18 FT_Progressões

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1. Considere a sucessão (𝑣𝑛) de termo geral 𝑣𝑛 = 10 −
3𝑛+1
2
. 
 
1.1. Mostre que (𝑣𝑛) é uma progressão aritmética e indique a sua razão. 
1.2. Defina a sucessão (𝑣𝑛) por recorrência. 
1.3. O que pode concluir sobre a monotonia de(𝑣𝑛)? Justifique. 
1.4. A sucessão (𝑣𝑛) é limitada? Justifique. 
1.5. Calcule 𝑣25 + 𝑣26 + ⋯ + 𝑣35. 
 
2. Considere a sucessão (𝑢𝑛) definida por: {
𝑢1 = 2
𝑢𝑛+1 = 3𝑢𝑛 − 1, ∀𝑛 ∈ ℕ
 
2.1. Indique o 4º termo da sucessão(𝑢𝑛). 
2.2. Mostre que a sucessão (𝑣𝑛) definida por 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 é uma progressão geométrica e determine o 
 termo geral. 
2.3. Calcule a soma dos dez primeiros termos de (𝑣𝑛). 
 
3. Considere a sucessão (𝑢𝑛) definida por: {
𝑢1 = 2
𝑢𝑛+1 =
𝑢𝑛
3
, ∀𝑛 ∈ ℕ
 
3.1. Mostre que a sucessão (𝑢𝑛) é uma progressão geométrica de termo geral definido por 𝑢𝑛 = 2 × (
1
3
)
𝑛−1
. 
3.2. Mostre que a sucessão é decrescente. 
3.3. Calcule a soma dos primeiros sete termos da sucessão (𝑢𝑛). 
 
4. A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é 2186. Determine n, sabendo que a razão da 
progressão é 3 e o primeiro termo é 2. 
 
5. Os pescadores inscritos numa dada zona de pesca, pescaram no 1º dia de pesca 200 peixes, no 2º dia 195 peixes, 
no 3º dia 190 peixes e assim sucessivamente. Sabe-se que se manteve a regularidade, que a época de pesca 
durou 21 dias e que inicialmente existiam 3500 peixes. 
Utilizando conhecimentos das progressões responde às questões seguintes. 
5.1. Quantos peixes pescaram no último dia? 
5.2. Quando a época de pesca terminou quantos peixes sobreviveram? 
5.3. Quantos dias seriam necessários para que a população de peixes fosse extinta? 
 
6. Seja (𝑢𝑛) uma progressão aritmética. 
Sabe-se que: 
• 𝑥 + 6, 𝑥2e 𝑥 + 18 são três termos consecutivos de (𝑢𝑛). 
• o 4º termo de (𝑢𝑛) é igual a 4. 
6.1. Determine os três termos consecutivos representados por 𝑥 + 6, 𝑥2 e 𝑥 + 18 . 
6.2. Determine o termo geral da sucessão. 
6.3. Calcule 𝑢100 + 𝑢101 + ⋯ + 𝑢199. 
 
7. Determine uma expressão do termo geral da progressão geométrica monótona (𝑢𝑛) sabendo que 𝑢9 = 64 e 
 𝑢15 =
1
64
. 
 
 
Escola Secundária de Francisco Rodrigues Lobo 
 
18ª Ficha de Trabalho de Matemática A - 11º Ano 
 
Domínio: Progressões aritméticas e geométricas (SUC11) 2021 / 2022 
 
 
8. O Bernardes é dono da frutaria “Fruta mais que boa”: 
Certo dia propôs a um dos seus funcionários duas modalidades de pagamento 
diário: 
 
1ªmodalidade: Na primeira hora de trabalho ganharia 2 euros e, em seguida, 
cada hora teria um acréscimo de mais 50 cêntimos que a hora 
anterior. 
2ª modalidade: Na primeira hora de trabalho ganharia 2 euros e, em seguida, 
cada hora teria um acréscimo de mais 20% que a hora anterior. 
 
Este funcionário trabalha oito horas por dia. 
Qual o valor que ganharia este funcionário em cada uma das modalidades num dia de trabalho? 
Apresente os resultados em euros, arredondados às unidades. 
 
9. Nova lorque é a cidade mais populosa dos Estados Unidos, com cerca de 8,5 
milhões de habitantes. Suponha que a população da cidade cresce a um 
ritmo anual de 2 %. 
 
9.1. Quantos habitantes terá daqui a 10 anos? Apresente o resultado, em 
milhões, arredondado às décimas. 
 
9.2. Utilizando as capacidades gráficas da calculadora, determine quanto tempo demorará a duplicar a 
população inicial? Apresente o resultado, em anos, arredondado às unidades. 
 
Nota: Na sua resposta deve reproduzir o(s) gráfico(s) que tiver necessidade de vizualizar na calculadora, 
devidamente identificado(s), incluindo o referencial, a janela de visualização do gráfico e as coordenadas 
dos pontos relevantes (com arredondamentos às décimas). 
 
10. Na figura encontram-se cinco termos de uma sucessão de quadrados, em que o 
primeiro 
 tem lado de comprimento 4 cm e cada termo seguinte da sucessão tem lado de 
 comprimento igual a metade do lado do quadrado anterior. 
 
10.1. Prove que a sucessão (𝑎𝑛) das áreas dos quadrados tem termo geral 𝑢𝑛 = 4
3−𝑛. 
10.2. Calcule a área total da figura. 
 10.3. Quantos quadrados são necessários para construir uma figura com uma área total de 
1365
64
 𝑐𝑚2. 
11. Seja 𝑎 um número real. 
Sabe-se que 𝑎, 𝑎 + 6 e 𝑎 + 18 são três termos consecutivos de uma progressão geométrica. 
Relativamente a essa progressão geométrica, sabe-se ainda que a soma dos sete primeiros termos é 
igual a 381. Determine o primeiro termo dessa progressão. 
 
12. Seja 𝑟 um número real maior do que 1. 
Sabe-se que 𝑟 é a razão de uma progressão geométrica de termos positivos. 
Sabe-se ainda que, de dois termos consecutivos dessa progressão, a sua soma é igual a 12 e a diferença entre o 
maior e o menor é igual a 3. Determine o valor de 𝑟. 
 
13. Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números reais diferentes de zero. 
 Sabe-se que 2, 𝑎 e 𝑏 são três termos consecutivos de uma progressão geométrica. 
 Sabe-se ainda que a − 2, 𝑏 e 2 são três termos consecutivos de uma progressão aritmética. Determine 𝑎 e 𝑏. 
FIM 
 Bom trabalho! 
 
SOLUÇÕES: 1.1.𝑟 = − 3
2
 1.2.{
𝑢1 = 8
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 −
3
2
, ∀𝑛 ∈ ℕ
 1.3.(𝑣𝑛)é monótona decrescente. 1.4. Não porque não é minorada. 1.5.-390,5 2.1.41 
 2.2.𝑣𝑛 = 3
𝑛 2.3.88572 3.3.
2186
729
 4. n= 7 5.1.100 5.2.350 5.3.25 dia 6.1. 10, 16 e 22 6.2.𝑢𝑛 = 6𝑛 − 20 6.3.87 700 7. 𝑢𝑛 = 2
24−2𝑛 
 8. Na 1ª modalidade o trabalhador ganharia 30€ e na 2ª modalidade 33€ por dia. 9.1.10,4 milhões de habitantes 9.2.35 anos 10.2. 
341
16
𝑐𝑚2 
 10.3. 6 quadrados 11. 𝑢1 = 3 12. 𝑟 =
5
3
 13. 𝑎 = 1 𝑒 𝑏 = 
1
2
.