AD1_PreCalculoEng_2022_1_gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA –GABARITO- 2022/1
Questão 1 [2,0 pontos]
Considere a expressão algébrica abaixo.
E =
√
1− 2x
|x|+ 1
.
Agora, supondo que E = 1, observe atentamente a tentativa de resolução da equação:
√
1− 2x
|x|+ 1
= 1
√
1− 2x = |x|+ 1
=
√
1− 2x = x+ 1,
e desenvolvendo o primeiro membro, ficamos com
=
√
−2x+ 1 = x+ 1, donde
√
−2x = x,
e assim, elevando ambos os membros ao quadrado,
(
√
−2x)2 = x2.
Dáı,
−2x = x2,
donde
x2 + 2x = 0,
cujas soluções 0 e −2 são as soluções da equação E = 1.
a. [1,0] Determine os posśıveis valores para x de modo que a expressão E faça sentido. Depois,
encontre os erros cometidos no desenvolvimento, justificando linha por linha.
Solução:
O denominador não pode ser nulo, mas como |x| ≥ 0 e portanto |x|+ 1 ≥ 1, não temos este
problema aqui.
No numerador, entretanto, temos uma raiz quadrada. Assim, a expressão só faz sentido se
1− 2x ≥ 0. Assim, 1 ≥ 2x, donde x ≤ 1/2.
Agora, vejamos os erros cometidos no desenvolvimento do enunciado:
i. Primeiro, na passagem da segunda linha do desenvolvimento para a linha seguinte, onde
encontramos
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=
√
1− 2x = x+ 1.
Não se pode retirar o módulo de x sem ter certeza que x ≥ 0.
ii. Segundo erro: bastante grave, considerar que a raiz quadrada da diferença é a diferença
das ráızes quadradas, evento que ocorre no membro esquerdo das linhas a seguir:
=
√
1− 2x = x+ 1
=
√
−2x+ 1 = x+ 1,
o que é simplesmente inadmisśıvel, dado que, em geral,
√
a− b 6=
√
a−
√
b.
iii. Isso gera uma situação absurda:
√
−2x não é um número real se x > 0, mas é tratado
como se fosse. Isso pode ser considerado um terceiro erro.
b. [1,0] Considerando os posśıveis valores para x determinados por você no item acima, resolva a
equação E = 1, justificando sua resposta sem usar calculadora.
Solução:
Vamos partir do ponto logo antes do primeiro erro:
√
1− 2x = |x|+ 1
Para fazer a raiz desaparecer, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, obtendo:
1− 2x = |x|2 + 2|x|+ 1 = x2 + 2|x|+ 1.
Dado que x ≤ 1/2, teremos que considerar dois casos:
i. 0 ≤ x ≤ 1/2: temos áı |x| = x e portanto a equação ficará
1− 2x = x2 + 2x+ 1,
isto é,
x2 + 4x = 0,
que possui ráızes 0 e −4.
ii. x < 0: agora, |x| = −x, e a equação fica
1− 2x = x2 − 2x+ 1,
que é o mesmo que
x2 = 0.
Logo, sua única raiz será 0.
Questão 2 [3,0 pontos] Considere a expressão E(x) =
(4x− 1)(3x− 1)
1− |x|
. Faça o que se pede:
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a. Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
b. Encontre os valores de x tais que E(x) > 0.
c. Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
Sugestão: Faça a tabela do estudo do sinal da expressão E(x).
Solução:
Sabemos que |x| =

x, se x > 0
0, se x = 0
−(x), se x < 0
Observe que a expressão do enunciado não está definida para x = 1 e x = −1.
a. E(x) = 0 se (4x− 1)(3x− 1) = 0, ou seja, para x = 1
4
e x = 1
3
.
b. Como −1 < 0 < 1
4
< 1
3
< 1, temos a seguinte tabela do estudo do sinal da expressão E(x):
x < −1 −1 < x < 1
4
1
4
< x < 1
3
1
3
< x < 1 x > 1
4x− 1 −−− −−− +++ +++ +++
3x− 1 −−− −−− −−− +++ +++
1− |x| − − − +++ +++ +++ −−−
E(x) =
(4x− 1)(3x− 1)
1− |x|
− − − +++ −−− +++ −−−
E(x) =
(4x− 1)(3x− 1)
1− |x|
> 0 em
(
−1, 1
4
)
∪
(
1
3
, 1
)
;
E(x) =
(4x− 1)(3x− 1)
1− |x|
= 0, para x = 1
4
e x = 1
3
.
E(x) =
(4x− 1)(3x− 1)
1− |x|
< 0 em (−∞,−1) ∪
(
1
4
, 1
3
)
∪ (1,+∞).
E(x) =
(4x− 1)(3x− 1)
1− |x|
não está definida para x = 1 e x = −1.
Questão 3 [3,0 pontos] Considere a equação |3− 2x| = |x| − 1.
Considerando a definição de módulo em cada um dos membros, resolva a equação acima (caso não
tenha solução, justifique também).
Solução:
Como o membro esquerdo é positivo, então sabemos que |x| − 1 ≥ 0, donde |x| ≥ 1 e, portanto,
x ≥ 1 ou x ≤ −1 são os posśıveis intervalos para buscarmos soluções.
Com isto em mente, vamos separar os casos em que a expressão dentro do módulo em |3 − 2x| é
negativa ou maior ou igual a 0, a seguir.
i. Se 3 − 2x < 0, temos x > 3/2, e |3 − 2x| = −(3 − 2x). Substituindo na equação original,
temos
−(3− 2x) = x− 1,
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donde
−3 + 2x = x − 1, e portanto x = 2. Como estamos na região em que x > 3/2, esta é uma
solução admisśıvel.
ii. Se 3− 2x ≥ 0, temos x ≤ 3/2, e |3− 2x| = 3− 2x. Substituindo na equação original, temos
(3− 2x) = |x| − 1.
Aqui, ainda temos um problema, pois podemos ter 1 ≤ x ≤ 3/2 (o que nos dá x > 0 e
portanto |x| = x) ou x ≤ −1, que vai dar |x| = −x. Vamos novamente separar o racioćınio
nos dois casos:
1. Se 1 ≤ x ≤ 3/2 (ou seja, x 0 e |x| = x), teremos
3− 2x = x− 1.
Dáı, 3x = 4, donde x = 4/3. Como estamos na região em que 1 ≤ x ≤ 3/2, esta é uma
solução admisśıvel.
2. Se x ≤ −1, teremos |x| = −x:
3− 2x = −x− 1.
Dáı, −x = −4, donde x = 4. Novamente, temos uma contradição, pois x ≤ −1 é a
região onde consideramos as posśıveis soluções.
Logo, no final das contas, temos as soluções x = 2 e x = 4/3.
Questão 4 [2,0 pontos] Apesar da pandemia, médias empresas aumentaram margens de lucro, diz
pesquisa à CNN Rádio no dia 02/12/2021, Eduardo Menicucci, professor da Fundação Dom Cabral,
que avaliou o panorama das médias empresas brasileiras no comparativo entre os anos de 2019 e
2020. Supondo que a empresa A seja uma das empresas da pesquisa, determine, em milhares de
reais, o lucro dessa empresa em 2022, sabendo que o lucro vem crescendo linearmente e que no ano
de 2018 obteve um lucro de R$144000, 00 e no ano de 2020 o lucro foi de R$216000, 00.
Fonte da reportagem: www.cnnbrasil.com.br.
Solução:
Como o lucro da empresa vem crescendo linearmente, temos que o lucro pode ser obtido utilizando
um polinômio do primeiro grau da forma, L(x) = ax + b. Identificando o ano de 2018 com x = 1,
teremos que o ano de 2020 é identificado com x = 3. Assim, L(1) = 144000, L(3) = 216000.
Substituindo esses valores em L(x) = ax+ b, obtemos o seguinte sistema:{
a+ b = 144000
3a+ b = 216000
Resolvendo o sistema, temos que a = 36000 e b = 108000. Logo, L(x) = 36000x+ 108000. Como
o ano de 2022 associa-se com x = 5, temos que o lucro em 2022, será de:
L(5) = 36000 · 5 + 108000 = 288000
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