Resolução do Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle (cápitulo 5, A RETA) PARTE I

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1º) Determinar a equação vetorial da reta r definida pelos pontos A (2, -3, 4) e B (1, -1, 2) e verificar 
se os pontos C (
𝟓
𝟐
, -4, 5) e D (-1, 3, 4) pertencem a r. 
𝑣Ԧ = 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ → B – A = (1, -1, 2) – (2, -3, 4) = (-1, 2, -2) 
 x = 2 - t 
r: y = -3 + 2t 
 z = 4 – 2t 
r: (x, y, z) = (2, -3, 4) + t (-1, 2, -2) 
➔ Para C : (5/2, -4, 5) 
5/2 = 2 – t → t = 2 – 5/2 → t = -1/2 
-4 = -3 + 2t → -2t = -3 + 4 → t = -1/2 
5 = 4 – 2t → 2t = 4 – 5 → t = -1/2 
➔ Para D: (-1, 3, 4) 
-1 = 2 – t ➔ t = 2 + 1 → t = 3 
3 = -3 + 2t → -2t = -3 – 3 → t = 3 
4 = 4 – 2t → 2t = 4 – 4 → t = 0 
RESOLUÇÃO DO LIVRO VETORES E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
C r e D  r. 
2º) Dada a reta r: (x, y, z) = (-1, 2, 3) + t (2, -3, 0), escrever equações paramétricas de r. 
r: = (x, y, z) = (-1, 2, 3) + t (2, -3, 0) 
 x = -1 + 2t 
r: y = 2 – 3t 
 z = 3 
3º) Escrever equações paramétricas da reta que passa por A (1, 2, 3) e é paralela à reta r: (x, y, z) = 
(1, 4, 3) + t (0, 0, 1). 
x = 1 + 0 . t = 1 
y = 2 + 0 . t = 2 
z = 3 + 1 . t = 3 + t 
4º) Dada a reta : 
 x = 2 = t 
r: y = 3 – t 
 z = -4 + 2t 
determinar o ponto de r tal que: 
a) a ordenada seja 6. 
 x = 2 + t → x = 2 – 3 → x = -1 
r: 6 = 3 – t → t = 3 – 6 → t = -3 
 z = -4 + 2t → z = -4 + 2 (-3) → z = -10 
Portanto temos que o produto é: (-1, 6, -10) 
b) a abscissa seja igual à ordenada. 
x = y 
2 + t = 3 – t → t + t = 3 – 2 → 2t = 1 → t = ½ 
 x = 2 + t → x = 2 + ½ → x = 5/2 
r: y = 3 – t → y = 3 – ½ → y = 5/2 
 z = -4 + 2t → z = -4 + 2 (1/2) → z = -3 
Portanto temos: (5/2, 5/2, -3) 
c) a cota seja o quádruplo da abscissa. 
z = 4x 
-4 + 2t = 4 (2 + t) → -4 + 2t = 8 + 4t → 2t – 4t = 8 + 4 → -2t = 12 → t = -6 
 x = 2 + t → x = 2 – 6 → x = -4 
r: y = 3 – t → y = 3 + 6 → y = 9 
 z = -4 + 2t → z = -4 + 2 (-6) → z = -16 
Portanto temos: (-4, 9, -16) 
5º) A reta r passa pelo ponto A (4, -3, -2) e é paralela à reta: 
 x = 1 + 3t 
s: y = 2 – 4t 
 z = -3 – t 
Se P (m, n, -5)  r, determinar m e n. 
 
 x = 1 + 3t 
s: y = 2 – 4t Obs: r // s, portanto as duas retas tem o mesmo 𝑣Ԧ = (3, -4, -1) 
 z = 3 – t 
 x = 4 + 3t 
r: y = -3 – 4t 
 z = -2 – t 
 m = 4 + 3t → m = 4 + 3 (3) → m = 13 
 n = -3 – 4t → n = -3 – 4 (3) → n = -15 
 -5 = -2 – t → t = -2 + 5 → t = 3 
Temos que P (13, -15, -5) 
6º) Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: 
a) A (1, -1, 2) e B (2, 1, 0) 
𝑣Ԧ = 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ → B – A = (2, 1, 0) – (1, -1, 2) = (1, 2, -2) 
 x = 1 + t 
r: y = -1 + 2t 
 z = 2 – 2t 
b) A (3, 1, 4) e B (3, -2, 2) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (3, -2, 2) – (3, 1, 4) = (0, -3, -2) 
 
 
 x = 3 
r: y = 1 – 3t 
 z = 4 – 2t 
c) A (1, 2, 3) e B 1, 3, 2) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (1, 3, 2) – (1, 2, 3) = (0, 1, -1) 
 x = 1 
r: y = 2 + t 
 z = 3 - t 
d) A (0, 0, 0) e B (0, 1, 0) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (0, 1, 0) – (0, 0, 0) = (0, 1, 0) 
 x = 0 
r: y = t (eixo Oy) 
 z = 0 
7º) Com base na figura 5.14, escrever as equações paramétricas: 
a) A e B 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (0, 0, 4) – (2, 0, 4) = (-2, 0, 0) 
 x = 2 – 2t 
 y = 0 
 z = 4 
b) C e D 
𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ = D – C → (2, 3, 0) – (0, 3, 0) = (2, 0, 0) 
 x = 2t 
 y = 3 
 z = 0 
c) A e D 
𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ = D – A → (2, 3, 0) – (2, 0, 4) = (0, 3, -4) 
 x = 2 
 y = 3t 
 z = 4 – 4t 
d) B e C 
𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ = C – B → (0, 3, 0) – (0, 0, 4) = (0, 3, -4) 
 x = 0 
 y = 3t 
 z = 4 – 4t 
e) D e E 
𝐷𝐸ሬሬሬሬሬԦ = E – D → (2, 0, 0) – (2, 3, 0) = (0, -3, 0) 
 x = 2 
 y = 3 – 3t 
 z = 0 
f) B e D 
𝐵𝐷ሬሬሬሬሬሬԦ = D – B → (2, 3, 0) – (0, 0, 4) = (2, 3, -4) 
 x = 2t 
 y = 3t 
 z = 4 – 4t 
8º) O ponto P (m, 1, n) pertence à reta que passa por A (3, -1, 4) e B (4, -3, -1), determinar P. 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (4, -3, -1) – (3, -1, 4) = (1, -2, -5) 
Como P pertence a r, temos: 
 x = 3 + t m = 3 + t → m = 3 – 1 → m = 2 
r: y = -1 – 2t → 1 = -1 – 2t → 2t = -1 – 1 → t = -1 
 z = 4 – 5t n = 4 – 5t → n = 4 – 5 (-1) → n = 9 
Temos que P (2, -1, 9) 
9º) Seja o triângulo de vértices A (-1, 4, -2), B (3, -3, 6) e C (2, -1, 4). Escrever equações paramétricas 
da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto a C. 
M = (
𝑥1+ 𝑥2
2
,
𝑦1+ 𝑦2
2
, 
𝑧1+ 𝑧2
2
) 
𝑀𝐴𝐵 = (
−1+ 3
2
,
4− 3
2
, 
−2+ 6
2
) = (
2
2
,
1
2
, 
4
2
) = (1, 
1
2
, 2) 
𝑣Ԧ = 𝑀𝐶ሬሬሬሬሬሬԦ = C – M → (2, -1, 4) – (1, 
1
2
, 2) = (1, 
−3
2
, 2) 
 x = 2 + t 
r: y = -1 + 4t 
 z = 4 + 2t 
10º) Os pontos M1 (2, -1, 3), M2 (1, -3, 0) e M3 (2, 1, -5) são pontos médios dos lados de um triângulo 
ABC. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M1. 
𝑣Ԧ = M2 . M3 = (M3 – M2) = (2, 1, -5) – (1, -3, 0) = (1, 4, -5) 
 x = 2 + t 
r: y = -1 + 4t 
 z = 3 – 5t 
11º) Os vértices de um triângulo são os pontos A (-1, 1, 3), B (2, 1, 4) e C (3, -1, -1). Obter equações 
paramétricas dos lados AB, AC e BC, e da reta r que contém a mediana relativa ao vértice B. 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (2, 1, 4) – (-1, 1, 3) = (3, 0, 1) 
𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ = C – A → (3, -1, -1) – (-1, 1, 3) = (4, -2, -4) 
𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ = C – B → (3, -1, -1) – (2, 1, 4) = (1, -2, -5) 
 x = -1 + 3t 
rAB: y = 1 
 z = 3 + t 
 x = 2 + t 
rBC: y = 1 – 2t 
 z = 4 – 5t 
 x = -1 + 4t 
rAC: y = 1 – 2t 
 z = 3 – 4t 
 
 
 
 x = 2 - t 
r: y = 1 + t 
 z = 4 + 3t 
12º) Verificar se os pontos P1 (5, -5, 6) e P2 (4, -1, 12) pertencem à reta: 
r: 
 𝒙−𝟑
−𝟏
 = 
 𝒚+𝟏
𝟐
 = 
 𝒛−𝟐
−𝟐
 
 x = 3 - t 
r: y = -1 + 2t 
 z = 2 – 2t 
 5 = 3 – t → t = 3 – 5 → t = -2 
P1: -5 = -1 + 2t → -2t = -1 + 5 → t = -2 
 6 = 2 – 2t → 2t = 2 – 6 → t = -2 
 4 = 3 – t → t = 3 – 4 → t = -1 
P2: -1 = -1 + 2t → =2t = -1 + 1 → t = 0 
 12 = 2 – 2t → 2t = 2 – 12 → t = -5 
P1  r 
P2  r 
13º) Determinar ponto da reta r: 
 𝒙−𝟏
𝟐
 = 
 𝒚+𝟑
−𝟏
 = 
 𝒛
𝟒
 que possui: 
a) abscissa 5 
 
 
 
 
 
 x = 1 + 2t → 5 = 1 + 2t → -2t = -4 → t = 2 
r: y = -3 – t → y = -3 – 2 → y = -5 
 z = 4t → z = 4 . 2 → z = 8 
Portanto o Ponto da reta é (5, -5, 8) 
b) ordenada 2 
 x = 1 + 2t → x = 1 + 2 (-5) → x = -9 
r: 2 = -3 – t → t = -3 – 2 → t = -5 
 z = 4t → z = 4 (-5) → z = -20 
Portanto o Ponto é (-9, 2, -20) 
14º) Obter o ponto de abscissa 1 da reta r: 
 𝟐𝒙+𝟏
𝟑
 = 
 𝟑𝒚−𝟐
𝟐
 = z + 4 e encontrar um vetor diretor de r 
que tenha ordenada 2. 
 2x = -1 + 3t → 2 (1) = -1 + 3t → -3t = -3 → t = 1 
r: 3y = 2 + 2t → 3y = 2 + 2 (1) → 3y = 4 → y = 4/3 
 
 2𝑥+1
3
 = z + 4 → 
 2 (1)+1
3
 = z + 4 → 1 = z + 4 → z = -3 
Portanto o Ponto é (1, 4/3, -3) 
15º) Obter equações reduzidas na variável x, da reta: 
a) que passa por A (4, 0, -3) e tem a direção de 𝒗ሬሬԦ = (2, 4, 5) 
 x = 4 + 2t 
r: y = 4t 
 z = -3 + 5t 
 
 
 
 
 𝑥−4
2
 = 
 𝑦
4
 
2y = 4 (x – 4) 
2y = 4x – 16 
y = 
 4𝑥−16
2
 
y = 2x – 8 
 
 𝑥−4
2
 = 
 𝑧+3
5
 
2 (z + 3) = 5 (x – 4) 
2z + 6 = 5x – 20 
2z = 5x – 20 – 6 
2z = 5x – 26 
z = 
 5𝑥−26
2
 
z = 5x/2 - 13 
b) pelos pontos A (1, -2, 3) e B (3, -1, -1) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (3, -1, -1) – (1, -2, 3) = (2, 1, -4) 
 x = 1 + 2t 
r: y = -2 + t 
 z = 3 – 4t 
r: 
 𝑥−1
2
 = 
 𝑦+2
1
 = 
 𝑧−3
−4
 
 𝑥−1
2
 = 
 𝑦+2
1
 
2 (y + 2) = x – 1 
2y + 4 = x – 1 
2y = x – 1 – 4 
2y = x – 5 
y = 
 𝑥−5
2
 
 
 𝑥−1
2
 = 
 𝑧−3
−4
 
2 (z – 3) = -4 (x – 1) 
2z – 6 = -4x + 4 
2z = -4x + 4 + 6 
2z = -4x+ 10 
z = 
−4𝑥+10
2
 
z = -2x + 5 
c) pelos pontos A (-1, 2, 3) e B (2, -1, 3) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (2, -1, 3) – (-1, 2, 3) = (3, -3, 0) 
 
 x = -1 + 3t 
r: y = 2 – 3t 
 z = 3 
 
r: 
 𝑥+1
2
 = 
 𝑦−2
−3
 = z – 3 
 𝑥+1
2
 = 
 𝑦−2
−3
 
3 (y – 2) = -3 (x + 1) 
3y – 6 = -3x – 3 
3y = -3x – 3 + 6 
3y = -3x + 3 
y = 
−3𝑥+3
3
 
y = -x + 1 
 
 𝑥+1
2
 = z -3 
3 (z – 3) = 0 
3z – 9 = 0 
3z = 9 
z = 3 
d) dada por x = 2 – t / y = 3t // z = 4t – 5 
x = 2 – t 
y = 3t 
z = 4t – 5 
 𝑥−2
−1
 = 
 𝑦
3
 = 
 𝑧+5
4
 
 𝑥−2
−1
 = 
 𝑦
3
 
-y = 3 (x – 2_ 
-y = 3x – 6 
y = -3x + 6 
 
 𝑥−2
−1
 = 
 𝑧+5
4
 
-z – 5 = 4 (x – 2) 
-z – 5 = 4x – 8 
-z = 4x – 8 + 5 
-z = 4x – 3 
z = -4x + 3 
16º) Escrever equações reduzidas na variável z da reta que passa por A (-1, 6, 3) e B (2, 2, 1). 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (2, 2, 1) – (-1, 6, 3) = (3, -4, -2) 
 
 
 x = -1 + 3t 
 y = 6 – 4t 
 z = 3 – 2t 
 𝑥+1
3
 = 
 𝑦−6
−4
 = 
 𝑧−3
−2
 
 𝑥+1
3
 = 
 𝑦−6
−4
 
-2 (x + 1) = 3 (z – 3) 
-2x – 2 = 3z – 9 
-2x = 3z – 9 + 2 
-2x = 3z – 7 
2x = -3z + 7 
x = 
−3𝑧+7
2
 
 
 𝑦−6
−4
 = 
 𝑧−3
−2
 
-2 (y – 6) = -4 (z – 3) 
-2y + 12 = -4z + 12 
-2y = -4z + 12 – 12 
2y = 4z 
y = 4z/2 → y = 2z 
17º) Na reta r: y = 2x + 3 // z = x – 1, determinar o ponto de: 
a) ordenada igual a 9 
r: y = 2x + 3 → 9 = 2x + 3 → -2x = 3 – 9 → x = 3 
 z = x – 1 → z = 3 – 1 → z = 2 
Temos que o Ponto é (3, 9, 2) 
b) abscissa igual ao dobro da cota 
 x = 2z → x = 2 . 1 → x = 2 
r: y = 2x + 3 → y = 2 (2) + 3 → y = 7 
 z = 2z – 1 → z – 2z = -1 → z = 1 
Temos que o Ponto é (2, 7, 1) 
c) ordenada igual ao triplo da cota. 
y = 3z → y = 3 . 5 → y = 15 
r: 3z = 2x + 3 → z = 2x/3 + 1 → z = 2 (6)/3 + 1 → z = 5 
 z = x -1 → 2x/3 + 1 = x – 1 
 2x + 3 = 3x – 3 
 2x – 3x = -3 – 3 
 -x = -6 
 x = 6 
Temos que o Ponto é (6, 15, 5)