02_Raciocinio_Logico

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
 
 
Prefeitura de Araucária-PR 
Educador Infantil II 
 
 
Sequências Lógicas envolvendo números, letras e figuras. ................................................ 1 
Geometria plana; .............................................................................................................. 21 
Geometria espacial; .......................................................................................................... 65 
Geometria analítica; .......................................................................................................... 77 
Geometrias não euclidianas; ........................................................................................... 101 
Análise combinatória; ...................................................................................................... 104 
Conjuntos numéricos. ..................................................................................................... 115 
Sistemas de equações do 1º e 2º grau; .......................................................................... 145 
Comparações. ................................................................................................................ 157 
Razão e proporção. ........................................................................................................ 189 
Regra de Três. ................................................................................................................ 195 
Porcentagem. ................................................................................................................. 208 
Probabilidade. ................................................................................................................. 216 
Resolução de problemas. ............................................................................................... 224 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá Concurseiro, tudo bem? 
 
Sabemos que estudar para concurso público não é tarefa fácil, mas acreditamos na sua 
dedicação e por isso elaboramos nossa apostila com todo cuidado e nos exatos termos do 
edital, para que você não estude assuntos desnecessários e nem perca tempo buscando 
conteúdos faltantes. Somando sua dedicação aos nossos cuidados, esperamos que você 
tenha uma ótima experiência de estudo e que consiga a tão almejada aprovação. 
 
Pensando em auxiliar seus estudos e aprimorar nosso material, disponibilizamos o e-mail 
professores@maxieduca.com.br para que possa mandar suas dúvidas, sugestões ou 
questionamentos sobre o conteúdo da apostila. Todos e-mails que chegam até nós, passam 
por uma triagem e são direcionados aos tutores da matéria em questão. Para o maior 
aproveitamento do Sistema de Atendimento ao Concurseiro (SAC) liste os seguintes itens: 
 
01. Apostila (concurso e cargo); 
02. Disciplina (matéria); 
03. Número da página onde se encontra a dúvida; e 
04. Qual a dúvida. 
 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhar em e-mails separados, 
pois facilita e agiliza o processo de envio para o tutor responsável, lembrando que teremos até 
cinco dias úteis para respondê-lo (a). 
 
Não esqueça de mandar um feedback e nos contar quando for aprovado! 
 
Bons estudos e conte sempre conosco! 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
1 
 
 
 
LÓGICA SEQUENCIAL OU SEQUÊNCIAS LÓGICAS 
 
Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este 
considerado instrumento puramente teórico e dedutivo, que prescinde de dados empíricos. Logo, 
resumidamente o raciocínio pode ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos 
processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas. 
 
Sequências Lógicas 
As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas 
de se estabelecer uma sequência, o importante é que existem pelo menos três elementos que caracterize 
a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua 
lógica. 
 
Sequência de Números 
 
Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número. 
 
 
 
Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número. 
 
 
 
Incremento em Progressão: O valor somado é que está em progressão. 
 
 
 
Série de Fibonacci: Cada termo é igual à soma dos dois anteriores. 
 
1 1 2 3 5 8 13 
 
Números Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais. 
 
2 3 5 7 11 13 17 
 
Quadrados Perfeitos: Números naturais cujas raízes são naturais. 
 
1 4 9 16 25 36 49 
 
Sequência de Letras 
As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, devemos 
escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para 
entender a lógica proposta. 
 
A C F J O U 
 
Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão. 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U 
Sequências Lógicas envolvendo números, letras e figuras. 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
2 
 
B1 2F H4 8L N16 32R T64 
 
Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 
1, 3, 1, 3 e 1 posições. 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T 
 
Sequência de Pessoas 
Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão 
em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º, ...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, 
ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º, ...). Sendo assim, a sequência se repete 
a cada seis termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição. 
 
 
 
Sequência de Figuras 
Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente 
sofrer rotações, como nos exemplos a seguir. 
 
 
 
 
 
Sequência de Fibonacci 
O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: 
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, 
a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim 
por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo 
da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento 
de modelos explicativos de fenômenos naturais. 
Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida 
como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um 
retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo 
retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a 
figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam 
a sequência de Fibonacci. 
 
 
 
Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, 
encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da 
sequência de Fibonacci. 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
3 
 
 
 
O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do 
edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma 
sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada 
retângulo áureo ou retângulo de ouro. 
 
 
 
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: 
𝑦
𝑎
=
𝑎
𝑏
 (1). 
 
Como: b = y – a (2). 
Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. 
Resolvendo a equação:𝑦 =
𝑎(1±√5
2
 em que (
1−√5
2
< 0) não convém. 
 
Logo: 
𝑦
𝑎
=
(1+√5
2
= 1,61803398875 
 
Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por: 
 
𝜃 =
1 + √5
2
 
 
Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo 
como o caso da fachada do Partenon. 
 
As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. Veja os exemplos: 
 
Exemplo 1 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
4 
 
A sequência numérica proposta envolve multiplicações por 4. 
6 x 4 = 24 
24 x 4 = 96 
96 x 4 = 384 
384 x 4 = 1536 
 
Exemplo 2 
 
 
 
A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade. 
13 – 10 = 3 
17 – 13 = 4 
22 – 17 = 5 
28 – 22 = 6 
35 – 28 = 7 
 
Exemplo 3 
 
 
 
Multiplicar os números sempre por 3. 
1 x 3 = 3 
3 x 3 = 9 
9 x 3 = 27 
27 x 3 = 81 
81 x 3 = 243 
243 x 3 = 729 
729 x 3 = 2187 
 
Exemplo 4 
 
 
 
A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades. 
24 – 22 = 2 
28 – 24 = 4 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
5 
 
34 – 28 = 6 
42 – 34 = 8 
52 – 42 = 10 
64 – 52 = 12 
78 – 64 = 14 
 
Questões 
 
01. Observe atentamente a disposição das cartas em cada linha do esquema seguinte: 
 
 
 
A carta que está oculta é: 
 
 
02. Considere que a sequência de figuras foi construída segundo um certo critério. 
 
 
Se tal critério for mantido, para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número 
15 deverá ser: 
(A) 69 
(B) 67 
(C) 65 
(D) 63 
(E) 61 
 
03. O próximo número dessa sequência lógica é: 1000, 990, 970, 940, 900, 850, ... 
(A) 800 
(B) 790 
(C) 780 
(D) 770 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
6 
 
04. Na sequência lógica de números representados nos hexágonos, da figura abaixo, observa-se a ausência de um 
deles que pode ser: 
 
(A) 76 
(B) 10 
(C) 20 
(D) 78 
 
05. Uma criança brincando com uma caixa de palitos de fósforo constrói uma sequência de quadrados conforme 
indicado abaixo: 
 
Quantos palitos ele utilizou para construir a 7ª figura? 
(A) 20 palitos 
(B) 25 palitos 
(C) 28 palitos 
(D) 22 palitos 
 
06. Ana fez diversas planificações de um cubo e escreveu em cada um, números de 1 a 6. Ao montar 
o cubo, ela deseja que a soma dos números marcados nas faces opostas seja 7. A única alternativa cuja 
figura representa a planificação desse cubo tal como deseja Ana é: 
 
07. As figuras da sequência dada são formadas por partes iguais de um círculo. 
 
Continuando essa sequência, obtém-se exatamente 16 círculos completos na: 
(A) 36ª figura 
(B) 48ª figura 
(C) 72ª figura 
(D) 80ª figura 
(E) 96ª figura 
 
08. Analise a sequência a seguir: 
 
Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar 
que a figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é: 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
7 
 
09. Observe a sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... Qual é o próximo número? 
(A) 20 
(B) 21 
(C) 100 
(D) 200 
 
10. Observe a sequência: 3,13, 30, ... Qual é o próximo número? 
(A) 4 
(B) 20 
(C) 31 
(D) 21 
 
11. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério. 
 
LACRAÇÃO  cal 
AMOSTRA  soma 
LAVRAR  ? 
 
Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é: 
(A) alar 
(B) rala 
(C) ralar 
(D) larva 
(E) arval 
 
12. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão. 
 
 
 
Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é: 
 
13. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de 
formação. 
 
 
Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a: 
(A) 40 
(B) 42 
(C) 44 
(D) 46 
(E) 48 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
8 
 
14. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado 
critério. 
 
 
Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y”, a letra que substitui 
corretamente o ponto de interrogação é: 
(A) P 
(B) O 
(C) N 
(D) M 
(E) L 
 
15. Considere que a sequência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e 
positivos, sem que os algarismos sejam separados. 
 
1234567891011121314151617181920... 
 
O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa sequência é: 
(A) 9 
(B) 8 
(C) 6 
(D) 3 
(E) 1 
 
16. Em cada linha abaixo, as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão. 
 
 
 
Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é: 
 
 
17. Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados nos dois primeiros 
triângulos obedecem a um mesmo critério. 
 
 
 
Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá substituir o ponto 
de interrogação é: 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
9 
 
(A) 32 
(B) 36 
(C) 38 
(D) 42 
(E) 46 
 
18. Considere a seguinte sequência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108, ... O número que 
preenche adequadamente a quarta posição dessa sequência é: 
(A) 36, 
(B) 40, 
(C) 42, 
(D) 44, 
(E) 48 
 
19. Observando a sequência (1, 
1
2
 , 
1
6
 , 
1
12
 , 
1
20
 , ...) o próximo número será: 
(A) 
1
24
 
 
(B) 
1
30
 
 
(C) 
1
36
 
 
(D) 
1
40
 
 
20. Considere a sequência abaixo: 
 
BBB BXB XXB 
XBX XBX XBX 
BBB BXB BXX 
 
O padrão que completa a sequência é: 
 
(A) (B) (C) 
XXX XXB XXX 
XXX XBX XXX 
XXX BXX XXB 
 
(D) (E) 
XXX XXX 
XBX XBX 
XXX BXX 
 
21. Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos 
precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto termo da série 
é: 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
22. Nosso código secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z. Do seguinte 
modo: cada letra é substituída pela letra que ocupa a quarta posição depois dela. Então, o “A” vira “E”, o 
“B” vira “F”, o “C” vira “G” e assim por diante. O código é “circular”, de modo que o “U” vira “A” e assim 
por diante. Recebi uma mensagem em código que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o código e li: 
(A) FAZ AS DUAS; 
(B) DIA DO LOBO; 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
10 
 
(C) RIO ME QUER; 
(D) VIM DA LOJA; 
(E) VOU DE AZUL. 
 
23. A sentença “Social está para laicos assim como 231678 está para...” é melhor completada por: 
(A) 326187; 
(B) 876132; 
(C) 286731; 
(D) 827361; 
(E) 218763. 
 
24. A sentença “Salta está para Atlas assim como 25435 está para...” é melhor completada pelo 
seguinte número: 
(A) 53452; 
(B) 23455; 
(C) 34552; 
(D) 43525; 
(E) 53542. 
 
25. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 números 
de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um 
número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns 
números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse 
número tem em comum com o número procurado. 
 
Número 
dado 
Quantidade de 
números de 2 
algarismos em comum 
48.765 1 
86.547 0 
87.465 2 
48.675 1 
 
O número procurado é: 
(A) 87456 
(B) 68745 
(C) 56874 
(D) 58746 
(E) 46875 
 
26. Considere que os símbolos  e  que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações 
que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra 
na coluna da extrema direita.36  4  5 = 14 
48  6  9 = 17 
54  9  7 = ? 
 
Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído 
pelo número: 
(A) 16 
(B) 15 
(C) 14 
(D) 13 
(E) 12 
 
27. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto 
de um número seguido de uma letra: A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – .... Considerando que no alfabeto 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
11 
 
usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá 
anteceder o número 12 é: 
(A) J 
(B) L 
(C) M 
(D) N 
(E) O 
 
28. Os nomes de quatro animais – MARÁ, PERU, TATU e URSO – devem ser escritos nas linhas da 
tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal 
sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal. 
 
 
 
 
 
 
Excluídas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente 
aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja, A = 1, B = 2, C = 3,..., Z = 23), a soma dos números que 
correspondem às letras que compõem o nome do animal é: 
(A) 37 
(B) 39 
(C) 45 
(D) 49 
(E) 51 
 
Nas questões 29 e 30, observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A 
mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, 
ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética 
adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y. 
 
29. CASA: LATA: LOBO:? 
(A) SOCO 
(B) TOCO 
(C) TOMO 
(D) VOLO 
(E) VOTO 
 
30. ABCA: DEFD: HIJH:? 
(A) IJLI 
(B) JLMJ 
(C) LMNL 
(D) FGHF 
(E) EFGE 
 
31. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação (0, 1, 3, 4, 12, 
13, ...). Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número: 
(A) Menor que 200. 
(B) Compreendido entre 200 e 400. 
(C) Compreendido entre 500 e 700. 
(D) Compreendido entre 700 e 1.000. 
(E) Maior que 1.000. 
 
Para responder às questões de números 32 e 33, você deve observar que, em cada um dos dois 
primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo 
determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser 
colocada no lugar do ponto de interrogação. 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
12 
 
32. Ardoroso  rodo 
 Dinamizar  mina 
 Maratona  ? 
(A) mana 
(B) toma 
(C) tona 
(D) tora 
(E) rato 
 
33. Arborizado  azar 
Asteroide  dias 
Articular  ? 
(A) luar 
(B) arar 
(C) lira 
(D) luta 
(E) rara 
 
34. Preste atenção nesta sequência lógica e identifique quais os números que estão faltando: 1, 1, 2, 
__, 5, 8, __,21, 34, 55, __, 144, __... 
 
35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco de 10 metros de profundidade e quer sair de 
lá. Durante o dia, ela consegue subir 2 metros pela parede; mas à noite, enquanto dorme, escorrega 1 
metro. Depois de quantos dias ela consegue chegar à saída do poço? 
 
36. Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as páginas de um livro de 100 páginas? 
 
37. Quantos quadrados existem na figura abaixo? 
 
 
 
 
 
 
38. Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados. 
 
 
 
39. Qual será o próximo símbolo da sequência abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
13 
 
40. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais. 
 
 
 
41. Observe as multiplicações a seguir: 
12.345.679 × 18 = 222.222.222 
12.345.679 × 27 = 333.333.333 
... ... 
12.345.679 × 54 = 666.666.666 
 
Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quanto? 
 
42. Esta casinha está de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faça com que fique de 
frente para a estrada asfaltada. 
 
 
 
43. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados. 
 
 
44. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares, segundo uma relação lógica. Qual é a carta 
que está faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1? 
 
 
 
45. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito. 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
14 
 
46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequência 
abaixo? 
 
 
 
47. Mova três palitos nesta figura para obter cinco triângulos. 
 
 
 
48. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas. 
 
 
 
49. Reposicione três palitos e obtenha cinco quadrados. 
 
 
 
50. Mude a posição de quatro palitos e obtenha cinco triângulos. 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
A diferença entre os números estampados nas cartas 1 e 2, em cada linha, tem como resultado o valor 
da 3ª carta e, além disso, o naipe não se repete. Assim, a 3ª carta, dentro das opções dadas só pode ser 
a da opção (A). 
 
02. Resposta: D. 
Observe que, tomando o eixo vertical como eixo de simetria, tem-se: 
Na figura 1: 01 ponto de cada lado  02 pontos no total. 
Na figura 2: 02 pontos de cada lado  04 pontos no total. 
Na figura 3: 03 pontos de cada lado  06 pontos no total. 
Na figura 4: 04 pontos de cada lado  08 pontos no total. 
Na figura n: n pontos de cada lado  2.n pontos no total. 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
15 
 
Em particular: 
Na figura 15: 15 pontos de cada lado  30 pontos no total. 
 
Agora, tomando o eixo horizontal como eixo de simetria, tem-se: 
Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo  04 pontos no total. 
Na figura 2: 03 pontos acima e abaixo  06 pontos no total. 
Na figura 3: 04 pontos acima e abaixo  08 pontos no total. 
Na figura 4: 05 pontos acima e abaixo  10 pontos no total. 
Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo  2.(n+1) pontos no total. 
 
Em particular: 
Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo  32 pontos no total. Incluindo o ponto central, que ainda não 
foi considerado, temos para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos. 
 
03. Resposta: B. 
Nessa sequência, observamos que a diferença: entre 1000 e 990 é 10, entre 990 e 970 é 20, entre o 
970 e 940 é 30, entre 940 e 900 é 40, entre 900 e 850 é 50, portanto entre 850 e o próximo número é 60, 
dessa forma concluímos que o próximo número é 790, pois: 850 – 790 = 60. 
 
04. Resposta: D. 
Nessa sequência lógica, observamos que a diferença: entre 24 e 22 é 2, entre 28 e 24 é 4, entre 34 e 
28 é 6, entre 42 e 34 é 8, entre 52 e 42 é 10, entre 64 e 52 é 12, portanto entre o próximo número e 64 é 
14, dessa forma concluímos que o próximo número é 78, pois: 76 – 64 = 14. 
 
05. Resposta: D. 
Observe a tabela: 
Figuras 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 
N° de 
Palitos 
4 7 10 13 16 19 22 
 
Temos de forma direta, pela contagem, a quantidade de palitos das três primeiras figuras. Feito isto, 
basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior 
acrescida de 3 palitos. Desta forma, fica fácil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade 
de palitos da 7ª figura. 
 
06. Resposta: A. 
Na figura apresentada na letra “B”, não é possível obter a planificação de um lado, pois o 4 estaria do 
lado oposto ao 6, somando 10 unidades. Na figura apresentada na letra “C”, da mesma forma, o 5 estaria 
em face oposta ao 3, somando 8, não formando um lado. Na figura da letra “D”, o 2 estaria em face oposta 
ao 4, não determinando um lado. Já na figura apresentada na letra “E”, o 1 não estaria em face oposta 
ao número 6, impossibilitando, portanto, a obtenção de um lado. Logo, podemos concluir que a 
planificação apresentada na letra “A” é a única para representar um lado. 
 
07. Resposta: B. 
Como na 3ª figura completou-se um círculo, para completar 16 círculos é suficiente multiplicar 3 por 
16: 3. 16 = 48. Portanto, na 48ª figura existirão 16 círculos. 
 
08. Resposta:B. 
A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5 
elementos. A figura de número 277 ocupa, então, a mesma posição das figuras que representam número 
5n + 2, com n ∈ N. Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é representada pela letra “B”. 
 
09. Resposta: D. 
A regularidade que obedece a sequência acima não se dá por padrões numéricos e sim pela letra que 
inicia cada número. “Dois, Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, ... Enfim, o próximo só 
pode iniciar também com “D”: Duzentos. 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
16 
 
10. Resposta: C. 
Esta sequência é regida pela inicial de cada número. Três, Treze, Trinta, ... O próximo só pode ser o 
número Trinta e um, pois ele inicia com a letra “T”. 
 
11. Resposta: E. 
Na 1ª linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da palavra LACRAÇÃO, mas na ordem 
invertida. Da mesma forma, na 2ª linha, a palavra SOMA é retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4 
primeiras letras invertidas. Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem 
invertida, obtém-se ARVAL. 
 
12. Resposta: C. 
Em cada linha apresentada, as cabeças são formadas por quadrado, triângulo e círculo. Na 3ª linha já 
há cabeças com círculo e com triângulo. Portanto, a cabeça da figura que está faltando é um quadrado. 
As mãos das figuras estão levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as 
mãos levantadas (é o que ocorre em todas as alternativas). As figuras apresentam as 2 pernas ou 
abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que 
está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. Logo, a figura tem a cabeça 
quadrada, as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda. 
 
13. Resposta: A. 
Existem duas leis distintas para a formação: uma para a parte superior e outra para a parte inferior. Na 
parte superior, tem-se que: do 1º termo para o 2º termo, ocorreu uma multiplicação por 2; já do 2º termo 
para o 3º, houve uma subtração de 3 unidades. Com isso, X é igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X = 
10. Na parte inferior, tem-se: do 1º termo para o 2º termo ocorreu uma multiplicação por 3; já do 2º termo 
para o 3º, houve uma subtração de 2 unidades. Assim, Y é igual a 10 multiplicado por 3, isto é, Y = 30. 
Logo, X + Y = 10 + 30 = 40. 
 
14. Resposta: A. 
A sequência do alfabeto inicia-se na extremidade direita do triângulo, pela letra “A”; aumenta a direita 
para a esquerda; continua pela 3ª e 5ª linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª 
linha até a 2ª linha. Na 2ª linha, então, as letras são, da direita para a esquerda, “M”, “N”, “O”, e a letra 
que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”. 
 
15. Resposta: B. 
A sequência de números apresentada representa a lista dos números naturais. Mas essa lista contém 
todos os algarismos dos números, sem ocorrer a separação. Por exemplo: 101112 representam os 
números 10, 11 e 12. Com isso, do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos. Do número 10 até o 
número 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Do número 100 até o número 124 existem: 3 x 25 = 75 
algarismos. E do número 124 até o número 128 existem mais 12 algarismos. Somando todos os valores, 
tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. Logo, conclui-se que o algarismo que ocupa a 276ª posição 
é o número 8, que aparece no número 128. 
 
16. Resposta: D. 
Na 1ª linha, internamente, a 1ª figura possui 2 “orelhas”, a 2ª figura possui 1 “orelha” no lado esquerdo 
e a 3ª figura possui 1 “orelha” no lado direito. Esse fato acontece, também, na 2ª linha, mas na parte de 
cima e na parte de baixo, internamente em relação às figuras. Assim, na 3ª linha ocorrerá essa regra, 
mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha que terá 2 “orelhas” internas, uma em cima e outra em 
baixo. Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas, a 3ª figura também não 
terá orelhas externas. Portanto, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª. 
 
17. Resposta: B. 
No 1º triângulo, o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está abaixo é igual 
à diferença entre o número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 40 : 5 = 21 - 
13 = 8. 
A mesma regra acontece no 2º triângulo: 42 ÷ 7 = 23 - 17 = 6. 
Assim, a mesma regra deve existir no 3º triângulo: 
? ÷ 3 = 19 – 7 
? ÷ 3 = 12 
? = 12 x 3 = 36. 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
17 
 
18. Resposta: E. 
Verifique os intervalos entre os números que foram fornecidos. Dado os números 3, 12, 27, __, 75, 
108, obteve-se os seguintes 9, 15, __, __, 33 intervalos. Observe que 3x3, 3x5, 3x7, 3x9, 3x11. Logo 3x7 
= 21 e 3x 9 = 27. Então: 21 + 27 = 48. 
 
19. Resposta: B. 
Observe que o numerador é fixo, mas o denominador é formado pela sequência: 
 
Primeiro Segundo Terceiro Quarto Quinto Sexto 
1 1 x 2 = 2 2 x 3 = 6 3 x 4 = 12 4 x 5 = 20 5 x 6 = 30 
 
20. Resposta: D. 
O que de início devemos observar nesta questão é a quantidade de B e de X em cada figura. Vejamos: 
 
BBB BXB XXB 
XBX XBX XBX 
BBB BXB BXX 
7B e 2X 5B e 4X 3B e 6X 
 
Vê-se, que os “B” estão diminuindo de 2 em 2 e que os “X” estão aumentando de 2 em 2; notem 
também que os “B” estão sendo retirados um na parte de cima e um na parte de baixo e os “X” da mesma 
forma, só que não estão sendo retirados, estão, sim, sendo colocados. Logo a 4ª figura é: 
 
XXX 
XBX 
XXX 
1B e 8X 
 
21. Resposta: D. 
Montando a série de Fibonacci temos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... A resposta da questão é a 
alternativa “D”, pois como a questão nos diz, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois 
termos precedentes. 2 + 3 = 5 
 
22. Resposta: E. 
A questão nos informa que ao se escrever alguma mensagem, cada letra será substituída pela letra 
que ocupa a quarta posição, além disso, nos informa que o código é “circular”, de modo que a letra “U” 
vira “A”. Para decifrarmos, temos que perceber a posição do emissor e do receptor. O emissor ao escrever 
a mensagem conta quatro letras à frente para representar a letra que realmente deseja, enquanto que o 
receptor, deve fazer o contrário, contar quatro letras atrás para decifrar cada letra do código. No caso, 
nos foi dada a frase para ser decifrada, vê-se, pois, que, na questão, ocupamos a posição de receptores. 
Vejamos a mensagem: BSA HI EDAP. Cada letra da mensagem representa a quarta letra anterior de 
modo que: 
VxzaB: B na verdade é V; 
OpqrS: S na verdade é O; 
UvxzA: A na verdade é U; 
DefgH: H na verdade é D; 
EfghI: I na verdade é E; 
AbcdE: E na verdade é A; 
ZabcD: D na verdade é Z; 
UvxaA: A na verdade é U; 
LmnoP: P na verdade é L; 
 
23. Resposta: B. 
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra e, em seguida, nos traz uma 
sequência numérica. É perguntado qual sequência numérica tem a mesma ralação com a sequência 
numérica fornecida, de maneira que, a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. 
Observando as duas palavras dadas, podemos perceber facilmente que têm cada uma 6 letras e que as 
letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Tal ordem, nada mais é, do que a primeira 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
18 
 
palavra de trás para frente, de maneira que SOCIAL vira LAICOS. Fazendo o mesmo com a sequência 
numérica fornecida, temos: 231678 viram 876132, sendo esta a resposta. 
 
24. Resposta: A. 
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra, e em seguida, nos traz uma 
sequência numérica. Foi perguntado qual a sequência numérica que tem relação com a já dada de 
maneira que a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observandoas duas 
palavras dadas podemos perceber facilmente que tem cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete 
na outra em uma ordem diferente. Essa ordem diferente nada mais é, do que a primeira palavra de trás 
para frente, de maneira que SALTA vira ATLAS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida 
temos: 25435 vira 53452, sendo esta a resposta. 
 
25. Resposta: E. 
Pelo número 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 não acontecem no número procurado. Do número 
48.675, as opções 48, 86 e 67 não estão em nenhum dos números apresentados nas alternativas. 
Portanto, nesse número a coincidência se dá no número 75. Como o único número apresentado nas 
alternativas que possui a sequência 75 é 46.875, tem-se, então, o número procurado. 
 
26. Resposta: D. 
O primeiro símbolo representa a divisão e o 2º símbolo representa a soma. Portanto, na 1ª linha, tem-
se: 36  4 + 5 = 9 + 5 = 14. Na 2ª linha, tem-se: 48  6 + 9 = 8 + 9 = 17. Com isso, na 3ª linha, ter-se-á: 
54  9 + 7 = 6 + 7 = 13. Logo, podemos concluir então que o ponto de interrogação deverá ser substituído 
pelo número 13. 
 
27. Resposta: A. 
As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto. Já a 
sequência que acompanha os números pares inicia-se pela letra “E”, e continua de acordo com a 
sequência normal do alfabeto: 2ª letra: E, 4ª letra: F, 6ª letra: G, 8ª letra: H, 10ª letra: I e 12ª letra: J. 
 
28. Resposta: D. 
Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ, PERU, TATU e URSO, na seguinte 
ordem: PERU, MARÁ, TATU e URSO, obtém-se na tabela: 
 
P E R U 
M A R A 
T A T U 
U R S O 
 
O nome do animal é PATO. Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P = 15, A = 1, T = 19 e 0 = 14. 
Somando esses valores, obtém-se: 15 + 1 + 19 + 14 = 49. 
 
29. Resposta: B. 
Na 1ª e na 2ª sequências, as vogais são as mesmas: letra “A”. Portanto, as vogais da 4ª sequência de 
letras deverão ser as mesmas da 3ª sequência de letras: “O”. A 3ª letra da 2ª sequência é a próxima letra 
do alfabeto depois da 3ª letra da 1ª sequência de letras. Portanto, na 4ª sequência de letras, a 3ª letra é 
a próxima letra depois de “B”, ou seja, a letra “C”. Em relação à primeira letra, tem-se uma diferença de 7 
letras entre a 1ª letra da 1ª sequência e a 1ª letra da 2ª sequência. Portanto, entre a 1ª letra da 3ª 
sequência e a 1ª letra da 4ª sequência, deve ocorrer o mesmo fato. Com isso, a 1ª letra da 4ª sequência 
é a letra “T”. Logo, a 4ª sequência de letras é: T, O, C, O, ou seja, TOCO. 
 
30. Resposta: C. 
Na 1ª sequência de letras, ocorrem as 3 primeiras letras do alfabeto e, em seguida, volta-se para a 1ª 
letra da sequência. Na 2ª sequência, continua-se da 3ª letra da sequência anterior, formando-se DEF, 
voltando-se novamente, para a 1ª letra desta sequência: D. Com isto, na 3ª sequência, têm-se as letras 
HIJ, voltando-se para a 1ª letra desta sequência: H. Com isto, a 4ª sequência iniciará pela letra L, 
continuando por M e N, voltando para a letra L. Logo, a 4ª sequência da letra é: LMNL. 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
19 
 
31. Resposta: E. 
Do 1º termo para o 2º termo, ocorreu um acréscimo de 1 unidade. Do 2º termo para o 3º termo, ocorreu 
a multiplicação do termo anterior por 3. E assim por diante, até que para o 7º termo temos 13 . 3 = 39. 8º 
termo = 39 + 1 = 40. 9º termo = 40 . 3 = 120. 10º termo = 120 + 1 = 121. 11º termo = 121 . 3 = 363. 12º 
termo = 363 + 1 = 364. 13º termo = 364 . 3 = 1.092. Portanto, podemos concluir que o 13º termo da 
sequência é um número maior que 1.000. 
 
32. Resposta: D. 
Da palavra “ardoroso”, retiram-se as sílabas “do” e “ro” e inverteu-se a ordem, definindo-se a palavra 
“rodo”. Da mesma forma, da palavra “dinamizar”, retiram-se as sílabas “na” e “mi”, definindo-se a palavra 
“mina”. Com isso, podemos concluir que da palavra “maratona”. Deve-se retirar as sílabas “ra” e “to”, 
criando-se a palavra “tora”. 
 
33. Resposta: A. 
Na primeira sequência, a palavra “azar” é obtida pelas letras “a” e “z” em sequência, mas em ordem 
invertida. Já as letras “a” e “r” são as 2 primeiras letras da palavra “arborizado”. A palavra “dias” foi obtida 
da mesma forma: As letras “d” e “i” são obtidas em sequência, mas em ordem invertida. As letras “a” e 
“s” são as 2 primeiras letras da palavra “asteroides”. Com isso, para a palavras “articular”, considerando 
as letras “i” e “u”, que estão na ordem invertida, e as 2 primeiras letras, obtém-se a palavra “luar”. 
 
34. O nome da sequência é Sequência de Fibonacci. O número que vem é sempre a soma dos dois 
números imediatamente atrás dele. A sequência correta é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... 
 
35. 
Dia Subida Descida 
1º 2m 1m 
2º 3m 2m 
3º 4m 3m 
4º 5m 4m 
5º 6m 5m 
6º 7m 6m 
7º 8m 7m 
8º 9m 8m 
9º 10m ---- 
Portanto, depois de 9 dias ela chegará na saída do poço. 
 
36. 09 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99. 
Portanto, são necessários 20 algarismos. 
 
37. 
 
Portanto, há 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados. 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
20 
 
38. 
 
 
39. Os símbolos são como números em frente ao espelho. Assim, o próximo símbolo será 88. 
 
40. 
 
 
41. 
12.345.679 × (2×9) = 222.222.222 
12.345.679 × (3×9) = 333.333.333 
... ... 
12.345.679 × (6×9) = 666.666.666 
Portanto, para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por (9x9) = 81 
 
42. 
 
 
 
43. 
 
 
44. Sendo A = 1, J = 11, Q = 12 e K = 13, a soma de cada par de cartas é igual a 14 e o naipe de paus 
sempre forma par com o naipe de espadas. Portanto, a carta que está faltando é o 6 de espadas. 
 
45. 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
21 
 
46. Observe que: 
 
 
Portanto, a próxima pedra terá que ter o valor: 15.120 x 8 = 120.960 
 
47. 
 
 
 
48. 
 
 
 
49. 
 
 
50. 
 
 
 
 
ÂNGULOS 
 
Ângulo: É uma região limitada por duas semirretas de mesma origem. 
 
Elementos de um ângulo 
 
- LADOS: são as duas semirretas 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 
-VÉRTICE: é o ponto de intersecção das duas semirretas, no exemplo o ponto O. 
 
Geometria plana; 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
22 
 
 
 
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
 
 
 
Ângulo Central 
- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; 
- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por 
vértices consecutivos do polígono. 
 
 
Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são 
tangentes a ela. 
 
 
Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência. 
 
 
 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 
 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
23 
 
Ângulo Raso: 
 - É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semirretas opostas. 
 
 
 
Ângulo Reto: 
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
 
 
 
Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 90
0
. 
 
 
Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 360
0
. 
 
 
 
 
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois 
ângulos é 180º. 
 
 
Então, se x e y são dois ângulos, temos: 
- se x + y = 90° → x e y são Complementares. 
- se x + y = 180° → e y são Suplementares. 
- se x + y = 360° → x e y são Replementares. 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
24 
 
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. 
 
 
 
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as 
respectivas semirretas opostas aos lados do outro. 
 
 
 
Ângulos consecutivos: são ângulos que tem um lado em comum.Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não tem ponto interno em comum. 
 
- Os ângulos AÔB e BÔC, AÔB e AÔC, BÔC e AÔC são pares de ângulos consecutivos. 
- Os ângulos AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. 
Unidades de medida de ângulos: 
Grado: (gr.): dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 
1/400 da circunferência denominamos de grado. 
 
Grau: (º): dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 
da circunferência denominamos de grau. 
- o grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo. E temos que 1° = 60’ (1 grau equivale a 60 minutos) 
e 1’ = 60” (1 minuto equivale a 60 segundos). 
 
Exemplos: 
01. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
25 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
02. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î? 
 
 
03. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
26 
 
d) 
 
 
Resoluções 
01. Respostas: 
a) 55˚ 
b) 74˚ 
c) 33˚ 
 
02. Resposta: 130. 
Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas "a" e "b". 
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô. 
 
 
 
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b. 
Logo, î = 80° + 50° = 130°. 
 
03. Respostas: 
a) 160° - 3x = x + 100° 
160° - 100° = x + 3x 
60° = 4x 
x = 60°/4 
x = 15° 
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° 
 
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 
6x + 2x = 180° -15° - 5° 
8x = 160° 
x = 160°/8 
x = 20° 
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° 
 
c) Sabemos que a figura tem 90°. 
 
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 
4x + 50° = 90° 
4x = 40° 
x = 40°/4 
x = 10° 
 
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo. 
Então, 138° + x = 180° 
x = 180° - 138° 
x = 42° 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
27 
 
Logo, o ângulo x mede 42°. 
 
Questões 
 
01. Quantos segundos tem um ângulo que mede 6° 15’? 
(A) 375’’. 
(B) 22.500”. 
(C) 3.615’’ 
(D) 2.950’’ 
(E) 25.000’’ 
 
02. A medida de um ângulo é igual à metade da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse 
ângulo? 
(A) 60° 
(B) 90° 
(C) 45° 
(D) 120° 
(E) 135° 
 
03. O complemento de um ângulo é igual a um quarto do seu suplemento. Qual é o complemento 
desse ângulo? 
(A) 60° 
(B) 30° 
(C) 90° 
(D) 120° 
(E) 150° 
 
04. Dois ângulos que medem x e x + 20° são adjacentes e complementares. Qual a medida 
desses dois ângulos? 
(A) 35° e 55° 
(B) 40° e 50° 
(C) 20° e 70° 
(D) 45° e 45° 
(E) 40° e 55° 
 
05. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Qual é p valor 
do ângulo y? 
 
(A) 45° 
(B) 90° 
(C) 135° 
(D) 120° 
(E) 155° 
 
06. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n. 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
28 
 
(A) 11º; 159º. 
(B) 12º; 158º. 
(C) 10º; 160º. 
(D) 15º; 155º. 
(E) 16º; 150º. 
 
07. Determine o valor de a na figura seguinte: 
 
 
(A) 135° 
(B) 40° 
(C) 90° 
(D) 100° 
(E) 45° 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Sabemos que 1° = 60’ e 1’ = 60”, temos: 
6°.60 = 360’ (multiplicamos os graus por 60 para converter em minutos). 
360’ + 15’ = 375’ (somamos os minutos) 
375’.60 = 22.500” (multiplicamos os minutos por 60 para converter em segundos). 
Portanto 6° 15’ equivale a 22.500”. 
 
02. Resposta: A. 
- sendo x o ângulo, o seu suplemento é 180° - x, então pelo enunciado temos a seguinte equação: 
x =
180°−x
2
 (multiplicando em “cruz”) 
 
2x = 180° - x 
2x + x = 180° 
3x = 180° 
x = 180° : 3 = 60° 
 
03. Resposta: B. 
- sendo x o ângulo, o seu complemento será 90° – x e o seu suplemento é 180° – x. Então, temos: 
90° - x = 
180°−x
4
 (o 4 passa multiplicando o primeiro membro da equação) 
4.(90° - x) = 180° - x (aplicando a distributiva) 
360° - 4x = 180° - x 
360° - 180° = - x + 4x 
180° = 3x 
x = 180° : 3 = 60º 
- o ângulo x mede 60º, o seu complemento é 90° - 60° = 30° 
 
04. Resposta: A. 
- do enunciado temos a seguintes figura: 
 
Então: 
x + x + 20° = 90° 
2x = 90° - 20° 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
29 
 
2x = 70° 
x = 70° : 2 = 35° 
- os ângulos são: 35° e 35° + 20° = 55° 
 
05. Resposta: C. 
Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. 
Então vale lembrar que: 
x + y = 180 então y = 180 – x. 
 
E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z 
E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. 
Calcule y. 
x = y / 6 + z / 2 
Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z 
Então: 
x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração: 
6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x 
6x – 2x = 180° 
4x = 180° 
x=180°/4 
x=45º 
Agora achar y, sabendo que y = 180° - x 
y=180º - 45° 
y=135°. 
 
06. Resposta: A. 
3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais. 
3m - 12º = m + 10º 
3m - m = 10º + 12º 
2m = 22º 
m = 22º/2 
m = 11º 
m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º. 
(m + 10º) + n = 180º 
(11º + 10º) + n = 180º 
21º + n = 180º 
n = 180º - 21º 
n = 159º 
 
07. Resposta: E. 
É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais. 
 
TRIÂNGULOS 
 
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. É o único 
polígono que não tem diagonais. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, 
lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes. 
 
1. Vértices: A, B e C. 
2. Lados: AB̅̅ ̅̅ ,BC̅̅̅̅ e AC̅̅̅̅ . 
3. Ângulos internos: a, b e c. 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
30 
 
Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao 
vértice formando um ângulo reto. BH̅̅ ̅̅ é uma altura do triângulo. 
 
 
 
Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM̅̅ ̅̅ é uma mediana. 
 
 
 
Bissetriz: É a semirreta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B̂ está dividido ao meio 
e neste caso Ê = Ô. 
 
 
 
Ângulo Interno: Todo triângulo possui três ângulos internos, na figura são Â, B̂ e Ĉ 
 
 
Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente a 
este lado, na figura são D̂, Ê e F̂ (na cor em destaque). 
 
Classificação 
O triângulo pode ser classificado de duas maneiras: 
 
1- Quanto aos lados: 
 
Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais, m(AB̅̅ ̅̅ ) = m(BC̅̅̅̅ ) = m(AC̅̅̅̅ ) e os três ângulos 
iguais. 
 
Triângulo Isósceles: Tem dois lados com medidas iguais, m(AB̅̅ ̅̅ ) = m(AC̅̅̅̅ ) e dois ângulos iguais. 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
31 
 
Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas diferentes, m(AB̅̅ ̅̅ ) ≠ m(AC̅̅̅̅ ) ≠ m(BC̅̅̅̅ ) e os três 
ângulos diferentes. 
 
 
2 - Quanto aos ângulos: 
 
Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são 
menores do que 90º. 
 
 
Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do 
que 90º. 
 
 
Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90° graus). 
 
 
Propriedade dos ângulos 
 
1- Ângulos Internos: a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. 
 
 
a + b + c = 180º 
 
2- Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC onde as letras minúsculas representam os 
ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos. Temos que em todo triângulo 
cada ângulo externo é igual à soma de dois ângulos internos apostos. 
 
 
 
 = b̂ + ĉ; B̂ = â + ĉ e Ĉ = â + b̂ 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
32 
 
Semelhança de triângulos 
Dois triângulos são semelhantes setiverem, entre si, os lados correspondentes proporcionais e os 
ângulos congruentes (iguais). 
 
Dados os triângulos acima, onde: 
AB̅̅ ̅̅
DE̅̅ ̅̅
=
BC̅̅̅̅
EF̅̅̅̅
=
AC̅̅̅̅
DF̅̅̅̅
 
 
e  = D̂ B̂ = Ê Ĉ = F̂, então os triângulos ABC e DEF são semelhantes e escrevemos ABC~DEF. 
 
Critérios de semelhança 
1- Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem, entre si, dois ângulos correspondentes 
congruentes iguais, então os triângulos são semelhantes. 
 
 
Nas figuras ao lado: Â = D̂ e Ĉ = F̂ 
 
então: ABC ~ DEF 
 
2- Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os 
ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes. 
 
 
Nas figuras ao lado: 
AB̅̅ ̅̅
EF̅̅̅̅
=
BC̅̅̅̅
FG̅̅̅̅
→
6
3
=
8
4
= 2 
então: ABC ~ EFG 
 
3- Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, 
então os triângulos são semelhantes. 
 
 
Nas figuras ao lado: 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝑅𝑇̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝑅𝑆̅̅̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝑆𝑇̅̅̅̅
→
3
1,5
=
5
2,5
=
4
2
= 2 
 
então: ABC ~ RST 
 
 
Observação: temos três critérios de semelhança, porém o mais utilizado para resolução de exercícios, 
isto é, para provar que dois triângulos são semelhantes, basta provar que eles tem dois ângulos 
correspondentes congruentes (iguais). 
 
 
 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
33 
 
Casos de congruência 
 
1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes. 
 
2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes. 
 
3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente. 
 
4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo 
oposto ao lado. 
 
 
Questões 
 
01. (PC/PR – Perito Criminal – IBFC/2017) Com relação à semelhança de triângulos, analise as 
afirmativas a seguir: 
I. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os três ângulos ordenadamente 
congruentes. 
II. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os lados homólogos proporcionais. 
III. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os três ângulos ordenadamente 
congruentes e os lados homólogos proporcionais. 
Nessas condições, está correto o que se afirma em: 
(A) I e II, apenas 
(B) II e III, apenas 
(C) I e III, apenas 
(D) I, II e III 
(E) II, apenas 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
34 
 
02. Na figura abaixo AB̅̅ ̅̅ = AC̅̅̅̅ , CB̅̅̅̅ = CD̅̅̅̅ , a medida do ângulo DĈB é: 
 
(A) 34° 
(B) 72° 
(C) 36° 
(D) 45° 
(E) 30° 
 
03. Na figura seguinte, o ângulo AD̂C é reto. O valor em graus do ângulo CB̂D é igual a: 
 
(A) 120° 
(B) 110° 
(C) 105° 
(D) 100° 
(E) 95° 
 
04. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3. Quanto 
mede o lado do quadrado? 
 
(A) 0,70 
(B) 0,75 
(C) 0,80 
(D) 0,85 
(E) 0,90 
 
05. Em uma cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, 
que estacionou a aproximadamente 50 m do solo. Um helicóptero do Exército, situado a aproximadamente 
30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura seguinte. A sombra projetada 
pelo disco no solo tinha em torno de 16 m de diâmetro. 
 
Sendo assim, pode-se concluir que a medida, em metros, do raio desse disco-voador é 
aproximadamente: 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
35 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Todas as afirmações estão corretas pois em todos os casos os triângulos são semelhantes. 
 
02. Resposta: C. 
Na figura dada, temos três triângulos: ABC, ACD e BCD. Do enunciado AB = AC, o triângulo ABC tem 
dois lados iguais, então ele é isósceles e tem dois ângulos iguais: 
AĈB = AB̂C = x. A soma dos três ângulos é igual a 180°. 
36° + x + x = 180° 
2x = 180° - 36° 
2x = 144 
x = 144 : 2 
x = 72 
Logo: AĈB = AB̂C = 72° 
Também temos que CB = CD, o triângulo BCD é isósceles: 
CB̂D = CD̂B = 72°, sendo y o ângulo DĈB, a soma é igual a 180°. 
72° + 72° + y = 180° 
144° + y = 180° 
y = 180° - 144° 
y = 36º 
 
03. Resposta: D. 
Na figura temos três triângulos. Do enunciado o ângulo AD̂C = 90° (reto). 
O ângulo BD̂C = 30° → AD̂B = 60º. 
 
O ângulo CB̂D (x) é ângulo externo do triângulo ABD, então: 
x = 60º + 40° (propriedade do ângulo externo) 
x = 100° 
 
04. Resposta: B. 
Sendo x o lado do quadrado: 
 
 
Temos que provar que dois dos triângulos da figura são semelhantes. 
O ângulo BÂC é reto, o ângulo CF̂E é reto e o ângulo AĈB é comum aos triângulos ABC e CEF, logo 
estes dois triângulos são semelhantes. As medidas de seus lados correspondentes são proporcionais: 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
36 
 
AB̅̅ ̅̅
EF̅̅ ̅̅
=
AC̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅
CF̅̅ ̅̅
 
1
x
=
3
3−x
 (multiplicando em “cruz”) 
 
3x = 1.(3 – x) 
3x = 3 – x 
3x + x = 3 
4x = 3 
x = ¾ 
x = 0,75 
 
05. Resposta: A. 
Da figura dada, podemos observar os seguintes triângulos: 
 
Os triângulos ABC e ADE são isósceles. A altura divide as bases em duas partes iguais. E esses dois 
triângulos são semelhantes, pois os dois ângulos das bases de cada um são congruentes. Então: 
CG̅̅ ̅̅
EF̅̅ ̅̅
=
AG̅̅ ̅̅
AF̅̅ ̅̅
 
 
8
r
=
80
30
 
 
8r = 8.3 
r = 3 m 
 
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 
 
Em um triângulo qualquer nós temos alguns elementos chamados de cevianas. Estes elementos são: 
- Altura: segmento que sai do vértice e forma um ângulo de 90° com o lado oposto a esse vértice. 
- Mediana: segmento que sai do vértice e vai até o ponto médio do lado oposto a esse vértice, isto é, 
divide o lado oposto em duas partes iguais. 
- Bissetriz do ângulo interno: semirreta que divide o ângulo em duas partes iguais. 
- Mediatriz: reta que passa pelo ponto médio do lado formando um ângulo de 90° 
 
 
 
E todo triângulo tem três desses elementos, isto é, o triângulo tem três alturas, três medianas, três 
bissetrizes e três mediatrizes. Os pontos de intersecção desses elementos são chamados de pontos 
notáveis do triângulo. 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
37 
 
- Baricentro: é o ponto de intersecção das três medianas de um triângulo. É sempre um ponto interno. 
E divide as medianas na razão de 2:1. É ponto de gravidade do triângulo. 
 
 
- Incentro: é o ponto de intersecção das três bissetrizes de um triângulo. É sempre um ponto interno. 
É o centro da circunferência circunscrita (está dentro do triângulo tangenciando seus três lados). 
 
 
- Circuncentro: é o ponto de intersecção das três mediatrizes de um triângulo. É o centro da 
circunferência circunscrita (está por fora do triângulo passando por seus três vértices). No triângulo 
acutângulo o circuncentro é um ponto interno, no triângulo obtusângulo é um ponto externo e no triângulo 
retângulo é o ponto médio da hipotenusa. 
 
 
- Ortocentro: é o ponto de intersecção das três alturas de um triângulo. No triângulo acutângulo é um 
ponto interno, no triângulo retângulo é o vértice do ângulo reto e no triângulo obtusângulo é um ponto 
externo. 
 
 
Um triângulo cujos vértices são os “pés” das alturas de um outro triângulo chama-se triângulo órtico do 
primeiro triângulo. 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
38 
 
Observações: 
1) Num triângulo isósceles (dois lados iguais) os quatro pontos notáveis são colineares (estão numa 
alinhados). 
2) Num triângulo equilátero (três lados iguais) os quatro pontos notáveis são coincidentes, isto é, um 
só ponto já é o Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro. 
3) As iniciais dos quatro pontos formam a palavra BICO. 
 
Questões 
 
01. Assinale a afirmação falsa: 
(A) Os pontos notáveis de um triângulo equilátero são coincidentes. 
(B) O encentro de qualquer triângulo é sempre um ponto interno. 
(C) O ortocentro de um triângulo retângulo é o vérticedo ângulo reto. 
(D) O circuncentro de um triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa. 
(E) O baricentro de qualquer triângulo é o ponto médio de cada mediana. 
 
02. (UC-MG) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro O e raio 2 
cm. AD̅̅ ̅̅ é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE̅̅̅̅ , em centímetros, é: 
 
 
(A) 2√3 
(B) 2√5 
(C) 3 
(D) 5 
(E) √26 
 
03. Qual das afirmações a seguir é verdadeira? 
(A) O baricentro pode ser um ponto exterior ao triângulo e isto ocorre no triângulo acutângulo. 
(B) O baricentro pode ser um ponto de um dos lados do triângulo e isto ocorre no triângulo escaleno. 
(C) O baricentro pode ser um ponto exterior ao triângulo e isto ocorre no triângulo retângulo. 
(D) O baricentro pode ser um ponto dos vértices do triângulo e isto ocorre no triângulo retângulo. 
(E) O baricentro sempre será um ponto interior ao triângulo. 
 
04. Na figura a seguir, H é o ortocentro do triângulo ABC, AĈH = 30° e BĈH = 40°. Determine as 
medidas dos ângulos de vértices A e B. 
(A) A = 30° e B = 50° 
(B) A = 60° e B = 50° 
(C) A = 40° e B = 50° 
(D) A = 30° e B = 60° 
(E) A = 50° e B = 60° 
 
 
05. O ponto de intersecção das três mediatrizes de um triângulo é o: 
(A) Baricentro 
(B) Incentro 
(C) Circuncentro 
(D) Ortocentro 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
39 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
O baricentro divide as medianas na razão de 2 para 1, logo não é ponto médio. 
 
02. Resposta: A. 
Do enunciado temos que O é o circuncentro (centro da circunferência inscrita) então O também é 
baricentro (no triângulo equilátero os 4 pontos notáveis são coincidentes), logo pela propriedade do 
baricentro temos que AO̅̅ ̅̅ é o dobro de OD̅̅ ̅̅ . Se OD̅̅ ̅̅ = 2 (raio da circunferência) → AO̅̅ ̅̅ = 4 cm. 
O ponto E é ponto de tangência, logo o raio traçado no ponto de tangência forma ângulo reto (90°) e 
OE̅̅ ̅̅ = 2 cm. Portanto o triângulo AEO é retângulo, basta aplicar o Teorema de Pitágoras e sendo AE̅̅̅̅ = x: 
(AO̅̅ ̅̅ )2 = (AE̅̅̅̅ )2 + (OE̅̅ ̅̅ )2 
42 = x2 + 22 
16 − 4 = x2 
x2 = 12 
x = √12 
x = 2√3 cm 
 
03. Resposta: E. 
O baricentro é sempre interno, pois as 3 medianas de um triângulo são segmentos internos. 
 
04. Respostas: B. 
Ortocentro é ponto de intersecção das alturas de um triângulo, então se prolongarmos o segmento CH 
até a base formará um ângulo de 90° (reto). Formando dois triângulos retângulos ACD e BCD, de acordo 
com a figura abaixo: 
 
A soma do ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. 
No triângulo ACD: A + 90° + 30° = 180° → A = 180° - 90° - 30° = 60° 
No triângulo BCD: B + 90° + 40° = 180° → B = 180° - 90° - 40° = 50° 
 
05. Resposta: C. 
 
FÓRMULA DE HERON 
 
Heron de Alexandria é o responsável por elaborar uma fórmula matemática que calcula a área de um 
triângulo em função das medidas dos seus três lados. A fórmula de Heron de Alexandria é muito útil nos 
casos em que não sabemos a altura do triângulo, mas temos a medida dos lados. 
Em um triângulo de lados medindo a, b e c podemos calcular a sua área utilizando a fórmula de Heron: 
 
 
Exemplos: 
1) Calcule a área do triângulo a seguir: 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
40 
 
p = (9 + 7 + 14) / 2 
p = 30 / 2 
p = 15 
A = √15(15 – 9)(15 – 7)(15 – 14) 
A = √15 . 6 . 8 . 1 
A = √720 
A = 26,83 cm2(aproximadamente) 
 
2) Utilizando a Fórmula de Heron, calcule a área da região com as seguintes medidas: 
26cm, 26cm e 20cm 
p = (26 + 26 + 20) / 2 
p = 72 / 2 
p = 36 
A = √36(36 – 26)(36 – 26)(36 – 20) 
A = √36 * 10 * 10 * 16 
A = √57600 
A = 240 cm2 
 
TEOREMA DE STEWART 
 
O Teorema de Stewart relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo com o comprimento de 
uma ceviana, sendo aplicável a uma ceviana qualquer. 
Recordando, ceviana é todo seguimento de reta que tem um das extremidades num vértice de um 
triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto ao vértice. 
Teorema: Seja um triângulo ABC qualquer, cujos lados medem a, b e c. Seja d uma ceviana e D o 
ponto pertencente à reta suporte. O teorema de Stewart afirma que: 
 
 
Exemplo: 
Sejam 3 circunferências tangentes duas a duas inscritas em uma quarta circunferências tangente às 
três primeiras. Calcular o raio x, conforme mostra a figura abaixo: 
 
 
Do triângulo ABC, podemos construir as seguintes relações: 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicamos o Teorema de Stewart: 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
41 
 
 
 
 
 
 
 
QUADRILÁTEROS 
 
Quadrilátero é todo polígono com as seguintes propriedades: 
- Tem 4 lados. 
- Tem 2 diagonais. 
- A soma dos ângulos internos Si = 360º 
- A soma dos ângulos externos Se = 360º 
 
Observação: é o único polígono em que Si = Se 
 
 
 
No quadrilátero acima, observamos alguns elementos geométricos: 
- Os vértices são os pontos: A, B, C e D. 
- Os ângulos internos são A, B, C e D. 
- Os lados são os segmentos: AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ , CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ . 
 
Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer, obtemos sempre dois triângulos 
e como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, concluímos que a soma 
dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 graus. 
 
 
 
Quadriláteros Notáveis: 
Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos. 
 
 
- AB̅̅ ̅̅ é paralelo a CD̅̅̅̅ 
 
Os trapézios podem ser: 
- Retângulo: dois ângulos retos. 
- Isósceles: lados não paralelos congruentes (iguais). 
- Escaleno: os quatro lados diferentes. 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
42 
 
 
 
Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num paralelogramo, os ângulos 
opostos são congruentes e os lados apostos também são congruentes. 
 
 
- AB̅̅ ̅̅ //CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ //BC̅̅̅̅ 
- AB̅̅ ̅̅ = CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ = BC̅̅̅̅ (lados opostos iguais) 
- Â = Ĉ e B̂ = D̂ (ângulos opostos iguais) 
- AC̅̅̅̅ ≠ BD̅̅ ̅̅ (duas diagonais diferentes) 
 
Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais: 
 
- Losango: 4 lados congruentes 
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus) 
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos. 
 
 
 
Observações: 
- No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes (iguais) 
- No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares entre si (formam ângulo de 90°) e são 
bissetrizes dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio). 
 
Fórmulas da área dos quadriláteros: 
1 - Trapézio: A =
(B+b).h
2
, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é medida 
da altura. 
2 - Paralelogramo: A = b.h, onde b é a medida da base e h é a medida da altura. 
3 - Retângulo: A = b.h 
4 - Losango: A =
D.d
2
, onde D é a medida da diagonal maior e d é a medida da diagonal menor. 
5 - Quadrado: A = l2, onde l é a medida do lado. 
 
Exemplos 
 
01. Determine a medida dos ângulos indicados: 
a) 
 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
43 
 
b) 
 
c) 
 
Resolução 
01. Respostas: a = 70º; b = 162º e c = 18º. 
a) x + 105° + 98º + 87º = 360º 
x + 290° = 360° 
x = 360° - 290° 
x = 70º 
 
b) x + 80° + 82° = 180° 
x + 162° = 180° 
x = 180º - 162º 
x = 18° 
18º + 90º + y + 90º = 360° 
y + 198° = 360° 
y = 360º - 198° 
y = 162º 
 
c) 3a / 2 + 2a + a / 2 + a = 360º 
(3a + 4a + a + 2a) / 2 = 720° /2 
10a = 720º 
a = 720° / 10 
a = 72° 
 72° + b + 90° = 180° 
b + 162° = 180° 
b = 180° - 162° 
b = 18°. 
Questões 
 
01. Com relação aos quadriláteros, assinale a alternativa incorreta: 
(A) Todo quadrado é um trapézio. 
(B) Todo retângulo é um paralelogramo. 
(C) Todo quadrado é um losango. 
(D) Todo trapézio é um paralelogramo. 
(E) Todo losango é um paralelogramo. 
 
02. Na figura, ABCD é um trapézio isósceles, onde AD = 4, CD = 1, A = 60° e a altura vale 2√3. A área 
desse trapézio é 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
44 
 
(A) 4. 
(B) (4√3)/3. 
(C) 5√3. 
(D) 6√3. 
(E) 7. 
 
03. A figura abaixo é um trapézioisósceles, onde a, b, c representam medidas dos ângulos internos 
desse trapézio. Determine a medida de a, b, c. 
 
(A) a = 63°, b = 117° e c = 63° 
(B) a = 117°, b = 63° e c = 117° 
(C) a = 63°, b = 63° e c = 117° 
(D) a = 117°, b = 117° e c = 63° 
(E) a = b = c = 63° 
 
04. Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da 
base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, as medidas de x e y são, respectivamente: 
(A) 3 e 8 
(B) 5 e 6 
(C) 4 e 7 
(D) 6 e 5 
(E) 8 e 3 
 
05. (Câmara de Sumaré – Escriturário – VUNESP/2017) A figura, com dimensões indicadas em 
centímetros, mostra um painel informativo ABCD, de formato retangular, no qual se destaca a região 
retangular R, onde x > y. 
 
Sabendo-se que a razão entre as medidas dos lados correspondentes do retângulo ABCD e da região 
R é igual a 5/2, é correto afirmar que as medidas, em centímetros, dos lados da região R, indicadas por 
x e y na figura, são, respectivamente, 
(A) 80 e 64. 
(B) 80 e 62. 
(C) 62 e 80. 
(D) 60 e 80. 
(E) 60 e 78. 
 
06. (UEM – Técnico Administrativo – UEM/2017) Rui fez um canteiro retangular de 12,5 m de 
comprimento por 6 m de largura. Então a área deste canteiro, em m², é igual a 
(A) 18,5. 
(B) 37. 
(C) 72. 
(D) 74. 
(E) 75. 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
45 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Trata-se de uma pergunta teórica. 
a) V → o quadrado tem dois lados paralelos, portanto é um trapézio. 
b) V → o retângulo tem os lados opostos paralelos, portanto é um paralelogramo. 
c) V → o quadrado tem os lados opostos paralelos e os 4 lados congruentes, portanto é um losango. 
d) F 
e) V → o losango tem lados opostos paralelos, portanto é um paralelogramo. 
 
02. Resposta: D. 
De acordo com e enunciado, temos: 
 
 
- sen60º = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 → 
√3
2
=
ℎ
4
 → 2h = 4√3 → h = 2√3 
 
- cos60º = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 → 
1
2
=
𝑥
4
 → 2x = 4 → x = 2 
 
- base maior AB = x + 1 + x = 2 + 1 + 2 = 5 
 
- base menor CD = 1 
 
A = 
(𝐵+𝑏).ℎ
2
 → A = 
(5+1).2√3
2
 → A = 6√3 
 
03. Resposta: C. 
Em um trapézio isósceles como o da figura, os ângulos da base são congruentes e os ângulos 
superiores também são congruentes. E a soma de uma superior mais um da base é igual a 180°. 
c = 117° 
a + 117° = 180° 
a = 180° - 117° 
a = 63° 
b = 63° 
 
04. Resposta: E. 
 
x + y = 11 
x - y = 5 
_________ 
2x + 0 = 16 
2x = 16/2 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
46 
 
x = 8 
x + y = 11 
8 + y = 11 
y = 11 – 8 
y = 3 
 
05. Resposta: A. 
 Pelo critério de razões temos: 
200/x = 5/2 
5x = 400 
x = 400/5 
x = 80 
160/y = 5/2 
5y= 320 
y = 320/5 
y = 64 
 
06. Resposta: E. 
A área de um retângulo é comprimento x largura, então: 
12,5 x 6 = 75,0 
 
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 
 
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão 
localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez 
seja a curva mais importante no contexto das aplicações. 
 
 
 
Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é 
menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O 
círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico 
acima, a circunferência é a linha de cor verde escuro que envolve a região verde claro, enquanto o círculo 
é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência. 
 
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo 
 
Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na 
circunferência. 
 
 
 
Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo. 
 
Raio, Corda e Diâmetro 
 
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no 
centro da circunferência (ou do círculo) e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na 
figura abaixo, os segmentos de reta OA̅̅ ̅̅ , OB̅̅ ̅̅ e OC̅̅̅̅ são raios. 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
47 
 
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à 
circunferência (ou seja, um segmento que une dois pontos de uma circunferência). Na figura abaixo, os 
segmentos de reta AC̅̅̅̅ e DE̅̅ ̅̅ são cordas. 
 
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da 
circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura abaixo, o 
segmento de reta AC̅̅̅̅ é um diâmetro. 
 
 
Posições relativas de uma reta e uma circunferência 
 
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em 
dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda. 
 
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência 
em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura 
ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à 
circunferência. 
 
Reta externa (ou exterior): é uma reta que não tem ponto em comum com a circunferência. Na figura 
abaixo a reta t é externa. 
 
Propriedades das secantes e tangentes 
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos 
distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta 
secante s. 
 
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos 
distintos A e B, a perpendicular às retas que passam pelo centro O da circunferência, passa também pelo 
ponto médio da corda AB. 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
48 
 
Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta 
perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P. 
 
 
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. 
 
Posições relativas de duas circunferências 
 
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é 
denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa. 
 
 
Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em 
dois semiplanos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semiplano, 
temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão 
em semiplanos diferentes, temos uma reta tangente comum interna. 
 
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os 
pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus 
pontos são pontos externos à outra. 
 
 
 
Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro, mas com raios 
diferentes são circunferências concêntricas. 
 
Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à 
outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência. 
 
 
As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da 
reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado 
da reta tangente comum. 
 
Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum. 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
49 
 
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e 
B, então esses segmentos AP e BP são congruentes. 
 
 
ÂNGULOS (OU ARCOS) NA CIRCURFERÊNCIAÂngulo central: é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Este ângulo 
determina um arco na circunferência, e a medida do ângulo central e do arco são iguais. 
 
 
 
O ângulo central determina na circunferência um arco 𝐴�̂� e sua medida é igual a esse arco. 
 
α = AB̂ 
Ângulo Inscrito: é um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência. 
 
 
 
O ângulo inscrito determina na circunferência um arco 𝐴�̂� e sua medida é igual à metade do arco. 
α =
AB̂
2
 
 
Ângulo Excêntrico Interno: é formado por duas cordas da circunferência. 
 
 
O ângulo excêntrico interno determina na circunferência dois arcos AB e CD e sua medida é igual à 
metade da soma dos dois arcos. 
α =
AB̂ + CD̂
2
 
 
Ângulo Excêntrico Externo: é formado por duas retas secantes à circunferência. 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
50 
 
O ângulo excêntrico externo determina na circunferência dois arcos 𝐴�̂� e 𝐶�̂� e sua medida é igual à 
metade da diferença dos dois arcos. 
 
 α =
AB̂ − CD̂
2
 
 
Questões 
 
01. O valor de x na figura abaixo é: 
 
 
(A) 90° 
(B) 92° 
(C) 96° 
(D) 98° 
(E) 100° 
 
02. Na figura abaixo, qual é o valor de y? 
 
 
(A) 30° 
(B) 45° 
(C) 60° 
(D) 35° 
(E) 25° 
 
03. Na figura seguinte, a medida do ângulo x, em graus, é: 
 
(A) 80° 
(B) 82° 
(C) 84° 
(D) 86° 
(E) 90° 
 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
51 
 
04. A medida do arco x na figura abaixo é: 
 
(A) 15° 
(B) 20° 
(C) 25° 
(D) 30° 
(E) 45° 
 
05. Uma reta é tangente a uma circunferência quando: 
(A) tem dois pontos em comum. 
(B) tem três pontos em comum. 
(C) não tem ponto em comum. 
(D) tem um único ponto em comum. 
(E) nda 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
O ângulo dado na figura (46°) é um ângulo inscrito, portanto é igual à metade do arco x: 
 
 46° =
𝑥
2
 
 
 x = 46°.2 
 x = 92° 
 
02. Resposta: D. 
O ângulo da figura é um ângulo excêntrico externo, portanto é igual à metade da diferença dos dois 
arcos dados. 
 
 𝑦 =
110°−40°
2
 
 
 𝑦 =
70°
2
= 35° 
 
03. Resposta: C. 
O ângulo x é um ângulo excêntrico interno, portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. 
 𝑥 =
108°+60°
2
 
 𝑥 =
168°
2
= 84° 
 
04. Resposta: A. 
O ângulo de 55 é um ângulo excêntrico interno, portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. 
 
 55° =
95°+𝑥
2
 
 55°. 2 = 95° + 𝑥 
 110° − 95° = 𝑥 
 𝑥 = 15° 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
52 
 
05. Resposta: D. 
Questão teórica 
MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS 
 
Arcos (e ângulos) na circunferência 
 
Se forem tomados dois pontos A e B sobre uma circunferência, ela ficará dividida em duas partes 
chamadas arcos. Estes dois pontos A e B são as extremidades dos arcos. 
 
 
Usamos a seguinte representação: AB. 
Observação: quando A e B são pontos coincidentes, um arco é chamado de nulo e o outro arco de 
uma volta. 
 
Unidades de medidas de arcos (e ângulos) 
 
I) Grau: para medir ângulos a circunferência foi dividida em 360° partes iguais, e cada uma dessas 
partes passou a ser chamada de 1 grau (1°). 
1° =
1
360
 (𝑢𝑚 𝑡𝑟𝑒𝑧𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒 𝑠𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑣𝑜𝑠) 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎. 
 
Submúltiplos do grau 
O grau tem dois submúltiplos (medidas menores que o grau). São o minuto e o segundo, de forma que: 
1° = 60′ ou seja 1 minutos é igual a 1/60 do grau. 
1’ = 60” ou seja 1 segundo é igual a 1/60 do minuto. 
 
II) Radiano 
A medida de um arco, em radianos, é a razão (divisão) entre o comprimento do arco e o raio da 
circunferência sobre a qual está arco está determinado. 
 
 
Sendo α o ângulo (ou arco), r o raio e l o comprimento do arco, temos: 
α =
l
r
 
O arco l terá seu comprimento máximo (ou maior) quando for igual ao comprimento total de uma 
circunferência (C = 2πr – fórmula do comprimento da circunferência), ou seja lmáximo = C → lmax = 2πr. 
Então, o valor máximo do ângulo α em radianos será: 
α =
2πr
r
 ==> α = 2π rad 
 
Observação: uma volta na circunferência é igual a 360° ou 2π rad. 
 
 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
53 
 
Conversões 
- graus para radianos: para converter grau para radianos usamos uma regra de três simples. 
 
Exemplo: 
Converter 150° para radianos. 
180° π rad 
150° x rad 
 
180°
150°
=
π
x
 
180𝑥 = 150𝜋 
x =
150π
180
 (simplificando) 
x =
5π
6
 rad 
 
- radianos para graus: basta substituir o π por 180°. 
 
Exemplo: 
Converter 
3π
2
 rad para graus (ou podemos usar regra de três simples também). 
3𝜋
2
=
3.180
2
=
540
2
= 270° 
 
Questões 
 
01. Um ângulo de 120° equivale a quantos radianos? 
(A) 
7𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 
 
(B) 
5𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 
 
(C) 
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 
 
(D) 
𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑 
 
(E) 
2𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑 
 
02. Um ângulo de 
5𝜋
4
 rad equivale a quantos graus? 
(A) 180° 
(B) 210° 
(C) 300° 
(D) 270° 
(E) 225° 
 
03. (FUVEST) Quantos graus, mede aproximadamente, um arco de 0,105 rad? (usar π = 3,14) 
(A) 6° 
(B) 5° 
(C) 4° 
(D) 3° 
(E) 2° 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
180° π rad 
120° x rad 
 
180°
120°
=
𝜋
𝑥
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
54 
 
180x = 120π 
𝑥 =
120𝜋
180
 (simplificando) 
𝑥 =
2𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑 
 
02. Resposta: E. 
5𝜋
4
=
5.180°
4
=
900°
4
= 225° 
 
03. Resposta: A. 
Neste caso, usamos regra de três: 
180° π rad 
 x 0,105 rad 
 
180°
𝑥
=
𝜋
0,105
 
 
π.x = 180°.0,105 
3,14x = 18,9 
x = 18,9 : 3,14 ≅ 6,01 
x ≅ 6° 
 
PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
 
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. 
Exemplo: 
 
 
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm 
 
Perímetros de algumas das figuras planas: 
 
 
 
 
Área: é a medida da superfície de uma figura plana. 
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um 
quadrado que tem 1 m de lado. 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
55 
 
Fórmulas de área das principais figuras planas: 
 
1) Retângulo 
 - sendo b a base e h a altura: 
 
 
2. Paralelogramo 
- sendo b a base e h a altura: 
 
 
3. Trapézio 
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 
 
 
4. Losango 
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 
 
5. Quadrado 
- sendo l o lado: 
 
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. 
 
I) sendo dados a base b e a altura h: 
 
 
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: 
 
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: 
 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
56 
 
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): 
 
 
V) circunferência inscrita: 
 
VI) circunferência circunscrita: 
 
 
Questões 
 
01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é, em cm2, igual a: 
(A) 12 
(B) 13 
(C) 14 
(D) 15 
(E) 16 
 
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC) Corta-se um arame de 30 metros em duas 
partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, 
assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
 
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares 
congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. 
 
 
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-
se que a área total desse terreno é, em m2, igual a: 
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 800. 
(D) 3000. 
(E) 3 200. 
1680947 E-book gerado especialmente para CARMEM BOIANO
 
57 
 
04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC) Ultimamente tem havido muito 
interesse