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CE-065 Elementos Básicos de Estatística
Notas de Aulas
Curitiba – PR
07.03.2006
Universidade Federal do Paraná Jorge Festa
3
Estas notas seguem de muito perto a bibliografia referenciada abaixo e que correspondem aos livros
texto deste Curso, sugere-se a sua aquisição. As notas abordam o assunto relacionado com a
disciplina, Elementos Básicos de Estatística, lecionado no curso de Estatística, da Universidade
Federal do Paraná.
Boulos, P. – Pré-cálculo, Makron Books do Brasil Editora Ltda, 4a. ed., 1999.
Fernandez, P. J. – Introdução à Teoria das Probabilidades, Ed. Livros Técnicos e Científicos Editora
S.A., 1973.
Flemming, D. M., Gonçalves, M. B. – Cálculo A: Funções, Limites e Integração, 5a. ed., Makron
Books do Brasil Editora Ltda, 1992.
Hoel, Port and Stone - Introdução à Teoria da Probabilidade, Ed. Interciência, 1975.
Lipschutz, S., - Probabilidade, Col. Schaum , Makron Books do Brasil Editora Ltda., 4a. ed., 1972.
Meyer, P.L. - Probabilidade, Aplicações à Estatística, Ed. Livros Técnicos e Científicos Editora
S.A., 1973.
Spiegel, Murray Ralph., (1977) Probabilidade e Estatística, São Paulo: McGraw-Hill do Brasil
Thomas, G. B., Finney, Weir and Giordano – Cálculo, Pearson Addison Wesley, v.1, 2002.
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4
Sumário
TEORIA DOS CONJUNTOS..............................................................................................................6
SÍMBOLOS ......................................................................................................................................6
SÍMBOLOS DAS OPERAÇÕES ........................................................................................................6
CONCEITOS DE CONJUNTOS .....................................................................................................6
CONJUNTOS NUMÉRICOS...........................................................................................................7
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N).........................................................................7
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) ...........................................................................8
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) .......................................................................8
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS..........................................................................9
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)..................................................................................9
FUNÇÕES..........................................................................................................................................11
DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO: ..............................................................................12
OBTENÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO: ......................................................................13
CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO CARTESIANO DE UMA FUNÇÃO........................................14
RAÍZES DE UMA FUNÇÃO ........................................................................................................15
PROPRIEDADES DE UMA FUNÇÃO.........................................................................................15
FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR.............................................................................................16
FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE ..............................................................18
FUNÇÃO COMPOSTA .................................................................................................................19
FUNÇÃO INVERSA......................................................................................................................20
FUNÇÃO DE 1º GRAU.....................................................................................................................22
VETORES..........................................................................................................................................32
RETA ORIENTADA - EIXO........................................................................................................32
SEGMENTO ORIENTADO ..........................................................................................................32
SEGMENTO NULO.......................................................................................................................32
SEGMENTOS OPOSTOS..............................................................................................................32
MEDIDA DE UM SEGMENTO....................................................................................................32
DIREÇÃO E SENTIDO .................................................................................................................32
SEGMENTOS EQUIPOLENTES..................................................................................................33
PROPRIEDADES DA EQUIPOLÊNCIA ..................................................................................33
VETOR ...........................................................................................................................................34
VETORES OPOSTOS....................................................................................................................34
VETOR UNITÁRIO.......................................................................................................................34
VERSOR.........................................................................................................................................35
VETORES COLINEARES.............................................................................................................35
VETORES COPLANARES ...........................................................................................................35
SOMA DE VETORES....................................................................................................................36
PROPRIEDADES DA SOMA DE VETORES...........................................................................36
DIFERENÇA DE VETORES.........................................................................................................37
PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR...................................................................37
PROPRIEDADES DO PRODUTO DE ESCALAR POR VETOR ............................................37
MÓDULO DE UM VETOR...........................................................................................................37
VETOR UNITÁRIO.......................................................................................................................37
PRODUTO ESCALAR ..................................................................................................................38
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR..........................................................................38
ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES ............................................................................................38
VETORES ORTOGONAIS............................................................................................................38
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS ....................................................................................................39
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS...................................................................................................42
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MATRIZES........................................................................................................................................50
SISTEMAS LINEARES ....................................................................................................................64DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA......................................................................................85
RESUMO DAS ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS .....................................................................104
PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS, COM SEUS RESPECTIVOS GRÁFICOS DA
FUNÇÃO DE MASSA.................................................................................................................106
PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS, COM SEUS RESPECTIVOS GRÁFICOS DA
FUNÇÃO DENSIDADE ..............................................................................................................109
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TEORIA DOS CONJUNTOS
Símbolos
: pertence : existe
: não pertence : não existe
: está contido : para todo (ou qualquer que seja)
: não está contido : conjunto vazio
: contém N: conjunto dos números naturais
: não contém Z : conjunto dos números inteiros
/ : tal que Q: conjunto dos números racionais
: implica que
Q'= I: conjunto dos números
irracionais
: se, e somente se R: conjunto dos números reais
Símbolos das operações
: A intersecção B
: A união B
A - b: diferença de A com B
a < b: a menor que b
: a menor ou igual a b
a > b: a maior que b
: a maior ou igual a b
: a e b
: a ou b
Conceitos de conjuntos
Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { }
ou .
Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro
conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B. Observações:
• Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ;
• O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja
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União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao
conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:
Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e
B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B,
simultaneamente, ou seja:
Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta
ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas
que não pertencem a B, ou seja:
Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto
AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou
seja:
Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n
subconjuntos de A.
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos números naturais (N)
Um subconjunto importante de N é o conjunto N*:
N*={1, 2, 3, 4, 5,...} Æ o zero foi excluído do conjunto N.
N={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
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Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o
gráfico abaixo:
Conjunto dos números inteiros (Z)
O conjunto N é subconjunto de Z.
Temos também outros subconjuntos de Z:
Z* = Z-{0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}
Observe que Z+=N.
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico
abaixo:
Conjunto dos números racionais (Q)
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o
numerador e denominador ∈ Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto
dos números inteiros com as frações positivas e negativas.
Exemplos:
3 6 9a) 3
1 2 3
1 2 3b) 1
1 2 3
− − −− = = =
= = =
Assim, podemos escrever:
Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
racionais. números são exemplo,por ,
2
3 ,1 ,
5
3 ,1 ,
4
52 :Então −−, -
}0 e , com , |{ ≠∈∈== bZbZa
b
axxQ
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É interessante considerar a representação decimal de um número racional, que se obtém dividindo a
por b.
a
b
Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:
1 5 750,5 1, 25 3,75
2 4 20
= − = − =
Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:
1 6 70,333... 0,857142857142... 1,1666...
3 7 6
= = =
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.
Conjunto dos números irracionais
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem
ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais,
temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:
Um número irracional bastante conhecido é o número π=3,1415926535...
2 1,4142135...
3 1,7320508...
=
=
Conjunto dos números reais (R)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números
reais como:
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como
subconjuntos importantes de R temos:
R* = R-{0}
R+ = conjunto dos números reais não negativos
R_ = conjunto dos números reais não positivos
Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:
R=Q ∪ {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}
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Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
• Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
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FUNÇÕES
O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de
função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que
faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre
uma função.
O uso de funções pode ser encontrado em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela de preços de
uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço. Outro exemplo seria o preço a ser
pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida.
Observe, por exemplo, o diagrama das relações abaixo:
A relação acima não é uma função, pois existe o elemento 1 no conjunto A, que não está associado
a nenhum elemento do conjunto B.
A relação acima também não é uma função, pois existe o elemento 4 no conjunto A, que está
associado a mais de um elemento do conjunto B.
Agora preste atenção no próximo exemplo:
A relação acima é uma função, pois todo elemento do conjunto A, está associado a somente um
elemento do conjunto B.
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De um modo geral, dados dois conjuntos A e B, e uma relação entre eles, dizemos que essa relação
é uma função de A em B se e somente se, para todo x A existe um único y B de modo que x
se relacione com y.
DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO:
O domínio de uma função é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D = A. Se um elemento
x A estiver associado a um elemento y B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e
lê-se “y é igual a f de x”).
Exemplo: se f é uma função de N em N (isto significa que o domínio e o contradomínio são os
números naturais)definida por y=x+2. Então temos que:
• A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1)=1+2=3;
• A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2)=2+2=4;
De modo geral, a imagem de x através de f é x+2, ou seja: f(x)=x+2. Numa função f de A em B, os
elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto
imagem de f.
Com base nos diagramas acima, concluímos que existem 2 condições para uma relação f seja uma
função:
1ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A
é ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento de A do qual não parta flecha, a relação não
é função.
2ª) De cada elemento de A deve partir uma única flecha. Se de um elemento de A partir mais
de uma flecha, a relação não é função.
Observações:
• Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis.
• A variável x é chamada variável independente e a variável y, variável dependente, pois para
obter o valor de y dependemos de um valor de x.
• Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio
(conjunto B) e a lei de associação y=f(x).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1. Considere a função f: A Æ B representada pelo diagrama a seguir:
Determine:
a) o domínio (D) de f;
b) f(1), f(-3), f(3) e f(2);
c) o conjunto imagem (Im) de f;
d) a lei de associção
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Resolução:
a) O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A.
b) f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4.
c) O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto: Im =
{1,4,9}.
d) Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 22=4, temos y=x2.
2. Dada a função f: R Æ R (ou seja, o domínio e o contradomínio são os números reais)
definida por f(x)=x2-5x+6, calcule:
a) f(2), f(3) e f(0);
b) o valor de x cuja imagem vale 2.
Resolução:
a) f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0
f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0
f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6
b) Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x)=2, ou seja, x2 -
5x + 6 = 2. Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os valores
de x que têm imagem 2 são 1 e 4.
OBTENÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO:
O domínio é o subconjunto de R no quais todas as operações indicadas em y=f(x) são possíveis.
Vamos ver alguns exemplos:
1) ( )f x 2x 4= + , como 2x 4− só é possível em R se 2x 4 0− ≥ , ou seja, x 2≥ , então,
{ }D x R / x 2= ∈ ≥ .
2) ( ) 5f x
x 1
= + , como x 1+ é denominador, ele não poderá ser nulo (pois não existe divisão por
zero), portanto x 1 0+ ≠ , ou seja, x 1≠ − , então, { }D x R / x 1= ∈ ≠ − .
3) x 2f (x)
3 x
−= − , vamos analisar primeiro o numerador: como x 2− está dentro da raiz, então
devemos ter x 2 0− ≥ , ou seja, x 2≥ (condição 1). Agora vamos analisar o denominador: como
3 x− está dentro da raiz, devemos ter 3 x 0− ≥ , mas além disso ele também está no denominador,
portanto devemos ter 3 x 0− ≠ . Juntando as duas condições devemos ter: 3 x 0− > , ou seja, x 3<
(condição 2). Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e 2 temos:
Devemos considerar o intervalo que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo.
Portanto, D={x � IR | 2 � x < 3}.
3 x 0− ≥3 x 0− ≥
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CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO CARTESIANO DE UMA FUNÇÃO
Para construir o gráfico de uma função f, basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a
sentença matemática que define a função, calcular os correspondentes valores da variável y. Por
exemplo, vamos construir o gráfico da função definida por y=x/2. Escolhemos alguns valores para o
domínio. Por exemplo D={2,4,6,8}, e agora calculamos os respectivos valores de y. Assim temos:
x=2 � y=2/2 = 1 Então montamos a seguinte tabela:
x=4 � y=4/2 = 2 x y
x=6 � y=6/2 = 3 2 1
x=8 � y=8/2 = 4 4 2
6 3
8 4
Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano:
O gráfico da função será uma reta que passará pelos quatro pontos encontrados. Basta traçar a reta,
e o gráfico estará construído.
Obs: para desenhar o gráfico de uma reta são necessários apenas dois pontos. No exemplo acima
escolhemos 4 pontos, mas bastaria escolher dois elementos do domínio, encontrar suas imagens, e
logo após traçar a reta que passa por esses 2 pontos.
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RAÍZES DE UMA FUNÇÃO
Dada uma função y=f(x), os valores, os valores de x para os quais f(x)=0 são chamados raízes de
uma função. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos pontos onde o gráfico
corta o eixo horizontal. Observe o gráfico abaixo:
No gráfico acima temos: f(x1)=0, f(x2)=0 e f(x3)=0.
Portanto x1, x2 e x3 são raízes da função.
PROPRIEDADES DE UMA FUNÇÃO
Essas são algumas propriedades que caracterizam uma função f:A�B:
1. Função sobrejetora: Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto
imagem for igual ao contradomínio, isto é, se Im=B. Em outras palavras, não pode sobrar
elementos no conjunto B sem receber flechas.
2. Função Injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens
distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto não pode haver
nenhum elemento no conjunto B que receba duas flechas. Por exemplo, a função f:IR�IR
definida por f(x)=3x é injetora pois se x1 � x2 então 3x1 � 3x2, portanto f(x1)� f(x2).
3. Função Bijetora: Uma função é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo
tempo. Por exemplo, a função f: IR�IR definida por y=3x é injetora, como vimos no
exemplo anterior. Ela também é sobrejetora, pois Im=B=IR. Logo, esta função é bijetora.
Já a função f: IN�IN definida por y=x+5 não é sobrejetora, pois Im={5,6,7,8,...} e o
contradomínio CD=IN, mas é injetora, já que valores diferentes de x têm imagens distintas.
Então essa função não é bijetora.
Observe os diagramas abaixo:
• Essa função é sobrejetora, pois não sobra elemento em B
• Essa função não é injetora, pois existem dois elementos com mesma imagem
• Essa função não é bijetora, pois não é injetora
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• Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez.
• Essa função não é sobrejetora, pois existem elementos sobrando em B
• Essa função não é bijetora, pois não é sobrejetora
• Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez.
• Essa função é sobrejetora, pois não existem elementos sobrando em B
• A função é bijetora, pois é injetora e sobrejetora
FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR
Dada uma função f: AÆB, dizemos que f é par se, e somente se, f(x)=f(-x) para todo x � A. Ou
seja: os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. O diagrama a seguir mostra um
exemplo de função par:
Por exemplo, a função f: R Æ IR definida por f(x)=x2 é uma função par, pois f(x)=x2=(-x)2=f(-x).
Podemos notar a paridade dessa função observando o seu gráfico:
Notamos, no gráfico, que existe uma simetria em relação ao eixo vertical. Elementos simétricos têm
a mesma imagem. Os elementos 2 e –2, por exemplo, são simétricos e possuem a imagem 4.
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Por outro lado, dada uma função f: AÆB, dizemos que f é ímpar se, e somente se, f(-x)=-f(x) para
todo x � A. Ou seja: valores simétricos possuem imagens simétricas. O diagrama a seguir mostra
um exemplo de função ímpar:
Por exemplo, a função f: RÆR definida por f(x)=x3 é uma função ímpar, pois f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x).
Podemos notar que a função é ímpar observando o seu gráfico:
Notamos, no gráfico, que existeuma simetria em relação a origem 0. Elementos simétricos têm
imagens simétricas. Os elementos 1 e –1, por exemplo, são simétricos e possuem imagens 1 e –1
(que também são simétricas).
Obs: Uma função que não é par nem ímpar é chamada função sem paridade.
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
1. Classifique as funções abaixo em pares, ímpares ou sem paridade:
1. f(x)=2x
f(-x)= 2(-x) = -2x Æ f(-x) = -f(x), portanto f é ímpar.
b) f(x)=x2-1
f(-x)= (-x)2-1 = x2-1 Æ f(x)=f(-x), portanto f é par.
c) f(x)=x2-5x+6
f(-x)= (-x)2-5(-x)+6 = x2+5x+6
Como f(x) ≠ f(-x), então f não é par.
Temos também que –f(x) ≠ f(-x), logo f não é ímpar.
Por não ser par nem ímpar, concluímos que f é função sem paridade.
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FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE
Dada uma função f: AÆB, dizemos que f é crescente em algum conjunto A’ ⊂ A, se, e somente se,
para quaisquer x1 ∈ A’ e x2 ∈ A’, com x1<x2, tivermos f(x1)<f(x2).
Por exemplo, a função f: RÆIR definida por f(x)=x+1 é crescente em R, pois x1<x2 => x1+1<x2+1
=> f(x1)<f(x2). Ou seja: quando os valores do domínio crescem, suas imagens também crescem.
Por outro lado, dada uma função f: AÆB, dizemos que f é decrescente em algum conjunto
A’ ⊂ A, se, e somente se, para quaisquer x1 � A’ e x2 � A’, com x1<x2, tivermos f(x1)>f(x2).
Por exemplo, a função f: R Æ R definida por f(x)= -x+1 é decrescente em R, pois x1<x2 => -x1>-x2
=> -x1+1>-x2+1 => f(x1)>f(x2). Ou seja: quando os valores do domínio crescem, suas
correspondentes imagens decrescem.
Esse é um exemplo de função crescente. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de
x vão aumentando, suas imagens também vão aumentando.
Esse é um exemplo de função decrescente. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores
de x vão aumentando, suas imagens vão diminuindo.
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FUNÇÃO COMPOSTA
Vamos analisar um exemplo para entender o que é uma função composta.
Consideremos os conjuntos A={-2,-1,0,1,2}, B={-2,1,4,7,10} e C={3,0,15,48,99}, e as funções
f:AÆB definida por f(x)=3x+4, e g:BÆC definida por g(y)=y2-1.
Como nos mostra o diagrama acima, para todo x ∈ A temos um único y ∈ B tal que y=3x+4, e para
todo y ∈ B existe um único z ∈ C tal que z=y2-1, então concluímos que existe uma função h de A
em C, definida por h(x)=z ou h(x)=9x2+24x+15, pois:
h(x)=z Æ h(x)= y2-1
E sendo y=3x+4, então h(x)=(3x+4)2-1 Æ h(x)= 9x2+24x+15.
A função h(x) é chamada função composta de g com f. Podemos indicá-la por gof (lemos “g
composta com f”) ou g[f(x)] (lemos “g de f de x”). Vamos ver alguns exercícios para entender
melhor a idéia de função composta.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1. Dadas as funções f(x)=x2-1 e g(x)=2x, calcule f[g(x)] e g[f(x)].
Resolução:
f[g(x)] = f(2x) = (2x)2-1 = 4x2-1
g[f(x)] = g(x2-1) = 2(x2-1) = 2x2-2
2. Dadas as funções f(x)=5x e f[g(x)]=3x+2, calcule g(x).
Resolução:
Como f(x)=5x, então f[g(x)]= 5.g(x).
Porém, f[g(x)]=3x+2; logo 5.g(x)=3x+2, e daí g(x)=(3x+2)/5
3. Dadas as funções f(x)=x2+1 e g(x)=3x-4, determine f[g(3)].
Resolução: g(3)=3.3-4=5 � f[g(3)]= f(5)= 52+1 = 25+1= 26.
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FUNÇÃO INVERSA
Consideremos os conjuntos A={0,2,4,6,8} e B={1,3,5,7,9} e a função f:A�B definida por
y=x+1. A função f está representada no diagrama abaixo:
A função f é uma função bijetora. A cada elemento x de A está associado um único elemento y de
B, de modo que y=x+1.
Porém, como f é bijetora, a cada elemento y de B está associado um único elemento x de A, de
modo que x=y-1; portanto temos uma outra função g:B�A, de modo que x=y-1 ou g(y)=y-1. Essa
função está representada no diagrama abaixo:
Pelo que acabamos de ver, a função f leva x até y enquanto a função g leva y até x. A função
g:BÆA recebe o nome de função inversa de f e é indicada por f-1.
O domínio de f é o conjunto imagem de g, e o conjunto imagem de f é o domínio de g. Quando
queremos, a partir da sentença y=f(x), obter a sentença de f-1(x), devemos dar os seguintes passos:
1º) Isolamos x na sentença y=f(x)
2º) Pelo fato de ser usual a letra x como símbolo da variável independente, trocamos x por y
e y por x.
Por exemplo, para obter a função inversa de f:IR�IR definida por y=2x+1, devemos:
1º) isolar x em y=2x+1. Assim y=2x+1 � y-1=2x � x=(y-1)/2
2º) trocar x por y e y por x: y=(x-1)/2.
Portanto a função inversa de f é: f-1(x)=(x-1)/2.
Observação: Para que uma função f admita a inversa f-1 é necessário que ela seja bijetora. Se
f não for bijetora, ela não possuirá inversa.
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EXERCÍCIO RESOLVIDO:
Dada a função x 1f (x)
x 2
−= + , (x 2)≠ − , calcule
1f ( 1)− − .
Resolução: Sabemos que x 1y
x 2
−= + e devemos isolar x nessa igualdade, então:
x 1y
x 2
−= + ⇒
(x 2).y x 1+ = − ⇒ x.y 2.y x 1+ = − ⇒ x.y x 1 2y− = − − ⇒ x(y 1) (1 2y)− = − + ⇒ (1 2y)x
(1 y)
+= − .
Trocando x por y e y por x, obtemos: 1 2xy
1 x
+= − ,ou seja
1 1 2xf (x)
1 x
− += − , e o valor de
1f ( 1)− − é:
1 1 2( 1) 1 2 1f ( 1)
1 ( 1) 1 1 2
− + − −− = = = −− − + .
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22
Função de 1º grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por
uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo
constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos
eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
x y
0 -1
0
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado
à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b =
b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Função de 1º grau
Zero e Equação do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal
que f(x) = 0.
Temos:
f(x) = 0 ax + b = 0
Vejamos alguns exemplos:
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23
1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
2. f(x) = 0 2x - 5 = 0
3. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
4. g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2
5.
6. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:
7. O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
8. h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5
Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e
observar o que ocorre com y:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -10 -7 -4 -1 2 5 8
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes
valores de y também aumentam. Dizemos, então que a
função y = 3x - 1 é crescente.
Observamosnovamente seu gráfico:
Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:
• para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
• para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).
Função de 1º grau
Sinal
Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os
valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
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24
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa
função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente)
y > 0 ax + b > 0 x >
y > 0 ax + b < 0 x <
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x
menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente)
y > 0 ax + b > 0 x <
y > 0 ax + b < 0 x <
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x
maiores que a raiz.
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Função Quadrática
Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada
por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada
parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em
seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números
reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c =
0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
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26
Temos:
Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando
, chamado discriminante, a saber:
• quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando é zero, há só uma raiz real;
• quando é negativo, não há raiz real.
Função Quadrática
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a
< 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:
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Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode
assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,
a > 0
2ª quando a < 0,
a < 0
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28
Função Quadrática
Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas
seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o
eixo dos y.
Sinal
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para
os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
1º - > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o
eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
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29
quando a > 0
y > 0 (x < x1 ou x > x2)
y < 0 x1 < x < x2
quando a < 0
y > 0 x1 < x < x2
y < 0 (x < x1 ou x > x2)
Função Quadrática
2º - = 0
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30
quando a > 0
quando a < 0
Função Quadrática
2º - < 0
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31
quando a > 0
quando a < 0
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32
Vetores
Reta Orientada - Eixo
Uma reta r é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado
por uma seta.
Segmento orientado
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado
origem do segmento, o segundo chamado extremidade.
Segmento Nulo
Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem.
Segmentos Opostos
Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB.
Medida de um Segmento
Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um número real,
não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento
orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por
.
Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de
comprimento:
= 5 u.c.
Observações
a. Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero
b. = .
Direção e Sentido
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses
segmentos são paralelas:
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ou coincidentes
Observações
a. Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção.
b. Dois Segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.
Segmentos Equipolentes
Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo
sentido e o mesmo comprimento.
Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta. Na segunda figura abaixo, para
que AB seja equipolente a CD é necessário que AB//CD e AC/BD, isto é, ABCD deve ser um
paralelogramo.
Observações
a. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.
b. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD.
Propriedades da Equipolência
I. AB ~ AB (reflexiva).
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34
II. Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica).
III. Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva).
IV. Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB ~ CD.
Vetor
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados
equipolentes a AB.Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:
= {XY/XY ~ AB}
onde XY é um segmento qualquer do conjunto.
O vetor determinado por AB é indicado por ou B - A ou .
um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados
representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um
conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um
pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos
orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos
vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor.
Conseqüentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.
As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o
módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus
representantes.
O módulo de se indica por | | .
Vetores iguais
Dois vetores e são iguais se, e somente se, AB ~ CD.
Vetor Nulo
Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor
nulo ou vetor zero, e que é indicado por .
Vetores Opostos
Dado um vetor = , o vetor é o oposto de e se indica por ou por .
Vetor Unitário
Um vetor é unitário se | | = 1.
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Versor
Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de .
Por exemplo, tomemos um vetor de módulo 3.
Os vetores e da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto, apenas
tem a mesma direção e o mesmo sentido de . Portanto, este é o versor de .
Vetores Colineares
Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: e são
colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
Vetores Coplanares
Se os vetores não nulos , e (não importa o número de vetores) possuem representantes AB,
CD e EF pertencentes a um mesmo plano �, diz-se que eles são coplanares.
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36
Dois vetores e quaisquer são são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto
no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes de e pertencendo a um plano p
que passa por este ponto.
Três vetores poderão ou não ser coplanares.
, e são coplanares
, e não são coplanares
Soma de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:
v + w = (a+c,b+d)
Propriedades da soma de vetores
I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de R2:
v + w = w + v
II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R2:
u + (v + w) = (u + v) + w
III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R2 tal que para todo vetor u de R2, se tem:
O + u = u
IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R2, existe um vetor -v em R2 tal que:
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37
v + (-v) = O
Diferença de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:
v - w = (a-c,b-d)
Produto de um escalar por um vetor
Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como:
c.v = (ca,cb)
Propriedades do produto de escalar por vetor
Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:
• 1 v = v
• (k c) v = k (c v) = c (k v)
• k v = c v implica k = c, se v for não nulo
• k (v+w) = k v + k w
• (k + c)v = k v + c v
Módulo de um vetor
O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:
Vetor unitário
Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.
Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R2, que são dados por:
i = (1,0) j = (0,1)
Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta
dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:
Observação:
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo.
Nesse caso, u e v serão paralelos.
Se c = 0 então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do que v.
Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v.
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Produto escalar
Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o
número real obtido por:
u.v = a.c + b.d
Exemplos:
O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:
u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14
O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:
u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19
Propriedades do produto escalar
Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:
v.w = w.v
v.v = |v| |v| = |v|2
u.(v+w) = u.v + u.w
(kv).w = v.(kw) = k(v.w)
|kv| = |k| |v|
|u.v| <= |u| |v| (desigualdade de Schwarz)
|u+v| <= |u| + |v| (desigualdade triangular)
Obs: <= significa menor ou igual
Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:
u.v = |u| |v| cos(x)
onde x é o ângulo formado entre u e v.
Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores
genéricos u e v, como:
desde que nenhum deles seja nulo.
Vetores ortogonais
Dois vetores u e v são ortogonais se:
u.v = 0
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39
Progressões Aritméticas
Progressão aritmética é uma seqüência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo é
igual à soma de seu antecessor com uma constante, denominada razão.
1 n
n
(a a ).nSoma de termos de uma P.A. finita: S
2
+=
n 1Fórmula do termo geral de uma P.A.: a a (n 1).r= + −
Logo abaixo temos alguns exercícios de progressões aritméticas resolvidos.
1) Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu enésimo termo.
2) Interpole seis meios aritméticos entre –8 e 13.
3) Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de
seus quadrados vale 80.
234 4419 4).1(19 ).1(
:é geral termoo Logo,
.4 )19(15 :razão a sencontramo ntePrimeirame
1
12
−=⇒−+−=⇒−+−=⇒−+=
=⇒−−−=⇒−=
nananarnaa
rraar
nnnn
13 8- 10, 7, 4, 1, 2,- 5,- ,
:saritmético meios os interpolar basta razão, a Encontrada
3.r
7
21 217r
7831 7831 ).18(831 ).1(
:razão aencontrar devemos valores,os interpolar Para
P.A.). na termos8 existem Logo, 13. e 8- são que extremos, dois os entre
osinterpolad serão saritmético meios 6 (pois 8 ,13 ,8 :problema No
1
1
=⇒=⇒=
⇒=+⇒+−=⇒−+−=⇒−+=
==−=
r
rrrrnaa
naa
n
n
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40
4) Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que não são múltiplos de 3.
(8,4,0).ou (0,4,8) :Resposta
(8,4,0) :P.A
8a (-4)-4a r -4
:4 Para 1)
(0,4,8) :P.A
0a 4-4a r -4
:4 Para 1)
: termoprimeiro o sencontramo Agora
4r 16r 16r 322r 48802r 80248
80562432448
805)624()816(3
805)4(6)4(3
: temosequação segunda na doSubstituin
80563
4
3
312 1233
80442
1233
80)2()(
12)2()(
:acima sistema no ossubstituim Então .2 que e que Sabemos
80
12
111
111
2222
222
22
22
2
1
2
1
111
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
12
1
111
1312
2
3
2
2
2
1
321
=→=→=
−=
=→=→=
=
±=→=→=→=→−=→=+
=+−++−
=+−++−
=+−+−
=++
−=→−=→=+⇒
⇒
=++++++
=+⇒
=++++
=++++
+=+=
=++
=++
a
r
a
r
r
rrrrr
rrrrr
rrrr
rraa
rarara
rraarraaa
ra
raraa
raraa
raaraa
aaa
aaa
3. de múltiplos são não 155 logo 3, de múltiplos são 78 números, 233 Dos
78n
3
234n 3-3n231 1)3-(n15246 ).1(
:múltiplos de número o é que , oachar Basta 247). do antes 3 de múltiplo último o é (pois 246 ,3
13) do depois 3 de múltiplo primeiro o é (pois 15
:3 de múltiplos de número ocalcular Para
múltiplos. NÃO de número o resultado como dará que o múltiplos, de número pelo (233) números de total
número osubtrair após logo e 3, de múltiplos SÃO números quantos nteprimeiramecalcular devemos nós
3, de múltiplos são NÃO números quantoscalcular Para números. 233 existem 247 e 13 Entre
1
1
=→=→=→+=→−+=
==
=
rnaa
nar
a
n
n
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41
5) Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética.
6) Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é:
7) Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,-86,-82,...) então o menor
valor de n para que se tenha Sn>0 é:
8) A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n.
3
2 23 112
112
2)1()1(3
:P.A. umaser Para 1223
=→=→+=+
−=−
−+=+−
−=−
xxxx
xx
xxxx
aaaa
.4 pois 5,k Logo
4 372
372
)3()6()(
15
111
11
111
raa
raaarraa
arara
ararara
kk
k
k
+==
+=→=−+−
++=+
++=+++
47
4
188 44184
449094
4).1(9094
).1(
: termosde número oencontrar Basta
zero) quemaior ser deve a (pois 94
90
4
:dados seguintes os obtemos enunciado, Pelo
1
n
1
=→=→=+
−=+
−+−=
−+=
=
−=
=
nnn
n
n
rnaa
Sa
a
r
n
n
11
11
12
2
231
2
5291
2
132.1.411
0132
2
)22(132
2
).(
: temossoma da fórmula na doSubstituin
2 222 2).1(2 ).1(
132 ; 2 ; 2
21
1
1
=⇒
=
−==±−=±−=+±−=
=−+→+=→+=
=→−+=→−+=→−+=
===
n
n
n
n
nnnnnaaS
nananarnaa
Sar
n
n
nnnn
n
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42
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números
reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q,
chamada razão.
Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo
entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.
Cálculos do termo geral
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro,
da seguinte maneira:
a1 a2 a3 ... a20 ... an ...
a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-1 ...
Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo,
para qualquer progressão geométrica.
an = a1 x qn-1
Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:
an = 2 x (1/2)n-1
Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:
a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8
A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém,
encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as
progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas
progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um
mesmo número. As diferenças não param aí.
Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é
maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma
progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe,
também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor
absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de
crescimento e vice-versa.
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos
considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn - a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:
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Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:
Observe que neste caso a1 = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos
considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula,
vem:
Dessa equação encontramos como resposta x = 50.
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Binômio de Newton
Introdução
Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:
(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o
desenvolvimento da potência a partir da anterior, ou seja, de .
Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio
de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário
saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.
Coeficientes Binomiais
Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficiente binomial de classe p, do
número n, o número , que indicamos por (lê-se: n sobre p). Podemos escrever:
O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações,
dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever:
É também imediato que, para qualquer n natural, temos:
Exemplos:
Propriedades dos coeficientes binomiais
1ª)
Se n, p, k e p + k = n então
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Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores
igual ao numerador, são chamados complementares.
Exemplos:
2ª)
Se n, p, k e p p-1 0 então
Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 -
1567).
Exemplos:
Triângulo de Pascal
A disposição ordenada dos
números binomiais, como
na tabela ao lado, recebe o
nome de Triângulo de Pascal
Nesta tabelatriangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma
linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.
Por exemplo, os números binomiais , , e estão na linha 3 e os números binomiais ,
, , , ..., , ... estão na coluna 1.
Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:
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Construção do triângulo de Pascal
Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números
binomiais, não sendo necessário calculá-los:
1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.
2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.
3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma
daquele
que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último
(relação
de Stifel).
Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:
Propriedade do triângulo de Pascal
P1 Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.
De fato, esses binomiais são complementares.
P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é .
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De modo geral temos:
P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um
qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente
abaixo.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 4 + 10 + 20 = 35
P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento
da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.
1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35
Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton
Como vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binômio de
Newton. Além disso:
• quando n = 0 temos
• quando n = 1 temos
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• quando n = 2 temos
• quando n = 3 temos
• quando n = 4 temos
Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos
escrever também:
De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do
binômio de Newton:
Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os
expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de
(a + b)n possui n + 1 termos.
Fórmula do termo geral do binômio
Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamos que cada um deles
é da forma .
• Quando p = 0 temos o 1º termo:
• Quando p = 1 temos o 2º termo:
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• Quando p = 2 temos o 3º termo:
• Quando p = 3 temos o 4º termo:
• Quando p = 4 temos o 5º termo:
• ..............................................................................
Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser expresso por:
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Matrizes
Introdução
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais
aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um
exemplo.
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
Química Inglês Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda
linha e na terceira coluna da tabela.
Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo
acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para
baixo e as colunas, da esquerda para direita:
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas
matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.
Veja mais alguns exemplos:
• é uma matriz do tipo 2 x 3
• é uma matriz do tipo 2 x 2
Notação geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas,
acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento
ocupa.
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
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ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que
o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.
Na matriz , temos:
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.
Matrizes
Denominações especiais
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.
• Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A
=[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
•
• Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, ,
do tipo 3 x 1
•
• Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas;
dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é,
quadrada de ordem 2.
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é
formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.
Veja:
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Observe a matriz a seguir:
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)
• Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.
Por exemplo, .
• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos. Por exemplo:
• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são
iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:
Assim, para uma matriz identidade .
• Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
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Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna
de At.
Matrizes
• Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos
sempre a ij = a ij.
• Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de
A. Por exemplo, .
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que
ocupam a mesma posição são iguais:
.
Operações envolvendo matrizes
Adição
Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas matrizes a matriz
, tal que Cij = aij + bij , para todo :
A + B = C
Exemplos:
•
•
•
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Propriedades
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Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0+ A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0
Subtração
Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma
de A com a matriz oposta de B:
A - B = A + ( - B )
Observe:
Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do
tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:
B = x.A
Observe o seguinte exemplo:
Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes
propriedades:
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA = yA
d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A
Matrizes
Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos
elementos.
Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada
elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima
linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij:
• 1ª linha e 1ª coluna
• 1ª linha e 2ª coluna
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55
• 2ª linha e 1ª coluna
• 2ª linha e 2ª coluna
Assim, .
Observe que:
Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.
Vejamos outro exemplo com as matrizes :
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao
número de linhas de B:
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
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• Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5
• Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto
• Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
•
Propriedades
Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes
propriedades:
a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )
b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C
c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n
Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não
vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não
implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.
Matriz inversa
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A .
A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A-1 .
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Determinantes
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é
do tipo nxn).
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
• resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
• cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as
coordenadas dos seus vértices;
Determinante de 1ª ordem
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:
det M =Ia11I = a11
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm
o significado de módulo.
Por exemplo:
• M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 • M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3
Determinante de 2ª ordem
Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M,
determinante de 2ª ordem, é dado por:
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos
elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo
a seguir.
Menor complementar
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de
ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando
suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .
Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:
a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao
elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:
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Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:
b) Sendo , de ordem 3, temos:
• •
Determinantes
Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz
quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . MCij .
Veja:
a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:
b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:
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Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos
produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos
cofatores.
Assim, fixando , temos:
em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, .
Determinantes
Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático,
denominado regra de Sarrus.
Acompanhe como aplicamos essa regra para .
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois
produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser
precedida do sinal positivo):
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60
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois
produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser
precedida do sinal negativo):
Assim:
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace,
encontraremos o mesmo número real.
Determinante de ordem n > 3
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3.
Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a
determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.
Determinantes
Propriedades dos determinantes
Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa
matriz é nulo.
Exemplo:
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61
P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos
correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos:
P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos
de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:
Determinantes
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62
P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:
P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o
determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:
P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de
sinal.
Exemplo:
P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o
determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
Determinantes
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63
P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos,
o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .
Exemplos:
P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:
Exemplo:
P12)
Exemplo:
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Sistemas Lineares
Equação linear
Equação linear é toda equação da forma:
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas
x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe
o nome de linear homogênea).
Veja alguns exemplos de equações lineares:
• 3x - 2y + 4z = 7 • -2x + 4z = 3t - y + 4
• (homogênea)
As equações a seguir não são lineares:
• xy - 3z + t = 8 • x2- 4y = 3t - 4 •
Sistema linear
Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é,
simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.
Sistemas Lineares
Matrizes associadas a um sistema linear
A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:
• matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.
Em relação ao sistema:
a matriz incompleta é:
• matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última
coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.
Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:
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Sistemas homogêneos
Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:
Veja um exemplo:
A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o
nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.
Sistemas Lineares
Classificação de um sistema quanto ao número de soluções
Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim,
dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).
No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8),
(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema
é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).
Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações.
Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).
Resumindo, um sistema linear pode ser:
a) possível e determinado (solução única);
b) possível e indeterminado (infinitas soluções);
c) impossível (não tem solução).
Sistema normal
Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o
determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.
Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.
Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma única solução dada por:
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em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e
Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna
formada pelos termos independentes.
Discussão de um sistema linear
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:
a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única.
Exemplo:
m=n=3
Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.
b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição
só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente
proporcionais e termos independentes não-proporcionais.
Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.
Exemplo:
D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.
Sistemas Lineares
c) impossível, se D=0 e Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução.
Exemplo:
Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução.
Sistemas Equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, dados os sistemas:
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67
e
verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são
equivalentes: S1 ~ S2.
Propriedades
a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
Por exemplo:
e
S1 ~S2
b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um
sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:
S1 ~S2
c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo
sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Por exemplo:
Dado , substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II),
obtemos:
S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.
Sistemas Lineares
Sistemas escalonados
Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de
equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se
muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a
discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.
Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação,
está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta
de equação para equação.
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª
incógnita das demais equações.
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:
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I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)
Exemplo 1:
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as
propriedades dos sistemas equivalentes:
• Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja
igual a 1:
• Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:
• Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:
• Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:
Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.
-2z=-6 z=3Materiais relacionados
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