Lista de exercicios de Probabilidade e Estatistica

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Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 1 
Analise de Dados 
1) Classifique as variáveis 
 qualitativas quantitativa 
 nominal ordinal discreta Contínua 
Cor dos olhos das alunas x 
Peso do boi em quilos x 
Produção de café no Brasil x 
Número de defeitos em aparelhos x 
Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa x 
O ponto obtido em cada jogada de um dado x 
Sexo x 
Resp. a) Cor dos olhos das alunas... Resp: qualitativa nominal 
b) Peso do boi em quilos Resp: quantitativa contínua 
c) Produção de café no Brasil... Resp: quantitativa contínua 
d) Número de defeitos em aparelhos de TV... Resp: quantitativa discreta 
e) Comprimento... Resp: quantitativa contínua 
f) O ponto obtido em cada jogada de um dado... Resp: quantitativa discreta 
g)Sexo: Resp: Qualitativa nominal 
2) Um concurso realizado simultaneamente nos locais A, B e C, apresentou as médias: 70, 65 e 45, 
obtidos por 30, 40 e 30 candidatos, nessa ordem. Qual foi a média geral do concurso? Resp. 60,5 
Solução: 
5,60
304030
45.3065.4070.30






i
ii
f
xf
x
 
3) Para um dado concurso, 60% dos candidatos eram do sexo masculino e obtiveram uma média de 70 
pontos em determinada prova. Sabendo-se que a média geral dos candidatos (independente de 
sexo) foi de 64 pontos, qual foi a média dos candidatos do sexo feminino? 
Resp.55 
Solução 
64.4,070.6,0  mg xx

55
4,0
4264


mx
 
4) Foi organizado um churrasco para comemorar a conclusão do Curso. Foram compradas as seguintes 
carnes aos respectivos preços: 
 10 Kg de filé mignon 12,00 u.m. o Kg 
 20 Kg de lingüiça 7,00 u.m. o Kg 
 10 Kg de picanha 16,00 u.m. o Kg 
Qual o preço médio do Kg de carne adquirida ? R. preço médio da carne comprada é 10,50 u.m.. 
5) Determinar a moda de idade de uma classe de alunos em que a pesquisa tenha revelado as 
seguintes idades: 18,18,19,20,21,21,22,23,23,23,24,25,26. R. Como a moda é o valor que mais ocorre 
na pesquisa, então a moda da série de idades é 23 anos. 
6) Dada a série: 1,2; 1,4; 1,5; 1,8; 2 calcular a média e o desvio padrão. R: média=1,58 dp=0,319 
7) Determinar a média e a mediana dos conjuntos de números a seguir: 
a) 5, 4, 8, 3, 7, 2, 9 ( R - Média = 5,429 Mediana = 5 ) 
b) 18, 3, 20, 6, 19, 3, 22, 4, 20, 2, 18, 8, 19, 7, 20, 0 R. (b) Média = 11,8125 Mediana = 13 s=8,2) 
8) Em um exame final de A, a nota média de um grupo de 150 alunos foi 7,8 e o desvio padrão foi 0,80. 
Em B, entretanto, a nota média final foi 7,3 e o desvio padrão foi 0,76. Em qual disciplina foi maior a 
dispersão utilizando-se o coeficiente de variação? 
 Média Desvio Padrão A têm maior dispersão 
absoluta 
sA>sB 
A 7,8 0,80 
B 7,3 0,76 
Resp:A têm dispersão relativa menor que B. CV(A)= 10,26%< CV(B)= 10,41% 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 2 
9) Em um mês, um laboratório recebeu os seguintes serviços: 
Tipo do serviço Preço por serviço (R$) Quantidade 
A 30,00 1000 
B 45,00 450 
C 60,00 600 
D 50,00 350 
E 25,00 250 
Qual o preço médio cobrado por serviço? R. média=41,509 
10) A tabela a seguir expressa o número de não conformidades encontrados num levantamento de 350 
unidades: 
x 0 1 2 3 4 5 6 
f 55 60 112 82 31 8 2 
a) Classifique a variável. b) Quantas unidades têm no máximo duas não conformidades? 
c) Qual é o percentual de unidades que apresentaram somente uma não conformidade? 
d) Qual é o percentual de unidades que apresentaram pelo menos uma não conformidade? 
e) Qual foi a moda? f) Determine a mediana. 
Resp a) Quantitativa discreta. b) 227 c) 17,14% d) 84,29% e) 2 não conformidades f) 2 não 
conformidades. 
11) Um gerente comprou um material específico de dois fornecedores diferentes. Para comparar o nível 
de impurezas presentes nas compras feitas, o gerente mediu a porcentagem de impurezas presentes em 
cada um dos grupos, obtendo o que segue: 
Fornecedor A: 1,8 2,5 1,5 1,2 1 
Fornecedor B: 1,6 2,5 1,2 2,3 1,5 
Qual das compras é mais homogenea nas impurezas? Justifique adequadamente, utilizando os resultados 
do Excel abaixo: 
 
Fornecedor A: Fornecedor B: 
n 5 5 
Média 1,6000 1,8200 
Mediana 1,5 1,6 
Moda #N/D #N/D 
Variância 0,345 0,307 
Desvio padrão 0,587 0,554 
Resp. Compras do fornecedor B, porque tem menor coeficiente de variação 
 
Fornecedor A: CV =36,71% Fornecedor B: CV =30,44% 
12) Identifique, justificando, qual a variável mais homogênea. 
Distribuição A Distribuição B 
n = 100 
x
 = 50 
 ii xf
 = 5000 
 ii xf
10000 
 2ii xf
 = 256400 
2)( xxf
ii

 = 7200 
 
100.
x
s
.V.C 
 
n
xf
X ii
 
 
 













 

n
xf
xf
nn
xxf
s
ii
ii
ii
2
2
2
2
1
1
1
)(
 
Resp: CVA=8,0403/50=0,1608> CVB=6,0151/50=0,1203 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 3 
13) Observe a tabela abaixo: Tempo de Montagem de 30 Equipamentos 
Tempo (min) (x) 50 51 52 53 54 Total 
Nº de equipamentos (f) 5 10 8 5 2 30 
Determine a média e a mediana e o desvio padrão. Resp: Média = 51,63 minutos/equipamento; 
Mediana = 51,50 minutos. Desvio padrão=1,159 
14) A idade em anos dos primeiros 10 presidentes do Brasil, na ocasião de suas posses foram: 
57 61 57 57 58 57 61 54 68 51 
Resumo estatístico 
 
P10 Q1=P25 Q2=P50 Q3=P75 P90 Média Desvio padrão 
53,7 57 57 60,25 61,7 
Calcule e interprete a) o coeficiente de variação b) o coeficiente de assimetria c) o coeficiente de 
curtose d) existem valores discrepantes. 
 Cálculos Interpretação 
s
)x~x(3
sA


 
0,724 
Assimetria moderada 
Curtose 
3 1
90 102( )
Q Q
C
P P



 
0,203 
Leptocurtica 
100.
x
s
.V.C 
 
7,84% 
Baixa dispersão 
Q1-1,5*(Q3-Q1) 52,125 Existem valores 
discrepantes 51 e 68 Q3+1,5*(Q3-Q1) 65,125 
15) Um órgão do governo do estado está interessado em determinar padrões sobre o investimento em 
educação, por habitante, realizado pelas prefeituras. De um levantamento de dez cidades, foram 
obtidos os valores (codificados) da tabela abaixo: 
 
Cidade A B C D E F G H I J 
Investimento 20 15 14 10 18 18 15 16 20 18 
a) Calcule a média e o desvio-padrão, Q1, Q2, Q3, e a moda das observações; 
b) Receberão um programa especial às cidades com valores de investimento inferiores à média menos 
duas vezes o desvio padrão. Alguma cidade receberá o programa? 
 
Resp média,
4,16x
; desvio padrão 
06,3s
; Q1 =15 ; Mediana = Q2=17,00 ; Q3 =18 
Moda=18,00 ; [
]275,10*2  sx
sim a cidade D 
 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 4 
16) Conjunto de dados: Uma amostra de saques de dinheiro feitos em caixas eletrônicos (em um). 
Determine: a) Calcule o coeficiente de variação. b) Calcule o coeficiente de Assimetria. c) Determine 
o Q3-Q1. Existem valores discrepantes? 
35 20 25 25 20 25 50 60 60 25 30 60 40 40 80 40 70 
10 10 40 40 10 75 40 20 20 30 20 70 25 25 20 50 80 
30 40 10 10 20 10 30 80 80 50 25 30 30 35 40 60 
Resumo Estatístico 
P25 P50 =Mediana P75 Média Variância 
21,25 30 50 37,4000 436,980 
R. a) CV=55,89% b) As=1,062 assimetria c) Q3-Q1=50-21,25=28,75 Não existem valores 
discrepantes, menores que: Q1-1.5* (Q3-Q1)=-21,875 maiores que: Q3+1.5*(Q3-Q1)=93,125 
 
Nome Valores 
Mínimo 10,00 
Q1 21,25 
Mediana=Q2 30,00Q3 50,00 
Maximo 80,00 
IQR = Q3 - Q1 28,75 
1.5*IQR 43,13 
Q1 - 1.5*IQR -21,88 
Q3 + 1.5*IQR 93,13 
 
Resp a) 15,7250 b) 15,65 c) 10,35% d) não e) analisando o box plot os dados são simétricos 
17) Uma empresa precisa escolher, dentre três marcas de pneus (A, B, C), qual deverá comprar. O 
manual do fabricante das três marcas de pneus afirma que o desgaste dos pneus a cada 10.000 km é 
de 1 milímetro. O gerente de suprimentos da empresa comprou 10 pneus de cada marca e submeteu-os 
a um teste de desgaste de 10.000 km. O resultado (em número de milímetros gastos) obtido para cada 
pneu foi o seguinte: 
 n  ix Variância x~ 
Pneus A 10 10 0,164 1 
Pneus B 10 9 0,013 0,9 
Pneus C 10 10 0,013 1 
Qual das marcas de pneus apresentou desempenho mais homogêneo? Calcule a dispersão relativa. 
Justifique b) Calcule o coeficiente de assimetria. c) Interprete os Box plot 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 5 
CBA
1,75
1,50
1,25
1,00
0,75
0,50
Da
ta
Boxplot of A; B; C
 
Pneus 
n
x
X i


 
100...
x
s
VC 
 
s
xx
sA
)~(3 

 
A 
B 
C 
 
Resposta: Os Box plot são uteis em comparações gráficas entre conjunto de dados, uma vez que têm 
alto impacto visual e são fáceis de entender. 
Pneus Média Variância Coeficiente de variação Coeficiente de assimetria 
A 1 0,164 40,6% 0 
B 0,9 0,013 12,8% 0 
C 1 0,013 11,5% 0 
18) Conduziu-se um experimento para investigar a capacidade de enchimento de um equipamento de 
embalagem em uma vinícola em Newberg, Oregon. Vinte garrafas de Piont Gris foram selecionadas 
aleatoriamente e o volume de enchimento (em ml) foi medido. Os dados obtidos foram os seguintes: 
753 751 752 753 753 752 753 754 754 752 
753 751 752 750 753 755 753 756 751 750 
Sabe-se que a distribuição dos dados é denominada normal quando os valores de uma variável 
padronizada 
s
xx
z


 estão contidos no intervalo de variação de -3 a 3. Além disso, a distribuição 
deve ser simétrica e o valor da média próximo da mediana. O que você diz a respeito da distribuição 
dos dados da vinícola? 
Resposta 
Média=752,55 Modo=753 Mediana=753 Desvio padrão=1,538 Variância da amostra=2,365789 
 
 753 751 752 753 753 752 753 754 754 752 
s
xx
z


 
0,29 -1,01 -0,36 0,29 0,29 -0,36 0,29 0,94 0,94 -0,36 
 753 751 752 750 753 755 753 756 751 750 
s
xx
z


 
0,29 -1,01 -0,36 -1,66 0,29 1,59 0,29 2,24 -1,01 
-1,66 
 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 6 
19) Existem dados discrepantes (outliers)? 
19 20 20 18 25 23 12 10 15 16 15 20 
Resumo Estatístico 
 
 Dados 
Min = 10,00 
Q1 = 15 
Q3 = 20 
Max = 25,00 
Min = 10,00 
IQR=Q3-Q1 
Média 17,75 
Variância 18,93 
Quantidade 12 
q1-1.5*IQR 
q3+1.5*IQR 
Resposta: Não existem pontos discrepantes IQR=Q3-Q1=5,00 Não existem valores menores que: 
 q1-1.5*IQR=7,5 ou maiores que: q3+1.5*IQR=27,5 
 
20) O comprimento de quarenta e nove peças foram medidas e resultaram no seguinte ramos-e-
folhas: 
15 3 3 4 5 8 
16 0 0 1 1 2 2 4 5 7 7 8 9 9 
17 0 1 2 2 2 3 3 3 4 5 5 7 9 9 9 9 
18 0 1 1 3 4 4 4 5 7 
19 0 0 2 3 4 
20 0 
Determine: a) a moda b) a mediana Resposta Moda =179 Mediana=173 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 7 
21) Construa o diagrama de ramos e folhas. Os valores são os seguintes (minutos): 23 - 31 - 42 - 45 - 
51 - 52 - 57 - 61 - 61 - 64 - 68 - 69 - 73 - 75 - 75 - 82 - 89 - 94 - 118 – 120. 
Resposta: 
Dezenas de minutos Minutos 
2| 3 
3| 1 
4| 2 5 
5| 1 2 7 
6| 1 1 4 8 9 
7| 3 5 5 
8| 2 9 
9| 4 
10| 
11| 8 
12| 0 
 
22) Conjunto de dados: Uma amostra de saques de dinheiro feitos em caixas eletrônicos (em um). 
Determine: a) Calcule o coeficiente de variação. b) Calcule o coeficiente de Assimetria. c) Determine 
o Q3-Q1. Existem valores discrepantes? 
10 10 10 10 10 10 20 20 20 20 20 20 20 20 20 25 25 
25 25 25 30 30 30 30 30 30 35 35 40 40 40 40 40 40 
40 40 50 50 50 60 60 60 60 70 70 75 80 80 80 80 
 
 
Resumo estatístico 
P10 Q1=P25 Q2=P50 Q3=P75 P90 Média Variância 
10 20 30 50 70,5 37,2000 443,2 
R. a) CV=56,58% b) As=1,026 assimetria c) Q3-Q1=30 Não existem valores discrepantes, menores que: 
Q1-1.5* (Q3-Q1)=-25 maiores que: Q3+1.5*(Q3-Q1)=95 
Figura. Diagrama de ramos e folhas 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 8 
23) Completar os dados que faltam para a seguinte distribuição: 
 Xi: número de imperfeições fi: número de lotes 
Xi fi Fr=fi/n Frequência relativa Fa Frequência acumulada 
1 4 0,04 
2 8 
3 0,18 30 
4 27 0,27 
5 15 72 
6 83 
7 10 0,10 93 
8 
total 1 
R. 
Xi fi Fr=fi/n Frequência relativa Fa Frequência acumulada 
1 4 0,04 4 
2 8 0,08 12 
3 18 0,18 30 
4 27 0,27 57 
5 15 0,15 72 
6 11 0,11 83 
7 10 0,1 93 
8 7 0,07 100 
total 100 1 
 
 
 
 
23) Construa o histograma. Calcule a freqüência relativa, freqüência acumulada e acumulada relativa 
Notas Número de alunos Fa 
0,0 |---- 2,0 4 4 
2,0 |---- 4,0 5 9 
4,0 |---- 6,0 10 19 
6,0 |---- 8,0 12 31 
8,0 |---- 10,0 8 39 
Total 39 ---- 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 9 
Solução 
4
5
10
12
8
0
2
4
6
8
10
12
14
0,0 - 2,0 2,0- 4,0 4,0 - 6,0 6,0 - 8,0 8,0 -10,0
Fr
eq
üê
nc
ia
Nota
Notas Prova Estatística
 R. 
Notas Número de 
alunos 
 fi 
Fr=fi/n 
Frequência relativa 
Fa 
Frequência acumulada 
Far 
Frequência acumulada 
relativa 
0,0 |---- 2,0 4 4/39=0,1025 4 4/39=0,1025 
2,0 |---- 4,0 5 5/39=0,1282 9 9/39=0,2308 
4,0 |---- 6,0 10 10/39=0,2564 19 19/39=0,4872 
6,0 |---- 8,0 12 12/39=0,3777 31 31/39=0,7949 
8,0 |---- 10,0 8 8/39=0,2051 39 39/39=1 
Total 39 1 ---- 
 
 
 
 
 
24) Dada a distribuição de freqüências, construa o histograma, polígono de frequências simples e 
acumulado (ogiva) . 
Classes (R$) fi 
402 |420 12 
420 |438 15 
438 |456 10 
456 |474 8 
474 |492 5 
Solução 
Classes 
X ponto médio 
da classei f i 
Fr=fi/n 
Frequência 
relativa 
Fa 
Frequência acumulada 
Frequência acumulada relativa 
faR % 
402 |420 (420+402)/2=411 12 0,24 12 24,0% 
420 |438 429 15 0,3 27 54,0% 
438 |456 447 10 0,2 37 74,0% 
456 |474 465 8 0,16 45 90,0% 
474 |492 483 5 0,1 50 100,0% 
Total 1 
 
Resp.: 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 10 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
393 411 429 447 465 483 501
frequen
cia
Classes(R$)
Histograma
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
393 411 429 447 465 483 501
frequen
cia
Classes (R$)
Polígono de frequencias Simples
 
 
 
Fa 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 11 
30) Cinquenta amostras de ar numa região foram obtidas e para cada uma delas foi determinada a 
concentração de monóxido de carbono. Os resultados (em ppm) foram: 
35 20 25 25 20 25 50 60 60 25 30 60 40 40 80 40 70 
10 10 40 40 10 75 40 20 20 30 20 70 25 25 20 50 80 
30 40 10 10 20 10 30 80 80 50 25 30 30 35 40 60 
Determine: Calcule o coeficiente de variação. R. CV=55,89% 
Saída do Minitab 
80604020Median
Mean
4540353025
A nderson-Darling Normality Test
V ariance 436,980
Skewness 0,716539
Kurtosis -0,443604
N 50
Minimum 10,000
A -Squared
1st Q uartile 20,000
Median 30,000
3rd Q uartile 50,000
Maximum 80,000
95% C onfidence Interv al for Mean
31,459
1,52
43,341
95% C onfidence Interv al for Median
25,000 40,000
95% C onfidence Interv al for StDev
17,462 26,049
P-V alue < 0,005
Mean 37,400
StDev 20,904
95% Confidence Intervals
Summary for tempos
 
tempos
Pe
rc
en
t
100806040200
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Mean
<0,005
37,4
StDev 20,90
N 50
AD 1,515
P-Value
Probability Plot of tempos
Normal 
 
 
 
 
 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 12 
 
1) Mediana: Medida (ou média aritmética das duas medidas) acima da qual existe a mesma 
quantidade de medidas do que abaixo dela. 
 
Da mesma forma, se definem: 
os Quartis: Q1, Q2, Q3 (dividem as quantidades em 4), 
os Decis: D1, D2,..., D9 (dividem as quantidades em 10), 
os Percentis: P1, P2,..., P99 (dividem as quantidades em 100). 
 Assim, a Mediana = Q2 = D5 = P50 
A medida Q3 – Q1 = IQR é chamada de amplitude Interquartil 
 
2) Moda: A medida que aparece o maior número de vez. 
 
Existem situações: 
 amodais (sem que uma medida apareça mais que as outras), 
unimodais (apenas uma medida aparecendo mais que as outras), 
bimodais (duas medidas bem diferentes aparecendo mais que as outras), 
multimodais (mais medidas diferentes aparecendo mais que as outras), 
 
3) Box Plot: Gráfico em forma de uma caixa (retângulo vertical ou horizontal) mostrando 
os Quartis 
 
x1 = mínimo = menor medida depois de Q1 -1,5 IQR (As medidas antes de x1 são ditas outliers) 
x2 = máximo = maior medida antes de Q3 +1,5 IQR (As medidas depois de x3 são ditas 
outliers) 
 
 
Assimetria + 
 
Assimetria - Simétrica 
Q1 Mediana Q3 Q1 Mediana Q3 Q1 Mediana Q3 
1,5 IQR 1,5 IQR IQR