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Aula 1
	1a Questão 
	
	
	
	
		
	
	Existe elemento neutro e = 2
	
	Existe elemento neutro e = 1
	
	Não existe elemento neutro
	
	Existe elemento neutro e = 0
	
	Existe elemento neutro e = -1
	
	 3a Questão 
	
	
	
	
	O conjunto dos números reais e a operação multiplicação, possuem estrutura de grupo. Nestas condições, a propriedade que garante que seja um grupo abeliano é:
		
	
	Comutativa.
	
	Elemento inverso.
	
	Distributiva.
	
	Elemento neutro.
	
	Associativa.
	 
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	O conjunto R dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento simétrico.
		
	
	x-1 = 3 + x
	
	x-1 = 3 - x
	
	x-1 = 6 + x
	
	x-1 = 6 - x
	
	x-1 = 3
	
	 6a Questão 
	
	
	
	
	O conjunto R dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro.
		
	
	e = 1
	
	e = -2
	
	e = 3
	
	e = 4
	
	e = 6
	
	 7a Questão 
	
	
	
	
	O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo ? 
		
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	O conjunto R dotado da operação * tal que x ⋆ y=x+y2 é um grupo ? 
		
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	Sim, pois existe elemento neutro e = 1
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	Sim, pois existe elemento simétrico 
	
	
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y - 2
Verifique a existência de elementos simétrizáveis. 
		
	
	x-1 = 1 - x 
	
	x-1 = 4 - x 
	
	x-1 = x + 1 
	
	x-1 = 4 + x 
	
	x-1 = 2 - x  
		 5a Questão 
	
	
	
	
	Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y - 2
Verifique a existência do elemento neutro. 
		
	
	e = 0
	
	e = 2
	
	e = 1
	
	e = -2
	
	e = 3
	
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 4. A partir dela podemos dizer que 16 * 4 é:
		
	
	1
	
	0
	
	13
	
	4
	
	12
	2a Questão 
	
	
	
	
		
	
	3
	
	5
	
	1
	
	12
	
	4
	3a Questão 
	
	
	
	Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. 
		
	
	m > n
	
	m < n
	
	m = k
	
	n = k
	
	m = n
	Respondido em 02/04/2019 00:33:45
	
	
	8a Questão 
	
	
	
	Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 3. A partir dela podemos dizer que 15 * (-2) é:
		
	
	0
	
	4
	
	12
	
	1
	
	13
	 
	
	 4a Questão 
	
	
	
	
	O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 4 é um grupo ? 
		
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	7a Questão 
	
	
	
	Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y + xy
Verifique a existência do elemento neutro. 
		
	
	Existe elemento neutro e = 0
	
	Existe elemento neutro e = 2
	
	Não existe elemento neutro 
	
	Existe elemento neutro e = -1
	
	Existe elemento neutro e = 1
	8a Questão 
	
	
	
	Considere as seguintes afirmações:
(I ) A operação x⋆y=x+y2, G = R sobre G é um grupo. 
(II) A operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento neutro e portanto não é um grupo.
(III) A operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4
Podemos concluir que
		
	
	A afirmação II é verdadeira
	
	A afirmação I é verdadeira
	
	A afirmação III é falsa
	
	A afirmação III é verdadeira
	
	As afirmações I e III são falsas
Aula 2
	1a Questão 
	
	
	
	Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto  Z11.
		
	
	8
	
	5
	
	4
	
	48
	
	6
	Respondido em 24/03/2019 16:05:52
	
	
	1a Questão 
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a soma de 259 + 371 em Z11.
		
	
	22
	
	14
	
	630
	
	3
	
	35
	8a Questão 
	
	
	
	Calcule o produto (27).(45) considerando Z10.
		
	
	35
	
	7
	
	10
	
	3
	
	5
	2a Questão 
	
	
	
	Considere o conjunto (Z5, +). Marque a alternativa que indica a solução de equação x + 4 = 2
		
	
	5
	
	4
	
	3
	
	7
	
	6
	 
	
	 2a Questão 
	
	
	
	
	
		
	
	A afirmação I é falsa
	
	Somente a afirmação II é verdadeira
	
	A afirmação III é verdadeira
	
	As afirmações I e III são falsas
	
	As afirmações I e II são verdadeiras
	
	
	
	7a Questão 
	
	
	
	
		
	
	e = f1
	
	Não existe elemento neutro.
	
	e = f4
	
	e = f3
	
	e = f2
	 
	
	 3a Questão 
	
	
	
	
	Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações:
(I) e * x = x = x * e, para todo x.
(II) a * x = a = x * a, para todo x.
(III) x * x = e, para todo x diferente de a.
(IV) b * d = c;
(V) b, c, d são regulares.
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa.
		
	
	c
	
	e
	
	a
	
	d
	
	b
	
	 4a Questão 
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a soma de 259 + 371 em Z11.
		
	
	35
	
	14
	
	3
	
	630
	
	22
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação  *  apresentada na tábua de operação abaixo. 
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares.
		
	
	1, 3 e 4
	
	2, 3, 4 e 5
	
	2, 3 e 5
	
	1, 2 e 5
	
	1, 2 ,3, 4 e 5
	
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11.
 
		
	
	{(0,6)}
	
	{(1,4)}
	
	{(2,3)}
	
	{(-3,7)}
	
	{(-14/13;119/39)}
	
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8.
		
	
	1
	
	2
	
	4
	
	3
	
	- 5/3
	3a Questão 
	
	
	
	Marque a alternativa que apresenta a construção correta da tábua de uma operação * sobre o conjunto G = {1,2,3,4} de acordo com as condições (I), (II), (III), (IV) e (V) dadas.
(I) 1 é o elemento neutro
(II) seja comutativa 
(III) todos os elementos de G são simetrizáveis
(IV) todos os elementos de G são regulares
(V) 2*3 = 1
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G.
		
	
	x = c
	
	x = f   
	
	x = d
	
	x = a
	
	x = b
 
	
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Aula 3
	1a Questão 
	
	
	
	
		
	
	A afirmação III é falsa
	
	As afirmações II e III são verdadeiras
	
	As afirmações I e II são verdadeiras
	
	A afirmação I é verdadeira
	
	As afirmações I e III são falsas
	
	 2a Questão 
	
	
	
	
	A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G.
		
	
	x = f
	
	x = d
	
	x = b
	
	x = a
	
	x = c
	
	 3a QuestãoConsidere as seguintes afirmações:
 
(I) 3Z é subgrupo de 6Z. 
(II) 2Z + 1 dos inteiros ímpares não é subgrupo do grupo (Z, +). 
(III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +) 
(IV) (Z, +) não é um subgrupo de (Q, +) 
 
Podemos concluir que
		
	
	As afirmações I e III são falsas
	
	As afirmações II e III são verdadeiras
	
	As afirmações III e IV são falsas
	
	A afirmação I é verdadeira
	
	As afirmações I e II são verdadeiras
	 4a Questão 
	
	
	
	
	Considere o grupo (Z6 ,+) e a = 4. Determine a2 .
		
	
	16
	
	8
	
	4
	
	2
	
	1
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Considere o grupo (Z*7, .) e a = 5. Determine a2 .
		
	
	4
	
	3
	
	0
	
	25
	
	1
	
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Considere o grupo (Z6,+) e 2 um elemento de Z6. Determine a ordem do elemento 2.
		
	
	o(2) = 2
	
	o(2) = 5
	
	o(2) = 4
	
	o(2) = 3
	
	o(2) = 1
	
	 8a Questão 
	
	
	
	
	A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine os geradores de G.
		
	
	A e F
	
	B e C
	
	B, D e E
	
	C e F
	
	A e D
	6a Questão 
	
	
	
	Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈
	Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
	1a Questão 
	
	
	
	Considere o grupo (Z10,+). Determine o subgrupo gerado pelo elemento 3.
		
	
	Z10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}. 
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}. 
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
	2a Questão 
	
	
	
	A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine a ordem do elemento d.
		
	
	o(d) = 2
	
	o(d) = 3 
	
	o(d) = 1
	
	o(d) = 5
	
	o(d) = 4
 
	
	 3a Questão 
	
	
	
	
	A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G.
		
	
	x = f
	
	x = d
 
	
	x = a
	
	x = c 
	
	x = b
	Respondido em 29/03/2019 00:16:53
	
	
	 
	
	 4a Questão 
	
	
	
	
	A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G.
		
	
	x = b
	
	x = c
	
	x = f
	
	x = d
	
	x = a
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Questão 6: Considere o grupo (Z10,+). Determine um subgrupo gerado pelo elemento 4.
		
	
	[4] = {2,4,6,8}
	
	[4] = {2,4,8,0}
	
	[4] = {4,6,8,0}
	
	[4] = {2,4,6,10}
	
	[4] = {2,4,6,8,0}
	7a Questão 
	
	
	
	Considere o grupo (Z10,+). Determine o subgrupo gerado pelo elemento 2.
		
	
	[2] = {2,4,8,0}
	
	[2] = {2,4,6,0}
	
	[2] = {4,6,8,0}
	
	[2] = {2,4,6,8,0}
	
	[2] = {2,4,6,8}
	
	8a Questão 
	
	
	
	Seja (G,*) um grupo. Se R e S são subgrupos de G então R ∩ S é um subgrupo de G. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição.
		
	3a Questão 
	
	
	
	Determine 2-4 em (Z, +).
		
	
	-4
	
	8
	
	2
	
	-8
	
	4
	
	6a Questão 
	
	
	
	Seja (Z6, +) um grupo. Verifique se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de 
(Z6, +).
		
	
	H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é elemento de H.
	
	H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 em Z6.
	
	H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, +).
	
	H é subgrupo de (Z6, +).
	
	H não é subgrupo de (Z6, +).
Aula 5
	4a Questão 
	
	
	
	Considere o seguinte resultado sobre isomorfismos de grupos:
Sejam m, n elementos de N* tais que m|n. Se n = md, d é um elemento de N, então pelo Teorema do Isomorfismo concluímos que 
 
De acordo com o resultado apresentado, marque a alternativa correta.
 
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	5a Questão 
	
	
	
	 
Analise as proposições sobre isomorfismo de grupos e marque a alternativa correta.
 
(I) Os grupos G = (Z3,+) e H = (Z6,+) são isomorfos. 
(II) Os grupos G = (S3,o) e H = (Z6,+) não são isomorfos. 
(III) Os grupos G = (R*,.) e H = (R,+) são isomorfos. 
 
		
	
	I , apenas
	
	II e III , apenas 
	
	III , apenas
	
	II , apenas
	
	I e II , apenas
	7a Questão 
	
	
	
	Considere dos conjuntos G e H. Marque a alternativa que explica corretamente como devemos mostrar que G é isomorfo a H.
		
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma única condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função f: G → H que seja bijetora.
 
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar as duas condições dadas na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função f: G → H que seja injetiva, e verificar a existência de um homomorfismo de grupos.
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar as duas condições dadas na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função 
f: G → H que seja bijetora, e verificar a existência de um homomorfismo de grupos.
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma única condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função f: G → H que seja sobrejetora.
	
	Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar uma única condição dada na definição de isomorfismo, ou seja, verificar a existência de um homomorfismo de grupos.
 
	1a Questão 
	
	
	
	Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f.
		
	
	N(f) = {1}
	
	N(f) = {3}
	
	N(f) = {0}
	
	N(f) = {2}
	
	N(f) = {4}
	Respondido em 07/04/2019 15:28:36
	
	
	4a Questão
	
	
	
	Consideremos o homomorfismo de grupos f: (ZxZ, +) → (ZxZ, +), 
f(x,y) = (x - y, 0). Determine o núcleo de f. 
		
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ZxZ/x =- y}
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ZxZ/x = -2y}
	 
	N(f) = {(x,y) ∈∈ZxZ/x =y}
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ZxZ/x =2y}
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ZxZ/x =3y}
	3a Questão
	
	
	
	Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d).  f: G →G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo, determine seu núcleo.
		
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x - 5y = 0}
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x + y = 0}
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / x + 5y = 0}
	 
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x + 5y = 0}
	
	N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / x + y = 0}
	 
	
	 2a Questão 
	
	
	
	
	Marque a alternativa correta.
		
	
	Seja f: Z → Z tal que f(x) = -x. f é um homomorfismo de anel.
	
	Seja f: Z x Z → Z tal que f(x,y) = x. f não é um homomorfismo de anel.
	
	Seja f: A → B tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel.
	
	Seja f: Z → Z tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel.
	
	Seja f: A → B tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel.
	 
	
	
	
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis.
		
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: 
f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(xy) = f(x)f(y).
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: 
f(x + y) = f(x) + f(y).
	Respondido em 07/04/2019 15:28:58
	
	
	 
	
	
	 8a QuestãoAnalise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.
De acordo com a teoria do isomorfismos de Grupos podemos dizer que os  grupos S3 e Z6  não são isomorfos.
PORQUE
S3 não é abeliano e Z6 é abeliano.
		
	
	Apenas a primeira afirmativa é verdadeira.
	
	As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
	
	Apenas a segunda afirmativa é verdadeira.
	
	As duas afirmativas são falsas.
	
	As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
	7a Questão
	
	
	
	Marque a alternativa correta.
		
	
	Quando G1 = G2 = G  e f: G → G é um isomorfismo.
 
	 
	Quando G1 = G2 = G  e  f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de automorfismo de G.
	
	Quando G1 = G2 = G  e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de monomorfismo de G.
	 
	Quando G1 = G2 = G  e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de homomorfismo de G.
	
	Quando G1 = G2 = G  e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de epimorfismo de G.
Aula 6
	
	
	 
		
	
	As afirmativas I, II e III estão corretas
	
	As afirmativas I e II estão corretas
	
	As afirmativas I e III estão corretas
	
	Apenas a afirmativa II está correta
	 
	As afirmativas II e III estão corretas
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Resolvendo a equação 3x + 2 = 6x + 7 no anel Z8 encontramos como solução :
		
	
	x = 8
	 
	x = 1
	
	x = 3
	
	x = 5
	 
	x = 10
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	
		
	
	c - b
	 
	d - c
	 
	a - b
	
	b - c
	
	a - c
 
		8a Questão
	
	
	
	As tábuas abaixo representam as operações de adição e multiplicação no anel
A = {a,b,c} com três elementos distintos. As tábuas estão incompletas. Marque a alternativa que apresenta os elementos que estão faltando nas tabelas da adição e multiplicação, respectivamente.
 
		
	 
	b - c
	
	a - b
	
	a - c
 
	
	b - a
	 
	c - b
Respondido em 05/06/2019 13:47:47
	
	
	
 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Indique a opção que representa uma solução para o sistema de equações 6x+5y=7 e 3x + y=2 no anel Z12:
		
	
	x= 3 e y= 4
	 
	x= 3 e y= 8
	
	x= 1 e y= 5
	 
	x= 3 e y= 5
	
	x=5 e y={3,8,9}
	Respondido em 05/06/2019 13:47:49
	
	
	6a Questão
	
	
	
	Encontre a solução do sistema de equações determinado pela equações 3x+2y=1 e 4x+6y=2 no Anel Z7 .
		
	
	X= 2 e y=4
	
	X= 2 e y=2
	
	X= 2 e y=3
	 
	X= 5 e y=6
	 
	X= 3 e y=3
	 
		
	 
	a = 6
	 
	a = - 2
	
	a = 2
	
	a = 1
	
	a = 3
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa correta que apresenta o elemento neutro do anel (Q,*, Δ) com as operações definidas por:
 
 
		
	
	e = 4
	 
	e = 2
	
	e = 3
	 
	e = 1
	
	e = 5
	Respondido em 05/06/2019 13:47:52
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	
		
	
	e = 1
	 
	e = -1
	
	e = -2
	
	e = 2
	 
	e = 0
	Respondido em 05/06/2019 13:47:54
	
	
	 
	
	3a Questão
	
	
	
	Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta.
 
(I)  (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z.
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. 
(III)  Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK  o conjunto de todas as funções de K em A.
		
	
	 I , apenas
	
	II , apenas
	
	III , apenas
	 
	I e III , apenas
	
	I e II , apenas
Aula 7
	1a Questão 
	
	
	
	Identifique o anel abaixo com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade.
		
	
	Z
	
	2Z
	
	Z+
	
	Q
	
	O conjunto M2(Z) das matrizes 2 × 2
	
	
	
	8a Questão 
	
	
	
	Marque a única alternativa correta sobre os anéis com unidade.
		
	
	(R, + , .) não é um anel com unidade.
	
	O anel (Zm,+, .) é um anel com unidade para m ≥ 2.
	
	(C,+, .) não é um anel com unidade.
	
	(Z, +, .) não é um anel com unidade.
	
	(Q, +, .) não é um anel com unidade.
	 
	4a Questão 
	
	
	
	Seja M_2x2 (R) o anel das matrizes 2 por 2 de entradas nos reais. Logo, não podemos afirmar que:
		
	
	Nenhuma das anteirores
	
	M_2x2 (R) é um anel comutativo.
	
	M_2x2 (R) tem elemento neutro da soma.
	
	M_2x2 (R) tem divisores de zero
	
	M_2x2 (R) tem unidade.
	3a Questão 
	
	
	
	Considere as seguintes afirmações: 
(I) Se (A,+, .) é um anel comutativo, então (AK, +, .) é comutativo. 
(II) Se A e B são anéis com unidade, então A x B não tem unidade. 
(III) Se (A,+, .) é um anel com unidade, então (Mnxn(A),+, .) tem unidade. 
(IV) (Zm , +, .) é um anel comutativo com unidade. 
 
Com relação as afirmações podemos concluir que:
 
		
	
	Somente a II e III estão corretas.
	
	Somente a III e IV estão corretas.
	
	Somente a I, III e IV estão corretas.
	
	Somente a I está correta.
	
	Somente a II e IV estão corretas.
	4a Questão 
	
	
	
	Sejam A um anel e a,b ϵ A. (I) a.0=0; (II) a.(-b)=(-b).a= -b.a; (III) (-1).a= -a; (IV) a+b=b+a; Segundo as afirmativas,
		
	
	apenas (I) está incorreta.
	
	apenas (III) está incorreta.
	
	Todas estão incorretas
	
	apenas (IV) está incorreta.
	
	apenas (II) está incorreta.
	
	6a Questão 
	
	
	
	Um anel é um conjunto A, cujos elementos(x,y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as seguintes algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel comutativo. 
		
	
	x.y= y.x
	
	x + y = y + x
	
	x(y + z) = x.y + x.z
	
	(x + y) + z = x + (y + z)
	
	(x.y).z = x.(y.z)
	Respondido em 05/06/2019 21:36:15
	
	
	 
	
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Marque a única alternativa correta sobre os anéis comutativos.
 
		
	
	(Zm,+, .) não é um anel comutativo
	
	(C,+,.) não é um anel comutativo.
	
	Os anéis das matrizes são anéis comutativos se n ≥ 2.
	
	(Z,+,.) não é um anel comutativo.
	
	(RR, +,.) é um anel comutativo.
	 8a Questão 
	
	
	
	Indique nas alternativas abaixo a unidade do anel (Zm,+, .) para m ≥ 2 onde m é um elemento do conjuntos dos inteiros.
	
	 2a Questão 
	
	
	
	
	A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: 
 Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z, m(na) = (mn)a
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
		
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n  temos n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre m verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
m(ka) = (mk)a
	5a Questão 
	
	
	
	A 
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: 
Seja A um anel,  m, n ϵ Z, temos:
 (m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
	
	Seja A um anel, e m, n ϵ Z,
	Por indução sobre n verificamos que:
	Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
	Agora vamosconsiderar verdadeiro para n = k ≥ 1.
	(m + k)a = ma + ka
	V
	Seja A um anel, e m, n ϵ Z,
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	Seja A um anel, e m, n ϵ Z,
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	Seja A um anel, e m, n ϵ Z,
Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	Seja A um anel, e m, n ϵ Z,
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
(m - k)a = ma - ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a
	
	1a Questão 
	
	
	
	A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: 
Seja A um anel a, b ϵ Z e m ϵ Z, temos : m(a + b) = ma + mb 
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta
	
	Seja A um anel, a, b ϵ Z e m ϵ Z,
Por indução sobre m verificamos que:
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1.
k(a + b) = ka + kb
	
	Seja A um anel, a, b ϵ Z e m ϵ Z,
Por indução sobre m verificamos que:
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira.
Agora note que é válido para m = k + 1.
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b.
	
	Seja A um anel, a, b ϵ Z e m ϵ Z,
Por indução sobre m verificamos que:
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1.
k(a + b) = ka + kb
Vejamos que é válido para m = k + 1.
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b.
	
	Seja A um anel, a, b ϵ Z e m ϵ Z,
Por indução sobre n verificamos que:
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1.
k(a + b) = ka + kb
Vejamos que é válido para m = k + 1.
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b.
	
	Seja A um anel, a, b ϵ Z e m ϵ Z,
Por indução sobre m verificamos que para m = k ≥ 1  temos
k(a + b) = ka + kb
Vejamos que é válido para m = k + 1.
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b.
	2a Questão 
	
	
	
	A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
		Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x,y,z∈A
	  então (x - y)z = xz - yz.
		
	
	Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos:  xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto, (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z 
 Temos xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto, (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
 Temos xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto, (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
 Portanto, (x - y)z = xz - yz.
	
	Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto, (x - y)z = xz - yz.
	
Aula 8
	1a Questão 
	
	
	
	Indique todos os divisores de zero do anel Z15.
		
	
	3,5,9,10 e 15
	
	3,5,6,10 e 15
	
	3,5,9,10 e 12
	
	2,3,6,8 e 10
	
	5,9,10, e 15
	 
	
	 2a Questão 
	
	
	
	
	Indique, entre as opções abaixo, um exemplo de um anel A e um subanel B, tais que exista um elemento neutro multiplicativo de A, mas não exista um elemento neutro multiplicativo de B: 
		
	
	A=Z e B=Zn 
	
	A=3Z e B=2Z 
	
	A=Z e B=2Z 
	
	A=Q e B=Zn 
	
	A=Q e B=Z3 
	
	
	
	 3a Questão 
	
	
	
	
	O anel Z6 admite quantos divisores de zero?
		
	
	5
	
	3
	
	2
	
	4
	
	1
	7a Questão 
	
	
	
	No corpo Z11 resolva a equação x3 = x. 
		
	
	S = {0,2,12}
	
	S = {0,1 }
 
	
	S = {0,10}
	
	S = {0,1,10}
 
	
	S = {1,11}
	Respondido em 08/06/2019 16:47:56
	
	
	 
	
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Qual dos anéis abaixo pode ser definido anel de integridade: 
		
	
	Z14
	
	M2 (iR) (conjunto das matrizes de ordem 2)
	
	Z3
	
	Z x Z
	
	Q
	4a Questão 
	
	
	
	
		
	
	Somente a I e II estão corretas.
 
	
	Somente a I está correta.
 
	
	Somente a II está correta.
 
	
	Somente a III está correta.
 
	
	Somente a II e III estão corretas.
	
	
	
	6a Questão 
	
	
	
	
		
	
	Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
	
	Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
	
	Somente a afirmativa II é verdadeira.
	
	Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
	
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
	 
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	A definição de divisores de uma anel diz que: Seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e
 y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição marque a alternativa correta.
		
	
	2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6 
	
	3, 5, e 12 são os únicos divisores de Z15. 
	
	o anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
	
	2 e 4 não são divisores de zero em Z8. 
	
	O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
	 
	
	 6a Questão 
	
	
	
	
	
		
	
	não é um anel de integridade
	
	o elemento neutro do anel é e = 1
	
	o elemento simétrico do anel é x' = 1 - x
	
	não é um anel comutativo
	
	o anel possui unidade
	a Questão 
	
	
	
	 Marque a única alternativa correta sobre os subanéis.
		
	
	(Q,+,.) não é um subanel de (R,+,.) e (C,+,.) 
	
	(Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.)
	
	 O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6 
	
	O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z 
	
	O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto
S = {2n/ n∈Z}
	8a Questão 
	
	
	
	De acordo com a teoria de Subanel verificamos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z. Carlos, aluno do curso de matemática, desenvolveu uma justificativa para essa proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente a justificativa desenvolvida pelo Carlos.
	1a Questão 
	
	
	
	Considere as seguintes afirmações:
(I)                2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6.
(II)             O anel Z7 possui divisores próprios de zero.
(III)          Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, se o mdc(x,m) = 1.
(IV)          O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2.
Podemos afirmar que:
		
	
	Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
	
	Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
	
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
	
	Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
	
	Somente a afirmativa II é verdadeira.
	Respondido em 08/06/2019 16:52:29
	
	
	 
	
	 2a Questão 
	
	
	
	
	Determine todos os divisores de zero do anel Z15.
		
	
	3, 5, 9, 10 e 12
	
	2, 5, 9, 10 e 12
	
	1, 3, 9, 10 e 12
	
	3, 5, 9 e 10 
	
	3, 5 e 9
	Respondido em 08/06/2019 16:51:36
	
	
	 
	
	 3a Questão 
	
	
	
	
	O anel Z8 não é um anel de integridade, pois possui divisores de zero. Marque a alternativa que indica os divisores de zero em Z8.
		
	
	2, 4 e 6 
	
	3 e 4 
	
	1, 2 e 8 
	
	2 e 4
	
	0 e 2
	7a QuestãoConsidere as seguintes afirmações:
 
(I)                35 é divisor de zero no anel Z54.
(II)             36 é divisor de zero no anel Z54.
(III)          Seja B um subanel do anel A. Se o anel A não possui divisores de zero, então B é um anel também sem divisores de zero.
(IV)          No anel dos inteiros o número 2 é primo, pois seus divisores são: 1, -1, 2 e -2
 Podemos afirmar que:
		
	
	Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras.
	
	Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
	
	Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
	
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
	
	Somente a afirmativa III é verdadeira.
	8a Questão 
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a definição correta de subanel.
	1a Questão 
	
	
	
	Se B e C são subanéis de A, indique a opção que melhor representa a prova que a intersecção de B e C é subanel de A:
		
		
	
	Sejam x e y pertencentes ao subanel B e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
	
	Sejam x e y pertencentes aos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
	
	Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
	
	Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x.y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x.y pertence a C (Subanel por hipótese) , logo x.y pertence a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
	
	Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
Aula 9
	1a Questão 
	
	
	
	No anel Z6 determine Idemp (Z6 ).
		
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2,3}
	
	Idemp (Z6 ) = {2,3,4}
	
	Idemp (Z6 ) = {1}
	
	Idemp (Z6 ) = {1,3,4}
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2}
	Respondido em 08/06/2019 20:12:54
	
	
	 
	
	 2a Questão 
	
	
	
	
	Marque a única afirmação correta.
		
	
	o anel Zn é um corpo para todo n
	
	Todo anel comutativo é um corpo 
	
	Todo subanel é um corpo
	
	Todo anel de integridade finito e um corpo
	
	Todo anel de integridade é um corpo
	Respondido em 08/06/2019 20:12:01
	
	
	 
	
	 3a Questão 
	
	
	
	
	Seja f: A → B um isomorfismos de anéis. Marque a alternativa correta.
		
	
	A tem unidade ⇔ B não tem unidade.
	
	A é domínio ⇔ B não é domínio.
	
	A não tem divisores de zero  ⇔ B tem divisores de zero.
	
	A é comutativo ⇔ B não é comutativo.
	
	A é corpo  ⇔   B é corpo.
	Respondido em 08/06/2019 20:12:47
	
	
	 
	
	 4a Questão 
	
	
	
	
	Marque a única afirmação correta.
		
	
	Todo anel de integridade finito e um corpo
	
	o anel Zn é um corpo para todo n
	
	Todo subanel é um corpo
	
	Todo anel de integridade é um corpo
	
	Todo anel comutativo é um corpo 
	Respondido em 08/06/2019 20:11:55
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade.
Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição.
		
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto,  x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	Respondido em 08/06/2019 20:12:59
	
	
	 
	
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Um anel comutativo com unidade K e denominado um corpo se todo elemento nao nulo de K possuir ....:
		
	
	elemento simétrico.
	
	elemento neutro da adição
	
	inverso multiplicativo
	
	elemento neutro da multiplicação
	
	inverso aditivo
	Respondido em 08/06/2019 20:12:29
	
	
	2a Questão 
	
	
	
	Determine U(Z12) em Z12.
		
	
	U(Z12) = {5,7,11}
	
	U(Z12) = {1,7,11}
	
	U(Z12) = {7,11}
	
	U(Z12) = {1,5,7,11}
	
	U(Z12) = {1,5,11}
	 
	
	 7a Questão 
	
	
	
	
	No anel Z4 determine Reg(Z4 ).
		
	
	Reg(Z4 ) = {3}
	
	Reg(Z4 ) = {1,3}
	
	Reg(Z4 ) = {0,1,3}
	
	Reg(Z4 ) = {0,3}
	
	Reg(Z4 ) = {1}
	Respondido em 08/06/2019 20:12:23
	
	
	 
	
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) .
		
	
	 U(Z4) = {0,1,3}
	
	U(Z4) = {2,3}
	
	U(Z4) = {0,1,2}
	
	U(Z4) = {1,2,3}
	
	U(Z4) = {1,3}
	5a Questão 
	
	
	
	
		
	
	e = 4
	
	e = 1
	
	e = 5
	
	e = 2
	
	e = 3
	5a Questão 
	
	
	
	Seja f: A → B um isomorfismos de anéis. Marque a alternativa correta.
		
	
	A é domínio ⇔ B não é domínio.
	
	A não tem divisores de zero  ⇔ B tem divisores de zero.
	
	A é comutativo ⇔ B não é comutativo.
	
	A tem unidade ⇔ B não tem unidade.
	
	A é corpo  ⇔   B é corpo.
	4a Questão 
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a definição correta de corpo.
		
	1a Questão 
	
	
	
	Qual dos anéis abaixo não pode ser definido um corpo?
		
	
	IR
	
	Z
	
	Q
	
	C
	
	Zp para p primo
	3a Questão 
	
	
	
	No anel Z8, determine Nilp (Z8 ).
		
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2,4, 6}
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2,4}
	
	Nilp (Z8 ) = {2,4, 6}
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2}
	
	Nilp (Z8 ) = {2,4}
Aula 10
	3a Questão 
	
	
	
	Diga , em qual das opções , temos que (I, +,.) é um ideal de anel (A,+, .) :
		
	
	I=3Z U 7Z , A=Z
	
	I=elementos de z não divisores de 100 , A=Z
	
	I=Z , A=Q
	
	I=3Z , A=z
	
	I={f: IR -> IR/ f(1)+f(2)=0} , A= IRIR    
 
		4a Questão 
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis.
		
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(xy) = f(x)f(y).
	
	Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, esomente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: 
f(x + y) = f(x) + f(y).
	Respondido em 08/06/2019 21:06:22
	
	
	 
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Considere a seguinte proposição: 
Se I e J são ideais de um anel A, então I ∩ J é um ideal de A, 
I ∩ J = {x ∈A, x ∈ I e x ∈J}. A partir da proposição determine 2Z ∩ 3Z.
		
	
	5Z 
	
	2Z 
	
	3Z 
	
	4Z 
	
	6Z 
	Respondido em 08/06/2019 21:06:26
	
	
	 
	
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Indique o ideal principal em Z6 gerados por [2].
 
		
	
	{0} 
	
	{0,2} 
	
	{0,2,4} 
	
	{0, 4} 
	
	{2,4} 
	Respondido em 08/06/2019 21:06:29
	
	
	 
	
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Marque a alternativa correta.
		
	
	O conjunto dos números pares não é um ideal principal de Z gerado pelo elemento 2. 
	
	Seja I é um ideal do anel A com unidade. Se I contém um elemento inversível 
de A, então I ≠ A.
	
	2Z é um ideal no anel Z.
	
	Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e (RR, +, .). I é um ideal do anel (RR, +, .).
	
	Considere um anel (Q, +, .) e I = Z (conjunto dos números pares). Z é um ideal no anel Q.
	Respondido em 08/06/2019 21:06:33
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Considere a seguinte proposição: Sejam m e n elementos do conjunto dos números naturais. Então, mZ + nZ = dZ se, e somente se, mdc(m,n) = d. A partir dela marque a alternativa que representa a operação 2Z + 3Z.
		
	
	6Z
	
	3Z
	
	2Z
	
	5Z
	
	Z
	2a Questão 
	
	
	
	Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de anéis.
		
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é sobrejetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é injetiva. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
	4a Questão 
	
	
	
	
		
	
	N(f) = {(0,4)} 
	
	N(f) = {(0,3)} 
	
	N(f) = {(0,1)} 
	
	N(f) = {(0,2)} 
	
	N(f) = {(0,0)}
	Respondido em 08/06/2019 21:05:30
	
	
	 
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Considere a seguinte proposição: Sejam m e n elementos do conjunto dos números naturais. Então, mZ + nZ = dZ se, e somente se, mdc(m,n) = d. A partir dela marque a alternativa que representa a operação 2Z + 3Z.
		
	
	Z
	
	6Z
	
	3Z
	
	5Z
	
	2Z
	8a Questão 
	
	
	
	Determine todos os ideais de Z8.
		
	
	{0}, {0,4} e Z8 
	
	{0}, {0,2,4,6} e {0,4} 
	
	{0}, {0,2,4,6}, {0,4} e Z8 
	
	{0,2,4,6}, {0,4} e Z8 
	
	{0} e {0,2,4,6}
	8a Questão 
	
	
	
	Seja f: A → B um isomorfismos de anéis. Marque a alternativa correta.