Resolução do Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle (cápitulo 5, A RETA) PARTE II

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19º) Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por: 
a) A (3, -2, 4) e é paralela ao eixo dos x 
A (3, -2, 4) // Ox (1, 0, 0) 
 x = 3 + t 
r: y = -2 → r: y = -2 
 z = 4 z = 4 
b) A (2, 2, 4) e é perpendicular ao plano xOz 
A (2, 2, 4) ⊥ Oz (0, 1, 0) 
 x = 2 
r: y = 2 + t → r: y = 2 
 z = 4 z = 4 
c) A (-2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y 
A (-2, 3, 4) ⊥ x ⊥ y (0, 0, 1) 
 
 
RESOLUÇÃO DO LIVRO VETORES E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 x = -2 
r: y = 3 → r: y = -2 
 z = 4 + t z = 4 
d) A (4, -1, 3) e tem a direção de 3 𝒊 – 2 𝒋 
A (4, -1, 3) 3 𝑖 – 2 𝑗 = (3, -2, 0) 
 x = 4 + 3t 
r: y = -1 – 2t 
 z = 3 
e) A (3, -1, 3) e B (3, 3, 4) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = B – A → (3, 3, 4) – (3, -1, 3) = (0, 4, 1) 
 x = 3 
r: y = -1 + 4t 
 z = 3 + t 
20º) Escrever equações paramétricas das retas que passam pelo ponto A (4, -5, 3) e são, 
respectivamente, paralelas aos eixos Ox, Oy e Oz. 
Ox (1, 0, 0) ; Oy (0, 1, 0) ; Oz (0, 0, 1) 
 x = 4 + t 
Ox: y = -5 → Ox: y = -5 
 z = 3 z = 3 
 
 
 x = 4 
Oy: y = -5 + t → Oy: x = 4 
 z = 3 z = 3 
 x = 4 
Oz: y = -5 → Oz: x = 4 
 z = 3 + t y = -5 
21º) Determinar o ângulo entre as seguintes retas: 
a) x = -2 - t 
r1: y = t e r2: 
𝒙
𝟐
 = 
𝒚+𝟔
𝟏
 = 
𝒛−𝟏
𝟏
 
 z = 3 – 2t 
�⃗�1 = (-1, 1, -2) e �⃗�2 = (2, 1, 1) 
Cos  = 
|𝑣ሬሬሬ⃗ 1 . 𝑣ሬ⃗ 2|
|𝑣ሬሬሬ⃗ 1| . |𝑣ሬ⃗ 2|
 = 
|(−1,1,−2) . (2,1,1)|
|(−1,1,−2)| .|(2,1,1)|
 = 
|−2+1−2|
ඥ(−12)+ 12+(−2)2 .ඥ(22)+ 12+(1)2 
 
= 
|−3|
ξ6 .ξ6 
 = 
3
ξ36 
 = 
3
6 
 = 
1
2 
 = 60º 
 
b) y = -2x + 3 
r1: z = x – 2 e r2: y = 
𝒛+𝟏
−𝟏
 ; x = 4 
�⃗�1 = (1, -2, 1) e �⃗�2 = (0, 1, -1) 
Cos  = 
|𝑣ሬሬሬ⃗ 1 . 𝑣ሬ⃗ 2|
|𝑣ሬሬሬ⃗ 1| . |𝑣ሬ⃗ 2|
 = 
|(1,−2,1) . (0,1,− 1)|
|(1,−2,1)| .|(0,1,− 1)|
 = 
|0−2−1|
ඥ(−12)+ (−2)2+(1)2 .ඥ(02)+ 12+(−1)2 
 
= 
|−3|
ξ6 .ξ2 
 = 
3
ξ12 
 = 
3
2ξ3 
 = 
3
2ξ3 
 . 
2ξ3
2ξ3 
 = 
6ξ3
4ξ9 
 = 
6ξ3
4 . 3 
 = 
ξ3
2 
 = 30º 
 
 
c) x = 1 + ξ𝟐 t 
r1: y = t e r2: x = 3 / y = 2 
 z = 5 – 3t 
�⃗�1 = (ξ2, 1, -3) e �⃗�2 = (0,0 , 1) 
Cos  = 
|𝑣ሬሬሬ⃗ 1 . 𝑣ሬ⃗ 2|
|𝑣ሬሬሬ⃗ 1| . |𝑣ሬ⃗ 2|
 = 
|(ξ2,1,−3) . (0,0,1)|
|(ξ2,1,−3)| .|(0,0,1)|
 = 
|0+0−3|
ටቀξ2
2
ቁ+ (1)2+(−3)2 .ඥ(02)+ 02+(1)2 
 
= 
|−3|
ξ12 .ξ1 
 = 
3
ξ12 
 = 
3
2ξ3 
 = 
3
2ξ3 
 . 
2ξ3
2ξ3 
 = 
6ξ3
4ξ9 
 = 
6ξ3
4 . 3 
 = 
ξ3
2 
 = 30º 
 
d) r1: 
𝒙−𝟒
𝟐
 = 
𝒚
−𝟏
 = 
𝒛+𝟏
−𝟐
 e r2: x = 1 ; = 
𝒚
𝟒
 = 
𝒛−𝟐
𝟑
 
�⃗�1 = (2, -1, -2) e �⃗�2 = (0,4, 3) 
Cos  = 
|𝑣ሬሬሬ⃗ 1 . 𝑣ሬ⃗ 2|
|𝑣ሬሬሬ⃗ 1| . |𝑣ሬ⃗ 2|
 = 
|(2,−1,−2) . (0,4,3)|
|(2,−1,−2)| .|(0,4,3)|
 = 
|0−4−6|
ඥ(22)+ (−1)2+(−2)2 .ඥ(02)+ 42+(3)2 
 
= 
−10
ξ9 .ξ25 
 = 
10
3 . 5 
 = 
10
15 
 = 
2
3 
 
22º) Determinar o valor de n para que seja 30º o ângulo entre as retas: 
a) r1 : 
𝒙−𝟐
𝟒
 = 
𝒚
𝟓
 = 
𝒛
𝟑
 e r2: y = nx + 5 / z = 2x – 2 
 
b) r1: y = nx – 1 / z = 2x e r2 = eixo Ou 
 
23º) Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determinar o valor de m para os casos: 
 
a) x = 2mt - 3 
r1: y = 1 + 3t e r2: x = 2y -1 
 z = -4t z = -y + 4 
�⃗�1 = (2m, 3, -4) e �⃗�2 = (2, 1, -1) 
�⃗�1 . �⃗�2 = 0 
(2m, 3, -4) . (2, 1, -1) = 0 
4m + 3 + 4 = 0 
4m = -7 
m = -7/4 
b) r2: y = mx + 3 e r2: reta por A (1, 0, m) e B (-2, 2m, 2m) 
 z = x – 1 
�⃗�1 = (1, m, 1) e �⃗�2 = 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = B – A = (-3, 2m, m) 
�⃗�1 . �⃗�2 = 0 
(1, m, 1) . (-3, 2m, m) = 0 
-3 + 2m2 + m = 0 
2m2 + m – 3 = 0 
 
 = 12 – 4 . 2 . (-3) → m = 
−1 
+
−
 5
4
 = m’ = 1 e m’’ = -3/2 
 = 1 + 24 = 25 
24º) Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às 
retas r1 e r2, nos casos: 
a) A (3, 2, -1) r1: x = 3 e r2: y = x - 3 
 y = -1 z = -2x + 3 
�⃗�1 = (0, 0, 1) e �⃗�2 = (1, 1, -2) 
�⃗�1 x �⃗�2 = 
𝑖 𝑗 𝑘ሬ⃗
0 0 1
1 1 −2
 = 
0 1
1 −2
 𝑖 - 
0 1
1 −2
 𝑗 + 
0 0
1 1
 𝑘ሬ⃗ = (0 – 1) 𝑖 – (0 – 1) 𝑗 + (0 – 0) 𝑘ሬ⃗ = (-
1, 1, 0) 
 x = 3 - t 
r: y = 2 – t 
 z = -1 
b) A (0, 0, 0) r1: 
𝒙
𝟐
 = 
𝒚
𝟏
 = 
𝒛−𝟑
𝟐
 e x = 3t 
 r2: y = -t – 1 
 z = z = 2 
�⃗�1 = (2, 1, 2) e �⃗�2 = (3, -1, 0) 
�⃗�1 x �⃗�2 = 
𝑖 𝑗 𝑘ሬ⃗
2 1 2
3 −1 0
 = 
1 2
−1 0
 𝑖 - 
2 2
3 0
 𝑗 + 
2 1
3 −1
 𝑘ሬ⃗ = (0 + 2) 𝑖 – (0 – 6) 𝑗 + (-2 – 3) 𝑘ሬ⃗ = 
(2, -6, 5). 
 x = 2t 
r: y = 6t 
 z = -5t 
c) A é a interseção de r1 e r2 
r1 = x – 2 = 
𝒚+𝟏
𝟐
 = 
𝒛
𝟑
 e r2: x = 1 – y 
 y = 2 + 2y 
 
�⃗�1 x �⃗�2 = 
𝑖 𝑗 𝑘ሬ⃗
1 2 3
−1 1 2
 = 
2 3
1 2
 𝑖 - 
1 3
−1 2
 𝑗 + 
1 2
−1 1
 𝑘ሬ⃗ = (4 - 3) 𝑖 – (2 + 3) 𝑗 + (1 + 2) 𝑘ሬ⃗ = 
(1, -5, 3) 
 x = 2 + t 
r: y = -1 – 5t 
 z = 3t 
25º) Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção: 
a) r1: y = 2x – 3 e r2: y = -3x + 7 
 z = -x + 5 z = x = 1 
2x – 3 = -3x + 7 → 2x + 3x = 7 + 3 → 5x = 10 → x = 2 
-x + 5 = x + 1 → -x – x = 1 – 5 → -2x = -4 → x = 2 
De r1: 
y = 2x – 3 → y = 2 . 2 – 3 → y = 4 – 3 → y = 1 
z = -x + 5 → z = -2 + 5 → z = 3 
De r2: 
y = -3x + 7 → y = (-3) . 2 + 7 → y = -6 + 7 → y = 1 
z = x + 1 → z = 2 + 1 → z = 3 
Sendo assim são concorrentes = (2, 1, 3) 
b) r1: 
𝒙−𝟑
𝟐
 = 
𝒚+𝟏
−𝟑
 = 
𝒛−𝟐
𝟒
 e x = -1 + t 
 r2: y = 4 – t 
 z = -8 + 3t 
 
 
 
(−1+𝑡)−3
2
 = 
(4+𝑡)+1
−3
 → 
𝑡−4
−2
 = 
𝑡−5
−3
 → -3t + 12 = -2t + 10 → t = 2 
 
(−1+𝑡)−3
2
 = 
(−8+3𝑡)−2
4
 → 
𝑡−4
2
 = 
3𝑡−10
4
 → 4t - 16 = 6t - 20 → -2t = -4→ t = 2 
De r2: x = -1 + t → x = -1 + 2 → x = 1 
 y = 4 – t → y = 4 – 2 → y = 2 
 z = -8 + 3t → z = -8 + 3 . 2 → z = -2 
Portanto são concorrentes: (1, 2, -2) 
c) r1: y = 2x – 3 e r2: x = 
𝒚−𝟒
𝟑
 = 
𝒛+𝟏
−𝟐
 
 z = -x – 10 
 
(2𝑥−3)−4
3
 = 
(−𝑥−10)+1
−2
 → 
2𝑥−7
3
 = 
−𝑥−9
−2
 → -4x + 14 = -3x - 27 → -x = -41 → x = 41 
De r1: 
y = 2x – 3 → y = 2 . 41 – 3 → y = 82 – 3 = 79 
z = -x – 10 → z = -41 – 10 → z = -51 
De r2: 
x = 
𝑦−4
3
 = 
79−4
3
 = 
75
3
 = 25 
x = 
𝑧+1
−2
 = 
−51+1
−2
 = 
−50
−2
 = 25 
Portanto são reversas! 
 
 
 
d) x = 2 – t x = -3 + 6h 
r1: y = 3 – 5t e r2: y = 1 + 7h 
 z = 6 – 6t z = -1 + 13h 
2 – t = -3 + 6h → -t – 6h = -5 → t = -6h + 5 
3 – 5t = 1 + 7h → -5t – 7h = -2 
6 – 6t = -1 + 13h → -6t – 13h = -7 
-5t – 7h = -2 
-5 . (-6h + 5) – 7h = -2 
30h – 25 – 7h = -2 
23h = 25 – 2 
23h = 23 
h = 1 
 
-6t – 13h = -7 
-6 . (-6h + 5) – 13h = -7 
36h – 30 – 13h = -7 
23h = 30 – 7 
23h = 23 
h = 1 
Para r2: 
 x = -3 + 6 . 1 → x = -3 + 6 = 3 
r2: y = 1 + 7 . 1 → y = 1 + 7 = 8 
 z = -1 + 13 . 1 → z = -1 + 13 = 12 
 
e) r1: (x, y, z) = (2, 4, 1) + t (1, -2, 3) e r2: (x, y, z) = (-1, 2, 5) + t (4, 3, -2) 
 x = 2 + t 
r1: y = 4 – 2t 
 z = 1 + 3t 
 x = -1 + 4t 
r2: y = 2 + 3t 
 z = 5 – 2t 
2 + t = 2 + 3t 
-2t – 3t = 2 – 4 
-5t = -2 
t = 2/5 
 
1 + 3t = 5 – 2t 
3t + 2t = 5 – 1 
5t = 4 
t = 4/5 Aqui temos retas reversas. 
 
 
f) x = 2 + t y = 6 - x 
 r1: y = 4 – t e r2: z = 2 - x 
 
 z = -t 
-t = 2 – x 
t = x – 2 
 
4 – t = 6 – x 
4 (-x + 2) = 6 – x 
-4x + 8 = 6 – x 
-4x + x = -2 
-3x = -2 
x = 2/3 
 
t = x – 2 
t = 2/3 – 2 = -4/3 
 
4 – t = 6 – x 
4 – t = 6 – 2/3 
4 – t = 16 
3 . (4 – t) = 16 
12 – 3t = 16 
-3t = 4 
t = -4/3 
Como os t são iguais, as retas são coincidentes. 
 
26º) Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas: 
a) r1: y = 2x – 5 e r2: x – 5 = 
𝒚
𝒎
 = z + 1 
 z = -x + 2 
Substitui os valores de y e z de r1 na r2, temos: 
x – 5 = -x + 2 + 1 
x – 5 = -x + 3 
x + x = 3 + 5 
2x + 8 
x = 4 
 
x – 5 = 
2𝑥−5
𝑚
 
4 – 5 = 
2 . 4 −5
𝑚
 
-m = 3 
m = -3 
 
b) x = m - t 
 r1: y = 1 + t e r2: 
𝒙−𝟏
𝟑
 = 
𝒚+𝟐
𝟏
 = 
𝒛
−𝟐
 
 z = 2t 
𝑦+2
1
 = 
𝑧
−2
 
1 + t + 2 = 
2𝑡
−2
 → t + 3 = 
2𝑡
−2
 → (-2) . (t + 3) = 2t → -2t – 6 = 2t → -4t = 6 → t = -3/2 
 
𝑥−1
3
 = 
𝑦+2
1
 → 
𝑚−𝑡−1
3
 = 1 + t + 2 → 
𝑚+ 
3
2
 −1
3
 = 
−3
2
 + 3 → 
 
2𝑚+1
2
+1
3
 = 
3
2
 → 
2𝑚+1
2
 . 
1
3
 
= 
3
2
 → 
2𝑚+1
6
 = 
3
2
 → 2 (2m + 1) = 18 → 4m + 2 = 18 → 4m = 16 → m = 16/4 → m = 4