4 Potencial Eletrico

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4. Potencial Elétrico
Trabalho de uma Força Conservativa
O trabalho realizado pela força que atua
na partícula carregada q0 ao longo de um
caminho C de um ponto A até um ponto B é
dado pela integral de linha
F
r
∫ ⋅=
b
ba rdFW
rr
∫=
b
rdFdlF );(cos
rr
rd
r
F
r
∫ ⋅=
a
ba rdFW ∫=
a
rdFdlF );(cos
Se é conservativo, então pode ser
escrito como variação da energia potencial
elétrica U.
F
r
baW
)( ABba UUW −−=
U∆−=
Igual ao oposto da variação da energia potencial elétrica U.
baW
01
Exemplo: Comparação com a força gravitacional
Abandonando um corpo de massa m
num campo gravitacional e uma
carga positiva +q num campo elétrico
, o trabalho em ambos os casos é
igual ao oposto da variação da energia
potencial (ou decréscimo).
g
r
E
r
- Conseqüência :
F
r
é conservativo, então é inde-
pendente do caminho de
baW
02
pendente do caminho de
integração
∫∫ ⋅=⋅=
)()( iiCiC
ba rdFrdFW
rrrr
∫∫
−
⋅−=⋅
)()( iiCiC
rdFrdF
rrrr
0=⋅∫
C
rdF
rr
4.1 Diferença de Potencial
É a capacidade que um corpo eletrizado tem para realizar trabalho.
Para medir essa capacidade, utiliza-se essa grandeza, o potencial elétrico,
colocando-se uma carga de prova q0 em uma região que atua um campo elétrico.
A variação do potencial ∆V é expresso pela variação da energia potencial elétrica
por unidade de carga, ou seja,
0q
UU
VV ABAB
−
=−
0q
WAB−=
No SI o potencial é medido em volts (1V = 1J / 1C).
Mas, ∫ ⋅=
B
A
AB rdFW
rr
∫
⋅
−=−
B
A
AB
q
rdF
VV
0
rr
então,
∫ ⋅−=∆
B
A
rdEV
rr
Se é conservativo, entãoE
r
0=⋅∫ rdE
c
rr
No SI o potencial é medido em volts (1V = 1J / 1C).
⇒
03
Exercício 4.1:
Calcular a diferença de potencial entre dois pontos A e B com distância rA e rB de uma 
linha infinita uniformemente carrega com carga total +Q .
Resolução: O campo elétrico devido uma linha infinita carregada (já calculado
anteriormente) é dado por:
r
r
E ˆ
2 0πε
λ
=
r
(1)
A diferença de potencial entre os pontos A e B é dado por:
04
A diferença de potencial entre os pontos A e B é dado por:
∫ ⋅−=− rdErVrV AB
rr
)()( (2)
Substituindo a equação (1) na equação (2)
{∫
=
⋅−=−
B
A ld
AB drrr
r
rVrV
ρ
ρ πε
λ
r
ˆˆ
2
)()(
0 {∫
=
⋅−=
B
A
rr
r
dr
ρ
ρ
πε
λ
10
ˆˆ
2
[ ] B
A
r
r
rln
2 0πε
λ
−= [ ]AB rr lnln2 0
−−=
πε
λ
[ ]BA rr lnln2 0
−=
πε
λ
⇒ 





=−
B
A
AB
r
r
rVrV ln
2
)()(
0πε
λ
Exercício 4.2:
Qual o trabalho feito por uma (bateria, gerador, ou outra fonte de diferença de
potencial) quantidade de elétrons igual ao número de Avogadro movendo de um ponto
inicial onde o potencial elétrico é 9V a outro ponto onde o potencial é de -5V? ( O
potencial em cada caso é medido em relação ao potencial de referência).
Resolução:
O trabalho é ao negativo da variação da energia potencial :
W = − Q∆V
A energia potencial elétrica é o produto da carga pela diferença de potencial:
W = − ∆U 
W = − Q∆V
∆V = -5V -9V =−14.0 V
A diferença de potencial é dada por:
- Cálculo da carga total transferida:
Q = − N
A
e = − 6,02 × 10 23 1,60 × 10 −19
= −9.63 × 104 C
- Cálculo do trabalho:
W = − Q∆V = − [ (−9,63 × 104 C) (−14,0 J/C) ] 
= − 1,35 × 106 J 05
4.2 Potencial Devido uma Carga Pontual (Coloubiano)
O potencial elétrico à uma distância r de
uma carga q colocada na origem é obtida
do campo elétrico:
r
r
q
E ˆ
4
1
2
0πε
=
r
rr
drq P
r
ˆˆ ⋅= ∫
A diferença de potencial ao longo do
trajeto C de à é dado por:refr
r
pr
r
∫ ⋅−=∆ rdEV
rr
rr
r
drq
refr
ˆˆ
4 20
⋅= ∫πε∫ ⋅−=∆ C rdEV
r
onde drrrd ˆ=
r








−=−
refP
refp
rr
q
rVrV
11
4
)()(
0πε
O potencial de referência é arbitrário, de
modo que ∞→refr
r
r
q
rdErV
r
04
1
)(
πε∫
∞−
=⋅=
rr
Este resultado representa o trabalho por unidade de
carga para trazer uma carga q0 do infinito até uma
distância r da carga q. 06
(a) distribuição discreta de cargas
i
i
i
P
r
q
rV ∑=
04
1
)(
επ
(b) distribuição contínua de cargas
r
dq
V
V
∫=
04
1
επ
4.3 Potencial Elétrico de Uma Distribuição de Cargas
onde,
onde, ∑=
i
iqQ
(distribuição volumétrica)
(distribuição superficial )




= dA
dV
dq σ
ρ
r
V
∫
04 επ
(distribuição linear)

dlλ
dVQ
V
ρ∫= (distribuição volumétrica)
dAQ
S
σ∫= (distribuição superficial )
dlQ
l
λ∫= (distribuição linear)
07
Exercício 4.3: Potencial elétrico devido uma distribuição de cargas pontuais
Um dipolo elétrico é constituído por duas cargas puntiformes q1= +12nC e q2 = -12nC,
de acordo com a figura abaixo. Calcule o potencial nos pontos A ,B e C.
i
i
i r
q
V ∑=
04
1
επ






×
×
−
×
×
×=
−
−
−
−
2
9
2
9
9
104
1012
106
1012
109)(AV
Resolução: O cálculo do potencial para uma distribuição 
discreta é dado por:
(a) Potencial no ponto A:
08
 ×× 104106




−×××=
−
−
4
1
6
1
10
10
12109
2
9
9



 −
××=
12
32
10129 2
VAV 900)( −=
=)(BV 





×
×
−
×
×
×
−
−
−
−
2
9
2
9
9
1014
1012
104
1012
109




−×××=
−
−
14
1
4
1
10
10
12109
2
9
9



 −
××=
28
27
10129 2
VBV 1929)( =
=)(CV 





×
×
−
×
×
×
−
−
−
−
2
9
2
9
9
1013
1012
1013
1012
109
VCV 0)( =
(b) Potencial no ponto B:
(c) Potencial no ponto C:
Exercício 4.4: Potencial elétrico devido um anel uniformemente carregado
Calcular o potencial gerado por um anel circular de raio R uniformemente carregado em
um ponto P sobre o seu eixo a uma distância x do seu centro.
22 xRr +=
R
x
P
dLdq λ=
09
r
dq
V ∫=
04
1
επ 2204
1
xR
dL
L +
= ∫
λ
επ ∫+
=
R
dL
xR
π
λ
επ
2
0
22
04
1
( )R
xR
π
λ
επ
2
4
1
22
0 +
=
( )R
xR
RQ
V π
π
επ
2
)2/(
4
1
22
0 +
=
22
04
1
xR
Q
+
=
επ
R
Q
π
λ
2
=Para uma distribuição uniforme, a densidade linear é constante, ou seja, 
Para uma distância x muito afastado do anel, , que equivale aRx >> 0→R
x
Q
V
04
1
επ
= Este resultado é equivalente ao potencial de uma carga 
pontual de carga Q a uma distância x do centro do anel.
4.4 Energia Potencial por Cargas Pontuais
Analisando a energia potencial da interação de um sistema de partículas, o trabalho
para trazer uma carga q2 do infinito até uma distância r12 de uma carga fixa q1 é:
12
21
04
1
r
qq
U
επ
=
Se todas as cargas tem o mesmo sinal, U é positivo (interação de repulsão).
Quando a interação é de atração, U é negativo.
A medida que trazemos outras cargas do infinito, a energia é dada pela interação
mútua entre as partículas.
Para um sistema de três partículas, tem-se






++=
23
32
13
31
12
21
04
1
r
qq
r
qq
r
qq
U
επ
Generalizando para um sistema com n partículas
∑∑ 






=
<
i ji
ji
ji
j r
qq
U
04
1
επ
10
∑∑ 






⋅=
≠
i ji
ji
ji
j r
qq
U
04
1
2
1
επ
ou
Exercício 4.5: Energia potencial elétrica para formar um arranjo
Qual o trabalho necessário para formar o arranjo da figura se q = 2,30 pC, a = 64 cm e
as partículas estão inicialmente em repouso e infinitamente afastadas uma das
outras?
∑∑
<








=
i
ji
j ij
ji
r
qq
U
04
1
επ
Resolução:




+++++= 434232413121
1 qqqqqqqqqqqq
U
=3q=4q
2a
Definindo q1 = q3 = –q e q2 = q4 = +q
A energia potencial para formar o arranjo é:
11




+++++=
34
43
24
42
23
32
14
41
13
31
12
21
04 rrrrrr
U
επ
=1q =2q






−+−−+
−
=
a
q
a
q
a
q
a
q
a
q
a
q
U
222222
0 224
1
επ






−+−−+−= 1
2
1
11
2
1
1
4
1 2
0 a
q
U
επ
pJJU 193,01093,1 13 =×= −






−
×
×=
−
4
2
2
)64,0(
)1030,2(
)109(
212
2
2
9
m
C
C
Nm
Exercícios Propostos 
Energia potencial elétrica e diferença de potencial
4-1. Duas cargas de 2 mC estão sobre o eixo Ox localizadas em x = -1m e x = 1m. Determine o potencial sobre o eixo Oy para
y = 0,5m. (b) Calcule a variação da energia potencial elétrica quando uma terceira carga de - 3 mC vem do infinito até a 
posição y = 0,5m. [Resp.: 6,41 x 10– 19C]
4-2. Um íon é acelerado em uma diferença de potencial de 115 V experimentaum crescimento da sua energia cinetica de
7,37 x 10–17J. Calcule a carga do íon. [Resp.: ((a) 32,2 x 103 V ; (b) –9,65 x 10 -2 J]
4-3. (a) Calcule a velocidade de um próton que é acelerado do repouso até uma diferença de potencial de 120 V. (b) Calcule
a velocidade de um elétron que é acelerado do repouso até a mesma diferença de potencial.
[Resp.: (a) 1,52 x 10 5 m/s; (b) 6,49 x 10 6 m/s]
4-4. Qual é a diferença de potencial necessária para parar um elétron tendo velocidade inicial de
4,20 x 105 m/s? [Resp.: – 0,502 V]
Potencial elétrico de uma distribuição de cargas 
12
4-5. (a) Encontre o potencial elétrico a uma distância de 1,00 cm de um próton. (b) Qual é a diferença de
potencial entre dois pontos que estão a 1,00 cm e 2,00 cm do próton? (c) Encontre o potencial elétrico a 
uma distância de 1,00 cm de um elétron. (b) Qual é a diferença de potencial entre dois pontos que estão
a 1,00 cm e 2,00 cm do elétron? 
[Resp.: (a) 1,44 x 10 –7 V ; (b) 7,19 x 10 –7 V ; (c) – 1,44 x 10 –7 V e – 7,19 x 10 –7 V ]
4-6. Três cargas estão nos vértices de um triângulo isósceles. Calcule o potencial no ponto médio da 
base. Dados do problema: q = 7mC; os lados do triângulo de mesma medida têm 4cm e sua base 
medindo 2cm. [Resp.: – 11,0 MV]
3-7. Na figura à esquerda, qual o potencial elétrico no ponto P devido as quatro
cargas se V = 0 no infinito, q = 5,00fC e d = 4,00 cm? [Resp.: 0,562 mV]
3-8. Dadas duas cargas de 2,00 µC (figura ao lado), e uma carga positiva 
de teste q = 1,28 x 10–18C na origem . (a) Qual é a força elétrica exercida 
sobre q? Quais são o campo elétrico e o (c) o potencial na origem devido as duas cargas de
2,00 µC? [Resp.: (a) 0 ; (b) 0 ; (c) 45 kV ]
Exercícios Propostos 
Energia potencial por cargas pontuais
4-9. Calcule a energia potencial para formar o arranjo mostrado na figura, onde a = 0,200 m, 
b = 0,400 m , e q = 6,00 µC [Resp.: – 3,96 J]
4-10. As coordenadas da carga de duas cargas pontuais situadas no plano xy são 
q1 = + 3,00 x 10
-6 C ; x1 = 3,50 cm ; y1 = 0,500 cm e q2 = –4,00 x 10
-6 C ; x2 = –2,00 cm ; y2 = 1,500 cm. Qual é o trabalho 
necessário para colocar as cargas nas posições especificadas, supondo que a distância inicial entre elas é infinita. 
[Resp.: – 1,93 J]
13
3.4 Superfícies Equipotenciais
No , as superfícies equipotenciais uma carga pontual são esferas concêntricas.3ℜ
As equipotenciais estão centradas na carga +q.
As linhas de campo são sempre perpendiculares as equipotenciais. 14
Equipotenciais de um Dipolo Elétrico
15
Eletrodo 
positivamente 
carregado
Esquema experimental para mapeamento das 
equipotenciais - Dipolo Elétrico
Multímetro ajustado na 
função voltímetro
+
16
Eletrodo 
negativamente 
carregado
Fonte: Roteiro de Física Experimental III - UFBA
–
https://www.youtube.com/watch?v=s0sy9aq7Kug
Equipotenciais de um Campo Elétrico Uniforme
17
Esquema experimental para mapeamento das equipotenciais
Terminais Lineares
Eletrodo 
positivamente 
carregado
Multímetro ajustado na 
função voltímetro
+ + + + + + + +
18
https://www.youtube.com/watch?v=43Ge6zaan0U
Fonte: Roteiro de Física Experimental III - UFBA
Eletrodo 
negativamente 
carregado
– – – – – – – –
Superfícies Equipotenciais na Presença de um Condutor Descarregado
Vista do corte transversal das superfícies equipotenciais (linhas tracejadas em azul)
devido a presença de um condutor nas proximidades de uma esfera metálica carregada.
As linhas contínua (em vermelho) representam as linhas de campo. 19
Exercícios Propostos 
Superfícies equipotenciais
4-11. Na figura, quando um elétron se desloca de A a B ao longo de uma linha de campo
Elétrico realiza um trabalho de 3,94 x 10– 19 J. Quais são as diferenças de potencial VB – VA;
(b) VC – VA; (c) VC – VB? [Resp.: (a) 2,46 V; (b) 2,46 V; (c) 0]
4-12. Uma diferença de potencial de 480 V é estabelecida entre as placas metálicas grandes e
Paralelas. Seja 480 V o potencial entre as placas e 0 V o potencial da outra placa. A distância
Entre as placas é d = 1,70 cm. Faça um desenho indicando as superfícies equipotenciais correspondem a 0, 120, 240, 360 e
480 V. (b) Sobre seu desenho, mostre as linhas de campo elétrico. Seu desenho confirmam que as linhas de campo elétrico
e as superfícies equipotenciais são mutualmente perpendiculares? [Resp.: (a) 59 V; (b) 4,55 x 106 m/s]
4-13. Uma placa plástica muito grande carrega uma densidade de carga uniforme –6,0 nC/m2 em uma face. (a) À medida
que você se distancia ao longo de uma linha perpendicular a ela, o potencial aumenta ou dimi-
nui? Como pode saber isso sem fazer nenhum cálculo? A sua resposta depende da sua escolha
do ponto de referência para o potencial? (b) Ache o espaço entre as superfícies equipotenciais
Linha de 
força
Equipotencial
do ponto de referência para o potencial? (b) Ache o espaço entre as superfícies equipotenciais
que diferem entre si em 1,0 V. Que tipos de superfícies são estas? [Resp.: (b)2,95 mm]
4-14. A figura mostra várias linhas equipotenciais cada uma, rotuladas em volts. A distância
entre as linhas da grade quadrada representa 1,00 cm. (a) A magnitude do campo elétrico é
Maior em A ou em B? Por que? (b) Qual é o vetor campo elétrico em B? (c) Faça o desenho
representando as linhas de campo. [Resp.: (a) EA > EB ; (b) 200 N/C ]
20
3.6 Determinação do Campo Elétrico a Partir do Potencial
rdErV
C
rr
⋅−= ∫)(
Para distribuição finita :
a derivada total em coordenadas retangulares:
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kdzjdyidxkEjEiEdz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
zyx ++⋅++−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
rdEdV
rr
⋅−=
kji
∂
+
∂
+
∂
=∇ ˆˆDefinindo o operador gradiente como:
(1)
rdVdV
r
⋅∇=
z
k
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ ˆˆDefinindo o operador gradiente como:
de modo que a derivado total em termos do operador gradiente fica:
rd
z
V
k
y
V
j
x
V
idV
r
⋅





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= ˆˆˆ
Comparando com a equação (1):
VE ∇−=
21
Exercício 4.6: Determinação do Campo Elétrico a Partir do Potencial
O potencial no plano xy é dado por V = (2,0 V/m2)x2 – (3,0 V/m2)y2. Em termos dos
vetores unitários qual o campo elétrico no ponto (3,0 m; 2,0 m)?
Resolução: O campo elétrico pode ser obtido por
VE ∇−=
r






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−= k
z
V
j
y
V
i
x
V ˆˆˆ






−
∂
∂
+−
∂
∂
+−
∂
∂
−= kyx
z
jyx
y
iyx
x
E ˆ)32(ˆ)32(ˆ)32( 222222
r
jyixE ˆ6ˆ4 +−=
r
jyixE ˆ6ˆ4 +−=
O campo elétrico no ponto (x ; y) = (3,0 m; 2,0 m) é:
jiE ˆ)2(6ˆ)3(4)2;3( +−=
r
( ) mVjiE /ˆ12ˆ12)2;3( +−=
r
22
Exercício 4.7: Determinação do Campo Elétrico a Partir do Potencial
O potencial V no espaço entre duas placas paralelas, 1 e 2 é dado (em Volts)
V = 1500x2, onde x é a distância perpendicular em metros em relação a placa 1. Para
x = 1,3 cm, determine o modulo do campo elétrico; (b) o campo elétrico aponta para
a placa 1 ou na direção oposta?
Resolução: O campo elétrico pode ser obtido por
VE ∇−=
r






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−= k
z
V
j
y
V
i
x
V ˆˆˆ






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−= kx
z
jx
y
ix
x
ˆ)1500(ˆ)1500(ˆ)1500( 222
)/(ˆ0003 mVixE −=
r
(a) O campo elétrico em x = 0,013m é: 
)/(ˆ)013,0(0003)013,0( mVimE −=
r
)/(ˆ93)013,0( mVimE −=
r
cujo o modulo é E (0,013 m) = 39 V/m 
(b) O campo aponta para a placa 1.
21
x
Referencial
E
r
x = 0,013 m
23
Exercícios Propostos – Determinação do campo elétrico a partir do potencial elétrico
4-15. Em certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relação V = 5x – 3x2y + 2yz2. (a) Encontre as expressões
para as componentes x, y, e z do campo elétrico. (b) Qual é a magnitude do campo elétrico no ponto P que tem as
coordenadas (1, 0, – 2) m?
[(a) Ex = –5 + 6xy ; Ey = +3x
2 – 2z2 ; Ez = –4xy ; (b) 7,07 N/C]
4-16. Em certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relação V(x, y, z) = Axy – Bx2 + Cy, em que A, B, C são
constantes positivas (a) Calcule os componentes x, y, e z do campo elétrico. (b) Em que pontos o campo elétrico é zero?
[Resp.: (a) Ex = Ay + 2Bx; Ey = –Ax – C ; Ez = 0 ; (b) (x, y, z)= (–C/A, 0, 0)]
4-17. Qual é o modulo do campo elétrico no ponto (3,00 i – 2,00 j + 4,00 k) m se o potencial elétrico é dado por
V = 2,00 xyz2, onde V é dado em Volts e x, y e z em metros? [Resp.: 150 N/C]
4-18. O potencial em uma região x = 0 e x = 6 ,00 m é V = a + bx, onde a = 10 V e b = –7,00 V/m. (a) Determine o
potencial em x = 0; x = 3,00 m e x = 6,00 m, (b) a magnitude e a orientaçao do campo eletrico em x = 0; x = 3,00 m e x =
6,00 m.
[Resp.: V(0) = 10,0 V ; V(3 m) = –11,0 V ; V(6 m) = –32,0 V ; (b) 7,00 N/C apontando para +x]
qq
[Resp.: V(0) = 10,0 V ; V(3 m) = –11,0 V ; V(6 m) = –32,0 V ; (b) 7,00 N/C apontando para +x]
4-19. O potencial produzido por uma carga puntiforme q localizado na origem é dado por : .
Calcule as componentes Ex , Ey e Ez. [Ex = kqx/r
3 ; Ey = kqy/r
3 ; Ez = kqz/r
3]
222
00 44
),,(
zyx
q
r
q
zyxV
++
=
πεπε
24
4.7 Potencial em Condutores
À respeito dos condutores, vimos que:
- é normal em todos os pontos sobre a superfície.E
r
- no interior.0=E
r
0)()( =⋅−=− ∫ rdEAVBV
B
A
rr
constante)()( == AVBV
Condutor com uma cavidade no
equilíbrio eletrostático. O campo
elétrico no seu interior é nulo.
Este resultado implica que todo
condutor é uma equipotencial, ou seja,
.constante)(≡V
25
Esferas Condutoras
(a) Isoladas
(b) Ligadas
(a)
(b)
Ao ligar as esferas condutoras por um
fio muito fino, o conjunto se tornará um
único condutor, havendo uma redistri-
buição de cargas. A carga total q das
esferas antes (q1 + q2 ) permanece a
mesma depois (q1’ + q2’ ) de interligá-las,
q1'
V1
V
mesma depois (q1’ + q2’ ) de interligá-las,
ou seja,
q = q1 + q2 = q1’ + q2’ . 
Na situação de equilíbrio eletrostático, o
potencial terá o mesmo valor V em cada
esfera.
26
q2'
V2 V
Exercício 4.8: Potencial elétrico de uma esfera condutora
(a) Encontre o potencial elétrico dentro e fora de uma esfera condutora maciça carregado com
uma carga total Q. (b) Esboce um gráfico do potencial elétrico em função da distância ao centro
da esfera. (c) Se o raio da esfera é R = 2 cm, a sua carga total é Q = 5µC, encontrar o campo
elétrico para as distâncias de 1 cm e 5cm do centro da esfera.
(dentro)
(fora)
r
Q
V
04
1
πε
=
Resolução : (a) O potencial elétrico fora é dado por:
, onde r é a distância do centro da
esfera. O potencial dentro é o mesmo que o poten-
cial na superfície. Para uma esfera de raio R,
R
Q
V
4
1
πε
=
(c) O potencial no interior de qualquer condutor
é sempre constante. O potencial no interior tem
o mesmo valor que o potencial na superfície.
Para r = 1 cm
2
6
9
102
105
109)1(
−
−
×
×
×=cmV V61025,2 ×=
2
6
9
105
105
109)5(
−
−
×
×
×=cmV V5109×=
Para r = 5 cm
R
V
04πε
=
27
Exercício 4.9: Potencial elétrico em condutores
Duas esferas condutoras carregadas com cargas –10 µC e 5 µC com raios 10 cm e 15
cm respectivamente, são colocadas em contato e em seguida afastadas por uma
distância de 30 cm entre seu centros. Calcule o módulo da força elétrica entre as
esferas.
Resolução : Ao ser colocadas em contato, a
carga total antes é igual a carga total depois
do contato, ou seja, q = q1 + q2 = q’1 + q’2 .
Assim,
21)5()10( qqCC ′+′=+− µµ
Cqq µ5−′−=′ (1)
Cqq µ53
2
13
2
1 −=′+′
Cq µ21 −=′
3
2
11 )5( Cqq µ−′−=′ ⇒
e Cq µ32 −=′
Cálculo o módulo da força elétrica,
F12F21
28
Cqq µ512 −′−=′ (1)
Após o contato, as duas esferas tem o mesmo
potencial elétrico
21 VV ′=′
2
2
1
1
R
q
k
R
q
k
′
=
′
2
1
21
R
R
qq ′=′
(2)
Substituindo (1) em (2)
2
1
11 )5(
R
R
Cqq µ−′−=′
)15(
)10(
)5( 11
cm
cm
Cqq µ−′−=′⇒
0,3 m
F12F21
2
21
04
1
r
qq
F
′′
=
πε
2
66
2
2
9
)3,0(
)103()102(
)109(
m
CC
C
mN
F
−− ×××⋅
×=
NF 600,0=
Resolução: 
Exercício 4.10: Potencial elétrico em campo elétrico uniforme
Duas placas condutoras planas dispostas em (x, y, 0) e (x, y, 1 mm) tem cargas iguais, porém
de sinais opostos, cujas suas densidades de cargas são σ+ = 5 µC/m
2 e σ– = –5 µC/m
2
respectivamente. Quais os módulos do campo elétrico na região (a) entre as placas e na (b)
região fora das placas? (c) Qual a diferença de potencial entre os pontos A e B, caminhando
0,5 mm na direção x positivo? (d) Qual a diferença de potencial entre os pontos B e C,
caminhando 0,3 mm na direção z positivo?
σ–
z
1 mm
d = 1 mm
Para determinar os campos elétricos nas re-
giões interiores e exteriores as placas, vamos 
analisar, por região, os campos produzido in-
dividualmente por cada placa: 
Região 1 Região 3
O campo elétrico produzido um plano infi-
nito carregado é uniforme em todo espaço 
com modulo dado por:
29
σ+
x
y
02ε
σ
=E
+ + + + + + +
kE ˆ
2 0
1
ε
σ
+=
r
kE ˆ
2 0
2
ε
σ
−=
r
– – – – – –
kE ˆ
2 0
3
ε
σ
−=
r
kE ˆ
2 0
4
ε
σ
+=
r
Região 2 Região 4
+ + + + + + +
– – – – – –
0
31
=
+= EEEEXT
rrr
k
kk
EEEINT
ˆ
ˆ
2
ˆ
2
0
00
41
ε
σ
ε
σ
ε
σ
+=
++=
+=
rrr
0
42
=
+= EEEEXT
rrr
(a) Na região entre as placas :
O elemento de linha dr deslocando-se em x positivo 
é : 
idxrd ˆ=
r
O cálculo da diferença de potencial é: 
rdEVV
C
AB
rr
∫ ⋅=− )ˆ()ˆ1065,5(
0005,0
0
5 idxk
m
∫ ⋅×=
{∫
=
⋅×=−
0 0
5 ˆˆ1065,5 ikdxVV AB 0=
OBS.: Em um campo elétrico uniforme, deslocando-
se paralelamente às placas ∆V = 0 .
(d) O elemento de linha dr deslocando-se em z(a) Na região entre as placas :
0ε
σ
=INTE 2212
26
/1085,8
)/105(
mNC
mC
⋅×
×
=
−
−
CNE /1065,5 5×=
(b) Na região entre exterior as placas: 
0=INTE
(c) O vetor campo elétrico entre as 
placas é: 
CNkE /)ˆ1065,5( 5×=
(d) O elemento de linha dr deslocando-se em z
positivo é : kdzrd ˆ=
r
O cálculo da diferença de potencial é: 
rdEVV
C
AB
rr
∫ ⋅=− )ˆ()ˆ1065,5(
0005,0
0
5 kdzk
m
∫ ⋅×=
{ =⋅×=− ∫
=
m
AB kkdzVV
0003,0
0 1
5 ˆˆ1065,5 V50,169
30
OBS.: Em um campo elétrico uniforme, deslocando-
se perpendicularmente às placas ∆V = E L , onde L
é a distância percorrida paralelamente ao campo 
elétrico. 
Exemplo: Na figura, o campo elétrico uniforme é igual a 1 kV/m. Assim: 
(a) V2–V1 = 150 V – 100 V = 50 V
(b) V3–V2 = 150 V – 150 V = 0
(c) V6–V3 = 50 V – 150 V = – 100 V 
(d) A distância d entre os pontos 5 e 3 é: 
V3–V5 = E d
150 V – 50 V = (1000 V/m) d
d = (1000 V/m) / (100 V)
d = 10 m 
(e) As linhas de força são perpendiculares as equipotenciais e apontam do potencial mais alto 
para o potencial mais baixo, ou seja, da direita para esquerda.
d
E
Características de um Campo Elétrico Uniforme
31
(e) As linhas de força são perpendiculares as equipotenciais e apontam do potencial mais alto 
para o potencial mais baixo, ou seja, da direita para esquerda.
(f) O trabalho para deslocar a carga q = 1 µC do ponto 3 ao ponto 6 é dado por:
W = –∆U (O trabalho é o negativo da variação da energia potencial ) 
W = –q∆V (A variação da energia potencial é o produto da carga pela variação do potencial) 
W = –q(V6 – V3)
W = q(V3 – V6) (Invertendo de V6 – V3 por V3 – V6 inverte-se o sinal )
W = 1 x 10–6 C (100 J/C) (Substituindo-se os valores)
W = 1 x 10–4 J
(g) O trabalho será positivo ao deslocar uma carga positiva no mesmo sentido das linhas de 
força.
(h) O trabalho será negativo ao deslocar uma carga positiva no sentido oposto das linhas de 
força.
Características de um Campo Elétrico Uniforme
32
- As superfícies equipotenciais são planos paralelos entre si e perpendiculares às linhas de força.
- A variação do potencial elétrico para se deslocar de A para B (por qualquer trajetória) é:
24 VVV −=∆
- A variação do energia potencial elétrica para deslocar uma carga positiva de A para B é:
)( 24 VVqVqU −=∆=∆
ou EdV −=∆
ou qEdU −=∆
- O trabalho W = – ∆U para deslocar uma carga positiva de A para B é:
)( 42 VVqVqW −=∆−= ou qEdW =
Exercícios Propostos – Potencial em campo elétrico uniforme
4-20. A diferença de potencial entre as placas de aceleração no canhão de elétrons de um tubo de imagem de uma TV é de
cerca de 25 000 V. Se a distância entre estas placas é de 1,50 cm, qual é a magnitude do campo eléctrico uniformenesta
região? [Resp.: 1,67 MN/C]
4-21. Um campo elétrico uniforme de módulo igual a 250 V/m tem orientação ao longo do eixo Ox positivo. Uma carga de
12 mC move da origem ao ponto (x,y) = (20 cm, 50 cm). (a) Qual é a variação da energia potencial do sistema? (b) Qual a
variação do potencial da carga nesse percurso? [Resp.: (a) – 6 x 10 -4 J; (b) 50 V]
4-22. Suponha que um elétron parte do repouso num campo elétrico uniforme de módulo igual a 5,9 x 103 V/m. (a) Qual a
diferença de potencial após o elétron deslocar 1 cm? (b) Que velocidade adquirirá o elétron após se deslocar 1 cm?
[Resp.: (a) 59 V; (b) 4,55 x 106 m/s]
4-23. Um campo elétrico uniforme de magnitude de 325 V/m é direcionado para y negativo.
As coordenadas dos pontos A e B são (–0,200; –0,300) m e (–0,400; –0,500) m respectiva-
mente. (a) Calcule a diferença de potencial VB – VA, usando a trajetória azul. (b) Qual a dife-
rença de potencial se for considerado se a trajetória for uma linha reta de A para B? (c) Comorença de potencial se for considerado se a trajetória for uma linha reta de A para B? (c) Como
que deve ser indicada as linhas equipotenciais no plano xy?
[Resp.: (a) 260 V; (b) 260 V ; (c) representadas por linhas paralelas ao eixo x ]
4-24. Uma placa não-condutora infinita possui uma densidade superficial de carga σ = 0,10μC/m2
sobre um dos lados. Qual a separação entre as superfícies equipotenciais cujos potenciais diferem de 50 V? [Resp.: 8,8mm]
4-25. O campo elétrico em uma certa região do espaço tem componente Ey = Ez = 0 e Ex = (4,00 N/C) x. O ponto A está o
eixo x em x = 4,00 m. Qual é a diferença de potencial VB – VA? [Resp.: –32 V]
4-26. Duas placas paralelas condutoras de grande extensão estão separadas por uma distância de 12 cm e possuem
densidades superficiais de carga de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas suas faces internas. Uma força eletrostática
de 3,9 x 10–15 N age sobre o elétron colocado na região entre as placas (Despreze o efeito de borda). (a) Determine o campo
elétrico na posição do elétron. (b) Determine a diferença de potencial entre as placas.
[Resp.: (a) 2,4 x 10 4 V/m ; (b) 2,9 x 10 3 V/m]
4-27. Uma placa não-condutora infinita possui uma densidade superficial de cargas s = + 5,80 pC/m2. (a) Qual o trabalho
realizado pelo campo elétrico produzido pela placa se uma carga q = 1,60 x 10–19 C é deslocada da superfície da placa para
um ponto P situado a uma distancia d = 3,56 cm da superfície da placa? (b) Se o potencial elétrico V é definido como sendo
zero na superfície da placa, qual o valor de V no ponto P? [Resp.: (a) 1,87 x 10 –21J ; (b) –1,17 x 10 –2 V]
33