Aula__Deformacao_Em_Vigas

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Professor Humberto Ritt 
Engenheiro Civil, M.Sc. 
 
 
DEFORMAÇÃO EM VIGAS 
OBJETIVOS: 
 . Determinação das deflexões e inclinações em vigas e eixos 
. Viga carregada 
. Viga deformada após 
aplicação do carregamento 
. Linha elástica 
Deflexão, flecha ou 
 deslocamento 
Inclinação, rotação ou declividade 
 Projeto  além de analisar as tensões, é necessário avaliar deflexões e 
 inclinações em vigas e eixos, que devem ser menores que as 
 limitações impostas por normas. 
CONCEITO DE LINHA ELÁSTICA: 
 
- Diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo 
centróide de cada área da seção transversal da viga ou eixo. 
Linha elástica 
Deformações em apoios usuais: 
 
Ax Cx 
Cy 
1 deslocamento nulo 
1 deslocamento nulo 
1 deslocamento nulo 
B 
Bx 
By M 
2 deslocamentos nulos  direções Bx e By 
 
1 rotação (inclinação) nula 
Linha elástica e o diagrama de momento fletor: 
DMF 
VIGA 
LINHA ELÁSTICA 
Linha elástica e o diagrama de momento fletor: 
p 
A B 
A 
B 
VIGA 
DMF 
LINHA ELÁSTICA 
Exemplo 01: 
DMF 
VIGA 
 
LINHA 
ELÁSTICA 
Ponto E: inclinação da linha elástica nula  deflexão máxima no trecho 
Ponto de momento nulo 
Exemplo 02: 
VIGA 
DMF 
LINHA 
ELÁSTICA 
Ponto D: inclinação da linha elástica nula  deflexão máxima 
Ponto de momento nulo 
Relação momento - curvatura 
Viga: carregamento e elástica 
x 
- Eixo “x”  eixo longitudinal reto 
 
- Eixo “v” mede deslocamento 
 
- Coordenada “y”  posição fibra 
Linha neutra: tensão e 
deformação nulas 
+ 
ρ = raio de curvatura em um ponto específico 
Relação momento - curvatura 
IE
M
.
1


ρ = raio de curvatura em um ponto específico sobre a linha elástica 
M = momento fletor interno na viga no ponto onde ρ será determinado 
E = módulo de elasticidade do material 
I = momento de inércia calculado em torno do eixo neutro 
EI = rigidez à flexão 
- Para comprimento de viga muito maior que sua altura  maior 
 deformação causada por flexão 
Material homogêneo e comportamento elástico (Lei de Hooke), 
demonstra-se que: 
Convenção de sinais: 
 
- Momento fletor tracionando fibras inferiores  + 

 - Momento fletor tracionando fibras superiores  - 

- A curvatura é zero em pontos onde o 
momento fletor é nulo. 
EI
xM )(1


- A máxima curvatura ocorre aonde o momento 
fletor atinge um valor máximo (pontos B e C). 
Observações: 
DMF 
KN.m 
3 
6 
4 m 
Viga 
Reações 
de apoio 
Deformações da viga 
- Ponto E ponto de inflexão  M nulo 
Equação da curva elástica 
Equação Diferencial da Linha Elástica 
9- 
19 
Substituindo e integrando: 
 
 
  21
00
1
0
2
21
CxCdxxMdxyEI
CdxxM
dx
dy
EIEI
xM
dx
yd
EIEI
xx
x






Do cálculo, tem-se a expressão para a 
curvatura de uma linha: 
2
2
23
2
2
2
1
1
dx
yd
dx
dy
dx
yd


















 xM
dx
yd
EI 
2
2
9- 
20 
  21
00
CxCdxxMdxyEI
xx
 
As constantes de integração são 
determinadas pela introdução das condições 
de contorno. 
Três situações: 
– Viga simplesmente apoiada 
0,0  BA yy
– Viga biapoiada com balanço 
0,0  BA yy
– Viga em balanço 
0,0  AAy 
Deteminação da equação da elástica 
a partir do carregamento 
9- 
21 
Substituindo na equação, tem-se: 
 xw
dx
yd
EI 
4
4
   
43
2
22
13
16
1 CxCxCxC
dxxwdxdxdxxyEI

 
Integrando quatro vezes: 
Para uma viga submetida a uma carga 
distribuída: 
   xw
dx
dV
xV
dx
dM

As constantes são determinadas através das 
condições de contorno. 
Inclinação e deslocamento por integração: 
 Na maioria dos problemas a rigidez à flexão EI será constante ao 
longo do comprimento da viga. 
 
 A inclinação e deslocamento da viga é: 
 
 
 
 
 Cada integração é usada para resolver todas as constantes de 
modo a obter uma solução única para um problema particular. 
     xM
dx
vd
EIxV
dx
vd
EIxw
dx
vd
EI 
2
2
3
3
4
4
 
     xM
dx
vd
EIxV
dx
vd
EIxw
dx
vd
EI 
2
2
3
3
4
4
 
Equação da linha elástica 
- Convenções de sinais: 
+ V + V 
+ M + M 
+ W 
     xM
dx
vd
EIxV
dx
vd
EIxw
dx
vd
EI 
2
2
3
3
4
4
 
Condições de contorno e continuidade 
 As constantes de integração são determinadas pela avaliação 
das funções para cisalhamento, momento, inclinação ou 
deslocamento. 
 Esses valores são chamados de condições de contorno. 
Exemplo: Para a viga abaixo, considerando EI constante, determine: 
 
a) A equação da linha elástica 
b) O deslocamento máximo 
c) A inclinação da linha elástica nos apoios 
 
L 
A B 
W 
- deformação de vigas submetidas à uma combinação de carregamentos: 
obtida através de uma combinação linear das deformações individuais 
de cada carregamento. 
 
- este procedimento é facilitado pelo uso de uma tabela contendo os 
tipos usuais de carregamentos e apoios. 
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO: 
Viga: carregamentos 
Carregamentos individuais 
Determine o deslocamento no ponto C e a inclinação no apoio A da viga 
mostrada na Figura (a). EI é constante. 
Exemplo 
Solução: 
A carga pode ser separada em duas partes 
componentes. 
O deslocamento em C e a inclinação em A são determinados por 
meio da tabela, 
Para força concentrada de 8 kN : Deslocamento total em C e a 
inclinação em A são, 
Solução: 
Para carga distribuída 2kN/m : 
1) Considerando a viga de madeira (E = 20 GPa) sujeita ao carregamento 
indicado e com a seção transversal mostrada, determine a flecha 
(deslocamento) no meio do vão. 
Aplicações: 
2) Uma viga em balanço é submetida ao carregamento indicado. Sabe-se 
que a seção da viga é formada pela união de pranchas de madeira 
através de pregos, conforme mostra a figura. Determine a flecha na 
extremidade livre. Adote E = 18 GPa. 
3) Considerando a viga de aço (E = 200 GPa) sujeita ao 
carregamento indicado e com a seção transversal mostrada, 
determine a flecha no meio do vão.