3 Lei de Gauss

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3. Lei de Gauss
3.1. Fluxo Elétrico
≡in̂
in̂
iE
r
≡iE
r
vetor normal a superfície no ponto P
linha de campo atravessando a superfície ∆Ai
Definindo um elemento de superfície orientado
ii AnA ∆≡∆ ˆ
rP
iA
r
∆
tem orientação normal a 
superfície no ponto P
Fluxo de através de um elemento de 
superfície 
iE
r
iA
r
∆
iii
iii
AnE
AE
∆⋅=
∆⋅=
ˆ
r
rr
φ
|| iE
r
mede a densidade de 
linhas de força 
O produto escalar resulta 
no número total de linhas de força 
que atravessam a superfície .
ii AE
rr
∆⋅
iA
r
∆
[ Nm2/C ]
01
E
r
Para calcular o fluxo elétrico total através da superfície área A: 
AdE
A
E
rr
⋅=Φ ∫
dAnE
A
E
)r
⋅=Φ ∫
);cos( nEdAE
A
E
)r
∫=Φ
Se a superfície de área A é fechada:
EΦ
∑∑ ∆⋅==Φ
→∆
ii
i
A
iE AE
i
rr
0
limφ
O fluxo total fornece a medida do números que 
atravessam a superfície.
No SI tem unidade igual a Nm2/C.
Se a superfície de área A é fechada:
∫ ⋅=Φ AE AdE
rr
∫ ⋅=Φ AE dAnE
)r
E
r
θ
n
)
∫=Φ AE nEdAE )ˆ;cos(
r
EΦ
EΦ 02
E
r
n̂
Em particular, se é constante sobre a superfície :|| E
r
∫ ⋅=Φ AE AdE
rr
43421
r
1=
)ˆ;cos( nEdAE∫=Φ AE
Se as linhas do campo sai da superfície A , , então: E
r
0);cos( >nE
)r
Se as linhas do campo entra na superfície A, , então:E
r
0);cos( <nE
)r
0>ΦE
0<ΦE
1=
∫=Φ AE dAE
Se a carga total Q estiver fora da superfície A :
Q
A 0=ΦE
O número de linha que entram na superfície A é o 
mesmo número de linhas de campo que saem. 
03
Exercício 1:
Calcular o fluxo elétrico através de uma esfera de raio igual a 1m contendo
uma carga igual a 1 µC no seu centro.
Resolução: De acordo com a figura, e são paralelos. O fluxo elétrico através
da superfície esférica é dado por:
E
r
n̂
∫ ⋅=Φ AE AdE
rr
∫ ⋅=Φ AE dAnE ˆ
r
∫=Φ AE nEdAE 43421
rr
)ˆ;cos(||||
Substituindo (2) em (1)
)4(
4
2
2
0
r
r
q
E π
πε
=Φ
q
=Φ Lei de 
+
n̂
E
r
dA
q
∫
=
=Φ
A
E nEdAE 43421
1
)ˆ;cos(||||
mas, é constante sobre 
a superfície da esfera;
|| E
r
∫=Φ AE dAE
)4( 2rEE π=Φ
O módulo do campo sobre a 
superfície da esfera é: 
2
04 r
q
E
πε
=
(1)
(2)
0ε
q
E =Φ
Lei de 
Gauss
Substituindo q = 1 µC
12
6
1085,8
10
−
−
×
=E
CNmE /1013,1 25×=
Se a carga q está no interior de 
uma superfície fechada, então o 
fluxo elétrico não depende da 
forma da superfície fechada. 
Depende somente do valor da 
carga no interior da superfície.
Logo, o fluxo elétrico sobre 
qualquer superfície fechada 
envolvendo q sempre será
0/ εqE =Φ 04
3.2. Lei de Gauss
A expressão matemática da lei de Gauss é :
∑∫ =⋅
n
i
i
A
q
AdE
0ε
rr
válida para um conjunto discreto de cargas no vácuo.
Se a distribuição for contínua: 
0
int
ε
Q
AdE
A
=⋅∫
rr







∫
∫
∫
l
A
V
dl
dA
dV
λ
σ
ρ
onde 
(Volumétrica)
=intQ
(superficial)
(linear)0ε ∫l dlλ
A demonstração da lei de Gauss diz que o número total de linhas de força
que atravessam uma superfície fechada é:
0ε
Int
E
Q
=Φ
0ε
Int
A
E
Q
AdE =⋅=Φ ∫
rr
0ε
Int
A
Q
AdE =⋅∫
rr
Este resultado constitui uma importante
simplificação no cálculo de campo
elétrico para algumas distribuições de
carga que apresentam uma geometria
esférica, cilíndrica ou plana.
onde QInt é a carga total no interior da superfície.
05
(linear)
Sejam S1, S2 e S3 superfícies fechadas que envolvem uma carga q. O fluxo 
total é expresso por um número igual de linhas de força saindo das superfícies 
S1, S2 e S3 logo, o fluxo elétrico através de S1, S2 e S3 são iguais.
O resultado da lei de Gauss mostra que fluxo
elétrico o fluxo elétrico através de uma
superfície fechada é
,int
ε
Q
onde Qint é a carga total envolvida pela
superfície fechada.
0ε
Situações que tornam conveniente o uso da lei de Gauss:
Para calcular o campo elétrico devido algumas distribuição de carga,
escolhemos uma superfície gaussiana de modo que:
1 – as linhas de campo elétrico sejam perpendiculares a superfície;
2 – as intensidades de campo elétrico sejam constante sobre esta 
superfície; 06
3.3. Aplicações da Lei de Gauss
Exercício 2:
Calcular o campo elétrico em um ponto P devido uma carga q puntiforme.
Resolução: Devemos escolher uma superfície gaussiana que passe no ponto P e que 
o módulo do campo elétrico seja constante sobre esta superfície. Então, a superfície 
gaussiana escolhida é uma esfera com centro na carga elétrica q (Figura abaixo).
Pela lei de Gauss :
0ε
Int
A
Q
AdE =⋅∫
rr 0
2 )4(
ε
π
q
rE =
Logo, o módulo do campo 
n̂
E
r
dA
r̂
r
P0
ε
01
)ˆ;cos(||||
ε
q
nEdAE
A
=∫
=
43421
rr
0ε
q
dAE
A
=∫
mas QInt = q
0
ˆ
ε
q
dAnE
A
=⋅∫
r
mas, é constante sobre 
a superfície gaussiana;
|| E
r
Logo, o módulo do campo 
elétrico vale:
2
04 r
q
E
επ
=
r
r
q
E ˆ
4 20επ
=
r
+ q
r̂ P
E
r
n̂ r̂
Observe que tem mesmo 
sentindo de e o mesmo sentido de . Logo, o vetor 
campo elétrico é:
07
Exercício 3:
Uma esfera isolante tem raio a, uma densidade uniforme ρ e uma carga total positiva
Q. (a) Calcular o campo elétrico em um ponto P exterior a esfera (r > a); (b)
Calcular o campo elétrico em um ponto no S interior da esfera (r < a).
E
r
dA
n̂r
P
Resolução: (a) A superfície gaussiana escolhida é uma esfera de raio r>a,
concêntrica com a esfera carregada de carga Q.
a
E
r
é constante sobre a gaussiana.
0ε
Q
dAE
A
=∫
+ Q
a
- Pela lei de Gauss:
0ε
Int
A
Q
AdE =⋅∫
rr
QQ =int
01
)ˆ;cos(
ε
Q
nEEdA
A
=∫
=
43421
r
mas,
0
2 )4(
ε
π
Q
rE =
2
04 r
Q
E
πε
=
r
r
Q
E ˆ
4 20πε
=
Como tem sempre a mesma orientação de
que é paralelo a , então o vetor campo
elétrico devido esta distribuição de carga é
E
r
n̂ r̂
Esfera carregada
Gaussiana
08
E
r
dA
Qint
n̂
r
S
a
Esfera carregada
Gaussiana
(b) Neste caso, a superfície gaussiana escolhida é uma esfera de r < a, concêntrica com
a esfera carregada (figura abaixo).
Aplicando a lei de Gauss
0ε
Int
A
Q
AdE =⋅∫
rr
r
r
Q
E ˆ
4 20
int
πε
=
r
r
r
a
r
Q
E ˆ
4 2
3
3
πε
=
r
A carga total no interior da gaussiana é
uma fração da carga total, e é dada por
GVQ ρ=int
3
3
4
rπρ=
Como a distribuição de carga é uniforme,
então ρ é constante, de modo que
34
3
a
Q
π
ρ = ⇒
3
3
int
a
r
QQ =
r
r
E ˆ
4 20πε
=
r
a
rQ
E ˆ
4 30πε
=
r
p/ (r < a)
Gráfico do módulo do
campo elétrico E em
função da distância r ao
centro da esfera, onde
04
1
πε
=ek
09
Exercício 4:
Achar o campo elétrico à distância r de uma reta infinita uniformemente
carregada com carga positiva Q.
Resolução: Este problema tem simetria cilíndrica. Assim, escolhendo como superfície
gaussiana um cilindro. Observe que há fluxo sobre a base, pois e , e
portanto, . Resta agora calcular o fluxo através da su-
perfície lateral.
2n̂E ⊥
r
3n̂E ⊥
r
0)ˆ;cos()ˆ;cos( 32 == nEnE
rr
Pela lei de Gauss :
0
1
ˆ
ε
Int
A
Q
dAnE =⋅∫
r
mas, 1ˆ// nE
r
2n̂Superfície 
gaussiana
10
0εA
∫
0ε
Int
A
Q
EdA =∫ . Como é constante, então E
r
0ε
Int
A
Q
dAE =∫ ⇒
0
int)2(
ε
π
Q
rLE =
1n̂
E
r
3n̂
gaussiana
L
02 επ
λ
rL
L
E =
Escrevendo carga Qint em termos da densidade linear, 
ou seja, (Qint = λL) 
⇒ ρ
πε
λ
ˆ
2 0r
E =
r
n̂ n̂
Exercício 5:
Achar o campo elétrico de uma folha plana condutora com uma densidade de
carga σ.
Resolução: Em um condutor plano, todo excesso de carga se distribui uniformemente
pela sua superfície. Considerando que o plano está positivamente carregado, as linhas
de campo são perpendiculares ao plano e dirigido para fora. Neste caso devemos
escolher como superfície gaussiana que tem a mesma simetria do problema, uma
cilindro, cuja a área das bases sejam equidistante do plano.
ˆ
ε
Int
A
Q
dAnE =⋅∫
r
E
r
E
r
A
Superfície 
gaussiana
1n̂
2n̂ 3
n̂
11
0εA
∫
0
332211
321
ˆˆˆ
ε
Int
AAA
Q
dAnEdAnEdAnE =⋅+⋅+⋅ ∫∫∫
rrr
Observe que não há fluxo através da superfície lateral 
do cilindro, pois . 0)ˆ;cos( 3 =nE
r
0=0
2
22 )()()(
ε
πσ
ππ
r
rErE =+
Escrevendo a carga 
interior à gausssiana em termos da sua densidade 
superficial, 
nE ˆ
2 0ε
σ
=
r
3.4. Condutores em Equilíbrio Eletrostático
- Os condutores contém elétrons (cargas) que não estão ligados a 
nenhum átomo. 
- Esses elétrons são denominados “elétrons livres” .
- O condutor está em equilíbrio eletrostático quando não há movimento 
líquida de cargas no interior do condutor.
- As características dos condutores em equilíbrio eletrostático são:
1. O campo elétrico é nulo em qualquer ponto no interior do condutor
2. Qualquer excesso de carga , num condutor isolado, deve estar 2. Qualquer excesso de carga , num condutor isolado, deve estar 
inteiramente na superfície do condutor.
3. O campo elétrico na face externa é perpendicular à superfície do 
condutor e tem módulo igual a σ/ε0, onde σ é a carga por unidade 
de área no ponto da superfície.
4. Num condutor com forma irregular, as cargas tendem a acumular 
nos locais onde o raio de curvatura é pequeno, isto é, onde a 
superfície é pontuda.
12
Exercício 2.2: Condutor em equilíbrio eletrostático
Um condutor isolado de forma arbitrária possui uma carga resultante de +10 x 10–6C.
No interior do condutor existe uma cavidade dentro da qual está uma carga pontual
q = +3,0 x 10–6 C. Qual a carga (a) sobre a parede da cavidade e (b) sobre a superfície
externa do condutor? [Resp: (a) -3,0 x 10-6C ; (b) +1,3 x 10-5C]
Resolução:
(a) Em um condutor carregado, todo excesso de carga fica inteiramente na superfície, de 
modo que, o campo elétrico no interior seja nulo ( E = 0 no interior)
A carga q = +3,0 x 10–6 C no interior da cavidade, induzirá na parede da cavidade uma de 
sinal oposto q = –3,0 x 10–6 C .
(b) O excesso total sobre a superfície externa do condutor será a soma:
13
q = –3,0 x 10–6 C 
(b) O excesso total sobre a superfície externa do condutor será a soma:
excesso de carga do condutor + 
carga de sinal opostos que deslocou para a parede da cavidade
q T = +10,0 x 10
–6 C + 3,0 x 10–6 C 
q T = +13,0 x 10
–6 C
q T = +1,3 x 10
–5 Cq T = +1,3 x 10
–5 C
1. Quatro superfícies fechadas S1, S2, S3 e S4, indicadas na figura abaixo, com cargas -2Q, +Q e -
Q. Encontre o fluxo elétrico em cada superfície.
Exercícios Propostos 
2. Uma casca cilíndrica de raio igual a 7 cm e comprimento
240 cm tem uma carga uniformemente distribuída sobre sua
superfície lateral. A magnitude do campo elétrico em um
ponto a 19 cm do seu eixo radialmente para fora é de 36
kN/C. Encontre (a) a carga sobre a casca (b) o campo a 4 cm
do eixo.
3. Considere uma distribuição de cargas com simetria cilíndrica de raio R , muito longa e com
densidade uniforme r. Encontre o campo elétrico para uma distância r do seu eixo, onde r < R.
4. Considere uma distribuição de cargas com simetria cilíndrica de raio R , muito longa e com
densidade volumétrica ρ = kr [C/m3]. Encontre (a) a carga total desta distribuição; e o campo
elétrico para distâncias r do seu eixo, onde (b) r > R; e (c) r < R.
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