TEORIA DE ERROS FGE1(FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I)UNIFIEO

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Profa. Cely Paula da Silva 
TEORIA DE ERROS 
 
Bibliografia: José Henrique Vuolo. Fundamentos da Teoria de Erros. São Paulo: 
Ed. Edgar Blucher, 1996. 
 
 A maneira mais correta de se apresentar o valor de uma medida é exprimi-
la em função do valor obtido no processo mais a extensão da dúvida (incerteza). 
 
X = (x ± Δx) 
 
 x ⇒ valor medido 
 Δx ⇒ incerteza 
 
 Isto significa que não sabemos o valor verdadeiro da grandeza, mas um 
intervalo dentro do qual encontra-se o valor verdadeiro. 
 
1 – Incertezas Absoluta e Relativa: 
 
• Incerteza absoluta: é indicada pelo valor para a incerteza de uma 
determinada grandeza, não importando como esta foi obtida. 
• Incerteza relativa: é representada pela divisão entre a incerteza 
absoluta de uma determinada grandeza e o valor obtido para esta 
grandeza. Esta incerteza é frequentemente expressa em 
porcentagem. 
 
Por exemplo: A medida da massa de um objeto é: 
m = (212,32 ± 0,51) g 
 
™ Incerteza absoluta: σ = ± 0,51 g 
™ Incerteza relativa: % 0,24 0,0024 
g 212,32
g 0,51 
m
===σ 
 
 
 A precisão de uma medida depende de: 
• método experimental 
• instrumento de medida 
• experimentador ou observador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Profa. Cely Paula da Silva 
2 – Classificação dos Erros: 
 
• Sistemáticos: resultam de causas constantes que alteram de modo uniforme 
os resultados das medidas. 
 
∗ instrumentais: Ex. → calibração de instrumentos 
∗ teóricos: Ex. → uso de fórmulas teóricas aproximadas 
∗ ambientais: Ex. → temperatura, pressão, umidade 
∗ observacionais: Ex. → falhas de procedimento do observador 
 (paralaxe) 
 
• Estatísticos (ou aleatórios): resultam de causas independentes e que 
alteram de forma variável os resultados das medidas. Para minimizar erros 
estatísticos ⇒ repetição das medidas ⇒ tratamento estatístico de dados. 
 
3 - Tratamento Estatístico de Dados (n medidas): 
 
• Estimativa do valor correto: Se forem realizadas muitas medições, o melhor 
valor para a grandeza será a média aritmética dos valores medidos. 
∑
=
=
n
1i
im xn
1 x 
 
n ⇒ número total de medidas realizadas 
 
• Dispersão das medidas e precisão das estimativas: 
 
→ n valores medidos ⇒ valores distribuídos em torno da média 
 
∗ Se os valores se afastam muito da média, a medida é pouco precisa e 
o conjunto de valores medidos tem alta dispersão. 
∗ Se os valores estão mais concentrados em torno da média, a medida é 
bastante precisa e os valores medidos têm baixa dispersão. 
 
 
A dispersão é caracterizada pelo desvio padrão (Δx = σ): 
 xx
1n
1x∆
n
1i
2
mi∑
=
−−== )(σ 
 
 
 Profa. Cely Paula da Silva 
• Erro padrão da média ( mmx∆ σ= ): 
nn
x∆x∆ mm
σ
σ === 
n ⇒ número de medições realizadas 
 
• Erro total: Se numa série de medidas de uma mesma grandeza existir erro 
sistemático que não pode ser removido, além do erro estatístico, o erro total 
corresponde a: 
2
i
2
mT σσσ += 
σm ⇒ erro padrão da média 
σi ⇒ erro instrumental 
 
• Erro percentual relativo: 
100
x
)(
m
m
rm ×= σσ = resultado → (%) 
 
4 - Algarismos Significativos 
 
 O número de algarismos significativos que devem ser apresentados em um 
resultado experimental é determinado pela incerteza experimental. 
Obs.: “Para incerteza experimental geralmente utiliza-se 1 algarismo 
significativo, mas até 2 algarismos podem ser aceitos”. 
 
 Algarismos significativos ⇒ algarismos corretos + primeiro algarismo 
 duvidoso 
 → “Quanto maior a precisão da medida, maior a quantidade de algarismos 
significativos”. 
 
→ Observações: 
 
• Zeros à esquerda são não significativos, apenas indicam a posição 
da vírgula decimal. Mudando a unidade ou escrevendo em notação 
científica os zeros podem ser eliminados. Os zeros à esquerda devem 
ser evitados!! 
• Algarismos não significativos à direita nunca devem ser escritos no 
resultado final. 
 
 
 Profa. Cely Paula da Silva 
5 – Arredondamento de Números 
 
 Considerando o número: 
32143421
signif. não signif. alg.
ABC...YX...W, 
onde ABC... devem ser eliminados e o algarismo X deve ser arredondado. 
 
 No número acima a parte ABC... pode variar entre 000... até 999... 
 
5.1 - Critérios de arredondamento 
 
1) Se a parte ABC... estiver no intervalo de 000... a 499..., o algarismo X não 
muda de valor (arredondamento para baixo). 
2) Se a parte ABC... estiver no intervalo de 500...1 até 999..., o algarismo X 
aumenta de “uma unidade” (arredondamento para cima). 
Exemplos: { 2,4 32,4 ⇒ { 3,69 83,68 ⇒ 
 { 5,6 4995,6 ⇒ { 5,7 5015,6 ⇒ 
3) Se a parte ABC... for exatamente 500...0, então o algarismo X aumenta de 
“uma unidade” somente se ele for ímpar. 
Exemplos: { 5,6 5005,6 ⇒ { 5,8 5005,7 ⇒ 
 { 9,48 59,47 ⇒ { 3,32 53,32 ⇒ 
Obs.: É recomendável não arredondar números enquanto os cálculos não 
estiverem terminados!