Calculo I_Forum_Julio

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UFSJ - Matemática 
 
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Cálculo I 
Fórum – A invenção do Cálculo por Newton e 
Leibniz e sua evolução para o Cálculo 
Contemporâneo. 
Julio Cesar 
 
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Cálculo I 
 
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Sir Isaac Newton aplicou o cálculo às suas 
 leis do movimento e a outros conceitos 
 matemáticos-físicos. 
 
Gottfried Wilhelm Leibniz: o inventor do cálculo, 
juntamente com Newton. 
 
 
 
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I 
 
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 Introdução 
 A História do Cálculo remonta à antiguidade. Na Antiguidade, foram 
introduzidas algumas ideias do cálculo integral, embora não tenha havido um 
desenvolvimento dessas ideias de forma rigorosa e sistemática. A função 
básica do cálculo integral, calcular volumes e áreas, pode ser remontada 
ao Papiro Egípcio de Moscou (1850 A.C.), no qual um egípcio trabalhou o 
volume de um frustum piramidal. Eudoxo de Cnido, ou Eudoxus, (408-355 a.C.) 
usou o método da exaustão para calcular áreas e volumes. Arquimedes (287-
212 a.C.) levou essa ideia além, inventando a heurística, que se aproxima do 
cálculo integral. O método da exaustão foi redescoberto na China por Liu Hui 
no século III, que o usou para encontrar a área do círculo. O método também 
foi usado por Zu Chongzhi século V, para achar o volume de uma esfera. 
 Na Idade Média, o matemático indiano Aryabhata usou a noção 
infinitesimal em 499 d.C. expressando-a em um problema de astronomia na 
forma de uma equação diferencial básica. Essa equação levou Bhāskara 
II no século XII a desenvolver uma derivada prematura representando uma 
mudança infinitesimal, e ele desenvolveu também o que seria uma forma 
primitiva do "Teorema de Rolle". 
No século XII, o matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a 
derivada de polinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial. 
No século XIV, Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros 
matemáticos-astrônomos da Escola Kerala de Astronomia e Matemática, 
descreveu casos especiais da Série de Taylor, que no texto são tratadas como 
Yuktibhasa. 
De acordo com Gauss, Arquimedes, o maior 
matemático da antiguidade, já apresentava ideias relacionadas ao Cálculo dois séculos antes de Cristo. 
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Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo 
 Mas havia ainda dois problemas centrais que precisavam ser 
solucionados: 
 
 
 Foi somente no século XVII que tais problemas começaram a ser 
solucionados. 
 
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Descartes, René (1596--1650) 
 O francês Descartes recebeu uma excelente educação no campo das 
leis, da matemática, da física, da mecânica e da acústica - primeiro em uma 
escola jesuíta e depois na Universidade de Poitiers. Encontrou-se e 
desenvolveu uma relação duradoura com o matemático e comunicador popular 
Padre Mersenne. Em 1619, Descartes contou a seu amigo Beeckman sobre 
uma nova ciência que ele tinha desenvolvido, denominada "geometria 
analítica". Já adulto, serviu no exército de vários países. Mais tarde, viveu na 
Holanda, onde produziu a maior parte da sua obra matemática. 
 
 
Para Descartes a matemática era apenas parte de algo maior. Uma 
forma de adquirir conhecimento confiável através de métodos confiáveis para 
solução de problemas. Descartes não foi o inventor do Cálculo, mas contribuiu 
muito, uma vez que criou a Geometria Analítica. 
 
 
 
 
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Fermat, Pierre de (1601--1665) 
 Fermat nasceu no seio de uma próspera família francesa. Estudou os 
clássicos e aprendeu latim, grego, italiano e espanhol. Um dos maiores matemáticos 
do século dezessete, Fermat hesitou em publicar sua obra e raramente escreveu 
descrições completas até para uso próprio. A maior parte de sua obra foi registrada 
em correspondências trocadas com seus amigos matemáticos Gassendi, Huygens e 
Mersenne. Ele foi um dos co-fundadores, junto com Descartes, da geometria analítica. 
Beneficiou-se lendo as obras de Viète. O livro de Fermat Ad locos planos et solidos 
isagoge (Introduction to plane and solid loci) continha um sistema mais direto e claro 
do que o La géométrie, de Descartes. 
 
O advogado, Pierre de Fermat, de Toulouse (1601-1665) tinha paixão 
por matemática e contribuiu muito para ela. Em 1629, assim como Descartes, 
aplicou Geometria Analítica para encontrar pontos máximos e mínimos das 
curvas. 
 Assim, podemos ver os primeiros lampejos de uma conexão entre 
tangentes e quadraturas. Em seu estudo das "parábolas de ordem superior", y 
= kxn, onde k é constante e n = 2, 3, 4,…, Fermat desenvolveu a fórmula y/k 
para a subtangente em qualquer ponto sobre a curva. A partir daí, e do nosso 
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ponto de vista hoje, teria sido fácil encontrar a fórmula para a derivada; mas 
para Fermat, nxn-1 não era o objetivo. Em alguma época na década de 1640, 
Fermat mostrou que a área entre qualquer uma das parábolas de ordem 
superior e o eixo horizontal, para 0 £ x £ a, era igual à área do retângulo de 
largura a e altura an/(k+ 1). 
 Fermat enviou os resultados de suas descobertas para Mersenne, um 
Frei de Paris (1588-1648) que divulgou os resultados entre a comunidade 
matemática. 
 Em particular, Mersenne contou a Descartes os métodos de Fermat. 
Descartes criticou muito, mas aceitou os métodos de Fermat. 
 Fermat também escreveu para Wallis. (John Wallis – 1616-1703) na 
Inglaterra, fazendo perguntas complexas sobre a teoria dos números, para 
testar seus conhecimentos matemáticos. 
 Wallis era um matemático muito completo e especialista em muitos 
assuntos como códigos e decifragem. Era professor de matemática em Oxford. 
Escreveu um livro sobre cônicas em 1665 escreveu Arithmetica Infinitown (a 
Aritmética do Infinito). Nesse livro, mostrava coisas muito importantes. Havia a 
fórmula para a área onde y=xm para sucessivos valores de m. O resultado é -1. 
Introduziu o símbolo Lemniscata para infinito. Inventou e fez uso sistemático de 
variações de frações de potências de x. 
 O livro de Wallis influenciou um dos criadores do Cálculo: Isaac Newton. 
Isaac Newton 
 
 
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Nacionalidade Inglês 
 Nascimento 4 de janeiro de 1643 
Local Woolsthorpe-by-
Colsterworth,Inglaterra 
 Morte 31 de 
março de 1727 (84 anos) 
Local Londres 
Newton, Isaac (1642--1727) 
 Em sua juventude na Inglaterra, Newton interessou-se pelos 
dispositivos mecânicos e suas teorias subjacentes. Na realidade ele 
construiu lanternas e moinhos-de-vento projetados por ele. Entre os livros 
que Newton estudou estavam Optics, de Kepler, The elements, de Euclides, 
e La géométrie, de Descartes. Ele também estudou as obras de Glanvillee, 
Boyle e a astronomia copérnica de Gassendi, que foram então publicadas 
com Sidereus nuncius de Galileu e Dioptrice de Kepler. Newton ingressou 
no Trinity College, em Cambridge, graduando-se em 1665. 
Newton resumiu quase todos os trabalhos anteriores sobre cálculo. 
Juntamente com Barrow, foi especialmente influenciado por Lagéométrie de René Descartes (1596--1650) numa tradução em Latim e com 
comentários por Frans van Schooten (1615-1660) e por John Wallis (1616--
1703) em seu The Arithmetic of Infinites. Ele coroou seus estudos com sua 
própria genialidade, escrevendo três manuscritos sobre cálculo: o primeiro foi 
escrito em outubro de 1666; o segundo em 1669; e o terceiro, atualizando seus 
dois trabalhos anteriores, em 1671. Em seu trabalho mais famoso, o Principia 
Mathematica (1687), Newton usou as idéias e algumas das técnicas de cálculo, 
mas como o Principia foi escrito em sua maior parte na forma geométrica, as 
fórmulas e partes algébricas do cálculo estavam ausentes. As três monografias 
de cálculo de Newton, contudo, foram amplamente conhecidas através de 
cópias feitas para seus colegas da Sociedade Real. Mas elas não foram 
publicadas até muito depois de sua morte. 
 
 Newton estudou as obras de matemáticos de renome incluindo 
Descartes e o holandês Christiaan Huygens. As aulas de Isaac Barrow, 
professor de matemática da época, ensinaram Newton sobre óptica e os 
métodos de Fermat com gradientes. Também foi influenciado pelo livro do 
professor Wallis, de Oxford. Tal obra mostrava coisas importantes: havia a 
fórmula para a área onde y para sucessivos valores de m. 
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 Newton leu o livro de Wallis sobre matemática dos infinitos e teve uma 
ideia. Expressar respostas com séries infinitas de potências de x. 
 Wallis quis encontrar a área sob a curva da equação y=(1-x^2)^1/2, no 
intervalo de x=0 até x=1. 
 Newton fez muito melhor. Conseguiu encontrar a área de x=0 para 
qualquer intervalo. 
 Expressou a resposta com uma série infinita de potências de x, o que é 
incrível. 
 No início, seus métodos pareciam com os de Wallis, um trabalho de 
dedução. Mas logo descobriu que poderia fazer uso sistemático da serie infinita 
e assim descobriu o teorema geral do binômio. O binômio para valores inteiros 
de n já era conhecido. Era uma expressão com um número inteiros de termos: 
 (1+x) ᵑ = 1+ nx + n(n-1) x² + ...+ xⁿ 
 _______ 
 1 x 2 
 
 (1+x)½ = 1+ ½x +( ½ ) (-½) x² + ... 
 ______ 
 1 x 2 
 Enquanto n diminui, o numero de termos e o denominador aumenta 
 Newton descobriu a expressão para valores arbitrários do expoente. 
No exemplo ½, o expoente diminui enquanto o denominador aumenta, 
mas agora a expressão é infinita. 
 Por que as potências fracionárias são tão importantes? Newton usou seu 
método de áreas simples para resolver problemas de área e gradiente, de 
todos os tipos de curvas, incluindo expoente fracionários. De todos os tipos de 
curvas, incluindo expoentes fracionários. No decorrer do processo descobriu 
algo muito importante. 
 Em uma curva com expoente fracionário y=x^½, Newton investigou a 
área sob a curva de 0 para qualquer valor de x que neste caso era 2/3x^3/2. 
 Estando feliz com expoentes fracionários descobriu como encontrar a 
taxa de mudança da área curva. Descobriu que a taxa de mudança da área 
curva em x, era igual à altura da curva original, y=x^½. 
 Então descobriu como ir do problema de área para gradiente (derivada) 
e vice versa. 
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 Isso é o que chamamos de teorema fundamental do cálculo. 
 Com tal descoberta, Newton poderia resolver problemas difíceis como as 
de área através de soluções para problemas fáceis de gradiente (derivadas). 
 
 Em 1687 Newton publica suas descobertas em seu grande livro Principia 
Mathematica que aplica geometria ao estudo do sistema solar e muitos outros 
temas da matemática aplicada. Nesta obra, Newton falava de fluxões e fluentes 
para cálculo e a razão entre os movimentos de fluxões e fluentes. 
 Ele coroou seus estudos com sua própria genialidade, escrevendo 
três manuscritos sobre cálculo: o primeiro foi escrito em outubro de 1666; o 
segundo em 1669; e o terceiro, atualizando seus dois trabalhos anteriores, em 
1671. Em seu trabalho mais famoso, o Principia Mathematica (1687), Newton 
usou as idéias e algumas das técnicas de cálculo, mas como o Principia foi 
escrito em sua maior parte na forma geométrica, as fórmulas e partes 
algébricas do cálculo estavam ausentes. As três monografias de cálculo de 
Newton, contudo, foram amplamente conhecidas através de cópias feitas para 
seus colegas da Sociedade Real. Mas elas não foram publicadas até muito 
depois de sua morte. 
 
Gottfried WilheIm von Leibniz 
 
 
 
 
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Nacionalidade Alemão 
 Nascimento 1 de julho de 1646 
Local Leipzig 
 Morte 14 de novembro de 1716 (70 anos) 
Local Hanôver 
 Pai Friedrich Leibniz 
Atividade 
Campo(s) Matemática, filosofia 
Alma mater Universidade de Altdorf 
 Tese 1666: Disputatio Inauguralis De Casibus 
Perplexis In Jure 
Orientador(es) Erhard Weigel eChristiaan Huygens 
Orientado(s) Jacob Bernoulli,Christian von Wolff 
Conhecido(a) 
por 
Mônada, harmonia 
preestabelecida, sistema binário, 
característica, teodiceia 
Influência(s) Platão, Aristóteles, Tomas de 
Aquino, Duns 
Scot, Gassendi,Descartes, Locke, Bayle 
Assinatura 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz 
 Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646--1716) 
 Leibniz nasceu em Leipzig, Alemanha. Ainda bem jovem, pôde dispor da 
biblioteca montada pelo pai. Em contato com uma ampla gama de autores 
clássicos, tornou-se um leitor voraz para o resto da vida. Aos 15 anos, ingressou 
na Universidade de Leipzig, onde recebeu a maior parte de sua educação formal. 
Seu interesse pela matemática surgiu pelas inúmeras citações sobre a 
importância dessa matéria nos trabalhos filosóficos. Depois, freqüentou a 
Universidade de Altdorf, próxima a Nuremberg, onde se formou doutor em Direito. 
Em Paris, trabalhou nessa área para financiar seus estudos matemáticos. 
 
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 Era talentoso em muitas áreas, como filosofia, teologia, línguas, direito e 
matemática. 
 Aos 20 anos foi convidado para ser professor na Universidade de Aldorf, 
mas recusou, preferindo se tornar um diplomata. 
 Em Paris, em 1672, numa missão diplomática, conheceu Christiaan 
Huygens (1629-1695) que era um físico famoso da época e também um 
matemático muito bom. 
 Leibniz estava ansioso para aprender matemática com ele. Huygens 
recomendou estudar as obras de outros matemáticos, principalmente Pascal. 
 Depois de trabalhar muito, em 1675, criou seu próprio algoritmo para 
determinar tangentes às curvas e percebeu a natureza inversa do problema de 
determinar tangentes e a área sob a curva. 
 Ele criou um modelo retilíneo para analisar linhas curvas. Considerou 
toda linha curva como polígono com infinitos lados infinitamente pequeno. 
 Para Leibniz, a ideia central do cálculo era a diferencial, ou seja, era 
uma diferença entre dois valores infinitamente próximos de uma variável. 
 Muito preocupado com os símbolos, fórmulas e regras ele criou as 
notações: dx, dy... para as diferenciais de x,y...respectivamente. 
 Num artigo de 1682 estabeleceu regras como: 
 - da=0, diferencial de uma constante é zero; 
 - d(u+v)=du + dv, diferencial da soma; 
 - d(u . v)=u.dv + v.du, diferencial da soma. 
 Criou também o símbolo ʃ , um S alongado, para indicar a soma de 
todas as áreas infinitesimais. Mostrou que ʃy dx corresponde a uma área e 
que d ʃ y dx = y dx, apresentando d como inverso de ʃ . 
 Comparações do Cálculo de Newton e Leibniz 
 Newton e Leibniz, merecem um destaque especial na história do 
Cálculo, pois foram os pioneiros em estabelecer a estreita ligação entre esses 
dois problemas (o problema da tangente e o problema da quadratura). 
 Pelas suas leituras e estudos, deduzimos que muito ele aproveitou de 
seus antecessores. Na Inglaterra, ele contou com as influências de John Wallis 
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(1616-1703) e Isaac Barrow (1630-1677). Durante os anos de 1665 e 1666, 
devido a peste, Newton voltou para casa. 
 Neste período ele fez várias descobertas: 
 - teorema binomial; 
 - o cálculo; 
 - a lei da gravidade; 
 - a natureza das cores. 
 A grande contribuição de Newton para a matemática foi o método dos 
fluxos, o seu trabalho de Cálculo usando métodos infinitesimais. Segundo 
Newton, a taxa de variação de um fluente x é o fluxo de x , e indicou por ‘x. 
Nesta idéia de taxa de variação, estava a essência da fundamentação do 
Cálculo, a teoria dos limites, que seria desenvolvida dois séculos mais tarde. 
 Graças aos fundamentos providos por Barrow, 
Isaac Newton (1642--1727), se aperfeiçoou nos resultados da tangente e 
quadratura dos primeiros dois terços do século 17. Em uma carta a Gottfried 
Wilhelm Leibniz (1646--1716), Newton afirmou claramente, em termos físicos, o 
que os dois problemas mais básicos de cálculo eram (e ainda são): "1. Dado o 
comprimento do espaço continuamente [isto é, em todo instante de tempo], 
encontrar a velocidade do movimento [isto é, a derivada] em qualquer tempo 
dado. 2. Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o 
comprimento do espaço [isto é, a integral ou a antiderivada] descrito em 
qualquer tempo proposto”. Mas no lugar de derivadas, Newton empregou 
flúxions de variáveis, denotados, por exemplo, por x, e em vez de 
antiderivadas, ele usou o que ele chamou de fluentes. 
A partir de Gregory, Newton adotou a idéia que a área entre uma 
curva, y, e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, 
Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta 
vertical t = x. Assim o flúxion da área era simplesmente yx. Então, a técnica de 
Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, 
equivalente a encontrar nossas antiderivadas; este é o cerne da Parte 2 do 
Teorema Fundamental do Cálculo como encontrado no livro Cálculo de 
Thomas. Newton usou o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar os 
valores exatos para várias áreas, da mesma maneira que fazemos hoje. Em 
geral, Newton começou a pensar nos problemas geométricos de cálculo em 
termos algébricos. 
Newton resumiu quase todos os trabalhos anteriores sobre cálculo. 
Juntamente com Barrow, foi especialmente influenciado por La 
géométrie de René Descartes (1596--1650) numa tradução em Latim e com 
comentários por Frans van Schooten (1615-1660) e por John Wallis (1616--
1703) em seu The Arithmetic of Infinites. Ele coroou seus estudos com sua 
própria genialidade, escrevendo três manuscritos sobre cálculo: o primeiro foi 
Cálculo I 
 
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escrito em outubro de 1666; o segundo em 1669; e o terceiro, atualizando seus 
dois trabalhos anteriores, em 1671. Em seu trabalho mais famoso, o Principia 
Mathematica (1687), Newton usou as idéias e algumas das técnicas de cálculo, 
mas como o Principia foi escrito em sua maior parte na forma geométrica, as 
fórmulas e partes algébricas do cálculo estavam ausentes. As três monografias 
de cálculo de Newton, contudo, foram amplamente conhecidas através de 
cópias feitas para seus colegas da Sociedade Real. Mas elas não foram 
publicadas até muito depois de sua morte. 
 
Quando Leibniz foi a Paris em 1672 em missão diplomática, foi 
introduzido a idéias emergentes de cálculo por Christiaan Huygens (1629--
1695), um membro da nova Academia Francesa. Leibniz estudou muito dos 
trabalhos de autores de matemática avançada, e relatou que aqueles de 
Blaise Pascal (1623--1662) eram especialmente úteis. A maior parte dos 
escritos de Leibniz sobre cálculo recaiu em três grupos: seus manuscritos - 
quase todos diários - começaram enquanto ele estava em Paris (1672--1676); 
os artigos que publicou no Acta Eruditorum nas décadas de 1680 e 1690; e um 
manuscrito, History and Origin of the Differential Calculus (História e Origem do 
Cálculo Diferencial, 1714), sobre o qual falaremos a seguir. 
As idéias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram 
desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, 
para o Teorema Fundamental do Cálculo, se fosse dada uma seqüência finita 
de números tais como, Y: 0, 1, 8, 27, 64, 125, e 216, com diferenças y: 1, 7, 19, 
37, 61, e 89, ele notou que a soma das diferenças, ᵑy = (1 - 0) + (8 - 1) + (27 - 
8) + … + (216 - 125) se alternavam em torno da diferença entre o primeiro e o 
último valor de Y, 216 - 0. Agora, para Leibniz, uma curva era um polígono feito 
de um número infinito de lados, cada um com comprimento "infinitesimal". 
Então, escreveu em 1680, "Eu represento a área de uma figura 
pela soma [infinita] de todos os retângulos limitados pelas ordenadas e 
diferenças das abscissas", isto é, como ᵑydx. Então, "elevando a alturas 
maiores" se baseando na analogia com somas finitas e diferenças, Leibniz 
afirmou que ao encontrar a área representada por ᵑydx, deve-se encontrar 
uma curva Y tal que as ordenadas y são diferenças de Y, ou y = dY. Em termos 
modernos, Y é nossa antiderivada, e assim, Leibniz formulou uma afirmação 
inicial da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo como encontrado no 
livro Cálculo de Thomas. Posteriormente, em um artigo de 1693 no Acta 
Eruditorum, Leibniz escreveu, "o problema geral de quadraturas pode ser 
reduzido a encontrar uma curva que tenha uma dada lei de tangência", e 
continuou a especificar esta lei na forma da Parte 2 do Teorema Fundamental 
do Cálculo. 
Para apreciar completamente as contribuições de Leibniz ao cálculo, 
devemos considerar seu contexto dentro do seu significativo trabalho em 
lógica, metafísica e filosofia porque pensava em todas estas atividades como 
inter-relacionadas. Para Leibniz, a existência de infinitésimos poderia ter sido 
um problema filosófico interessante, mas não observou o ponto em seu cálculo. 
Cálculo, especialmente o teorema Fundamental, "continha uma maneira prática 
Cálculo I 
 
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de computar" e era uma abreviação dos métodos rigorosos das tangentes e 
quadraturas de Arquimedes (287--212 a.C.) e outros geômetras gregos 
clássicos. Por outro lado, Jakob (1654--1705) e Johann Bernoulli (1667--1748) 
e outros matemáticos e cientistas do século 18 que se aproveitaram do cálculo 
de Leibniz, especialmente de sua notação fértil, usaram livremente, expandiram 
e aplicaram o cálculo, freqüentemente com resultados espetaculares. 
Infelizmente, em torno da virada do século 18, alguns poucos seguidores 
de Newton atacaram Leibniz acusando-o de plágio do cálculo de Newton 
durante suas visitas a Londres em 1673 e 1676. Newton e Leibniz nunca se 
encontraram frente a frente, mas durante as primeiras décadas do século 18, 
Newton era presidente da Sociedade Real e Leibniz ainda era um membro. 
Leibniz escreveu seu History and Origin of the Differential Calculus (1714) para 
sua defesa, mas sem sucesso. A matéria se tornou uma disputa prioritária de 
escala monumental e se tornou um descrédito para todos os participantes à 
medida que o século 18 avançou; por exemplo, numa lealdade mal 
direcionada, a maior parte dos matemáticos ingleses se limitou aos flúxionse 
fluentes de Newton e evitaram as notações superiores de Leibniz até o início 
do século 19. O consenso hoje, depois de muito estudo meticuloso e imparcial, 
feito por vários estudiosos, é que Newton e Leibniz desenvolveram o Teorema 
Fundamental do Cálculo independentemente e que, portanto, deveriam dividir 
igualmente a glória da criação do cálculo. 
Leibniz argumentou sobre o Teorema Fundamental do Cálculo por 
analogia e Newton baseou sua justificativa em flúxions e fluentes, que por sua 
vez dependiam da intuição de pontos se movendo ao longo de uma curva. 
Colin Maclaurin (1698--1746) provou a Parte 1 do Teorema Fundamental do 
Cálculo para funções de potência simples, y = xn, onde n = 1, 2, 3, …, e Joseph 
Louis Lagrange (1736--1813) estendeu a idéia básica de Maclaurin a funções 
crescentes representadas por uma série de potências. A prova moderna do 
Teorema Fundamental do Cálculo foi formulada para funções contínuas 
em a  x b por Augustin Louis Cauchy (1789--1857) em seu Lessons Given 
at the École Royale Polytechnique on the Infinitesimal Calculus (1823). Os 
argumentos que Cauchy deu são os mesmos daqueles encontrados no livro 
de Cálculo de Thomas. Com seu Teorema Fundamental do Cálculo, Cauchy 
proveu a chave, para todas as funções contínuas, que finalmente uniu 
rigorosamente os dois ramos principais do cálculo em uma estrutura, ambos 
elegantes e úteis. 
 
Referências: 
A História do Cálculo – Universidade Candido Mendes 
http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_Romeu.pdf 
O Teorema Fundamental do Cálculo 
 
Cálculo I 
 
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Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo 
Guia para a História do Cálculo 
http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/