FORMULARIO GERAL CDI 2

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS 
 Formulário 
 
DERIVADAS 
Constante 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑓′(𝑥) = 0 
Afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑓′(𝑥) = 𝑎 
Identidade 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓′(𝑥) = 1 
Potência 
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 
(𝑥 ∈ 𝑅+ 
∗ 𝑒 𝑛 ∈ 𝑅) 
𝑓′(𝑥) = 𝑛. 𝑥𝑛−1 
Logarítmica 
𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥) 
(𝑥 ∈ 𝑅+ 
∗ 𝑒 0 < 𝑎 ≠ 1) 
𝑓′(𝑥) =
1
𝑥 ∙ ln(𝑎)
 
Logarítmica 
(Base Natural) 
𝑓(𝑥) = ln(𝑥) 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
 
Exponencial 
(Base qualquer) 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
(𝑎 > 0) 
𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥 ∙ ln(𝑎) 
Exponencial 
(base Natural) 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 
Seno 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓′(𝑥) = cos (𝑥) 
Cosseno 𝑓(𝑥) = cos (𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Tangente 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐²(𝑥) 
Cotangente 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐²(𝑥) 
Secante 𝑓(𝑥) = sec (𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) ∙ sec (𝑥) 
Cossecante 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
Arco-seno 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓
′(𝑥) =
1
√1 − 𝑥²
 
Arco-cosseno 𝑓(𝑥) = arccos (𝑥) 𝑓
′(𝑥) = −
1
√1 − 𝑥²
 
Arco-tangente 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) =
1
1 + 𝑥²
 
Arco-cotangente 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −
1
1 + 𝑥²
 
Arco-secante 𝑓(𝑥) = arcsec (𝑥) 𝑓
′(𝑥) =
1
𝑥 ∙ √𝑥² − 1
 
Arco-cossecante 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓
′(𝑥) = −
1
𝑥 ∙ √𝑥² − 1
 
Produto de funções 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥). 𝑣(𝑥) 𝑓´(𝑥) = 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥) + 𝑣(𝑥). 𝑢´(𝑥) 
Divisão de funções 𝑓(𝑥) =
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
 𝑓`(𝑥) =
𝑣(𝑥). 𝑢´(𝑥) − 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥)
(𝑣(𝑥))
2 
Regra da Cadeia 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑦′ = 𝑔′(𝑥). 𝑓′(𝑔(𝑥)) 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS 
 Formulário 
 
INTEGRAIS 
Integral Indefinida Função Primitiva 
∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐹(𝑥) ± 𝐺(𝑥) + 𝐶 
∫ 𝐶1 𝑑𝑥 𝐶1. 𝑥 + 𝐶 
∫ 𝐶. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐶. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ≠ −1 
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−1𝑑𝑥 ln|𝑥| + 𝐶 
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 
𝑒𝑥 + 𝐶 
 
∫ 𝑎𝑥𝑑𝑥 
𝑎𝑥
ln(𝑎)
+ 𝐶 
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − cos(𝑥) + 𝐶 
∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶 
∫ sec2(𝑥)𝑑𝑥 𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑑𝑥 −𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶 
∫ sec(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 sec(𝑥) + 𝐶 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥). 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝐶 
∫ 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 −ln|cos(𝑥)| + 𝐶 = 𝑙𝑛|sec(𝑥)| + 𝐶 
∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛(𝑥)| + 𝐶 
∫ sec(𝑥) 𝑑𝑥 𝑙𝑛|sec(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)| + 𝐶 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑑𝑥 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) − 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)| + 𝐶 
∫
1
√𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛−1 (
𝑥
𝑎
) + 𝐶 
∫
1
𝑎2 + 𝑥2
𝑑𝑥 𝑡𝑔−1 (
𝑥
𝑎
) + 𝐶 
∫
1
𝑥. √𝑥2 − 𝑎2
𝑑𝑥 
1
𝑎
. 𝑠𝑒𝑐−1 (
𝑥
𝑎
) + 𝐶 
∫
1
𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥 
1
2𝑎
𝑙𝑛 |
𝑥 + 𝑎
𝑥 − 𝑎
| + 𝐶 
∫
1
√𝑥2 − 𝑎2
𝑑𝑥 𝑙𝑛 |𝑥 + √𝑥2 − 𝑎2| + 𝐶 
∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝐹(𝑢) + 𝐶 
∫ 𝑢. 𝑑𝑣 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS 
 Formulário 
 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 .
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 .
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
 
𝜕𝑤
𝜕𝑠
= 
𝜕𝑤
𝜕𝑥
 .
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+ 
𝜕𝑤
𝜕𝑦
 .
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
 .
𝑑𝑧
𝑑𝑠
 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑧𝑥 = −
𝐹𝑥
𝐹𝑧
 
 
𝑧 − 𝑓(𝑥0, 𝑦0) =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0)[𝑥 − 𝑥0] +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)[𝑦 − 𝑦0] 
 
∇𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
�⃗⃗� 
�⃗⃗� =
�⃗�
|�⃗�|
 
𝑑𝑓
𝑑𝑠
= ∇𝑓. �⃗⃗� 
Classificação de pontos críticos 
Para P(a,b) com 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏) = 0. Seja o determinante 
𝐷 = |
𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦
| = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)
2
 
i. Se D>0 e 𝑓𝑥𝑥(a,b)>0, então P é mínimo local 
ii. Se D>0 e 𝑓𝑥𝑥(a,b)<0, então P é máximo local 
iii. Se D<0, então P é ponto de sela. 
INTEGRAIS MULTIPLAS 
Região D do tipo I: 
 
 
Região D do tipo II: 
 
 
Coordenadas Polares 
 
 
 
Coordenadas Cilíndricas 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS 
 Formulário 
 
Coordenadas Esféricas