PROVA e DESAFIO- HOMOORFISMO E ANEL QUOCIENTE

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PROVA e DESAFIO- HOMOMORFISMO E ANEL QUOCIENTE
ROBSON BEZERRA
Desafio
Os sistemas de segurança são fundamentais no ambiente da tecnologia. No entanto, nem sempre é fácil proteger dados e informações, uma vez que cada vez mais os computadores têm sua capacidade de processamento ampliada. Nesse sentido, uma estratégia que pode ser utilizada para aumentar a segurança de um sistema de computação consiste em utilizar códigos que mudam o tempo todo.
Neste Desafio, você deverá aplicar seus conhecimentos sobre anel quociente no problema dos dígitos verificadores de uma senha.
​​​​​​​Sabendo que o usuário acessou o sistema às 12h55min, que o anel utilizado é A = Z, e o ideal é I = 6Z (com adição e multiplicação habituais), sendo o anel quociente A/I, determine os dígitos verificadores.
Resposta: A=Z, I=6Z
A/I= {x+I/xEA} 1e2= DV1(adição).: 1+I)+(2+I)= (1+2)+I= 3+I
 5e5=DV2(multiplicação).: (5+I)*(5+I)= (5*5)+I= 1+I
 .: ****125531
1. ​​​​​​​​​​​​​​Se os anéis (A, +, *) e (B, ⊕, ⨀) são tais que (A, +, *) = (B, ⊕, ⨀), além disso, a aplicação f: A→B é um endomorfismo de anéis, então é correto afirmar que a aplicação f: A→A é um:
Você acertou!
B. automorfismo.
2. O anel quociente de A por I é o conjunto dado por:
A/I = ｛x + I | x ∈ A｝
Sobre ele estão definidas as seguintes operações de adição e multiplicação, respectivamente:
(x + I) + (y + I) = (x + y) + I, ∀x, y ∈ A
(x + I) * (y + I) = (x * y) + I, ∀x, y ∈ A
Dito isso, considere o anel A dado por A = Z, o ideal I = 6Z, calcule
​​​​​​​(4 + I) * (5 + I) e assinale a alternativa correta:
Você acertou!
C. 2 + I. RESPOSTA= (4*5)+I= 2+I
3. ​​​​​​​Considerando os anéis (A, +, *) e (B, ⊕, ⨀), bem como a aplicação
f: A→B, em que se verificam as propriedades:
Para ∀x, y ∈ A, f(x + y) = f(x) + f(y)
Para ∀x, y ∈ A, f(x * y) = f(x) * f(y)
Julgue as afirmações que seguem e marque V para verdadeiro e F para falso:
( ) Se S é um subanel de A, então f(S) é um subanel de B.
( ) Para todo x, y ∈ A, f(x − y) ≠ f(x) − f(y).
( ) Se f for uma função sobrejetora e A ter unidade 1A, então o mesmo acontece com B, e a unidade de B é f(1a) = 1B.
( ) A função f é uma função injetora se, e somente se, N(f) = ｛0A｝.
A ordem correta de preenchimento das lacunas, de cima para baixo, é:
Você acertou!
D. V – F – V – V.
4. ​​​​​​Sejam A um anel e I ≠ ∅ um subconjunto de A, o subconjunto I é um ideal de A se, e somente se, para todo a, b ∈ I e r ∈ A, têm-se:
a − b ∈ I, a * r ∈ I e r * a ∈ I.
A partir disso, julgue as asserções que seguem e a relação proposta entre elas:
I. Sejam R um anel e I um ideal de R, a função dada por f: R→R/I, sendo definida por f(a) = a + I, para todo a ∈ R, é um homomorfismo sobrejetor de anéis com núcleo I.
PORQUE
II. Todo ideal de R é núcleo de um homomorfismo de anéis com domínio R.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Você acertou!
A. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
5. ​​​​​​​Sejam A = Z, assim como o ideal I = 4Z com as operações de soma e multiplicação habituais. Sobre a operacionalização desse anel quociente, julgue as afirmações que seguem:
I. É válida a igualdade (1 + I) + (2 + I) = (2 + I).
II. É válida a igualdade (3 + I) * (3 + I) = (1 + I).
III. É válida a igualdade (3 + I) * (2 + I) = (2 + I).
Está correto o que se afirma em:
Você acertou! E. II e III.