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência 
 Se 𝑰𝒌 = 𝐼𝑚𝑘𝑒
𝑗𝜑𝑘, então: 
 
ℜ[(𝑰𝟏 + 𝑰𝟐 +⋯+ 𝑰𝒏)𝑒
𝑗𝜔𝑡] = 0 
 
 Como 𝑒𝑗𝜔𝑡 ≠ 0, então: 
 
𝑰𝟏 + 𝑰𝟐 +⋯+ 𝑰𝒏 = 0 
 
 Portanto, a LCK se mantém para fasores; 
 
 
Exercício 
 Quatro ramos terminam em um nó de referência. O sentido de 
referência de cada corrente de ramo (𝑖1, 𝑖2, 𝑖3 e 𝑖4) é em direção ao nó. 
Como: 
1. 𝑖1 = 100 cos(𝜔𝑡 + 25°) A 
2. 𝑖2 = 100 cos(𝜔𝑡 + 145°) A 
3. 𝑖3 = 100 cos(𝜔𝑡 − 95°) A 
 
Determine 𝑖4. 
 
Combinação de Impedâncias 
 
Análise do Regime Permanente 
Senoidal 
Combinação de Impedâncias 
 Impedâncias em série podem ser transformadas em uma única 
impedância equivalente pela simples soma das impedâncias individuais; 
 
Figura: Impedâncias em série. 
Combinação de Impedâncias 
 Pela lei de Kirchhoff para as tensões, têm-se: 
𝑽𝑎𝑏 = 𝑍1𝑰 + 𝑍2𝑰 + ⋯+ 𝑍𝑛𝑰 
𝑽𝑎𝑏 = (𝑍1+𝑍2 +⋯+ 𝑍𝑛)𝑰 
 A impedância equivalente entre os terminais a e b é: 
𝑍𝑎𝑏 =
𝑽𝑎𝑏
𝑰
= 𝑍1 + 𝑍2 +⋯+ 𝑍𝑛 
 
Figura: Impedâncias em série. 
Exercício 
 Um resistor de 90 Ω, um indutor de 32 mH e um capacitor de 5µF 
estão ligados em série aos terminais de uma fonte de tensão senoidal, 
como ilustrado abaixo. A expressão de regime permanente para a tensão 
da fonte 𝑣, é 750 cos(5.000𝑡 + 30°) V. 
 
a) Construa o circuito equivalente no domínio da frequência. 
b) Calcule a corrente de regime permanente i pelo método fasorial. 
Combinação de Impedâncias 
 Impedâncias em paralelo podem ser transformadas em uma única 
impedância equivalente pela inversa da simples soma inversa das 
impedâncias individuais; 
Figura: Impedâncias em paralelo. 
Combinação de Impedâncias 
 Pela lei de Kirchhoff para as correntes, têm-se: 
𝑰 = 𝑰1 + 𝑰2 +⋯+ 𝑰𝑛 
𝑰 =
𝑽
𝑍1
+
𝑽
𝑍2
+⋯+
𝑽
𝑍𝑛
= 𝑽(
1
𝑍1
+
1
𝑍2
+⋯+
1
𝑍𝑛
) 
 A impedância equivalente entre os terminais a e b é: 
1
𝑍𝑎𝑏
=
𝑰
𝑽
=
1
𝑍1
+
1
𝑍2
+⋯+
1
𝑍𝑛
 
Figura: Impedâncias em paralelo. 
Exercício 
 A fonte de corrente senoidal no circuito abaixo produz a corrente 
𝑖𝑠 = 8cos 200.000𝑡 A. 
a) Determine o circuito equivalente no domínio da frequência; 
b) Calcule as expressões de regime permanente para 𝑣, 𝑖1, 𝑖2 e 𝑖3.