EXPRESSÕES ALGEBRICAS

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Matemática
Prof.: Emerson Donizeti Biajoti
08/09/2020
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
 
1 – Conjuntos numéricos: propriedades, operações e representações.
2 – Expressões algébricas: operações, valor numérico, resolução de problemas.
3 – Equações de 1º grau e de 2º grau.
4 – Função afim.
5 – Função quadrática.
6 – Inequações de 1º grau e de 2º grau.
7 – Sistemas de equações de 1º grau.
8 – Logaritmos.
Módulo 2
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Na Antiguidade, a falta de símbolos para indicar números desconhecidos levou o ser humano a recorrer às palavras. Isso, porém, tornava o cálculo longo e complicado.
Aristóteles (384-322 a.C.) e Euclides (século III a.C.) foram os filósofos gregos que deram os primeiros passos no emprego de letras e símbolos para indicar números e expressar a solução de um problema.
Entretanto, muito tempo se passou até as letras serem amplamente usadas para indicar quantidades desconhecidas. Esse uso se deve, principalmente, ao alemão Michael Stifel (1486-1567) e aos italianos Girolamo Cardano (1501-1576) e Raffaelle Bombelli. Bombelli é autor de uma obra de notável interesse, intitulada L’Algebra e publicada em 1572.
Foi, porém, um advogado e matemático francês, François Viète (1540-1603), quem introduziu o uso sistemático das letras para indicar os números desconhecidos e os símbolos das operações usados até hoje.
2.1 Expressões algébricas
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações.
As expressões desse tipo são usadas com frequência em fórmulas e equações.
As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis e representam um valor desconhecido.
Os números escritos na frente das letras são chamados de coeficientes e deverão ser multiplicados pelos valores atribuídos as letras.
Exemplos 
a) x + 5 b) b2 – 4ac c) 
Monômio ou termo algébrico
Denomina-se monômio ou termo algébrico toda expressão algébrica representada apenas por um número, ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis, em que a variável não esteja nem no denominador nem no radical.
Assim, são exemplos de monômios:
 3x 
7y 
x2 
abc 
- 5x2yz3 
8
Um monômio é formado por duas partes: um número, chamado coeficiente, e uma variável ou uma multiplicação de variáveis (considerando inclusive seus expoentes), chamada parte literal.
Exemplo:
5 é o coeficiente numérico.
 é parte literal.
Monômios semelhantes
Quando dois ou mais monômios apresentam a mesma parte literal, eles são denominados monômios semelhantes ou termos semelhantes.
Exemplo:
Assim, são exemplos de monômios ou termos semelhantes:
 e 
 e 
Polinômios
Polinômio é toda expressão algébrica que representa um monômio ou uma soma algébrica de monômios.
Os polinômios de um só termo são chamados monômios, os de dois termos, binômios, e os de três termos, trinômios. Os polinômios com mais de três termos não recebem denominação específica.
Exemplos
a) 2xy + 3 x2y - xy3 
b) a + b 
c) 3abc + ab + ac + 5 bc
2.2 – Cálculo de uma Expressão Algébrica – Valor numérico
Quando substituímos as variáveis de uma expressão algébrica por números e efetuamos os cálculos indicados, obtemos o valor numérico da expressão algébrica dada para esses números.
O valor de uma expressão algébrica depende do valor que será atribuído às letras.
Para calcular o valor de uma expressão algébrica devemos substituir os valores das letras e efetuar as operações indicadas. Lembrando que entre o coeficiente e a letras, a operação é de multiplicação.
Exemplo
O perímetro de um retângulo é calculado usando a fórmula: P = 2b + 2h
 
Substituindo as letras com os valores indicados, encontre o perímetro dos seguintes retângulos.
2.3 – Simplificação de Expressões Algébricas
 
Podemos escrever as expressões algébricas de forma mais simples somando seus termos semelhantes (mesma parte literal).
Para simplificar iremos somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e repetir a parte literal.
Essa operação também pode ser chamada de redução de termos semelhantes.
Exemplos
a) 3xy + 7xy4 - 6x3y + 2xy - 10xy4 = 
(3xy + 2xy) + (7xy4 - 10xy4) - 6x3y = 
5xy - 3xy4 - 6x3y
b) ab - 3cd + 2ab - ab + 3cd + 5ab = 
(ab + 2ab - ab + 5ab) + (- 3cd + 3cd) = 
7ab
Até aqui – 08/09/2020
2.4 – Operações Algébricas
 
Soma e subtração
 
Só podem ser realizadas quando os monômios possuem parte literal idêntica, ou seja, são semelhantes. Quando isso acontecer, some ou subtraia apenas os coeficientes, mantendo a parte literal dos monômios na resposta final.
Exemplo
a) Somar (2x2 + 3xy + y2) com (7x2 - 5xy - y2)
(2x2 + 3xy + y2) + (7x2 - 5xy - y2) = 
(2 + 7) x2 + (3 - 5) xy + (1 - 1) y2 =
 9x2 - 2xy
Adição(ou subtração) algébrica de monômios semelhantes: 
somam-se algebricamente os coeficientes numéricos dos termos semelhantes;
e mantem-se a parte literal.
b) Subtrair (5ab - 3bc + a2) de (ab + 9bc - a3)
(5ab - 3bc + a2) - (ab + 9bc - a3) = 
5ab - 3bc + a2 - ab - 9bc + a3 =
(5 - 1) ab + (- 3 - 9)bc + a2 + a3 = 
4ab -12bc + a2 + a3
É importante observar que o sinal de menos na frente dos parênteses inverte todos os sinais de dentro dos parênteses.
Multiplicação e divisão de monômios.
Vamos recordar as propriedades para as multiplicações e divisões de potências de bases iguais.
a) 
c) 
d) 
f) 
Exemplos
Multiplicação
A multiplicação de monômios não necessita de que as partes literais sejam iguais. Para multiplicar dois monômios, multiplique primeiro os coeficientes e, depois, multiplique incógnita a incógnita usando propriedades da potenciação.
Para multiplicar a parte literal, usamos a propriedade da potenciação para multiplicação de mesma base: "repete-se a base e soma-se os expoentes".
Exemplo
Multiplicar (3x2 + 4xy) com (2x + 3)
(3x2 + 4xy) . (2x + 3) = 
3x2 . 2x + 3x2 . 3 + 4xy . 2x + 4xy . 3 = 
6x3 + 9x2 + 8x2y + 12xy
Multiplicação de dois monômios :
primeiro, multiplicam-se os coeficientes;
em seguida, multiplicam-se as partes literais (usando a propriedade da multiplicação de potências de mesma base).
Divisão de um polinômio por um monômio
 
A divisão é feita da mesma maneira, entretanto, dividem-se os coeficientes e utiliza-se a propriedade da divisão de potências de mesma base para a parte literal.
A divisão de um polinômio por um monômio é feita dividindo os coeficientes do polinômio pelo coeficiente do monômio. Na parte literal, usa-se a propriedade da divisão de potência de mesma base (repete-se a base e subtrai os expoentes).
Exemplo
Divisão de dois monômios:
primeiro, dividem-se os coeficientes;
em seguida, dividem-se as partes literais (usando a propriedade da divisão de potências de mesma base).
Exercício 1
Esta figura é uma representação de um retângulo, cujas medidas dos lados, expressas em unidades de comprimento, estão indicadas na figura.
a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse retângulo? 
b) Qual é a expressão algébrica que representa o perímetro do retângulo da figura?
c) Qual é o valor numérico de cada uma destas expressões para a=3 cm e b=5cm.
b) 
c) 
9 + 15 = 24 cm2
4a
4.3
12 + 10 = 22 cm
Exercício 2
Esta figura é uma representação de uma planta de um terreno, cujas medidas dos lados, expressas em unidades de comprimento, estão indicadas na figura.
a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse terreno? 
b) Qual é a expressão algébrica que representa o perímetro desse terreno?
c) Qual é o valor numérico de cada uma destas expressões para x=5 cm, y=4cm e z =2cm .
b)
c) =
4.2 + 52=
8 + 25 = 33 cm2
 = 
2.4 + 4.5 =
8 + 20 = 28 cm
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
 
BONORA Jr., D. et al. Matemática – complementos e aplicações nas áreas de Ciências Contábeis, Administração e Economia. 5ª ed. São Paulo: Ícone, 2010.
 
SILVA, F. C. M.; ABRÃO, M. Matemática básica para decisões administrativas. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 2008.
 
SILVA, S. M. et al. Matemática Básica para cursos superiores. 2ª ed. São Paulo:Atlas, 2018.
Paiva, Manoel Rodrigues
Matemática : Paiva – 2. ed. 
São Paulo : Moderna, 2010 .
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
Gelson Iezzi. . . [et. al.] 
Matemática : Ciência e Aplicações : ensino médio – 9. ed. 
São Paulo : Saraiva, 2016.
Dante, Luiz Roberto
Matemática : Contexto & Aplicações – 2. ed. 
São Paulo : Ática, 2013.
Bianchini, Edwaldo
Matemática Bianchini – EF – 8. ed. 
São Paulo : Moderna, 2015.
Giovanni Júnior, José Ruy
A conquista da matemática – EF - 4. ed. 
São Paulo : FTD, 2018.