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Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia Civil Apostila de Análise Estrutural I Agosto de 2013 Grupo de Experimentação em Estruturas – GRUPEX Programa de Educação Tutorial – PET Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia Civil Apostila de Análise Estrutural I Ângela do Valle Henriette Lebre La Rovere Nora Maria De Patta Pillar Colaboração dos Bolsistas PET: Alex Willian Buttchevitz Alexandre Garghetti André Ricardo Hadlich Helen Berwanger Stephanie Thiesen Talita Campos Kumm Valmir Cominara Júnior Vanessa Pfleger Andrei Nardelli Brunela Francine da Cunha Colaboração dos Monitores: Artur Dal Prá (2006-1) Willian Pescador (2007-1) Gabriel Ferreira (2013-1) SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1.1 Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estruturais .......................... 1.2 Classificação das peças estruturais quanto à geometria .......................................... 1.3 Tipos de Vínculos ................................................................................................... 1.3.1 Vínculos no plano ............................................................................................ 1.4 Estaticidade e Estabilidade ..................................................................................... 1.5 Reações de apoio em estruturas planas ................................................................... 1.5.1 Estrutura Aporticada ........................................................................................ 1.5.2 Pórtico Isostático ............................................................................................. 1.5.3 Treliça Isostática .............................................................................................. 1.5.4 Pórtico Triarticulado Isostático ....................................................................... 1.6 Reações de Apoio no Espaço .................................................................................. 1.6.1 Treliça Espacial ............................................................................................... 1.6.2 Pórtico Espacial ............................................................................................... 2. ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ................................. 2.1 Treliças ................................................................................................................... 2.1.1 Método de Cremona ....................................................................................... 2.1.2 Método de Ritter ............................................................................................. 2.2 Vigas ....................................................................................................................... 2.2.1 Vigas Simples – Método Direto para Diagramas ........................................... 2.2.2 Vigas Gerber ................................................................................................... 2.2.3 Vigas Inclinadas ............................................................................................. 2.3 Pórticos ................................................................................................................... 2.3.1 Estruturas Aporticadas ................................................................................... 2.3.2 Pórticos Simples ............................................................................................. 2.3.3 Pórtico com Articulação e Tirante .................................................................. 2.3.4 Pórticos Compostos ........................................................................................ 2.4 Cabos ...................................................................................................................... 2.4.1 Reações de Apoio para Cabos ........................................................................ 2.4.2 Esforços Normais de Tração Atuantes em Cabos .......................................... 2.4.3 Conformação Geométrica Final do Cabo ....................................................... 2.5 Arcos ...................................................................................................................... 2.5.1 Arcos Biapoiados ............................................................................................ 2.5.2 Pórticos com Arcos (ou Barras Curvas) .......................................................... 2.5.3 Arcos Triarticulados ....................................................................................... 2.6 Grelhas .................................................................................................................... 3. ESTUDO DE CARGAS MÓVEIS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS .................. 3.1 Cargas Móveis – Trem-Tipo .................................................................................. 3.2 O Problema a Resolver ........................................................................................... 3.3 Linhas de Influência – Definição ........................................................................... 3.4 Obtenção dos Efeitos, Conhecidas as L.I. .............................................................. 3.5 Exemplos em Estruturas Isostáticas Simples ......................................................... 3.5.1 Viga Engastada e Livre ................................................................................... 3.5.2 Viga Biapoiada ................................................................................................ 3.6 Análise de Efeitos ................................................................................................... 3.6.1 Teorema Geral ................................................................................................ 3.6.2 Obtenção de Momento Fletor Máximo em uma Seção S de uma Viga Biapoiada para um dado Trem-tipo Constituído de Cargas Concentradas ............... LISTAS DE EXERCÍCIOS ................................................................................................ Graus de estaticidade .................................................................................................... Treliças ......................................................................................................................... Vigas ............................................................................................................................ Cabos ............................................................................................................................ Arcos ............................................................................................................................ Grelhas ......................................................................................................................... 1 1 1 3 3 9 16 16 17 17 18 22 22 23 24 24 30 40 46 46 52 58 65 66 73 80 82 86 91 96 101 110 119 122 124 134 143 143 143 145 149 150 150 152 155 155 155 175 176 178 187 193 195 198 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 1 1. INTRODUÇÃO 1.1. Parâmetrosque influenciam a concepção de sistemas estruturais A estrutura é conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade de um objeto de projeto, por exemplo, uma edificação. Quando se projeta uma estrutura, a análise do comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificações que conduzem a modelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma determinada situação de projeto, devem ser considerados vários fatores. Os principais são: • Projeto arquitetônico: -Aspectos funcionais (dimensão do espaço interno, iluminação, limitações do espaço exterior, etc.); -Aspectos estéticos (sistemas diferentes geram formas diferentes). • Carregamento atuante: -Permanente; -Variável Acidental; Efeito do vento. • Condições de fabricação, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, içamento); • Material estrutural a ser utilizado (cada material possui características mecânicas peculiares): o material deve estar adequado aos tipos de esforços solicitantes pelas estruturas. Para identificação do sistema estrutural mais adequado deve-se: 1º) Identificar as possíveis opções; 2º) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um. 1.2. Classificação das peças estruturais quanto à geometria Os sistemas estruturais são modelos de comportamento idealizados para representação e análise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma convenção. Esta convenção pode ser feita em função da geometria das peças estruturais que compõem o conjunto denominado sistema estrutural. Quanto à geometria, um corpo pode ser identificado por três dimensões principais que definem seu volume. Conforme as relações entre estas dimensões, surgem quatro tipos de peças estruturais: Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 2 Barra: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas. Barra de elementos delgados: as três dimensões principais são de diferentes ordens de grandeza. É o caso dos perfis metálicos, onde a espessura é muito menor que as dimensões da seção transversal, que é menor que o comprimento da peça. As barras de elementos delgados são tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceção feita à solicitação por torção. Folhas ou lâminas: duas dimensões de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira dimensão. Subdividem-se em: Placas: carregamento perpendicular ao plano médio. Chapas: carregamento contido no plano médio. Cascas: superfície média curva. Bloco: as três dimensões são da mesma ordem de grandeza. Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 3 1.3. Tipos de Vínculos Vínculos são elementos que impedem o deslocamento de pontos das peças, introduzindo esforços nesses pontos correspondentes aos deslocamentos impedidos. Os deslocamentos podem ser de translação ou de rotação. 1.3.1 Vínculos no plano No plano, um corpo rígido qualquer tem três graus de liberdade de movimento: deslocamento em duas direções e rotação. a) Apoio simples ou de primeiro gênero: Reação na direção do movimento impedido. Exemplo de movimento: rolete do skate. b) Articulação, rótula ou apoio do segundo gênero: Exemplo de movimento: dobradiça. c) Engaste: ou apoio de terceiro gênero: Exemplo de movimento: poste enterrado no solo. y x y x z y x Mz=0 Rx=0 Ry=0 Rx Ry Rx Ry y x Mz=0 y x Mz=0 Rx Ry Mz y x z Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 4 Vínculos no Plano Tipo de Vínculo Símbolo _________ Reações_____ Cabo Ligação esbelta Roletes Rótula Luva com articulação Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 5 Tipo de Vínculo Símbolo ________ _Reações_____ Articulação Apoio deslizante Luva rígida Apoio rígido (engaste) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 6 θ = MK Rigidez de uma Ligação Rigidez à Rotação geometria indeformada geometria deformada • Ligação Articulada K → 0 • Ligação Rígida K → ∞ θ ≈ 0 o • Ligação Semi-Rígida 0 < K < ∞ K= M M Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 7 Exemplos de Vínculos Apoio rotulado em viga de ponte. Apoio com material de baixo coeficiente de atrito, funcionando como roletes. Rolete nos apoios de vigas de concreto protendido de uma ponte rodoviária. Ligação de canto rígida de um pórtico de aço. Observam-se as chapas formando uma ligação rígida com os pilares. A inclinação da rótula de apoio entre as duas vigas indica a expansão térmica do tabuleiro da ponte. Os enrijecedores verticais na região de apoio previnem a flambagem local causadas pelas altas reações de apoio. Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 8 Exemplo de planta baixa de uma construção: Forças que atuam na viga 1 e na viga 6: Nesse caso, as cargas distribuídas q1 e q2 são provenientes das lajes que se apoiam na viga 1. As cargas distribuídas q3 e q4 são provenientes das lajes que se apoiam na viga 6 e a carga concentrada V2 representa a carga da viga 2 apoiada na viga 6. Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise EstruturalI - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 9 1.4 Estaticidade e Estabilidade a) A estrutura é restringida e o número de incógnitas é igual ao número de equações de equilíbrio: ISOSTÁTICA. b) A estrutura é restringida e o número de incógnitas é maior que o número de equações de equilíbrio: HIPERESTÁTICA. c) A estrutura não é restringida ou o número de incógnitas é menor que o número de equações de equilíbrio: HIPOSTÁTICA. Uma estrutura está restringida quando possui vínculos para restringir todos os movimentos possíveis da estrutura (translação e rotação) como um corpo rígido. Uma forma de calcular o grau de hiperestaticidade, a fim de descobrir se a estrutura é restringida, é usando a seguinte fórmula: gh = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 – 3 . m Sendo C1 = número de vínculos de 1ª classe; C2 = número de vínculos de 2ª classe; C3 = número de vínculos de 3ª classe; m = número de hastes presentes na estrutura. Outra maneira de calcular é utilizando o critério apresentado por Sussekind: gh = ge + gi, Sendo gh = grau de estaticidade ou hiperestaticidade; ge = grau de hiperestaticidade externa; gi = grau de hiperestaticidade interna. Tipos de Equilíbrio: Estável Instável Indiferente i. Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 10 Exemplos: Estruturas Planas Vigas: Quantidade de apoios: gh = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 . m C1 = 1 C2 = 1 gh = (1) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3 . (1) Número de barras: gh = 1 + 2 - 3 m = 1 gh = 0 ISOSTÁTICA Quantidade de apoios: gh = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 . m C3 = 1 gh = (0) + 2 . (0) + 3 . (1) - 3 . (1) Número de barras: gh = 3 - 3 m = 1 gh = 0 ISOSTÁTICA Quantidade de apoios: gh = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 . m C1 = 2 gh = (2) + 2 . (0) + 3 . (0) - 3 . (1) Número de barras: gh = 2 - 3 m = 1 gh = - 1 HIPOSTÁTICA (não restringida) Quantidade de apoios: C1 = 2 C2 = 1 Número de barras: m = 1 gh = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 . m gh = (2) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3 . (1) gh = 2 + 2 – 3 HIPERESTÁTICA gh = 1 Quantidade de apoios: C1 = 3 Número de barras: m = 1 gh = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 . m gh = (3) + 2 . (0) + 3 . (0) - 3 . (1) gh = 3 – 3 ISOSTÁTICA gh = 0 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 11 Quantidade de apoios: C1 = 2 C2 = 1 Número de barras: m = 2 Ligações internas: C2 = 2 - 1 = 1 gh = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 . m gh = (2) + 2 . (2) + 3 . (0) - 3 . (2) gh = 2 + 4 – 6 ISOSTÁTICA gh = 0 Outra forma de resolver exercícios de grau de hiperestaticidade é através do grau de hiperestaticidade externa (ge) e do grau de hiperestaticidade interna (gi). Partindo do princípio que: gh = ge + gi i)Classificar os apoios e calcular o ge: ge = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 ge = (2) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3 ge = 2 + 2 - 3 ge = + 1 ii)Classificar as ligações internas e calcular o gi: gi = - 1 gh = ge + gi gh = 1 - 1 gh = 0 ISOSTÁTICA A rótula interna é uma conexão C2 Para calcular o ge utiliza-se sempre m = 1. As ligações internas não entram no cálculo do ge. A rótula interna baixa o gi no valor do seu respectivo grau de conexão C2. Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 12 Em ligações internas, considera-se o tipo de ligação e o número de barras conectadas menos 1. Ligações internas : Tirante (C1) Articulação ou Rótula (C2) Ligação engastada (C3) Exemplos: Pórticos, Arcos; Pórticos: Quantidade apoios: C1 = 1 C2 = 1 gh = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 . m Número de barras: gh = (1) + 2 . (2) + 3 . (1) - 3 . (3) m = 3 gh = 1 + 4 + 3 - 9 Ligações internas: gh = - 1 C2 = 2 – 1 = 1 C3 = 2 – 1 = 1 HIPOSTÁTICA C2=4-1=3 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 13 Quantidade apoios: C1 = 1 C2 = 1 gh = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 . m Número de barras: gh = (2) + 2 . (2) + 3 . (1) - 3 . (3) m = 3 gh = 2 + 4 + 3 - 9 Ligações internas: gh = 0 C1 = 2 – 1 = 1 C2 = 2 – 1 = 1 C3 = 2 – 1 = 1 ISOSTÁTICA Quantidade de apoios: gh = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 . m C2 = 1 C3 = 1 gh = (0) + 2 . (1) + 3 . (1) - 3 . (1) Número de barras: gh = 2 + 3 - 3 m = 1 gh = 2 HIPERESTÁTICA Quantidade de apoios: C1 = 1 C2 = 1 gh = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 . m Número de barras: gh = (2) + 2 . (2) + 3 . (0) - 3 . (2) m = 2 gh = 2 + 4 - 6 Ligações internas: gh = 0 C1 = 2 – 1 = 1 C2 = 2 – 1 = 1 ISOSTÁTICA Quadros: gh = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 . m ge = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 gh = (1) + 2 . (1) + 3 . (4) – 3 . (4) ge = (1) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3 gh = 1 + 2 + 12 – 12 ge = 1 + 2 - 3 gh = 3 ge = 0 Logo: gh = ge + gi (3) = (0) + gi gi = 3 A partir do exemplo acima, pode-se notar que o gi de uma estrutura fechada, nesse caso um quadro, é igual a 3. Independentemente de sua forma geométrica. OBS: Um tipo especial de pórtico é a viga Virendel, exemplificada na figura anterior. A viga Vierendel constitui um painel retangular formado por barras engastadas ortogonalmente. Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219– Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 14 Utilizando o conhecimento em quadros, calcula-se o grau de hiperestacidade externa (ge) e o grau de hiperestacidade interna (gi) separadamente com a finalidade de obter o valor do grau de hiperestacidade (gh). gh = ge + gi i)Classificar os apoios e calcular o ge: ge = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 - 3 ge = (1) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3 ge = 1 + 2 - 3 ge = 0 ii)Classificar as ligações internas, contar o número de quadros e calcular o gi: gi = 3 . Q - C1 - C2 gi = 3 . (1) – (2) – (1) gi = 3 – 2 - 1 gi = 0 gh = ge + gi gh = (0) + (0) gh = 0 ISOSTÁTICA Exemplos: ge = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 – 3 ge = (2) + 2 . (1) – (3) = 1 gi = 3 . Q – C1 – C2 gi = 3 . (7) – (2) – (3) = 16 gh = ge + gi gh = (1) + (16) = 17 HIPERESTÁTICA Restringida Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 15 ge = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 – 3 ge = (2) + 2 . (1) + 3 . (1) – (3) = 4 gi = 3 . Q – C1 – C2 gi = 3 . (7) – (2) – (4) = 16 gh = ge + gi gh = (4) + (16) = 20 HIPERESTÁTICA Restringida ge = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 – 3 ge = (1) + 2 . (2) + 3 . (2) – (3) = 8 gi = 3 . Q – C2 gi = 3 . (12) – (11) = 25 gh = ge + gi gh = (8) + (25) = 33 HIPERESTÁTICA Restringida Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 16 1.5. Reações de apoio em estruturas planas 1.5.1. Estrutura Aporticada Cos α =4/5 Sen α =3/5 Decompor a força de 10kN nas direções x e y: i) ∑FX = 0 HA + 6kN = 0 ∴HA = - 6kN ii) ∑FY = 0 VA + VB = (10x3) + 8 = 38kN iii) ∑MA = 0 7xVB – (30x 5,5)- (8x2) – (6x1,5) = 0 ∴7VB = 190 ∴ VB = 27,14kN 0 Logo, VA = 38kN – 27,14kN = 10,86kN Outra maneira seria: ∑MA = 0 7VB – (30x 5,5)- (10x2,5) = 0 ∴7VB = 165+25 = 190 ∴VB = 27,14kN Verificação: ∑MB = 0 (10,86x7) + (6x3) – (30x1,5) – (8x5) – (6x1,5) = 0 76 + 18 – 45 – 40 – 9 = 0 Y X α 10x(3/5)=6kN 10x(4/5)=8kN 10kN Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 17 1.5.2. Pórtico Isostático i) ∑FX = 0 -HA + 40 = 0 ∴HA = 40kN ii) ∑FY = 0 VA + VB = 60kN iii) ∑MA = 0 8VB + 80 - (40x6) – (60x4) = 0 ∴8VB = 400 ∴ VB = 50kN ∴VA = 60 – 50 = 10kN Verificação: ∑MB = 0 (10x8) + (40x3) – 80 – (60x4) + (40x3) = 0 120 + 120 – 240 = 0 1.5.3. Treliça Isostática i) ∑FX = 0 HB + 4 -12 = 0 ∴HB = 8kN ii) ∑FY = 0 VA + VB = 6 + 8 = 14kN iii) ∑MB = 0 (4x4) + (8x1,5) – (12x2) – 3VA = 0 ∴3VA = 16 + 12 – 24 = 4 ∴VA = (4/3) = 1,33kN ∴VB = 12,67kN Verificação: ∑MA = 0 (12,67x3) + (4x4) – (6x3) – (8x1,5) - (12x2) = 0 38 + 16 -18 -12 – 24 = 0 V A H A V B B A 80kNm 60kN 40kN 4.00m 4.00m 3.00m 3.00m VA VB HB 4kN 1.50m 1.50m 2.00m 2.00m 6kN 8kN 12kN Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 18 1.5.4. Pórtico Triarticulado Isostático i) ∑FX = 0 (→+ ) HA + HB +20 -12 = 0 ∴HA+ HB = -8kN ii) ∑FY = 0 (↑+ ) VA + VB = 10x4 = 40kN iii) ∑MA = 0 4VB - (40x2) + (12x2) – (20x4) = 0 ∴4VB = 80 – 24 + 80 ∴ VB = 34kN ∴VA = 40 – 34 = 6kN iv) Momento Fletor em C é nulo (Esq. Ou Dir.) Análise da Estrutura à Esquerda da Rótula: Verif. ∑MD = 0 (6 + 2)x4 + (12x2) + (6x4) – (40x2) = 0 32 + 24 +24 – 80 = 0 • 4 Incógnitas (Reações) • 3 Equações Estáticas (Plano) • 1 Equação interna (Rótula) MCD = MCE = 0 Isostática MC – (6x2) + (20x1) + (HAx4) = 0 ou MC = (6x2) – (20x1) – (4HA) mas MC = 0 → 4HA= 12 – 20 = -8 ∴HA = – 2kN ∴HB = –8 + 2 = -6kN 2.00m A B B V A H A H B 12kN 4.00m C D 20kN 2.00m 2.00m HA VC MC NC 20kN 2.00m 4.00m Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 19 Exercícios: Determinar a reação de apoio. i) ∑FX = 0 (→+ ) RAX - RBX = 0 ∴ RAX = RBX (I) ii) ∑FY = 0 (↑+ ) RAY - RBY - 20 - 112= 0 ∴ RAY + RBY = 132 (II) iii)∑MA = 0 (20x8) + (112x4) – (6xRBX) = 0 RBX = 160 + 448 ∴ RBX=101,33kN 6 RAX = RBX (I) ∴ RAX=101,33kN RAX = RAY (45º) ∴ RAY=101,33kN RBY = 132 - RAY (II) ∴ RBY=30,67kN RA = RAX/cos 45º ∴ RA= (RAX)x 2 = 143,30kN 2 Conferindo ∑MC = 0 (20x2) - (112x2) + (6xRBY) – (6xRAX) + (6xRAY) = 0 40 – 224 + (30,67x6) – (101,33x6) + (101,33x6) = 0 -184 + 184 – 608 + 608 =0 184 – 184 = 0 a) 4 R A R A C 20kN A B 112kN R BY R BX R AX R AY 14kN/m 20kN C B A 6.00m 6.00m2.00m Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 20 i) ∑FX = 0 (→+ ) RAX = RBX ii) ∑FY = 0 (↑+ ) RAY – 12(12) – 30 ∴RAY = 174kN iii) ∑MA = 0 12xRBX – 30x20 – 144x6 = 0 RBX = 600 + 864 ∴RBX = 122kN ∴RAX = 122kN 12 Conferindo ∑MB = 0 12xRAX – 144x6 – 30x20 = 0 1464 – 864 – 600 = 0 ∑MC = 0 6xRBX – 144x14 + 6xRAX – 20xRAY = 0 122x6 + 2016 + 122x6 – 174x20 = 0 732 + 2016 + 732 – 3480 = 0 c) Achar as reações de apoio para a viga abaixo : BA 3.00m 6.00m 3.00m 3.00m 16kN/m 8kN 45°45° 10 2kN 10 2kN b) 12kN/m A B C C B A 144kN 30kN R AX R AY R BX 6.00m 6.00m 8.00m 12.00m 30kN Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamentode Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 21 8144 3434 111,33108,67 5454kN.m A B 9.00m Balanço d) Determinar as reações de apoio para a viga: Viga entre as rótulas internas: 72 ↑ ↑ (144/2) = 72 34 ↑ ↑ 10 + 24 = 34 (8x3)/9 = 2,67 ↑ ↑ (8x6)/9 = 5,33 108,67 ↑ ↑ 111,33 6 ↑ ↑ (12/2) = 6 6 ↑ ↑ 6 + 8 = 14 2,67 ↑ ↑ (20-12)/3=2,67 10kN 10kN 3x(16/2)=24kN 10 2kN As forças aplicadas nos balanços foram transferidas para os apoios como momentos e forças verticais. Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 22 3 incógnitas N1, N2, N3 3 equações: ∑FX = 0, ∑FY = 0, ∑FZ = 0 1.6. Reações de apoio no espaço 6 Equações de Equilíbrio: ∑FX = 0; ∑FY = 0; ∑FZ = 0; ∑MX = 0; ∑MY = 0; ∑MZ = 0 1.6.1. Treliça Espacial Isostática r + b = 3n Restringida n=4 r+b=3n 9+3 = 3x4 12=12 Inicia-se pelo equilíbrio do nó D: Em seguida passa-se aos nós com apoios: Conhecidos agora os esforços N1, N2 e N3, para cada nó A, B ou C existem 3 incógnitas (Reações) e 3 equações de equilíbrio. D C BA 1 2 3 4tf 2tf RAZ RAX RAY RBY RBX RBZ RCY RCX RCZ Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 23 1.6.2. Pórtico Espacial 5.00m 4.00m RAZ MAZ RAY MAY RAX MAX 2tf 1tf 4tf 3.00m Y X Z 6 reações Isostática 6 equações de equilíbrio Restringida i) ∑FX = 0 RAX – 2tf = 0 ∴RAX = 2tf ii) ∑FY = 0 RAY – 4tf = 0 ∴RAY = 4tf iii) ∑FZ = 0 RAZ – 1tf = 0 ∴RAZ = 1tf iv) ∑MX = 0 MAX – (4x3) – (1x5) = 0 ∴MAX = 17tfm v) ∑MY = 0 MAY + (2x3) + (1x4) = 0 ∴MAY = -10tfm vi) ∑MZ = 0 MAZ + (2x5) – (4x4) = 0 ∴MAZ = 6tfm Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 24 2. ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 2.1. Treliças Treliças - Estruturas reticuladas, ou seja formadas por barras (em que uma direção é predominante) de eixo reto, ligadas por rótulas ou articulações (nós). Quando submetidas a cargas aplicadas nos nós apenas, as barras estão submetidas somente a esforços axiais. Estaticidade e Estabilidade: Condições para obtenção de uma treliça isostática: 1. equilíbrio Estável (Restringida, nós indeslocáveis); 2. número de incógnitas (*) igual ao número de equações de equilíbrio da estática (**). * O número de incógnitas é dados por: número de reações (r) + número de barras (b). (Incógnitas Externas) (Incógnitas Internas) ** Número de equações de equilíbrio é o resultado do: - número de nós (n) x 2 (o valor é multiplicado devido a existência de uma equação no eixo x e outra no y). Desta forma, podemos classificá-las da seguinte maneira: 1a. Condição 2a. Condição Classificação indeslocável e r + b = 2n Isostática indeslocável e r + b > 2n Hiperestática deslocável ou r + b < 2n Hipostática Os métodos de obtenção de esforços em treliças são: 1. Equilíbrio dos Nós; 2. Cremona (Maxwell); 3. Ritter. Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 25 Treliças Planas Fonte: Engel, Heino, 1981 Sentido dos Esforços Treliça com diagonais comprimidas Treliça com diagonais tracionadas Fonte: Salvadori, Heller, 1975 A I E O' B F M N H D O C G L W 4 W 2 W 1 W 3 W 5 W 4 W 2 W 1 W 3 W 5 A I E O' B F M N H D O C D L Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 26 Transmissão de Cargas para as Treliças Treliça de Cobertura Treliça de Ponte Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1 Ligações das Extremidades das Barras Fonte: Salvadori, Heller, 1975 Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 27 Mecanismo de Treliças Aplicado a Outros Sistemas Estruturais Pórtico de Treliça Biarticulado Pórticos de Treliça Triarticulado com Balanços Arco de Treliça Triarticulado Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 28 Treliças com Diferentes Condições de Apoios Treliças apoiadas nas duas extremidades: Estrutura de vão livre Treliças com Apoio Duplo no Centro: Estruturas em Balanço Treliças com Extremidades em Balanço: Estrutura com Vão Livre e Balanço Fonte: Engel, Heino, 1981 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 29 Lei de Formação de Treliças Isostáticas: r + b = 3 + 11 = 14 2n = 2 x 7 = 14 Treliça Hiperestática: r + b = 4 + 14 = 18 2n = 2 x 8 = 16 Treliça Hipostática: r + b = 4 + 18 = 22 2n = 2 x 10 = 20 Treliça não restringida A B C D A B E G 1 2 3 7 4 8 6 9 10 11 5 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 30 2.1.1. Método de Cremona Seja a seguinte treliça para a qual serão calculadas as reações e esforços pelo equilíbrio dos nós: ∑FX = 0 3 – RAX = 0 RAX = 3tf ∑MA = 0 3RBY – 6 x 1,5 – 3 x 2= 0 RBY = 5tf ∑FY = 0 RAY + 5 - 6 = 0 RAY = 1tf ϴ = 53,13º Nó A ∑FY = 0 1 + NAC x sen 53,13º = 0 NAC = -1,25tf ∑FX = 0 -3 – 1,25 x cos 53,13º + NAB = 0 NAB = 3,75tf Nó B ∑FY = 0 5 + NBC x sen 53,13º = 0 NBC = -6,25tf Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 31 1,5m 1,5m 3tf 3tf 5tf1tf 6tf -1, 25 3,75 -6,25 BA C 2m Se um nó está em equilíbrio, a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre ele será nula: Nó A: 3 3,75 1,25 1 Nó B: 5 3,75 6,25 Nó C: A 3 tf 1 tf 1,2 5 3,75 B 6,25 3,75 5 tf Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 32 1,25 6,25 6 3 A soma vetorial das forças externas e internas atuantes forma sempre um polígono fechado. O método de Cremona consiste em encontrar os esforços internos graficamente, a partir do equilíbrio dos nós da treliça, seguem-se os seguintes passos: • inicia-se por um nó com apenas duas incógnitas; • marca-se em escala as forças externas atuantes, formando um polígono aberto; • pelas extremidades deste polígono traçam-se paralelas às barras que concorrem no nó, cujos esforços desejamos conhecer; • a interseção destas paralelas determinará o polígono fechado de equilíbrio; obtêm-se assim os módulos e sinais dos esforços nas barras; • Os sinais dos esforços são obtidos verificando-se: - se o esforço normal aponta para o nó negativo (compressão); - se o esforço normal sai do nó positivo (tração); • O sentido do percurso de traçado de forças é arbitrário, adotaremos o sentido horário; • Obtém-se 2 a 2 incógnitas na análise sobrarão 3 equações de equilíbrio, já usadas para as reações. 6 tf 3 tf C 1,2 5 6,25 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 33 2.1.1.1. Notação de Bow Marcar com letras todos espaços compreendidos entre as forças (exteriores e interiores), que serão identificadas pelas duas letras adjacentes. No exemplo: • reação Vertical no nó A : ab; • reação Horizontal no nó A: bc; • esforço Normal na Barra AC: cf (ou fc); • esforço Normal na Barra AB: af (ou fa). Roteiro do Método: 1. Iniciar o traçado do Cremona pelo equilíbrio de um nó que contém somente duas barras com esforços normais desconhecidos (incógnitas); 2. Começar com as forças conhecidas, deixando as incógnitas como forças finais; 3. Todos os nós são percorridos no mesmo sentido (horário ou anti-horário), para o exemplo escolheu-se o horário; 4. Prosseguir o traçado do Cremona pelos nós onde só haja 2 incógnitas a determinar, até esgotar todos os nós, encerrando-se a resolução da treliça. 5. Os valores dos esforços nas barras são medidos no gráfico em escala; 6. Os sinais dos esforços são obtidos verificando-se: - se o esforço normal aponta para o nó: COMPRESSÃO (-); - se o esforço normal sai do nó: TRAÇÃO (+). O polígono resultante do traçado do Cremona deverá resultar num polígono fechado para que a treliça esteja em equilíbrio. Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 34 Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1 e 2P i a g f c b A C D d 3P FE 3P P B h 3P 2 1 4 8 5 6 97 3 Sentido Horário - Percurso do Traçado Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 35 Nó A: 2P 3P N7 a2 a7N2 2P 3P N2 N7 Medir em escala N2 e N7 Nó E: N2 conhecido - N3,N1 incógnitas: mede-se em escala N 2 N 1 N 3 a3 a1 N 1 (Compressão) N 2 N 3 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 36 Exemplos: 1. 2m 2m C D BA 1m 1m 2 tf A 1m 1m B D C 2000kgf cb d e a 1000kgf 1000kgf Nó A: Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 37 Nó D: Nó B: 2000 D C 2000 2830 2830 C T T 2830 2830 2000 2000 d c e b A B D C 2000kgf -2830 +2000 -2830 +2230 +2230 a b c d e Escala do Cremona (tf) 2 1 0 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 38 2. A DC E B H G F 2tf 2tf 2tf 3tf 3tf b c d e f a k j ih g 0 1 2 3 4 Escala do Cremona (tf) f,k j c a d e h,i g -6,7 -6,7 -5,85 -1,8 +2,0 +6,0 +4,0 +4,0 +6,0 -1,8 +2,0 0 -5,85 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 39 3. 6tf 6tf 6tf 2tf 2tf 2tf 6tf 6tf 6tf 2tf 2tf 2tf i b h g j k a e d c f 6m 6m 6m 6m 6m G E C A B D F -3,2+3,2 +2,0 -2,2 -3,2 -4,8-2,9 -2,0 +6,4 +4,8 +3,0 a k j edcb,f g i h 0 1 2 3 4 Escala do Cremona (tf) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Profa. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 40 2.1.2. Método de Ritter Seja a seguinte treliça: Suponhamos que deseja-se determinar os esforços axiais nas barras 3, 6 e 10. Parte-se a estrutura em duas partes, de forma a partir estas barras, através da seção SS indicada. Considerando a parte da esquerda, deve-se colocar os esforços internos axiais que surgem nas barras para estabelecer o equilíbrio: As forças N3, N6 e N10 representam a ação da parte da direita da treliça sobre a parte da esquerda. H A V A P 4 P 1 P 2 D N 6 N 10 N 3 S S 1 2 3 7 4 8 6 9 10 11 5 H A P 4 P 1 P 2 P D P 5 C Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 41 É indiferente considerar a parte da esquerda ou a da direita: Os esforços indicados N3, N6 e N10 são iguais em módulo e direção, mas têm os sentidos opostos dos que aparecem na parte esquerda. Representam a ação da parte esquerda sobre a parte da direita. Para obter os esforços N3, N6 e N10 utilizam-se as equações da estática, devendo ser escolhidas e usadas numa ordem tal que permita determinar cada incógnita diretamente. Para o exemplo, pode-se resolver utilizando: ΣMC = 0 Obtém-se N3; ΣMD = 0 Obtém-se N6; ΣFy = 0 Obtém-se N10. (tanto faz pela esquerda ou direita) Se os esforços forem positivos terão o sentido indicado (tração) senão terão sentido inverso (compressão). Observações: 1. seções de Ritter não podem interceptar 3 barrras paralelas, nem 3 barras concorrentes no mesmo ponto; 2. as seções podem ter forma qualquer (não necessitando ser retas); 3. para barras próximas às extremidades da treliça (no exemplo, barras 1, 5, 4 e 7), pode ocorrer que a seção de Ritter só intercepte 2 barras neste caso obter os esforços fazendo equilíbrio dos nós. P 3 V B P 5 C S S N 6 N 10 N 3 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 42 Exemplos: 1. Obter os esforços nas barras 2, 3, 9 e 10. I. Obter as reações de apoio: ΣFx = 0 HA = -6 tf; ΣFy = 0 VA + VB = 10 tf; ΣMA = 0 VB . 10 - 6 x 4 - 4 x 6 - 6 x 2 = 0; VB = 6 tf e VA = 4 tf. II. Seção S1S1 ΣMH = 0 N2 x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N2 = 14 tf (tração); ΣMD = 0 -N16 x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N16 = -14 tf (compressão); ΣFy = 0 - N9 – 6 + 4 = 0 N9 = -2 tf (compressão). 8 9 10 11 12 13 14 7 6 1 2 3 4 5 H A V A V B A C D E F B G H I J 15 16 17 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 4 tf 6 tf 6 tf S 1 S 2 S 2 S 1 2 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 43 III. Seção S2S2 ΣFx = 0 N3 + N10 cos45º = 14 tf; ΣFy = 0 N10 sen45º + 4 - 6 = 0; N10 = 2,83 tf e N3 = 12 tf. 6tf E F B J 4 tf 2 m I S 2 N 10 N 3 14 tf S 2 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 44 Obter os esforços nas barras 2, 10, 19, 3 e 13. I. Seção S1S1 ΣMD = 0 N19 x 2 + 6 x 2 + 5 x 4 = 0 N19 = -16 tf (compressão); ΣFx = 0 N19 + N2 = 0 N2 = 16 tf (tração); ΣFy = 0 N10 + 6 - 5 = 0 N10 = -1 tf (compressão); H A = 6tf 6tf 6tf V B = 5tf H I J K L B G F E D C A 2 m 1 7 8 9 19 2 3 4 5 6 18 20 21 17 10 11 12 13 14 15 16 S 1 S 2 S 3 V A = 5tf 4tf 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m A C 1 8 7 6tf 5tf 9 2 10 H 6tf 18 I S 1 6tf N 2 N 10 N 19 J D Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 45 II. Seção S2S2 ΣMJ = 0 N3 x 2 + 6 x 2 - 5 x 6 - 6 x 2 = 0 N3 = 15 tf (tração); II. Seção S3S3 ΣFy = 0 N13 cos45º + 5 = 0; N13 = -7,1 tf (compressão); 6tf A C 1 8 7 5tf D 9 2 3 10 11 H 6tf 18 19 J I S 2 6tf N 19 N 3 N 11 F 4 13 14 B G 5 6 15 16 17 5tf 20 K S 3 21 L N 20 N 4 N 13 J Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 46 2.2. Vigas 2.2.1. Vigas Simples - Método Direto para Diagramas Esquerda V N M N Direita V Convenção de sinais: Revisão: a VV F M a F M Esquerda com carga para cima Esquerda com carga para baixo V – F = 0 V = +F positivo. V + F = 0 V = - F negativo. M – F.a = 0 M = +F.a positivo. M + F.a = 0 M = - F.a negativo. a F a F Direita com carga para cima Direita com carga para baixo V + F = 0 V = - F negativo. V – F = 0 V = +F positivo. M - F.a = 0 M = +F.a positivo. M + F.a = 0 M = - F.a negativo. • Traçar DEC diretamente vindo pela esquerda. Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 47 • Traçar DMF vindo pela esquerda, calculando M nos pontos de aplicação de força concentrada. Lembrando: • Força Concentrada: Descontinuidade no DEC • Binário Aplicado: Descontinuidade no DMF q=0 ; (entre cargas conc.) • V Constante • M Varia Linearmente em x q= k ; • V Varia Linearmente em x • M Varia Parabolicamente em x Integrando q V; Integrando V M. dx dVq =− dx dM =V dx d Mq 2 2 =− Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângelado Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 48 Exemplo 1: MCEsq = 60.4 = 240 kN; MDEsq = 60.8 – 50.4 = 280 kN; MEDir. = 110.2 = 220 kN ou MEEsq. = 60.11 – 50.7 – 30.3 = 220 kN ou MD = MC + VC x4m ou MEEsq. = MD +VD x3m DMF (kN.m) 60kN 60 280 240 (+) 220 -110 10 -20 DEC (kN) 110kN 30kN 50kN 90kN 4 m 4 m 3 m 2 m A C D E B Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 49 DMF (kN.m) +3 -3 (-) 3kN DEC (kN) -9 3kN 12kN/m 3 1 m A B C Exemplo 2: MCEsq = - 3.3 = - 9 kN; MCDir. = 3.1 = 3 kN; Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 50 Exemplo 3: MCEsq = 18.2 = 9 kN; MMÁX = q.l2/8 + 36 = 12.32/8 + 36 = 13,5 + 36 MMÁX = 49,5 kN.m 36 (+) 18 V=0 (+) 18kN 12kN/m DMF (kN.m) 36 DEC (kN) -18 (-) 18kN 2 m 3 m 2 m M máx A B C D Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 51 Exemplo 4: MV=0Esq = 80.2 – 40.1 = 120 kN; MEDir = 60.1 = 60 kN; MCEsq = 80.4 – 80.2 – 40.2 = 80 kN; MDDir = 60.2,5 – 20.1,5 = 120 kN; MDEsq = 80.5,5 – 80.3,5 – 40.3,5 = 20 kN; -40 120 80 120 60 DMF (kN.m) -60 20 (-) (+) 40 80 kN 80 DEC (kN) 60 kN 100kN.m 20kN/m 40kN 20kN (+) 2 m 2 m 1,5 m 1,5 m 1 m A B C D E 10 10 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 52 2.2.2. Vigas Gerber • Aplicações principais – Pontes; • Surgiram por motivos de ordem estrutural e de ordem construtiva; • Vigas Gerber Isostáticas serão decompostas nas diversas vigas isostáticas que as constituem: - Vigas com estabilidade própria; - Vigas que se apoiam sobre as demais; Exemplos de Decomposição: Os algarismos romanos I, II, III e IV indicam a ordem de resolução, para obtenção das reações de apoio. • Começa-se a resolver as vigas sem estabilidade sem estabilidade própria; • Os diagramas podem ser traçados separadamente, juntando-os em seguida; • As rótulas transmitem forças verticais e horizontais, mas não transmitem momento; • Basta que um dos apoios resista a forças horizontais na viga Gerber. Apenas as cargas verticais provocam esforço cortante e momento fletor nas vigas, portanto, na decomposição não é necessário distinguir apoios do 1o ou 2o gênero. Usaremos apenas: ∆ II I II II I Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 53 IV III II I II Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 54 Esforços Internos – Diagramas – Exemplos: 1. 18 tf F F 6tf 6tf 6tf 22,67 tf B A 9,33 tf 4tf/m C D E 4tf/m 6tf 6tf 4tf/m B A 6tf C D E 4tf/m 36 tf.m 2 m 3 m 2 m 3 m 3 m Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 55 MA = 0 MBesq = -6 x 2 = -12 MCesq = -6 x 5 + 9,33 x 3 – 12 x 1,5 = -20 MDesq = -6 x 7 + 9,33 x 5 – 20 x 2,5 + 22,67 x 2 = -0,01 ≈ 0 OK O momento fletor na rótula é sempre nulo, a não ser que haja um binário aplicado na rótula. MEdir = -36 + 18 x 3 – 12 x 1,5 = 0 OK MFdir = -36 Quando na rótula não há força concentrada: Vdesq = Vddir Veesq = Vedir -8,67 A -12 -20 C B -6 -36 4,5 D F E -18 -6 14 3,33 6 DMF (tf.m) DEC (tf) 2 4,5 4,5 4,5 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 56 2. 4+6+3 = 13 tf 3 tf 3+3 = 6 tf 3 tf 3 tf 2+4+3+2= 11 tf 3 tf 11 tf 3 tf 4 tf 12 6 6 tf 2 tf/m 3 tf/m 3 tf A 2 tf/m B C 3 tf/m F D E 4 tf 3 tf H G 4-3= 1 tf 8 tf 8 tf J I 2 tf/m 3 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 1 m 1 m Transfere-se a força de 6 tf: Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 57 Pela esquerda: MA = 0 MB = 0 MA/Besq = (q l2) / 8 = (2.32) / 8 = 2,25 MCesq = - 3.1.- 2.0,5 = - 4 MDesq = -4+ (2.42)/8 + (4.4)/4 = 4 Pela direita: MJ = 0 MIdir = 1.2 = 2 MHdir = 1.4 – 8.2 = -12 MG = 0 MF/G = (q l2) / 8 = (3.22)/8 = 1,5 MF = 0 A C B F E D 4 H G -4 3 -5 -3 -4 -12 -6 -2 3 2 -6 -3 6 5 7 J I 2 DMF (tf.m) -1 DEC (tf) 2,25 1,5 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 58 2.2.3. Vigas Inclinadas Independente do valor de b, as reações verticais serão iguais (= q.a / 2) 1.Esforços Internos: Seção S (a x do apoio A) α −= cos.x.q 2 a.qV α −−= sen.x.q 2 a.qN −= 2 x.qx. 2 a.qM 2 (para fins de momento fletor a viga se comporta como se fosse horizontal) (q.a)/2 S V (q.a)/2 q.x N M A S (q.a)/2 q B x a b x x/ 2 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 59 Diagramas: q.a.(sen / 2 - q.a.(sen / 2 q.a.(cos / 2 (+) (-) (-) (+) DMF - q.a(cos / 2 DEC DEN q.a² /8 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 60 2. I. ΣFx = 0 HA = q.b Esforços Internos: II. ΣFy = 0 VA = VB III. ΣMA = 0 a.VB – qb.b/2 = 0 VB = qb2/2a = VA (q.b²)/2.a S q.x M N V q.b x x/2 y N = (qb – qx)cosα + (qb2/2.a) . senα V = (qb – qx)senα - (qb2/2.a) . cosα M = x.qb – qx2/2 – y.(qb2/2.a) M = x.qb – qx2/2 – x.(a/b).(qb2/2.a) M = qbx/2 – qx2/2 A V A V B S B q H A a b x Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 61 Diagramas: q.b.[cosα+(b.senα)/2.a q.b².(sen α)/2.a q.b.(sen α – b.cos α / 2.a) (qb2/2.a) . cosα q.b²/8 DEN DEC DMF Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial – PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 62 3. R = q . (a² + b²) A q B A B q q.b q q.a A B b a Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial – PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 63 Logo, o diagrama de momento fletor fica: q.(a²+b²)/8 Se tivermos, por exemplo, as estruturas: DMF -6 A 6 tf.m 2 6 DMF 1 tf/m 2 tf.m B 8m 6m -2 2 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial – PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 64 52,5 A (+) DMF (-) -20 20 kN/m 20 kN.mB 4m 3m 10 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial – PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 65 2.3. Pórticos Pórticos são estruturas lineares constituídas por barras retas ligadas entre si. Eles podem ser planos (bidimensionais) ou espaciais (tridimensionais). Nesta apostila trabalharemos apenas com pórticos planos. Nos pórticos, as ligações entre as barras são engastes ou rótulas internas. Isso faz com que sua estrutura trabalhe em conjuntos e não de forma individual como acontece em estruturas de colunas e vigas. Os Diagramas de Esforço Normal (DEN) e Diagramas de Esforço Cortante (DEC) não precisam ser feitos para o mesmo lado da barra que foram feitos nessa apostila, apenas ter os mesmos valores e sinais. Já os Diagramas de Momento Fletor (DMF) devem estar sempre no lado tracionado da barra, podendo os sinais dos resultados serem diferentes dos sinais utilizados nesta apostila. Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial – PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 66 2.3.1. Estruturas Aporticadas 1, 5m 1, 5m27,14 kN 10 kN/m 10,86 kN 6 kN S2 S1 10 kN S3 2m 3m2m y x 6 kN 10,86 kN N M V S1 t n Seção S1: ΣFn = 0 N – 6.cosα + 10,86.senα = 0 N = 6.cosα - 10,86.senα N = -1,72 kN (const.) ΣFt = 0 V = 6.senα + 10,86.cosα = 12,29 kN (const.) ΣMz = 0 M = 10,86.x + 6.y y = x.tgα M = 10,86.x + 4,5.x = 15,36.x Para x=0, M=0; x=2, M=30,72 kN.m; Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial – PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 67 Seção S2: N = -1,72 kN (const.) V = 12,29 - 10 = 2,29 kN (const.) M = 15,36.x –8(x-2) –6(y-1,5) = 2,86.x + 25 y = x.tgα Para x=2, M=30,72 kN.m; x=4, M=36,44 kN.m; Seção S3: (direita) 10 kN/m 27,14 kN M V x' V = 10.x’ – 27,14 Para x’=0, V=-27,14 kN; x’=3, V=2,86 kN; M = 27,14.x’ – 10.x’2/2 Para x’=0, M=0 kN.m; x’=3, M=36,42 kN.m; Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 68 Diagramas: -27,14 (+) 12,29 2,86 2,29 (+) (-) -1,72 (-) nulo x = (10x3²)/8 = 11,25 DMF (kN.m) DEC (kN) DEN (kN) 30,72 36,42 36,42 x 0,286m Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 69 Não havendo barras inclinadas, recomeça-se o traçado de diagramas pelo método direto. 10 kN/m 17 kN 12 kN DMF (kN.m) DEC (kN) DEN (kN) (-) (+) (-) 12 12 kN nulo -17 (+) 17 -23 x = (10x4²)/8 = 20 12 12 23 kN (+) (+) 4m 1m 1m x Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 70 Considerações Sobre os Sinais dos Diagramas: As fibras inferiores serão tracejadas, definindo portanto a parte à esquerda e à direita da seção. Exemplos: S1 S3S2 S3 N V S1 M V M N Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 71 Exemplos: 01. P P (+) P -P (-) nulo -Pa Pa (-) (+) (+) Pa P S1 S2 S3 Pa Pa nulo nulo P DEN (kN)(+) DMF (kN.m) DEC (kN) a a a Barra vertical ΣFy = 0 ∴ N = P ΣFx = 0 ∴ V = 0 ΣMz = 0 ∴ M = -P.a + P.2a = P.a (constante) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 72 02. P/2 P/2 P DMF (kN.m) DEC (kN) DEN (kN) nulo nulo -P (-) (-) -P (+) P/2 P (+) P(L/2 + a) (+) (+)(+) P(L/2+a) P(L/2+a)PL/2 nulo L/2 a L a Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 73 2.3.2. Pórticos Simples 80 kN.m 60 kN 40 kN 40 kN 10 kN 50 kN 40 DEN (kN) (+) DMF (kN.m) DEC (kN) -50 -10 (-) (-) nulo (-) (+) (+) -50 10 40 200 (+) nulo 280 240 240 (+) 6m 4m 4m 3m Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 74 Pelo Método Direto: Obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo: Reações: ΣFx = 0 ∴ RAx = 1 tf ΣFy = 0 ∴ RAy = 3 + 1.4 + 1 RAy = 8 tf ΣMA = 0 ∴ 3.2 – 1.4.2 – 1.1 + 1.2 + MA = 0 MA = 1 tf.m Seção S1: trecho DC N = 0; V = -3 tf MC = -6 tf.m Seção S2: trecho CE N = 0; V = 1.x Para x = 0; V = 0; x = 4; V = 4 tf; M = -1.x2/2 Para x = 0; M = 0; x = 4; M = -8 tf.m; Seção S3: trecho FB N = -1 tf V = 1 tf M = -1.x Para x = 0; M = 0; x = 1; M = -1 tf.m; Seção S4: trecho BC N = -7 tf V = 0 M = -2 tf.m 3 tf 1 tf/m 1 tf 1 tf 1 tf.m B A D E C F 8 tf 1 tf 2m 2m 2m 1m 3m Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 75 Seção S5: trecho AB N = -8 tf V = -1 tf M = -1 – 1 . x Para x = 0; M = -1 tf.m; x = 2; M = -3 tf.m Diagramas: DEN (kN) (-) DMF (kN.m) DEC (kN) (-) (+) -8 -7 nulo -1 -3 +4 +1 -1 nulo (-) (-) -2 (-) -1 (-) -3 -8 -6 -1 (-) (-) (-) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 76 Reações: ΣFy = 0 ∴ 1 + 6 – 4.5 + VA + VB = 0 VA + VB = 13 ΣMA = 0 ∴ 1.2,5 – 4.5.2,5 + 6.5 + HB.10 = 0 HB = 1,75 tf ΣFx = 0 ∴ HB = - HA HA = - 1,75 tf ΣMEDir = 0 ∴ HB.4 - VB.5 = 0 (embaixo) VB = 1,4 tf VA = 11,6 tf Seção S1: [0 x 2,5] N = + 1,75 tf; V = 11,6 - 4.x Para x = 0; V = 11,6; x = 2,5; V = 1,6 tf; M = 11,6.x - 2.x2 Para x = 0; M = 0; x = 2,5; M = 16,5 tf.m; 1 tf VA HA 4 tf/m 6 tfN HB VB A B C D E V S1 S2 S3 S4 x 6m 4m Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 77 Seção S2: [2,5 x 5,0] N = + 1,75 tf; V = 12,6 - 4.x Para x = 2,5; V = 2,6 tf; x = 5; V = -7,4 tf; M = 11,6.x +1.(x–2,5) – 2 x2 = 12,6.x - 2.x2 – 2,5 Para x = 2,5; M = 16,5 tf.m; x = 5; M = 10,5 tf.m; Seção S4: [0 x 5,0] tgα = 4/5 senα = 4/√41 N + 1,75.cosα + 1,4 senα = 0 N = - 2,24 tf; V + 1,75.senα - 1,4.cosα = 0 V = 0; M = 1,4.x – 1,75.y M = 0; Seção S3: [0 x’ 6,0] N = - 7,4 tf; V = -1,75 tf; M = 1,75.(x+4) – 1,4.5 = 1,75.x’ Para x’ = 0; M = 0; x’ = 6; M = 10,5 tf.m; Nu lo DMF (tf.m) DEN (tf) DEC (tf) 16,5 17,3 10,5 (+) (+) (+) -7,4 Nu lo (-) 2,6 1,6 11,6 -1,75 (-) 1,75 -7,4 -2,24 (-) (+) (-) 10,5 Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 78 Reações: ΣFx = 0 ∴ HA + HB + 12 – 3,33 = 0 HA + HB = - 8,67 tf ΣFy = 0 ∴ -10 + 4,99 + VA + VB = 0 VA + VB = 5,01 tf ΣMB = 0 ∴ 6.1 + 10.4 – 12.3 – 9.VA = 0 VA = 1,11 tf VB = 3,9 tf; ΣMEEsq = 0 ∴ - HA.6 + VA.2,5 – 12.3 = 0 HA = -5,54 tf HB = -3,13 tf Determinar os diagramas de esforços solicitantes: -1,11 DEN (tf) DMF (tf.m) DEC (tf)(-) (-) (-) (-) -6,5 -10,98 -4,98 Nul o 0,44 (-) -6,0 1,11 -6,46 5,54 (+) (+) (-) (+) -2,8 (+) -2,8 2,82,8 4,41 6,0 -1,6 7,66 (-) (+) 2,77 Diagramas: Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 79 Para a barra inclinada: N = - 5,1.sen 60˚ = - 4,42 kN V = - 5,1 cos 60˚ = - 2,55 kN Momento no apoio engastado: M = – 15,8 kN.m; Momento na conexão engastada entre barras: M = -15,8 + 5,1. 2 = -5,6 kN.m; 60° 1,9kN 1,9 1,9kN 2 kN/m 1 kN/m 2 kN/m 1 kN/m 5,1kN 15,8kN.m 3,46m 3,8m 1,6m 2m 60° Nulo DEN (kN) (-) -4,42 DMF (kN.m) DEC (kN) -2,55 -5,1 -1,9 (+) (-) (-) -5,6 -5,6 -15,8 1,8 (-) (-) (+) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 80 2.3.3. Pórtico com Articulação e Tirante Análise da estaticidade: ge = 2 + 1 – 3 = 0 gi = 3.1 – 1 – 1 - 1 = 0 gh = gi + ge = 0 Substitui-se a barra CD pelo par de esforços N: Reações e N: ΣFx = 0 ∴ HA = 0; ΣFy = 0 ∴ VA + VB = 8 tf ΣMz = 0 (A) ∴VB.4 – 8.2 = 0 VB = 4 tf.m VA = 4 tf.m Momento Fletor em F, pela direita: MFD = 0 ∴ 4 – 2.N = 0 + N
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