APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES LINEARES

Prévia do material em texto

1 
 
APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES LINEARES 
Função de Demanda (Curva de Procura) 
Observe quais as conclusões que se pode tirar de uma análise do subproduto agro-pecuário carne, 
de utilidade evidente para todas as pessoas, pois faz parte de sua nutrição. Quer comisso se 
afirmar que, em sendo um produto de alimentação básico todos devem estar dispostos, em 
princípio, a consumi-lo. 
Se um estudo da realidade for feito, verifica-se que nem toda população come carne. Por quê? 
Porque, com restrições, pode-se observar que a renda de certas pessoas não é suficiente para que 
possam consumir carne, pois para o mesmo valor gasto passarão a consumir outros produtos de 
equivalente valor nutritivo, porém menos dispendioso. 
Tomando-se dados hipotéticos tem-se: 
Preço da carne (Mts/Kg) Quantidade demandada (milhões de 
toneladas) 
200 1.1 
180 1.5 
150 2.0 
100 2.5 
70 3.5 
 
Colocando-se esses valores em um gráfico tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Nota-se que se a carne fosse um produto mais acessível, um maior numero de pessoas estariam 
dispostas a consumi-la, ou seja, quanto menor o preço do produto, maior a quantidade 
demandada. 
Conclui-se inicialmente que a quantidade consumida é função do preço do produto, da renda e da 
utilidade do produto para o consumidor. 
A forma da função de demanda (a função obtida no gráfico acima) depende das propriedades da 
função de utilidade do consumidor, ou seja, depende do grau de satisfação que este experimenta 
com uma combinação de bens e, geralmente se supõe que estas curvas de demanda tenham 
declividade negativa, isto é, quanto menor o preço maior a quantidade demandada. 
Definição: 
A função de demanda é uma construção teórica que nos diz quantas unidades de um 
determinado bem de consumo os consumidores estarão desejosos de comprar, durante 
um período de tempo, a todos os possíveis preços presumindo-se que os gostos dos 
consumidores, os preços das outras mercadorias e as rendas dos consumidores se 
mantenham inalterados. 
Função de Oferta (Curva de Oferta) 
Por que o preço da carne se mantém elevado, se a um preço mais baixo, ou seja, acessível à 
maior parte da população, quase todos consumiriam? 
Em uma análise simplista verifica-se que o estudo anterior deve também levar em conta as 
restrições dos produtos como, por exemplo, o custo de produção em confronto com o preço da 
venda. É evidente que se houver uma redução no preço da carne, os pecuaristas desviarão suas 
terras, destinadas a pastos, para cultura mais vantajosas. 
De maneira geral os empresários, proprietários, gerentes, produtores decidem como e quanto irão 
investir na produção de cada artigo e a resultante dessa decisão será a obtenção ou perda de 
benefícios. Em função disso a expectativa de altos preços, ou seja, a obtenção de elevados 
benefícios, faz com que os empresários se interessem por essa produção. Por outro lado, a 
3 
 
expectativa de redução nos preços faz com que os empresários, prevendo baixos benefícios, se 
afastem desta produção e desviem seus esforços para outras actividades mais lucrativas. 
Se forem tomados dados hipotéticos , no exemplo da produção de carne, tem-se: 
Preço da carne (Mts/Kg) Quantidade ofertada (milhões de toneladas) 
200 2.8 
180 1.7 
150 1.5 
100 1.3 
70 0.9 
 
Colocando-se esses valores em um gráfico tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Cada empresário baseia sua conduta em função de seus custos e selecciona o seu nível de 
produção de modo a maximizar seus benefícios. Como foi visto, a declividade da função de 
demanda é negativa, pois a cada elevação do preço corresponde uma redução na quantidade 
demandada. No caso da oferta, sua declividade será sempre positiva, portanto deve-se ter uma 
crescente pois a cada acréscimo no preço deve corresponder um acréscimo na quantidade 
ofertada. 
Definição: 
A Curva de oferta é uma construção teórica que nos diz quantas unidades os produtores de uma 
mercadoria em determinada indústria estão dispostos a vender, em um certo período de tempo. 
4 
 
Equilíbrio de Mercado 
Foi visto agora que no caso da função de demanda, uma elevação no preço corresponde a uma 
redução na quantidade demandada e no caso da função de oferta, uma elevação no preço 
corresponde a uma elevação na quantidade ofertada. 
Então, até que nível variará o preço se de um lado o consumidor deseja preços sempre menores e 
de outro, o produtor interessa-se por preços sempre maiores? E a esse preço quais serão as 
quantidades consumidas (demanda) e produzida (oferta)? 
Reunindo-se os valores das duas tabelas anteriores 
Preço da carne (Mts/Kg) Quantidade demandada 
(milhões de toneladas) 
Quantidade ofertada 
(milhões de toneladas) 
200 1.1 2.8 
180 1.5 1.7 
150 2.0 1.5 
100 2.5 1.3 
70 3.5 0.9 
 
Se a cada preço for analisada a correspondência entre as quantidades de demanda e de oferta, 
observa-se: 
a) Preço de 200Mts/Kg: consumo de 1.1 milhões de toneladas e oferta de 2.8 milhões de 
toneladas, isso implica sobra do produto, na medida, em que se acumula os estoques o preço 
tenderá a baixar, mas não cairá até zero. 
b) Preço de 180Mts/Kg: consumo de 1.5 milhões de toneladas e oferta de 1.7 milhões de 
toneladas, isso implica sobra do produto. 
c) Preço de 150Mts/Kg: consumo de 2.0 milhões de toneladas e oferta de 1.5 milhões de 
toneladas, isso implica falta do produto, e como consequência o preço tenderá a subir, mas 
não indefinidamente. 
A comparação com os demais preços é feita de maneira análoga. Haverá um preço que satisfará, 
em termos de quantidade, aos consumidores e produtores: é o chamado preço de equilíbrio (𝑃 ) 
Dadas as funções de oferta e demanda em um mesmo gráfico, pode-se verificar. 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em um mercado de concorrência, o ponto de equilíbrio é a intersecção das curvas de demanda e 
oferta de mercado, sendo este, o único ponto em que a um mesmo preço (𝑦 ) as quantidades 
ofertadas e demandadas são as mesmas (quantidade de equilíbrio 𝑥 ). 
No exemplo dado, através de uma analise gráfica, pode-se concluir que 𝑃 (ponto de equilíbrio) 
será o ponto em que a abcissa será um valor, do preço, compreendido no intervalo (1.5; 1.7) e a 
ordenada será um valor, do preço, no intervalo (150; 180). 
Se as curvas de demanda e oferta estivessem expressas por funções matemáticas, o ponto de 
equilíbrio (𝑃 ) seria a solução simultânea das equações (resolução do sistema). 
Função Linear como função oferta e Demanda 
Para entender-se os conceitos anteriores, para as funções lineares 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, devem ser feitas 
algumas restrições: 
a) O domínio das funções de oferta e demanda será sempre: 
𝐷 = 𝑅∗ 𝑜𝑢 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑦 ≥ 0} 
Ou seja: 
𝑥 ∈]0, ∞[ 
6 
 
Uma vez que 𝑥 representa as quantidades (demandada e ofertada) não há sentido físico em 
que sejam negativas. 
b) O contradomínio das funções de oferta e demanda será sempre: 
𝐶 = 𝑅∗ 𝑜𝑢 𝐶 = {𝑦 ∈ 𝑅 / 𝑦 ≥ 0} 
Ou seja: 
𝑥 ∈]0, ∞[ 
Uma vez que 𝑦 representa os preços, não havendo sentido económico em falar-se em preços 
negativos. 
c) A declividade das funções: 
c.1) demanda 
𝒂 < 𝟎 → a cada aumento no preço existe uma redução na quantidade demandada (coeficiente 
angular negativo) 
 
 
 
 
 
Casos externos: 
𝒂 é indefinido → a cada variação no preço a quantidade demandada permanece constante. 
(coeficiente angular impróprio) 
 
 
 
 
7 
 
𝒂 = 𝟎 → o preço se mantém constante independentemente das variações nas quantidades 
(coeficiente angular igual a zero). 
 
 
 
 
 
c.2) Oferta: 
𝒂 > 𝟎 → a cada aumento no preço existe uma elevação na quantidade ofertada (coeficiente 
angular positivo). 
 
 
 
 
 
Observação: Para a função oferta também existem os mesmo casos extremos, onde 𝑎 = 0 e 𝑎 é 
impróprio. 
Ponto de Equilíbrio 
Sejam as funções: 
𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 , com 𝑎 > 0 → Função oferta 
𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 , com 𝑎 < 0 → Função demanda 
Como foi visto anteriormente, o 𝑃 = (𝑥 , 𝑦 ) será a soluçãoalgébrica do sistema: 
8 
 
𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏
𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏
 → 𝑦 = 𝑦 → 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 → 𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑥 = 𝑏 − 𝑏 
𝑥 (𝑎 − 𝑎 ) = 𝑏 − 𝑏 → 𝑥 = e 𝑦 = 
a) Para que o equilíbrio seja significativo economicamente é necessário que 𝑥 ≥ 0, Então 
≥ 0. 
Como 𝑎 − 𝑎 > 0 sempre, pelas condições dadas (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 < 0), a desigualdade reduz-se 
em 𝑏 − 𝑏 ≥ 0 → 𝑏 ≥ 𝑏 , ou seja, o intercepto −𝑦 − da função demanda deve ser maior do 
que o intercepto −𝑦 − da função oferta. 
b) Para que o equilíbrio seja significativo economicamente é também necessário que: 
𝑦 ≥ 0, então ≥ 0. Como 𝑎 − 𝑎 > 0 → 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑎 ≥ 0, onde −𝑏 𝑎 ≥ −𝑏 𝑎 . 
Como 𝑎 > 0, então ∙ 𝑎 ≥ −𝑏 . 
Como 𝑎 < 0, então − ≤ − 
Ou seja, 𝑥´ ≤ 𝑥´ , isto é, o intercepto −𝑥 − (raiz da equação de demanda) deve ser maior ou 
igual ao intercepto −𝑥 − (raiz da equação de oferta). 
Graficamente tem-se: 
Equilíbrio Significativo Economicamente 
a) Condições satisfeitas 
𝑏 > 𝑏 e 𝑥´ ≥ 𝑥´ 
Presta muita atenção, no lugar de 𝒃 no gráfico, deve ser 𝒂 e no lugar de 𝒂 deve ser 𝒃 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equilíbrios não significativos economicamente 
a) Condição não satisfeita 
𝑏 < 𝑏 
Presta muita atenção, no lugar de 𝒃 no gráfico, deve ser 𝒂 e no lugar de 𝒂 deve ser 𝒃 
 
 
 
 
 
 
b) Condição não satisfeita 
𝑥´ < 𝑥´ 
Presta muita atenção, no lugar de 𝒃 no gráfico, deve ser 𝒂 e no lugar de 𝒂 deve ser 𝒃 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
c) Observe que o 𝑃 nunca estará no terceiro quadrante (3º Q), pois, isso implicará em que as 
duas funções sejam crescentes contradizendo a condição necessária para que a função seja de 
demanda. 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
1. As funções lineares de oferta e demanda de um determinado bem de conveniência são dadas 
pelas seguintes características: 
𝑟 Passa pelos pontos: 𝑃 = (4, 5) e 𝑃 = (0, 1) e 
𝑠 Passa pelo ponto 𝐴 = (2, 3) e um decréscimo de 2 unidades de preço representa um aumento 
de 4 unidades de produção. 
a) Determinar a função de oferta: 
𝑎 ) Calculo da declividade das funções 𝑟 e 𝑠. 
11 
 
Vamos representar os pontos 𝑃 𝑒 𝑃 como sendo 𝑃 = (𝑥 , 𝑦 ) e 𝑃 = (𝑥 , 𝑦 ), logo 𝑥 = 4,
𝑦 = 5, 𝑥 = 0 𝑒 𝑦 = 1 
Para o cálculo do declive da recta 𝑟, usaremos a formula, 𝑎 =
∆
∆
= , onde ∆𝑥 é a variação 
no preço e ∆𝑦 é a variação na quantidade. 
𝑎 =
∆
∆
= , Substituindo teremos: 𝑎 = = = 1 
𝑎 = 1 
𝑟 Representará a função de oferta, se possuir pontos no primeiro quadrante, pois 𝑎 > 0. 
𝑎 ) Para a determinação da função linear dada por um ponto e sua declividade genérica tem-se: 
A partir da fórmula para a determinação da expressão analítica da função linear de oferta, tem-se: 
𝑦 − 𝑦 = 𝑎 (𝑥 − 𝑥 ) → 𝑦 − 5 = 1(𝑥 − 4) → 𝑦 − 5 = 𝑥 − 4 → 𝑦 = 𝑥 + 1 
Portanto 𝑦 = 𝑥 + 1 
Como o intercepto −𝑦 − é maior do que zero e a função é crescente ela possui pontos no 1º Q 
(primeiro quadrante), 𝑟 representará a função oferta. 
b) Determinar a função de demanda: 
Recordando os dizeres para a recta 𝑠: 
𝑠 Passa pelo ponto 𝐴 = (2, 3) e um decréscimo de 2 unidades de preço representa um aumento 
de 4 unidades de produção. 
Aqui temos dados de forma explicita os valores de 𝑥 = 2 e 𝑦 = 3, significa que 𝑥 representa a 
quantidade de produção e 𝑦 a variação do preço de acordo com a relação 𝑎 =
∆
∆
= 
Sendo assim, 𝑥 = 𝑥 + 4 = 6 e 𝑦 = 𝑦 − 2 = 1, assim teremos 𝑥 = 2, 𝑥 = 6, 𝑦 = 3,
𝑦 = 1. 
Então 𝑎 = = = = − 
𝑠 representará a função de demanda, se possuir pontos no primeiro quadrante, pois 𝑎 < 0 
12 
 
Para a determinação da função linear dada por um ponto e sua declividade genérica tem-se: 
A partir da fórmula para a determinação da expressão analítica da função linear de demanda, 
tem-se: 
𝑦 − 𝑦 = 𝑎 (𝑥 − 𝑥 ) → 𝑦 − 3 = −
1
2
(𝑥 − 2) → 2𝑦 − 6 = −𝑥 + 2 → 𝑦 =
8 − 𝑥
2
 
Portanto 𝑦 = 
Como o intercepto −𝑦 − é menor do que zero e a função é decrescente ela possui pontos no 1º Q 
(primeiro quadrante), 𝑠 representará a função demanda. 
c) Verifique se o ponto de equilíbrio é economicamente significativo: 
A C.N.S (condição necessária e suficiente) para que o 𝑃 (ponto de equilíbrio) seja 
economicamente significativo é que os interceptos𝑦 𝑒 𝑥 − da função de demanda sejam 
maiores ou iguais aos interceptos −𝑦 𝑒 𝑥 −da função oferta. 
Função demanda 𝑦 = , os interceptos são os valores (𝑥 , 0) 𝑒 (0, 𝑦 ), Sendo assim, na 
função demanda 𝑦 = , quando o valor de 𝑦 = 0, então o 𝑥 = 8, e quando o 𝑥 = 0, então o 
𝑦 = 4, logo os interceptos são 
𝑦 = 4
𝑥 = 8
 
Para a função oferta 𝑦 = 𝑥 + 1, os interceptos são 
𝑦 = 1
𝑥 = −1
 
Conclusão: Como 𝑦 ≥ 𝑦 e 𝑥 ≥ 𝑥 , 𝑃 é economicamente significativo. 
d) Determine o 𝑃 
e) Sabe-se que o 𝑃 é a solução simultânea das funções de oferta e demanda, portanto, esse 𝑃 se 
encontra igualando as funções de oferta e de demanda. 
8 − 𝑥
2
= 𝑥 + 1 → 8 − 𝑥 = 2𝑥 + 2 → −3𝑥 = −6 → 𝑥 = 2 
Substituindo o valor 𝑥 = 2 na função oferta ou na função demanda, teremos o mesmo valor de 𝑦. 
Assim sendo, temos 𝑦 = 𝑥 + 1 → 𝑦 = 2 + 1 = 3 
13 
 
Portanto o 𝑃 = (2, 3) 
d) Represente as funções graficamente: 
 
 
 
 
 
 
2. Observou-se o comportamento das quantidades ofertadas e demandadas, de determinado bem 
durável, em relação ao seu preço de venda, obtendo-se: 
𝑦 2 3 4 5 6 7 
𝑥 4,1 3,4 2,1 1,5 1 0,1 
𝑥 0 1 1,9 2,4 3,5 4,1 
 
a) Determine a função de demanda: 
b) Recorrendo ao Método de Mínimos Quadrados, a função linear 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 pode ser 
determinada por: 
𝑎 =
∑ ∑ ∑
∑ (∑ )
 𝑏 =
∑ ∙∑ ∑ ∙∑
∑ (∑ )
 
Dos dados obtém-se: 
∑ 𝑥 é o somatório dos valores de x relacionados com a demanda, isso é: 
∑ 𝑥 = 4,1 + 3,4 + 2,1 + 1,5 + 1 + 0,1 = 12,2, logo ∑ 𝑥 = 12,2 
∑ 𝑥 é o somatório dos quadrados de 𝑥 para a função demanda, isso é: 
∑ 𝑥 = (4,1) + (3,4) + (2,1) + (1,5) + (1) + (0,1) = 36,04, logo ∑ 𝑥 = 36,04 
14 
 
∑ 𝑥𝑦 é o somatório dos produtos de 𝑥𝑦 na função demanda, isso é: 
∑ 𝑥𝑦 = 4,1 ∙ 2 + 3,4 ∙ 3 + 2,1 ∙ 4 + 1,5 ∙ 5 + 1 ∙ 6 + 0,1 ∙ 7 = 41, logo ∑ 𝑥𝑦 = 41 
∑ 𝑦 é o somatório dos valores de y, isso é: 
∑ 𝑦 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27, logo ∑ 𝑦 = 27 
∑ 𝑦 é o somatório dos quadrados dos valores de 𝑦, isso é: 
∑ 𝑦 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 139, logo ∑ 𝑦 = 139 
𝑁 = 6 que representa o numero das observações, nesse caso temos 6 observações de valores de 
𝑦. 
Portanto 𝑎 =
∑ ∑ ∑
∑ (∑ )
=
∙ , ∙
∙ , ( , )
= −1,24, Logo 𝑎 = −1,24 
𝑏 =
∑ ∙∑ ∑ ∙∑
∑ (∑ )
=
∙ , , ∙
∙ , ( , )
= 7,02, logo 𝑏 = 7,02 
A fórmula da função demanda é 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, portanto, para esse caso a função demanda será: 
𝑦 = −1,24𝑥 + 7,02 
Observação: Sendo o Método dos Mínimos Quadrados um método para a obtenção de uma 
função que melhor se ajuste aos dados do problema, existe o chamado coeficiente de correlação 
linear 𝑟 que indica se existe ou não correlação entre as variáveis dando uma ideia se o ajuste é 
bom ou não. O coeficiente de correlação 𝑟 varia de −1 a +1 (−1 ≤ 𝑟 ≤ 1), observando-se que, 
quanto mais próximo dos extremos maior o grau de relacionamento entre as variáveis. 
Onde 𝑟 é dado por: 
𝑟 =
𝑁 ∑ 𝑥𝑦 − ∑ 𝑥 ∙ ∑ 𝑦
[𝑁 ∑ 𝑥 − (∑ 𝑥) ][𝑁 ∑ 𝑦 − (∑ 𝑦) ]
 
Em nosso problema 𝑟 = −0,9914 o que indica um alto grau de correlação negativa, ou seja, o 
acréscimo de uma variável implica no decréscimo da outra variável. 
Determine a função de oferta: 
15 
 
Dos dados obtém-se: 
Em relação a função oferta os dados a ser usados são da primeira e terceira linha, lembre-se que 
para a função demanda usamos os dados da primeira e segunda linha. Os cálculos a se fazer são 
semelhantes, procure encontrar os seguintes resultados. 
∑ 𝑥 = 12,9 ∑ 𝑦 = 27, ∑ 𝑥 = 39,4, ∑ 𝑦 = 139, ∑ 𝑥𝑦 = 72,30, 𝑁 = 6 
Portanto 𝑎 =
∙ , , ∙
∙ , ( , )
= 1,22, logo 𝑎 = 1,22 
𝑏 =
∙ , , ∙ ,
∙ , ( , )
= 1,88, logo 𝑏 = 1,88 
A fórmula da funçãooferta é 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, portanto, para esse caso a função demanda será: 
𝑦 = 1,22𝑥 + 1,88 
A função de oferta será 𝑦 = 1,22𝑥 + 1,88. Neste caso o 𝑟 = 0,9961, o que indica um alto grau 
de correlação positiva, ou seja, o acréscimo de uma variável implica no acréscimo da outra. 
Veja que a função de demanda deverá possuir o coeficiente de correlação sempre negativo e a 
função oferta sempre positivo. 
c) Verifique se o 𝑃 é economicamente significativo. 
A função demanda é 𝑦 = −1,24𝑥 + 7,02, os interceptos são 
𝑥 = 5,66
𝑦 = 7,02
 
A função oferta é 𝑦 = 1,22𝑥 + 1,88, os interceptos são 
𝑥 = −1,54
𝑦 = 1,88
 
Conclusão: Como 𝑦 > 𝑦 e 𝑥 > 𝑥 , 𝑃 é economicamente significativo. 
d) Determine o 𝑃 
Da solução simultânea das funções de demanda e de oferta, tem-se: 
𝑦 = −1,24𝑥 + 7,02
𝑦 = 1,22𝑥 + 1,88
, igualando essas equações, teremos: 
16 
 
−1,24𝑥 + 7,02 = 1,22𝑥 + 1,88 → 𝑥 = 4,43, Substituindo esse valor de 𝑥 na expressão de 
demanda ou de oferta termos que 𝑦 = 2,09 
Portanto 𝑃 = (4,43; 2,09) 
d) Represente as funções graficamente.