Ótica 21052222

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Física IV: Ótica 
ÓPTICA 
1º SEM/2013 
1. Propriedades da Luz 
1.1. Dualidade onda-partícula 
1.2. Espectro de Luz, fontes de Luz 
1.3. Velocidade de Luz 
1.4. Propagação da Luz 
1.5. Reflexão 
1.6. Refração e polarização 
2. Imagens ópticas 
2.1. Espelhos 
2.2. Lentes 
2.3. Aberrações 
2.4. Instrumentos ópticos 
3. Interferência e Difração 
3.1. Diferença de fase e coerência 
3.2. Interferência em filmes finos 
3.3. Padrão de interferência em duas fendas 
3.4. Padrão de difração de uma fenda única 
3.5. Difração de Fraunhofer e Fresnell 
3.6. Difração e resolução, redes de difração 
Física IV: Ótica 
Defensor da teoria corpuscular da luz 
Explicava: 
a propagação retilínea. 
a propagação da luz no vácuo. 
a refração e a reflexão da luz. 
Isaac Newton 
1642 – 1727 
Christian Huygens 
 1629 – 1695 
Teoria ondulatória da luz 
Explicava a dupla refração da calcita. 
Descobriu o fenômeno da polarização. 
Deduziu as Leis da Reflexão e da Refração. 
Acreditava num valor finito para a velocidade da luz. 
Física IV: Ótica 
Em 1801, era reativo à 
teoria ondulatória da luz. 
Experimento da Fenda Dupla 
Descobre a “interferência” da luz. 
Thomas Young 
 1773 - 1829 
Augustin Frèsnel 
1788 - 1827 
Apóia decisivamente a Teoria Ondulatória da Luz 
Explica a interferência de fenda dupla. 
Luz como ondas transversais 
 freqüência ↔ Cores da luz 
Explica a difração da luz 
Prevê a existência do “ether” o meio que preenche o espaço e 
através do qual a luz se propaga. 
Física IV: Ótica 
Joseph Fraunhofer 
(1787-1827) 
Em 1821 investiga a refração da luz em aberturas estreitas e 
determina os comprimentos de onda correspondentes às diversas 
cores da luz. 
Novo problema a ser resolvido: 
- Se a luz é onda, como ela se propaga no vácuo? 
Começam a surgir as conexões da luz com o eletromagnetismo. 
James Clerk 
Maxwell 
1831 - 1879 
Maxwell apresentou em 1865, as equações que descrevem 
os fenômenos do eletromagnetismo. 
Uniu os campos magnéticos e elétricos 
Estabeleceu que a luz como ondas eletromagnéticas e previu 
a existência de outros tipos de ondas. 
Estabeleceu, a partir de suas equações, que a luz se propaga 
no vácuo com velocidade c= 300.000 km/s! 
Física IV: Ótica 
Comprovou a teoria eletromagnética de Maxwell e abriu o 
caminho para a tecnologia “wireless” que produziu o radio, a 
TV, o telégrafo sem fio, etc. 
Em sua homenagem a unidade de freqüência recebe o seu 
nome: o hertz (Hz) 
Descobriu também 
o “efeito fotoelétrico”. 
Heinrich Rudolf Hertz 
1857 - 1894 
Física IV: Ótica 
Campo elétrico oscilante produz campo magnético oscilante. 
Campo magnético oscilante produz campo elétrico oscilante. 
E assim se produz ondas eletromagnéticas. 
Produção de 
ondas eletromagnéticas 
Quando acelerados, como no 
movimento oscilatório em 
uma antena de estações de 
Radio ou TV, emitimos ondas 
eletromagnéticas. 
c = λ.f → cvácuo = 300.000 km/s 
Física IV: Ótica 
Luz 
(Radiação eletromagnética 
visível) 
4,3 x1014 Hz < f < 7 x1014 Hz 
Somos responsáveis por 
quase todo o espectro da 
radiação eletromagnética. 
Física IV: Ótica 
EFEITO FOTOELÉTRICO 
Mais observável com luz violeta e ultravioleta. 
Quanto maior a freqüência da luz incidente, maior 
a energia cinética dos fotoelétrons 
Fatos não explicáveis pela teoria de Maxwell 
A energia cinética dos fotoelétrons não depende da 
intensidade da luz incidente. 
O tempo decorrido entre a luz atingir a superfície metálica e a 
ejeção do primeiro elétron não é afetado pela intensidade nem 
pela freqüência da luz. 
Física IV: Ótica 
A origem da mecânica quântica 
Outubro de 1900 
 Explicação da emissão de radiação 
por um corpo negro aquecido. 
Hipótese do “pacote” ou “quantum” de 
energia 
A energia não varia continuamente, mas em pacote ou 
quantum de energia: 
E = h.f 
h = 6,63x10-34 J.s = constante de Planck 
f = freqüência da radiação 
Max Planck 
1838 - 1947 
Física IV: Ótica 
O efeito fotoelétrico e a teoria ondulatória da luz. 
A emissão instantânea dos fotoelétrons não é 
explicada pela teoria ondulatória. 
A luz, como fenômeno ondulatório, levaria quase um 
ano de incidência contínua para a emissão de um 
fotoelétron. 
Que seria explicável se a luz fosse constituída de 
partículas que transferissem energia durante as 
colisões com os elétrons. 
Albert Einstein 
1879 - 1955 
Teoria fotônica 
da luz 
Física IV: Ótica 
Representação de fótons 
A teoria fotônica da luz 
Em 1905, Einstein explica o Efeito Fotoelétrico. 
Postula que a luz é composta de “partículas de 
radiação” ou “pulsos eletromagnéticos” 
chamados “fótons” 
Efoton = h.f. 
Fótons não têm massa. 
Fótons são “partículas” de energia caracterizadas por freqüência. 
Luz é energia pura! 
Física IV: Ótica 
Explicação de Einstein para o Efeito Fotoelétrico. 
Energia do fotoelétron = h.f – W 
W = energia para vencer a barreira de potencial. 
Depende do material. 
Física IV: Ótica 
Emissão de luz 
Física IV: Ótica 
Des-excitação 
Excitação por colisão 
Fóton 
Energia transferida 
para o elétron 
ΔE = E2-E1 E = h.f = ΔE 
Excitação e Des-excitação atômica 
Física IV: Ótica 
Des - excitação 
Excitação por Absorção de fótons 
fóton 
Energia do 
fóton incidente 
E = h.f Energia do 
fóton emitido 
Excitação e Des-excitação atômica 
Física IV: Ótica 
Na emissão espontânea, a des-excitação ocorre 10-8 s após a excitação, com a 
emissão de fótons. Na emissão estimulada este tempo é bem maior. 
A des-excitação pode ocorrer em etapas com a liberação de diversos fótons. 
A energia do fóton emitido depende do “salto quântico” realizado. E = h.f 
4,6 x 1014 Hz < f < 7,56 x 1014 Hz, 
Compõe o espectro visível ( luz) da radiação. 
A excitação ocorre se o elétron receber a exata quantidade de energia para o 
“salto quântico”: ΔE = E2-E1. 
Características da excitação atômica 
Física IV: Ótica 
O espectro visível 
Não visível 
Não visível 
Física IV: Ótica 
A radiação infravermelha (IV) 
Radiação IV “Near”, “Mid” e “Far” 
 Radiação IV “Near” 
0,7 a 5 µm 
(700 a 5.000 nm) 
1,77 a 0,25 eV 
Emitida por corpos entre 
740 a 5.200 K 
Radiação IV “Mïd” 
5 a 30 µm 
(5.000 a 30.000 nm) 
0,25 a 0,040 eV 
Emitido por objetos entre 
120 a 740 K 
Radiação IV “Far” 
30 a 200 µm 
(30.000 a 200.000 nm) 
0,040 a 0,006 eV 
Emitido por corpos entre 
10 e 120 K 
Física IV: Ótica 
A radiação infravermelha (IV) 
Emissão de radiação IV 
Região vermelha (mais quente) 
Região amarela 
Região verde 
Região azul ( mais fria) 
Qual a região 
mais quente? 
Escorpião 
“Sangue frio” 
Física IV: Ótica 
A radiação infravermelha (IV) 
Absorção e reflexão. 
Moléculas de clorofila absorvem 
radiação ultravioleta, mas refletem 
a luz verde e a radiação IV “Near”. 
Os minerais absorvem e refletem radiação IV de 
diferentes comprimentos de onda conforme sua 
composição. 
O vidro não transmite radiação IV. 
A pele humana e as moléculas de água 
absorvem e refletem radiação IV 
Física IV: Ótica 
A radiação ultra violeta UV 
UV-A, UV-B e UV-C 
UV- A 
400 a 320 nm 
3,10 a 3,88 MeV 
UV-C 
280 a 100 nm 
4,43 a 12,4 MeV 
UV – B 
320 a 280 nm 
3,88 a 4,43 MeV 
A radiação UV vem 
naturalmente com a 
radiação solar 
Mas pode ser produzida em 
lâmpadas e em equipamentos 
de soldas. 
Ligeiramente afetado pela 
camada de ozônio. 
Bronzeamento 
Envelhecimento da pele 
Avaria na visão 
Fortemente afetado pela 
camada de ozônio 
estratosférico 
Fortemente afetado pela 
camada de ozônio 
estratosférico 
Queimadura, câncer de pele, envelhecimento 
prematuro da pele, cegueira 
Física IV: Ótica 
A radiação ultravioleta UV 
Interações com a matéria 
Excitação atômica 
Fótons UV 
E = h.f < Energia de ionização 
absorvidos pelo átomo 
produz transição de elétron 
 para um nível superior de energia. 
Física IV: ÓticaFótons UV 
E = h.f > Energia de ionização 
pode estabelecer o processo de 
foto-ionização em átomos ou 
moléculas. 
A radiação ultra violeta UV 
Interações com a matéria 
Fotoionização 
Física IV: Ótica 
A radiação ultra violeta UV 
Interações com a matéria 
O fio do pelo do 
urso polar 
absorve radiação 
UV 
Efeito fotoelétrico 
Interação UV com 
metal 
A neve reflete radiação UV 
Física IV: Ótica 
A radiação ultra violeta UV 
Proteção contra UV 
% UV 
Transmitida 
%UV 
Absorvida 
UPF 
Fator de Proteção a UV 
Categoria 
da proteção 
10 90 10 moderada 
5 95 20 elevada 
3,3 96,7 30 muito elevada 
2,5 97,5 40 extremamente elevada 
2 98 50+ Máxima 
Vidro UPF 
Lateral de um carro 12 
Pára-brisa (laminado) 50+ 
Janela de casas 10 
Janela de escritórios 50+ 
Física IV: Ótica 
Sinais luminosos de “neon” consiste de um tubo de vidro fechado 
contendo gases raros a baixa pressão. 
As extremidades to tubo são conectadas a uma fonte de alta tensão 
(6.000V a 9000 V) que aceleram elétrons. 
Os elétrons excitam os átomos de gases raros que, na des-excitação, 
emitem luz de cores características. 
Emissão de luz em tubos luminosos 
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=C6-v4V0ZmNZggM&tbnid=a-nyLVL7q7hhhM:&ved=0CAUQjRw&url=http%3A%2F%2Fwww.cuiket.com.br%2Fempresa%2Fa-superneon-luminosos-letreiros-e-luminosos_2806744.html&ei=elKZUZrcEYq09gTh44HwBA&bvm=bv.46751780,d.dmQ&psig=AFQjCNFUwr-TLqBAG-OGC0toJC0SruYFMQ&ust=1369088965419719
Física IV: Ótica 
Espectro da radiação átomo de hidrogênio 
Física IV: Ótica 
Outros espectro da radiação 
Espectro de emissão do He Espectro de emissão do Hg 
 neon 
Na 
Nitrogênio 
Física IV: Ótica 
Na Des-excitação 
 
os átomos de Hg emitem grande quantidade de 
fótons de radiação ultravioleta 
 (alta freqüência e não visíveis) 
Lâmpada fluorescente 
 1a Fase: Excitação e Des-excitação dos átomos de Hg 
Excitam átomos de Hg 
Física IV: Ótica 
1.- Átomos de fósforo são 
excitados por fótons ultravioletas 
emitidos por átomos de Hg 
A fluorescência do fósforo transforma 
a radiação ultravioleta (não visível) em luz. 
2.- A “des-excitação” 
 dos átomos de fósforo 
ocorre em forma de “escada”. 
Fluorescência 
Emissão de fótons de 
freqüências menores do que 
aquela do fóton excitador. 
Lâmpada fluorescente 
2a Fase: excitação e des-excitação de átomos de fósforo 
Física IV: Ótica 
Lâmpada fluorescente 
Esquema 
Física IV: Ótica 
Os átomos do material 
fluorescente excitam-se com 
fótons ultravioleta. 
Materiais fluorescentes 
Tintas Pigmentos 
Usados em detergentes (papeis) que convertem a radiação 
ultravioleta do Sol em luz, fazendo com que o tecido pareça 
“mais branco”. 
Des-excitam-se em escada, 
emitindo fótons de freqüências 
menores, na banda do visível. 
FLUORESCÊNCIA 
Física IV: Ótica 
Os átomos são excitados pela radiação uv 
A des-excitação não ocorre imediatamente. 
A diferença entre fluorescência e fosforescência é o tempo 
de “des-excitação”. 
FOSFORESCÊNCIA 
Física IV: Ótica 
Emissão de luz por meio 
de aquecimento. 
Um pedaço de ferro 
250°C  Vermelho escuro 
550°C  Laranja 
2.500°C  branco como o filamento de uma lâmpada 
Qual a diferença entre a luz emitida 
 por incandescência daquela emitida pelos luminosos “neon” 
ou pela lâmpada de vapor de mercúrio? 
INCANDESCÊNCIA 
Física IV: Ótica 
A incandescência é um fenômeno que ocorre nos sólidos devido a 
elevação da temperatura. 
Nos sólidos os átomos estão muito próximos entre si. 
No processo da excitação e des-excitação os elétrons periféricos dos 
átomos efetuam transições quânticas englobando átomos vizinhos. 
Conseqüência: 
infinidade de transições; 
emissão de fótons em grande variedade de freqüência, 
abrangendo quase todo o espectro. 
A Excitação e Des-excitação na incandescência 
Física IV: Ótica 
Lei de Wien : fpico = [2,8.k/h].T 
Incandescência 
Distribuição Espectral da Luz 
Física IV: Ótica 
No estado metaestável 
Δt des-excitação > 10
-8 s 
 
Um fóton incidente de energia 
 E = h.f = E2-E1 
Estimula a emissão de um fóton. 
O fóton emitido em fase 
com o fóton incidente 
Pode estimular a 
emissão de 
outros fótons 
LASER 
Emissão estimulada 
Física IV: Ótica 
LASER 
Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation 
Física IV: Ótica 
Esquema do 1o Laser 
Física IV: Ótica 
Espelhos paralelos 
Física IV: Ótica 
Tipos de LASER 
LASER de estado sólido 
Rubi 
λ = 694 nm 
LASER de gás 
 
He-Ne verde (λ = 543 nm) 
He-Ne vermelho (λ = 633 nm) 
CO2 IV (λ = 10.600 nm) 
Argônio azul (λ = 488 nm) 
Argônio verde (λ = 514 nm) 
Nitrogênio UV (λ = 337 nm) 
 
 
LASER de semicondutor 
Diodos (pointer) 
λ = 680 nm 
Física IV: Ótica 
Onda, Raio e Frente de Onda 
Conceito de frente de onda é usado para descrever a propagação 
de uma onda. 
De um modo geral, a frente de onda pode ser definido como o 
lugar geométrico onde todos os pontos adjacentes que 
possuem a mesma fase de vibração de uma grandeza física 
associada com a onda. Ou seja, em qualquer instante todos os 
pontos sobre uma frente de onda estão na mesma parte do ciclo de 
suas respectivas vibrações. 
Usamos diagramas que mostram as frentes de onda ou suas 
seções retas em algum plano de referência. 
Física IV: Ótica 
Onda, Raio e Frente de Onda 
Para descrever a direção de propagação, em geral é mais 
conveniente representar uma onda de luz por meio de um raio em 
vez de se usar uma frente de onda. 
Na descrição corpuscular da luz, os raios são as trajetórias das 
partículas 
Na descrição ondulatória, um raio é uma linha imaginária ao longo 
da direção de propagação da onda. 
Quando uma onda se propaga em um material homogêneo e 
isotrópico, os raios são sempre linhas retas perpendiculares à frente 
de onda. 
Física IV: Ótica 
Reflexão e Refração 
Quando uma onda de luz atinge uma superfície lisa 
separando dois meios transparentes (ex: ar e vidro; água e 
vidro), em geral a onda é parcialmente refletida e 
parcialmente refratada (transmitida) para o outro material. 
Física IV: Ótica 
Reflexão e Refração 
O raio que penetra no segundo meio experimenta uma mudança 
de direção na fronteira, e diz-se que sofre uma refração. 
O raio incidente, o raio refletido e o raio refratado encontram-se 
todos mesmo plano. 
O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência (Lei da 
reflexão). 
Física IV: Ótica 
Reflexão e Refração 
O ângulo de refração 2 depende das propriedade dos dois 
meios e do ângulo de incidência. 
constante 
 
 
1
2
1
2 
v
v
sen
sen


Lei de Snell 
A trajetória de um raio de luz 
através da superfície 
refratora é reversível, assim 
como no caso da reflexão. 
Física IV: Ótica 
Reflexão e Refração 
Quando a luz se propaga de um material no qual sua velocidade 
é elevada para um material em que sua velocidade é mais baixa, 
a Lei de Snell mostra que o ângulo de refração 2 é menor que o 
ângulo de incidência. 
Física IV: Ótica 
Reflexão e Refração 
Se o raio se deslocar de um material em que se propaga 
lentamente para um material que se propaga mais rapidamente, 
2 será maior que 1. 
Física IV: Ótica 
Reflexão e Refração 
Considerar um feixe de luz penetrando em um pedaço de vidro a partir da 
esquerda. Uma vez dentro do vidro, a luz pode encontrar um átomo, representado 
pelo ponto A. Suponhamos que a luz seja absorvida pelo átomo, fazendo com 
que este oscile. 
O átomo que oscila irradia (emite) então o feixe de luz para um átomo no ponto 
B, onde a luz é absorvida novamente. 
Considere que a luz passa de um átomo para outro no vidro. Embora a luz se 
propague de um átomo a outro através do espaço vazio entre eles com 
velocidade c , as absorções e emissões de luz pelos átomos , que requer tempo 
para acontecer, causam a diminuição da velocidade média da luz atravésdo 
vidro. 
Física IV: Ótica 
Reflexão e Refração 
Uma vez que a luz emerge no ar, as absorções e emissões 
cessam e a velocidade média da luz retorna a seu valor original. 
A luz que passa de um meio para outro é refratada porque a 
velocidade média da luz é diferente nos dois meios. 
Definimos o índice de refração n do meio como sendo: 
v
c
n 
meio no luz da média velocidade
 vácuono luz da e velocidad
Física IV: Ótica 
 
 
Material Índice de refração 
Ar 1,00029 
Água 1,333 
Gelo 1,310 
Álcool etílico 1,362 
Quartzo 
fundido 
1,459 
Óleo de 
linhaça 
1,486 
Vidro típico 1,5 
Óleo típico 1,5 
Diamante 2,417 
Física IV: Ótica 
Reflexão e Refração 
Quando uma onda passa de um meio para o outro sua 
frequência não muda. (Conservação de Energia - Física II) 
 
Para uma onda luminosa passando de um meio para o outro, a 
frequência também permanece constante. 
 
As frentes de onda passam por um observador no 
ponto A do meio 1 com uma certa frequência e 
incidem na fronteira entre o meio 1 e o meio 2. A 
frequência na qual as frentes de onda passam por 
um observador no ponto B no meio 2 tem de ser 
igual à frequência com que chegam no ponto A. 
Portanto a relação v = f  tem de ser válida nos 
dois meios. 
Física IV: Ótica 
Reflexão e Refração 
Como f1 = f2 = f, vemos que 
 
 
Como 
 
 
Relacionamos o índice de refração com o comprimento de onda 
2211 e  fvfv 
2121 e   vv
1
2
2
1
2
1
2
1
/
/
n
n
nc
nc
v
v



2211  nn 
Física IV: Ótica 
Reflexão e Refração 
A partir de 
 
 
Segue-se que o índice de refração de qualquer 
meio pode ser expresso por 
 
 
onde 0 é o comprimento de onda no vácuo e n é o comprimento 
de onda no meio cujo índice de refração é n. 
 
 
n
n

0
2211  nn 
1
2
1
2
 
 
v
v
sen
sen



v
c
n  2211  sennsenn 
Física IV: Ótica 
Reflexão Interna Total 
A reflexão interna total pode ocorre quando a luz se propaga de 
um meio com um alto índice de refração para outro com um 
índice de refração mais baixo. 
Considere um raio de luz que se propaga no meio 1 e encontra a 
interface entre os meios 1 e 2, onde n1 > n2. 
Vários direções possíveis 
do raio estão indicados 
pelos raios 1 a 5. 
Física IV: Ótica 
Reflexão Interna Total 
Em um determinado ângulo de 
incidência c, chamado de ângulo 
crítico, o raio de luz refratado se 
propaga paralelamente à interface 
de modo que 2 = 90°. 
Para ângulos de incidência maior 
que c, nenhum raio é refratado e 
o raio incidente é refletido 
inteiramente na superfície como se 
estivesse incidindo em uma 
superfície perfeitamente refletora. 
Física IV: Ótica 
Reflexão Interna Total 
Lei de Snell para encontrar o ângulo crítico. 
Quando 1 = c, 2 = 90°, temos 
) para( 
09 
21
1
2
c
22c1
nn
n
n
sen
nsennsenn



 
A reflexão interna total ocorre somente 
quando a luz se propaga de um meio com 
índice de refração mais elevado para um meio 
com índice de refração mais baixo. 
Física IV: Ótica 
Fibra óptica (1) 
 Se o segundo meio é o ar, então podemos fazer n2 igual a 1 e obter uma 
expressão para o ângulo crítico para a reflexão interna total da luz, 
deixando um meio com índice de refração n e entrando no ar 
 
 
 
 Uma aplicação importante para a reflexão interna total é a fibra óptica 
 
 A luz é injetada em uma fibra óptica de forma que o ângulo de reflexão 
na superfície da fibra é maior que ângulo crítico para a reflexão interna 
total 
 Esta luz é então transportada ao longo do comprimento da fibra 
Física IV: Ótica 
Fibra óptica (2) 
 Fibras ópticas podem ser usadas para transportar luz de uma fonte para um 
destino 
 
 Nesta imagem, temos um maço de fibras ópticas 
com o final das fibras apontando para a câmera 
 
 A outra extremidade da fibra óptica está conectada 
a uma fonte de luz 
 
 
 Observe que as fibras ópticas podem transportar 
luz em outras direções e não apenas em linha reta, 
desde que o raio de curvatura da fibra não seja 
pequeno o suficiente para permitir que a luz viajando 
na fibra ótica seja maior que o ângulo crítico ao refletir a superfície da fibra 
Física IV: Ótica 
Fibras ópticas (3) 
 Um tipo de fibra óptica usada para comunicação digital que consiste em um 
núcleo de vidro envolto por revestimento feito de vidro, com um índice de 
refração menor do que o do núcleo 
Física IV: Ótica 
Intensidade Relativa da Luz Refletida e Transmitida 
A fração da energia luminosa refletida em uma fronteira, tal como a interface 
ar-vidro, depende de um modo complicado do ângulo de incidência, da 
orientação do vetor campo elétrico associado à onda e dos índices de 
refração dos dois meios. 
Para o caso especial da incidência normal (1=  ‘1= 0), a intensidade refletida 
pode ser demonstrada como 
incidente eintensidad : 00
2
21
12 II
nn
nn
I 








Física IV: Ótica 
Intensidade Relativa da Luz Refletida e Transmitida 
Para o caso típico da reflexão em uma interface ar-
vidro para o qual n1= 1 e n2= 1,5, temos I = 0,04 I0. 
Apenas 4% da energia é refletida, o resto da energia 
é transmitida. 
0
2
21
12 I
nn
nn
I 








• R: refletância 
• T: transmitância 
Física IV: Ótica 
Dispersão e Prismas 
A dependência do índice de 
refração com o comprimento de 
onda, que resulta da dependência 
da velocidade da onda com o 
comprimento de onda, é chamada 
de dispersão. 
O índice de refração geralmente 
diminui com o aumento do 
comprimento de onda no intervalo 
da luz visível. 
A luz violeta refrata 
mais que a luz vermelha 
ao passar do ar para 
algum material 
Física IV: Ótica 
Dispersão e Prismas 
Para entender os efeitos da dispersão sobre a luz, vamos 
considerar o que acontece quando a luz incide sobre um prisma. 
Um raio de luz de um único comprimento de onda que incide 
sobre o prisma a partir da esquerda emerge com desvio . 
Física IV: Ótica 
Dispersão e Prismas 
Então quando um feixe de luz branca incide em um prisma, as 
cores diferentes refratam a ângulos de desvio diferente por 
causa da dispersão e os raios emergem da segunda face do 
prisma se espalham em uma série de cores conhecidas como 
espectro visível. 
Física IV: Ótica 
Dispersão cromática (1) 
 O índice de refração de um meio óptico depende do comprimento de onda da luz 
viajando naquele meio 
 
 Esta dependência do índice de refração com o comprimento de onda da luz 
significa que a luz de cores diferentes será refratada diferentemente na interface 
entre dois meios ópticos 
 
 Esse efeito é chamado de dispersão cromática 
 
 Em geral, o índice de refração para um dado meio 
óptico é maior para pequenos comprimentos de onda 
do que para comprimentos de onda maiores 
 
 Portanto, a luz azul é mais refratada que a luz vermelha 
 
 No desenho, podemos ver que r > b 
Física IV: Ótica 
Dispersão cromática (2) 
 A luz branca consiste na superposição de 
todos os comprimentos de onda visíveis 
 
 Quando um feixe de luz branca é projetado 
através de um prisma de vidro, como à 
direita, podemos separar a luz branca 
incidente nos diferentes comprimentos de 
onda visíveis que são refratados em 
ângulos diferentes 
 
 Um exemplo comum de dispersão 
cromática é um arco-íris 
Física IV: Ótica 
Dispersão cromática: gotas de água (1) 
 Gotas de chuva esféricas refratando e 
refletindo a luz do sol criam um arco-íris, 
como mostra a imagem à direita 
 
 Um arco-íris é criado quando gotas de chuva 
estão suspensas no ar e você as observa 
com o sol nas costas 
 
 A luz branca do sol entra nas gotas, refrata 
na superfície da gota, é transmitida através 
da água para o lado mais distante onde é 
refletida, é transmitida novamente para a 
superfície da gota onde ela sai e é refratada 
novamente 
Física IV: Ótica 
Dispersão cromática: gotas de água (2) 
 Nos dois passosda refração, o índice de 
refração é diferente para comprimentos de 
onda distintos 
 
 O índice de refração para a luz verde na 
água é 1.333; o índice de refração para a luz 
azul é 1.337 e, para a luz vermelha, é 1.331 
 
 Ocorre um contínuo de índice de refração 
para todas as cores 
 
 Estes índices de refração diferentes resultam 
em um aparente espalhamento da luz de 
acordo com a cor. O arco-íris aparecerá em 
um ângulo de 42 em relação à direção da 
luz do sol 
 
Física IV: Ótica 
Dispersão cromática: arco-íris 
 Esta figura mostra um arco-íris típico 
 
 É possível ver a luz azul na parte interna do 
arco-íris e a luz vermelha na parte externa. 
O arco do arco-íris representa um ângulo de 
42 em relação à direção do sol 
 
 Outras características de arco-íris são 
evidentes nesta magem 
 A região interna do arco parece mais brilhante 
que a região externa 
Física IV: Ótica 
Dispersão cromática: claro-escuro (1) 
 Observe o contraste entre o céu dentro e fora do arco. 
 
 É possível compreender este fenômeno de claro-escuro observando o caminho 
dos raios de luz que são refratados e refletidos nas gotas de chuva, como 
ilustrado abaixo. 
Claro 
Escuro 
42o 
Física IV: Ótica 
Dispersão cromática: claro-escuro 
 Quando estudamos a refração do sol em uma gota d’água, descobrimos que 
existem vários raios emergindo com ângulos menores que o do raio do arco-íris, 
mas essencialmente não há nenhuma luz de reflexões internas únicas com 
ângulos maiores que este raio (42). 
 Assim, há bastante luz na parte interna do arco, e muito pouca além dele. Como 
a luz é uma mistura das cores de todo o arco-íris, ela é branca. 
 
Claro 
Escuro 
42o 
Física IV: Ótica 
Vendo o arco-íris 
Física IV: Ótica 
Reflexão e espelhos planos (1) 
 Um espelho é uma superfície que reflete luz 
 
 Um espelho plano é um espelho delgado 
 
 Para a reflexão dos espelhos planos há uma lei simples 
para raios de luz incidentes sobre a superfície do espelho 
 
 Esta regra afirma que o ângulo de incidência, i, é igual 
ao ângulo de reflexão, r 
Física IV: Ótica 
Reflexão e espelhos planos (2) 
 Estes ângulos são sempre medidos a partir da normal à superfície que é definida 
como uma linha perpendicular à superfície do espelho plano 
Espelho plano 
Raio incidente 
Raio refletido 
Normal à superfície do espelho 
Física IV: Ótica 
Reflexão e espelhos planos (3) 
 Raios paralelos incidentes em um espelhos plano são 
refletidos de tal forma que os raios refletidos também são 
paralelos, pois toda normal à superfície também é paralela 
à outras normais 
 
 A lei da reflexão é dada por 
 
 
 Imagens podem ser formadas pela luz refletida de um 
espelho plano 
 
 Por exemplo, ao para na frente de um espelho, você vê sua 
imagem no espelho e esta imagem parece estar atrás do espelho 
 
 Este tipo de imagem é denominada imagem virtual 
(não pode ser mostrada em uma tela) 
Física IV: Ótica 
Imagem formada por um espelho 
 Imagens formadas por espelhos planos parecem estar invertidas esquerda-
direita porque os raios de luz incidentes sobre a superfície do espelho são 
refletidos de volta sobre o outro lado, da normal 
 Uma imagem do espelho aparece verticalmente correta 
 A imagem vista pela pessoa pode ser construída 
com dois raios de luz, como mostrado 
 A imagem é 
 Ereta (quer dizer não “invertida”) 
 Virtual (implicando que a imagem é formada 
atrás da superfície do espelho) 
 A distância da pessoa em frente ao espelho 
é chamada de distância do objeto, do, e a 
distância da imagem que parece estar atrás do 
espelho é chamada de distância da imagem, di, 
e, para um espelho plano, do = di 
Física IV: Ótica 
Imagem do espelho: esquerda-direita? 
 A imagem virtual é novamente construída 
com dois raios 
 Todos os raios apresentam o mesmo 
comportamento 
 O relógio está no fundo para a pessoa e 
para a imagem (sem inversão esquerda-direita) 
 Mas a imagem está olhando para a direção oposta! 
 Logo, uma imagem de espelho está invertida somente de trás pra frente 
 E a inversão esquerda-direita aparente é uma consequência indireta 
Física IV: Ótica 
Espelhos curvos (1) 
 Quando a luz é refletida a partir da superfície de um espelho de um espelho 
curvo, os raios de luz seguem as leis da reflexão em cada ponto da superfície 
 
 Entretanto, diferentemente do espelho plano, a superfície de um espelho curvo 
não é plana 
 
 Assim, raios de luz que são paralelos antes de atingir o espelho são refletidos 
em diferentes direções considerando a parte do espelho que eles atingem 
 
 Os raios de luz podem ser convergentes ou divergentes 
Física IV: Ótica 
Espelhos curvos (2) 
 Exemplo típico: Em espelho esférico com a superfície refletora do lado de dentro 
da esfera 
 A superfície refletora é côncava é os raios refletidos serão convergentes 
 Várias aplicações: luzes de carros, telescópios… 
Física IV: Ótica 
Espelhos esféricos côncavos (1) 
 Podemos representar esta esfera com um semicírculo de duas dimensões 
 
 O eixo óptico do espelho é uma linha através do centro 
da esfera, representado neste desenho por uma linha 
horizontal pontilhada 
 
 Um raio de luz horizontal acima do eixo óptico é incidente 
sobre a superfície do espelho 
 
 No ponto em que o raio de luz atinge o espelho, a lei de 
reflexão se aplica 
 i = r 
 
 A normal à superfície é uma linha radial que aponta para o centro da esfera, 
marcado por C 
 
Física IV: Ótica 
Espelho esférico côncavo (2) 
 Agora suponha que existam vários raios de luz horizontais incidentes neste 
espelho esférico, como mostra a figura 
 
 
 Todo raio de luz obedece a lei da reflexão em cada 
um dos pontos 
 
 
 Todos os raios cruzarão o eixo óptico neste mesmo 
ponto, chamado de ponto focal F 
 
 
 
 O ponto F é a metade do caminho entre o ponto C e a superfície do espelho 
 
Física IV: Ótica 
Espelho esférico côncavo (3) 
 O ponto C está localizado no centro da esfera; 
assim, a distância de C da superfície do espelho 
é simplesmente o raio do espelho, R 
 
 Dessa forma, o foco, f, de um espelho esférico é 
Física IV: Ótica 
Formação de uma imagem com um espelho côncavo 
 Comece com o 
espelho côncavo 
e o eixo óptico 
 Desenhe o foco 
e o raio do 
espelho 
 Adicione o objeto 
a ser refletido 
 O objeto tem 
altura ho e 
distância do 
 Desenhe primeiro através 
do centro do círculo, 
refletindo sobre si mesmo 
 Desenhe o segundo 
raio paralelo ao eixo 
óptico 
 Reflita o raio 
através do 
ponto focal 
 A imagem é 
formada no ponto 
onde os dois 
raios se cruzam 
 A imagem tem 
altura hi 
 A imagem tem 
distância di 
Física IV: Ótica 
Imagem com um espelho côncavo 
 A reconstrução deste caso especial produz uma imagem real 
 Definida pelo fato de que a imagem está do mesmo lado do espelho que o objeto, e não 
atrás do espelho 
 
 A imagem tem altura hi à distância di da superfície do espelho no mesmo lado do 
espelho que o objeto com altura ho e distância do do espelho 
 
 A imagem é invertida e tem seu tamanho reduzido conforme o objeto que 
produziu a imagem 
 
 A imagem é chamada de real quando uma tela colocada na posição da imagem 
fornece uma precisa projeção da imagem naquele ponto 
 
 Para uma imagem virtual é impossível colocar uma tela no lugar da imagem 
Física IV: Ótica 
Espelho côncavo, do < f (1) 
 Agora vamos reconstruir outro caso para um espelho convexo, onde do < f 
 
 Novamente colocamos o objeto sobre o eixo óptico 
 
 Novamente usamos três raios de luz 
 O primeiro raio estabelece que a origem da imagem 
se encontre sobre o eixo óptico 
 O segundo raio deixa o topo do objeto ao longo de 
um raio e é refletido de volta sobre si mesmo 
através do centro da esfera 
 O terceiro raio parte do topo do objeto paralelo ao 
eixo óptico e é refletido através do ponto focal 
 
 Os raios refletidos são claramentedivergentes 
Física IV: Ótica 
Espelho côncavo, do < f (2) 
 Para determinar a localização da imagem, devemos extrapolar os raios refletidos 
para o outro lado do espelho 
 
 Esses dois raios se cruzam a uma distância di da superfície do espelho, 
produzindo uma imagem com altura hi 
Física IV: Ótica 
Convenções para distâncias de espelho (1) 
 Neste caso, temos a imagem formada no lado oposto do espelho a partir do 
objeto, uma imagem virtual 
 
 Para um observador, a imagem aparece como se estivesse atrás do espelho 
 A imagem é ereta e maior que o objeto. Estes resultados são um tanto diferentes 
que aqueles para do > f 
 
 Para lidar com todos os casos possíveis para espelhos convexos, devemos 
definir algumas convenções para distâncias e alturas 
 
 Estabelecemos o seguinte 
 Todas as distâncias no mesmo lado do espelho que o objeto são definidas como 
positivas 
 Todas as distâncias no lado oposto do espelho em relação ao objeto são definidas como 
negativas 
Física IV: Ótica 
Convenções para distâncias de espelhos (2) 
 Portanto, f e do são positivas para espelhos côncavos 
 
 Para imagens reais, di é positivo 
 
 Para imagens virtuais, definimos que di é negativo 
 
 Se a imagem é direita, então hi é positivo e se a imagem é invertida, hi é negativo 
Física IV: Ótica 
Equação do espelho 
 Usando esses sinais de convenção, podemos expressar a equação do espelho 
que relaciona a distância do objeto, do, a distância da imagem, di, e o foco f do 
espelho 
 
 
 
 
 A ampliação m do espelho é definida por 
Física IV: Ótica 
Casos possíveis para a equação do espelho 
Podemos resumir as características da imagem para espelhos côncavos 
Caso Tipo Orientação Ampliação 

do  f Virtual Ereta Aumenta 

d  f Real Ereta Imagem no 
infinito 

f  do  2 f Real Invertida Aumenta 

do  2 f Real Invertida Mesmo tamanho 

do  2 f Real Invertida Reduzida 
 
Física IV: Ótica 
Equação do espelho e espelhos convergentes 
Física IV: Ótica 
Dois espelhos côncavos e um porquinho… 
 Imagem real de dois espelhos côncavos 
Física IV: Ótica 
Espelhos esféricos convexos (1) 
 Suponha que temos um espelho esférico com a 
superfície refletora sobre o lado de fora da esfera 
 Portanto, temos uma superfície refletora convexa, 
e os raios refletidos divergem 
 O eixo óptico do espelho é uma linha através do 
centro da esfera, representado neste desenho 
pela linha horizontal pontilhada 
 Imagine que um raio de luz horizontal acima do 
eixo óptico incide sobre a superfície do espelho 
 No ponto em que o raio de luz atinge o espelho, a 
lei da reflexão se aplica, i = r 
 A normal à superfície é uma linha radial que 
aponta para o centro da esfera, marcado como C 
 Exemplo: espelho retrovisor do carro do lado 
direito 
Física IV: Ótica 
Espelhos esféricos convexos (2) 
 Em contraste com o espelho côncavo, no convexo a normal aponta para fora do 
centro da esfera 
 
 Quando extrapolamos a normal através da superfície da esfera, ela intercepta o 
eixo óptico da esfera no seu centro, marcado como C 
 
 Quando observamos o raio refletido, 
parece que ele vem do centro da esfera 
Física IV: Ótica 
Espelhos esféricos convexos (3) 
 Agora suponha que muitos raios horizontais 
incidem sobre esse espelho esférico, como na 
figura 
 
 Todo raio de luz obedece a lei da reflexão em cada 
um dos ponto 
 
 Você pode ver que os raios divergem e não 
parecem formar nenhum tipo de imagem 
 
 Entretanto, se os raios refletidos são extrapolados 
através da superfície do espelho, todos eles irão 
interceptar o eixo óptico em um ponto 
 
 Este é o ponto focal do espelho esférico convexo 
Física IV: Ótica 
Imagens formadas por espelhos convexos (1) 
 Agora vamos discutir imagens formadas por 
espelhos convexos, com o caso de do > f 
 
 Novamente usamos três raios 
 O primeiro raio estabelece que a origem da seta 
esteja sobre o eixo óptico 
 O segundo raio parte do topo do objeto, 
viajando paralelamente ao eixo óptico e é 
refletido a partir da superfície do espelho, de 
forma que sua extrapolação cruze o eixo óptico 
a uma distância da superfície do espelho igual 
ao comprimento focal do espelho 
 O terceiro raio se origina no topo do objeto e é 
orientado de forma que sua extrapolação 
intercepte o centro da esfera 
 Este raio é refletido, voltando sobre si mesmo 
Física IV: Ótica 
Imagens formadas por espelhos convexos (2) 
 Podemos ver que é formada uma imagem ereta e reduzida no lado do espelho 
oposto ao objeto 
 
 Esta imagem é virtual porque ela não pode ser projetada 
 
 Estas características são válidas para todos os casos de espelhos convexos 
 
 No caso de um espelho convexo, definimos o comprimento focal f como 
negativo, já que o ponto focal do espelho está no lado oposto ao do objeto 
 
 A distância do objeto do é sempre tomada como positiva 
 
 Relembrando a equação dos espelhos 
 
Física IV: Ótica 
Imagens formadas por espelhos convexos (3) 
 Podemos rearranjar a equação dos espelhos para obter 
 
 
 
 
 Se do é sempre positivo e f é sempre negativo, podemos ver que di sempre será 
negativo 
 
 Aplicando a equação para a ampliação percebemos que é sempre positivo 
 
 Observar o diagrama de construção do raio para o espelho convexo também o 
convencerá de que a imagem sempre será reduzida em tamanho 
 
 Assim, para um espelho convexo, sempre iremos obter uma imagem virtual, 
ereta e reduzida 
Física IV: Ótica 
Aberração esférica 
 As equações que derivamos para espelhos esféricos se aplicam somente para 
raios de luz que estão próximos ao eixo óptico 
 
 Se os raios de luz estiverem longe do eixo óptico, eles 
não serão focalizados através do ponto focal do espelho 
 
 Assim, veremos uma imagem distorcida No desenho, 
vários raios de luz incidem sobre um espelho 
esférico côncavo 
 
 Podemos ver que os raios mais afastados do eixo óptico são refletidos de tal 
forma que eles atravessam o eixo óptico mais próximo ao espelho do que o 
ponto focal 
 
 À medida que os raios se aproximam do eixo óptico, eles são refletidos através 
dos pontos mais próximos do ponto focal 
 
Física IV: Ótica 
Espelhos parabólicos 
 Espelhos parabólicos têm uma superfície que reflete luz para o 
ponto focal incidente em qualquer lugar sobre o espelho 
 
 Assim, todo o tamanho do espelho pode ser utilizado para 
coletar luz e formar imagens 
 
 No desenho à direita, raios de luz horizontais 
incidem sobre um espelho parabólico 
 
 Todos os raios são refletidos pelo ponto focal do espelho 
 
 Espelhos parabólicos são mais difíceis de 
fabricar e são mais caros 
 
 Os maiores telescópios refletores usam espelhos parabólicos 
Física IV: Ótica 
Lentes 
 Quando a luz é refratada ao cruzar uma superfície curva entre dois meios 
diferentes, os raios de luz seguem a lei da refração em cada ponto da superfície 
 
 O ângulo no qual os raios de luz cruzam é diferente ao longo da superfície, de 
modo que o ângulo refratado é diferente nos pontos diferentes ao longo da 
superfície 
 
 Uma superfície curva entre dois meios opticamente transparentes é 
de lente 
 
 Os raios de luz que são inicialmente paralelos antes de 
atingirem a superfície são refratados em direções diferentes 
dependendo da parte da lente que eles atingem 
 
 Dependendo do formato da lente, os raios de luz podem ser 
focalizados ou podem divergir 
 
Física IV: Ótica 
Fórmula do fabricante de lentes (1) 
 Se a parte frontal de uma lente é parte de uma esfera com raio R1 e a parte de 
trás da superfície é parte de uma esfera com raio R2, então calculamos a 
distância focal f da lente usando a fórmula do fabricante de lentes 
negativo 
R1 
R2 
positivo negativo positivo 
Física IV: Ótica 
Fórmula do fabricante de lentes (2) 
 As curvaturas R1 e R2 apresentam sinais diferentes dependendo se elas 
apontam para o lado positivo(o mesmo lado do objeto) ou para o lado negativo 
 Para uma lente convexa, R1 é positivo e R2 é negativo 
 Para uma lente côncava, R1 é negativo e R2 é positivo 
 
 Se temos uma lente com o mesmo raio na parte da frente e na parte de trás, de 
forma que R1 = R2 = R, temos 
 
negativo 
R1 
R2 
positivo negativo positivo 
Física IV: Ótica 
Lente convexa 
(convergente) 
Lente côncava 
(divergente) 
positivo negativo 
Comprimento focal de lentes 
 Diferentemente de espelhos, as lentes 
apresentam um comprimento focal nos dois 
lados 
 
 A luz pode passar através das lentes enquanto 
que os espelhos refletem a luz, não permitindo 
luz do lado oposto 
 
 O comprimento focal de uma lente convexa 
(convergente) é definido como sendo positivo 
 
 O comprimento focal de uma lente côncava 
(divergente) é definido como sendo negativo 
Física IV: Ótica 
Lentes convexas (1) 
 Uma lente convexa possui uma forma em 
que os raios paralelos serão focados por 
refração na distância focal f do centro das 
lentes 
 
 No desenho à direita, um raio de luz incide 
sobre uma lente convexa de vidro 
 
 Na superfície da lente, o raio de luz é 
refratado em direção à normal 
 
 Quando o raio deixa a lente, ele é refratado, 
se afastando da normal 
Física IV: Ótica 
Lentes convexas (2) 
 Vamos estudar o caso de vários raios de 
luz horizontais incidindo sobre uma lente 
convexa 
 
 Esses raios são focalizados em um ponto 
à distância f do centro da lente no lado 
oposto dos raios incidentes sobre a lente 
Física IV: Ótica 
Lentes delgadas (1) 
 Os raios entram na lente, se refratam na superfície, atravessam a lente em uma 
linha reta e se refratam quando deixam a lente 
 
 No terceiro quadro, representamos a aproximação da lente delgada desenhando 
uma linha preta pontilhada no centro da lente 
 
 Em vez de seguir a trajetória detalhada 
do raio dentro da lente, o raio incidente 
é desenhado se refratando pela linha 
do centro e então para o ponto focal 
 
Física IV: Ótica 
Lentes delgadas (2) 
 Nossas lentes da vida real são espessas e há um deslocamento entre as 
superfícies de entrada e saída 
 
 Consideraremos todas as lentes como lentes delgadas e as trataremos como 
uma linha na qual tem lugar a refração 
Física IV: Ótica 
Imagens com lentes convexas (1) 
 Lentes convexas podem ser usadas para formar imagens 
 Mostramos a construção geométrica da formação de uma imagem usando uma 
lente convexa com comprimento focal f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Colocamos um objeto sobre o eixo óptico representado pela seta verde 
 Este objeto tem altura ho e está localizado à distância do do centro da lente, de 
forma que do > f 
Física IV: Ótica 
Imagens com lentes convexas (2) 
 Começamos com um raio ao longo do eixo óptico da lente que passa em linha 
reta através da lente e que define o fundo da imagem. 
 
 Um segundo raio é então desenhado do topo do objeto paralelo ao eixo óptico 
 Este raio é focado através do ponto focal do outro lado da lente 
 
 Um terceiro raio é desenhado através do centro de uma lente que não é 
refratado na aproximação das lentes delgadas 
Física IV: Ótica 
Imagens com lentes convexas (3) 
 Um quarto raio é desenhado a partir do topo do objeto através do ponto focal do 
mesmo lado das lentes, que é então direcionado paralelamente ao eixo óptico 
Física IV: Ótica 
Imagens com lentes convexas (4) 
 Agora vamos considerar a imagem formada por um objeto com altura ho 
colocado à distância do do centro das lentes, de forma que do < f 
 
 O primeiro raio é novamente desenhado a partir do fundo do objeto ao longo do 
eixo óptico 
 
 O segundo raio é desenhado a partir 
do topo do objeto paralelo ao eixo 
óptico e é focado através do ponto 
focal no lado oposto 
 
 Um terceiro raio é desenhado através 
do centro da lente 
Física IV: Ótica 
Imagens com lentes convexas (5) 
 Uma quarta linha é desenhada, de tal forma que ela se origina do ponto focal no 
mesmo lado da lente e é então focada paralelamente ao eixo óptico 
 Estes três raios são divergentes 
 
 Uma imagem virtual é localizada no mesmo lado da lente que o objeto 
Física IV: Ótica 
Lentes côncavas (1) 
 O formato da lente côncava faz com que raios paralelos atingindo a lente divirjam 
por refração, de tal forma que sua extrapolação se cruze na distância focal a 
partir do centro da lente do mesmo lado da lente em que está o raio incidente 
 Assuma que um raio de luz paralelo ao eixo óptico incide sobre uma 
lente côncava de vidro 
 Na superfície da lente, os raios de luz são refratados em direção à normal 
 Quando os raios deixam a lente, eles 
são refratados se afastando da normal, 
como mostra a figura 
 A linha extrapolada é mostrada como 
uma linha tracejada vermelho e preta 
e aponta para o ponto focal no mesmo 
lado da lente em que está o raio incidente 
Física IV: Ótica 
Lentes côncavas (2) 
 Agora vamos estudar vários raios horizontais incidentes sobre uma lente 
côncava 
 
 Após atravessar a lente, os raios irão divergir de forma que sua extrapolação se 
intercepta em um ponto à distância f do centro da lente e no mesmo lado em que 
estão os raios incidentes 
 
 À direita está uma lente côncava com cinco 
linhas paralelas de luz incidindo a partir da 
esquerda na sua superfície 
 
 Na segunda imagem desenhamos linhas 
vermelhas representando os raios de luz 
Física IV: Ótica 
Lentes côncavas (3) 
 Podemos ver que os raios de luz divergem após cruzar a lente 
 
 Desenhamos linhas tracejadas vermelhas e pretas para mostrar a extrapolação 
dos raios divergentes 
 
 Os raios extrapolados se interceptam em um ponto focal afastado do centro da 
lente 
 
 Na terceira imagem desenhamos os 
raios divergentes usando a aproximação 
de lentes delgadas por meio da qual os 
raios incidentes são desenhados em 
direção ao centro da lente 
Física IV: Ótica 
Formação de imagens com lentes côncavas (1) 
 Aqui mostramos a formação de uma imagem usando uma lente côncava 
 
 Colocamos um objeto sobre o eixo óptico, representado pela seta verde 
 
 Este objeto tem altura ho é está localizado 
à distância do a partir do centro da lente, 
de forma que do > f 
 
 Novamente começamos com um raio ao 
longo do eixo óptico da lente, que passa 
diretamente por ela e define o fundo da 
imagem 
Física IV: Ótica 
Formação de imagens com lentes côncavas (2) 
 Um segundo raio é desenhado a partir do topo do objeto paralelo ao eixo óptico 
 Este raio é refratado de forma que a estrapolação do raio divergente passe através do 
ponto focal no outro lado da lente 
 
 Um terceiro raio, que não é refratado na aproximação da lente delgada, é 
desenhado através do centro da lente 
 Este raio é extrapolado de volta ao longo de sua trajetória original 
 
 A imagem formada é virtual, 
ereta e reduzida 
Física IV: Ótica 
Revisão 
 O comprimento focal de uma lente 
convexa (convergente) é definido 
como positivo 
 
 O comprimento focal de uma lente 
côncava (divergente) é definido 
como negativo 
 
 Equação do fabricante de lentes: 
Lente convexa 
(convergente) 
Lente côncava 
(divergente) 
positivo negativo 
Física IV: Ótica 
A equação das lentes (1) 
 As imagens formadas por lentes são descritas pela equação das lentes 
 
 
 
 
 Esta equação tem a mesma relação entre comprimento focal, distância da 
imagem e distância do objeto que usamos para espelhos 
 
 Para tratar todos os casos possíveis para lentes, devemos definir algumas 
convenções para distâncias e alturas 
 Definimos o comprimento focal f de uma lente convexa como positivo e o comprimento 
focal de uma lente côncava como negativo 
Física IV: Ótica 
A equação das lentes (2) 
 Definimos a distância do objeto do como positiva 
 
 Se a imagem está no lado oposto da lente ao do objeto, 
a distância da imagem di é positiva e a imagem é real 
 
 Se a imagem está no mesmo lado da lente que oobjeto, a distância da imagem di é negativa e a 
imagem é virtual 
 
 Se a imagem está ereta, então hi é positivo e se a imagem está invertida, hi é 
negativo 
Física IV: Ótica 
Casos especiais 
 Para uma lente convexa, encontramos que para do > f sempre obtemos uma 
imagens real, invertida formada no lado oposto da lente 
 Para uma lente convexa e do < f, sempre obtemos uma imagem virtual, ereta e 
ampliada no mesmo lado da lente que o objeto 
 Os casos especiais para do > f para uma lente convexa são 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para lentes côncavas, sempre obtemos imagens virtuais, eretas e reduzidas em 
tamanho 
Caso Tipo Direção Ampliação 
 
f  d
o
 2 f Real Invertida Ampliada 
 
d
o
 2 f Real Invertida Mesmo tamanho 
 
d
o
 2 f Real Invertida Reduzida 
 
Física IV: Ótica 
Ampliação para lentes 
 A ampliação m de uma lente é definida da mesma forma que para um espelho 
 
 
 do é a distância do objeto 
 ho é a altura do objeto 
 di é a distância da imagem 
 hi é a altura da imagem 
 
 Se |m| > 1, a imagem é ampliada 
 
 Se |m| < 1, a imagem é reduzida 
 
 Se m < 0, a imagem é invertida 
 
 Se m > 0, a imagem é ereta 
Física IV: Ótica 
Potência de lentes 
 Geralmente, é informada a potência da lente ao invés de seu comprimento focal 
 
 A potência de uma lente D (em dioptrias) é dada pela equação 
 
 
 
 
 Por exemplo, óculos comuns de leitura apresentam a seguinte potência 
D = 1,5 dioptria 
 
 O comprimento focal deste óculos é de 
Física IV: Ótica 
A lupa (1) 
 Uma forma de fazer o objeto parecer maior é aproximá-lo 
 
 No entanto, se o objeto for levado para muito perto do olho, ele parecerá borrado 
uma vez que está mais perto do que a capacidade de foco do olho permite 
 
 A distância mínima do olho em que o objeto não perde o foco é chamada de 
ponto próximo 
 
 Outra maneira de fazer o objeto parecer maior é o uso de uma lupa ou de lente 
de aumento 
 
 Uma lupa consiste em uma lente convergente que é usada para 
produzir uma imagem virtual e ampliada do objeto 
 
 Essa imagem se forma a uma distância que se encontra além 
do ponto próximo do olho 
Física IV: Ótica 
A lupa (2) 
 Pressupomos um objeto com altura ho 
 Sem uma lupa, o maior ângulo, 1, que você 
pode conseguir e ainda ver o objeto 
nitidamente é definido pela localização do 
objeto no ponto próximo, dpróximo, do 
observador 
 É possível obter uma imagem ampliada do 
objeto colocando o objeto dentro do 
comprimento focal de uma lente convergente 
 O observador olha através da lente e a 
imagem agora está mais distante do ponto 
próximo 
 O observador agora pode ver esta imagem 
ampliada, ereta e virtual localizada fora do ponto 
próximo 
 O ângulo subtendido pela imagem é 2 
Física IV: Ótica 
A lupa (3) 
 A ampliação angular da lupa é definida 
como 
 
 
 
 A partir da figura podemos ver que o 
ângulo subtendido pelo objeto sem a lupa 
é dado por 
 
 
 
 Também podemos ver que o ângulo 
aparente subtendido pela imagem do 
objeto é definido por 
Física IV: Ótica 
A lupa (4) 
 Podemos fazer a aproximação de ângulos 
pequenos para obter tg 1  1 e tg 2  2 
 
 Assim, a ampliação angular de uma lupa 
pode ser escrita como 
 
 
 
 
 Supondo um valor típico para o ponto 
próximo de 25 cm, a ampliação angular pode 
ser escrita como 
Física IV: Ótica 
Exemplo: imagem formada por lente convexa 
 O comprimento focal de uma lente convexa é de 21 cm. Um objeto está 
localizado a uma distância do = 32 cm do centro da lente. 
 
 Questões: Onde está a imagem? Qual é a ampliação da imagem? 
 
 Resposta: 
Física IV: Ótica 
Sistemas de lentes 
 Agora veremos imagens formadas por sistemas de lentes em vez de uma única 
lente 
 
 Usamos a primeira lente para formar a imagem do objeto 
 
 Usamos a imagem da primeira lente como objeto para a segunda lente 
 
 Assim, podemos produzir diversos instrumentos ópticos com combinação de 
lentes 
Física IV: Ótica 
Exemplo: sistemas de lentes (1) 
 O objeto O1 está em frente a duas lentes com 
comprimentos focais de f1 = +24 cm e f2 = +9,0 cm, 
respectivamente. A separação dessas duas lentes 
é de L = 10 cm. O objeto está a 6 cm da lente 1. 
 Questão: Onde este sistema de lentes produz uma 
imagem? 
 Reposta: 
 Ideia chave: Calcule a localização da imagem 
trabalhando passo a passo ou lente por lente 
com o sistema. 
 Lente 1: 
 
 
 
 
 Isso revela que há uma imagem virtual I1 a 8 cm da lente 1. 
Física IV: Ótica 
Exemplo: sistemas de lentes (2) 
 I1 agora se torna o objeto O2 para a lente 2! 
 
 Lente 2: Note que O2 está fora do ponto focal da 
lente 2 --> a imagem I2 será real, invertida e no 
lado da lente oposta a O2 
do = |di(I1)| + L = 10cm + 8cm = 18 cm 
Física IV: Ótica 
Aberração das Lentes 
Um dos problemas básicos de lentes é a qualidade imperfeita das imagens. 
O modelo paraxial para imagens formadas por espelhos e lentes supõe que 
os raios fazem ângulos pequenos com o eixo principal e que todos os raios 
incidindo sobre o espelho ou lente a partir de uma fonte pontual são 
focalizados em um único ponto, produzindo uma imagem nítida. (Isso não é 
sempre verdade) 
Se quisermos analisar precisamente a formação de imagens, devemos traçar 
cada raio e aplicar a lei de reflexão a cada superfície refletora e a Lei de Snell 
a cada superfície refratora. 
Esse procedimento mostra que não existe um ponto único no qual ocorre uma 
imagem. 
As discrepâncias entre as imagens reais e as ideias previstas pelo modelo 
são chamadas aberrações. 
 
Física IV: Ótica 
Aberração Esférica 
 A aberração esférica resulta 
do fato de que os pontos 
focais dos raios luminosos 
distantes do eixo principal de 
uma lente esférica ou espelho 
são diferentes dos pontos 
focais para os raios de mesmo 
comprimento de onda que 
passa próximos ao eixo 
Aberração esférica para raios paralelos 
atravessando uma lente convergente. 
 
Física IV: Ótica 
Física IV: Ótica 
Aberração cromática 
A distância focal de uma lente é 
determinada pela refração da 
luz quando ela atravessa a 
lente. 
A refração da luz depende do 
seu comprimento de onda 
(fenômeno de dispersão). 
A distância focal de uma lente 
depende da cor da luz que a 
atravessa. 
Para a luz branca vinda de um 
objeto atravessa a lente, cada 
cor é focalizada para formar 
uma imagem nítida em uma 
localização diferente. 
Aberração 
cromática 
Física IV: Ótica 
Física IV: Ótica 
O olho humano (1) 
 O olho humano “vê” por meio da absorção de luz 
 A refração na córnea e superfície da lente produz 
uma imagem real na retina do olho 
 Para um objeto ser visto claramente, a imagem deve 
ser formada no local da retina, como mostra a figura 
 A forma do olho não pode ser alterada, então o formato 
da lente deve controlar a distância da imagem 
 A lente é mantida no lugar pelos ligamentos que a 
conectam aos músculos ciliares, os quais permitem 
à lente mudar a forma e, portanto, o foco 
 O índice de refração dos dois líquidos nos olhos é próximo ao da água, com um 
valor de 1,44; o índice de refração do material do qual é feita a lente é de 1,34 
 Dessa forma, a maior parte da refração ocorre na interface ar/córnea 
 
Física IV: Ótica 
O olho humano (2) 
 Para objetos distantes, relaxando-se a lente focaliza-se a imagem 
 Para objetos próximos, o músculo ciliar aumenta a curvatura da lente para 
focalizar a imagem na retina 
 Os extremos sobre os quais é possível enxergar são chamados de ponto 
distante e ponto próximo 
 O ponto distante de um olho normal é o infinito 
 O ponto próximo de um olho normal depende da habilidade do olho para focalizar 
 Essa habilidade muda com a idade 
 Uma criança pode focalizar objetos tão próximos quanto 7 cm 
 Conforme a pessoa envelhece, o ponto próximo aumenta 
 Tipicamente, uma pessoa de 50 anos tem um ponto 
próximo de 40 cm 
Física IV: ÓticaO olho humano (3) 
 Diversos defeitos comuns de visão são resultado de 
distâncias focais incorretas 
 
 No caso da miopia (vista curta), a imagem é produzida 
na frente da retina 
 
 No caso de hipermetropia (visão para longe), a imagem 
é produzida atrás da retina 
 
 A miopia pode ser corrigida usando-se lentes côncavas 
(divergentes) 
 
 A hipermetropia pode ser corrigida usando-se lentes 
convexas (convergentes) 
Física IV: Ótica 
Exemplo 1: lentes corretivas 
 Questão: Qual é a potência da lente corretiva para uma pessoa míope (vista 
curta) cujo ponto distante está incorretamente a 15 cm? 
 
 Resposta: 
 A lente corretiva deve formar uma imagem ereta, virtual de um objeto localizado 
no infinito, com a imagem localizada a 15 cm na frente da lente, como abaixo 
 
 
 
 
 Dessa forma, a distância do objeto será  e a distância da imagem será –15 cm 
 
 
 
 A lente necessária é uma lente divergente com uma potência de –6,7 dioptrias 
(comprimento focal de –0,15 m) 
Física IV: Ótica 
Exemplo 2: lentes corretivas (1) 
 Questão: Uma pessoa hipermétrope (visão para longe), cujo ponto próximo se 
localiza incorretamente a 75 cm, quer ler um jornal a uma distância de 25 cm. 
Qual é a potência que as lentes corretivas precisam ter para esta pessoa ler o 
jornal? 
 
 Resposta: 
 A lente corretiva deve produzir uma imagem virtual e ereta do jornal no ponto 
próximo da visão da pessoa, como abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 O objeto e a imagem estão no mesmo lado; assim, a distância à imagem deve 
ser negativa 
Física IV: Ótica 
Exemplo 2: lentes corretivas (2) 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, a distância do objeto é 25 cm e a distância da imagem é -75 cm 
 
 
 
 
 A lente necessária é uma lente convergente com uma potência de +2,7 dioptrias 
(distância focal de +0,38 m) 
Física IV: Ótica 
O microscópio 
 Microscópios existem em várias formas 
 O microscópio mais simples é um sistema de duas lentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A primeira lente é uma lente convergente de comprimento focal curto, fo, chamada de 
lente objetiva 
 A segunda é outra lente convergente de comprimento focal longo, fe, chamada de 
ocular 
 O objeto a ser ampliado é colocado logo após o comprimento focal da lente objetiva 
Lente objetiva Ocular 
Objeto 
Física IV: Ótica 
O microscópio (2) 
 A ampliação do microscópio é dada por 
 
 
 
 
 onde L é a distância entre as duas lentes e 0,25 resulta da pressuposição de que 
a imagem final é produzida a uma distância confortável de 0,25 m 
 
 Considere que microscópios reais apresentam lentes compostas complicadas 
projetadas para superar problemas como aberração esférica e aberração 
cromática, mas o princípio da ampliação fornecida por microscópios é dado por 
esta análise 
Física IV: Ótica 
Exemplo: microscópio 
 Considere um microscópio com uma lente objetiva e uma ocular separadas por 30 cm. 
O comprimento focal da lente objetiva é 20 mm e o da ocular, 20 mm. 
 
 Questão: Qual é a ampliação do microscópio? 
 
 Resposta: 
Física IV: Ótica 
O telescópio 
 Como os microscópios, os telescópios vêm em várias formas 
 Primeiro, discutiremos o telescópio refrator, e depois o telescópio refletor 
 O telescópio refrator consiste em duas lentes 
 A lente objetiva e a ocular 
 Em nosso exemplo, representamos o telescópio usando duas lentes delgadas 
 No entanto, um telescópio refrator real usará lentes mais sofisticadas 
Física IV: Ótica 
Geometria do telescópio 
 Como o objeto a ser visto está a uma grande distância, os raios de luz que 
chegam podem ser considerados paralelos (o objeto está no infinito) 
 
 A lente objetiva forma uma imagem real do objeto a uma distância fo 
 
 A ocular é colocada de forma que a imagem formada pela objetiva esteja a uma 
distância fe da ocular 
 
 A ocular forma uma imagem virtual e ampliada da imagem formada pela objetiva 
 
 A imagem está no infinito, produzindo novamente raios paralelos 
Física IV: Ótica 
Ampliação de um telescópio 
 A ampliação do telescópio é definida como o ângulo observado na ocular, e, 
dividido pelo ângulo subtendido pelo objeto que está sendo visto, o 
 
 
 
 
 Como o telescópio lida com objetos a distâncias muito grandes, não podemos 
calcular a ampliação do telescópio usando a lei das lentes 
 
 Por exemplo, poderíamos tentar expressar a ampliação da lente objetiva usando 
a equação das lentes 
 
 
 
 
 
 Ainda podemos obter a ampliação angular, mas precisamos usar ângulos em vez 
de distâncias 
Física IV: Ótica 
Cálculo da ampliação de um telescópio (1) 
 Vamos calcular a ampliação angular de um telescópio refrator 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O ângulo o é o ângulo subtendido por um objeto distante 
Física IV: Ótica 
Cálculo da ampliação de um telescópio (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O ângulo e é o ângulo aparente visto na ocular 
 
 
 
 
 A ampliação é 
Física IV: Ótica 
Exemplo: telescópio refrator 
 O maior telescópio refrator do mundo foi concluído 
em 1897 e está instalado em Williams Bay, 
Wisconsin. Ele tem uma lente objetiva de diâmetro 
1,0 m com um comprimento focal de 19 m. 
 
 Questão: Qual deve ser o comprimento focal da 
ocular para dar um aumento de 250? 
 
 Resposta: 
 
O telescópio refrator de 1,0 
m no Observatório de 
Yerkes 
Física IV: Ótica 
Problemas com telescópios refratores 
 A lente objetiva de um telescópio refrator é grande e pesada 
 O telescópio refrator do Observatório de Yerkes pesa 226 kg 
 
 O suporte de uma lente grande de vidro é difícil 
 Deve ser suportado pelas bordas 
 
 A construção de uma lente grande de vidro é difícil 
 
 Lentes de vidro são delgadas e absorvem a luz 
 
 Uma lente de vidro apresenta aberração cromática 
 Comprimentos focais diferentes para cores diferentes 
 
 Solução: Substituir a lente objetiva por um espelho 
Física IV: Ótica 
O telescópio refletor 
 Os maiores telescópios astronômicos são refletores com a lente objetiva trocada 
por um espelho côncavo 
 
 Espelhos grandes são mais fáceis de serem fabricados e mantidos na posição 
correta do que uma lente grande 
 
 A ocular ainda é uma lente 
 
 Vários tipos de telescópios refletores foram desenvolvidos 
 
 Discutiremos três exemplos da geometria de telescópios 
refletores 
 Refletor 
 Newtoniano 
 Cassegrain 
Física IV: Ótica 
Telescópio refletor básico 
 Refletor básico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Substitua a lente objetiva por um espelho parabólico 
 
 A geometria é impraticável porque o observador deve ser colocado na direção de 
chegada dos raios de luz 
Física IV: Ótica 
Telescópio refletor Newtoniano 
 Em 1670, Newton apresentou sua solução para um telescópio refletor para a 
Sociedade Royal 
 A ideia para um telescópio refletor partiu de James Gregory 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Newton solucionou o problema do observador ao colocar um espelho menor que 
projeta a luz para fora até uma ocular 
 Este espelho é pequeno comparado com o espelho da objetiva e causa apenas 
uma pequena perda de luz da imagem 
Física IV: Ótica 
Geometria Cassegrain para telescópios refletores 
 Uma melhoria na geometria de telescópios refletores é a geometria Cassegrain 
(nomeado a partir do escultor francês Sieur Guillaume Cassegrain), proposta 
pela primeira vez em 1672 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aqui, um espelho menor é usado para refletir a imagem através de um buraco no 
centro do espelho da objetiva 
 O projeto e várias melhorias para esta ideia básica são a base para os 
telescópios astronômicos modernos 
Física IV: Ótica 
Telescópio Soar 
 Soar - Southern Astrophysical Research 
 Localizado no Chile 
 Colaboração da Universidade da Carolina do Norte - MSU e do Observatório 
Astronômico Nacional – Brasil 
 Sala de controle na MSU 
 Telescópio com espelho primário com diâmetro de 4,1 m 
 Ópticos adaptativos, forma exata controlada por 120 atuadores 
 Geometria Cassegrain 
Física IV: ÓticaO telescópio espacial Hubble (1) 
 O telescópio espacial Hubble (HST) foi lançado em 25 de abril de 1990 na 
missão do ônibus espacial STS-31 
 
 O HST orbita a Terra 590 km acima da sua superfície, bem acima da atmosfera 
que distorce as imagens obtidas por telescópios baseados em terra 
 
 O HST é um telescópio refletor com projeto de Ritchey-Chrétien arranjado em 
uma geometria Cassegrain 
Física IV: Ótica 
O telescópio espacial Hubble 
 Este tipo de telescópio usa um espelho 
côncavo hiperbólico em vez de um espelho 
esférico e um espelho hiperbólico secundário 
 
 Este projeto forneceu ao HST um amplo 
campo de visão e eliminou a aberração 
esférica 
 
 O espelho da objetiva tem 2,40 m de diâmetro 
e um comprimento focal efetivo de 57,6 m 
Física IV: Ótica 
Correção do Hubble 
 O espelho da objetiva original do HST foi fabricado com um defeito, causado por 
um instrumento de teste defeituoso 
 Em dezembro de 1993, a Missão de reparo do ônibus espacial 1 (STS-61) 
implementou o procedimento COSTAR, que corrigiu a falha no espelho da 
objetiva e permitiu que o HST produzisse imagens espetaculares 
 As duas imagens da galáxia M100 mostradas à esquerda e à direita demonstram 
a qualidade da imagem do HST antes e depois da instalação de COSTAR 
 
Física IV: Ótica 
O telescópio espacial James Webb 
 A substituição planejada para o HST é o telescópio espacial James Webb 
(JWST) 
 Este projeto está programado para lançamento no ano de 2013. O espelho da 
objetiva do JWST será de 6,5 m de diâmetro e será composto por 36 segmentos 
com espelhos 
 O JWST usará luz infravermelha, o que 
permite que objetos distantes sejam vistos, 
uma vez que a luz infravermelha é menos 
afetada pelas nuvens de poeira galáticas 
Física IV: Ótica 
Princípio de Huygens e de Fermat 
 A propagação de luz é governada pela equação de onda. 
Física IV: Ótica 
Princípio de Huygens e de Fermat 
Antes da teoria de Maxwell das ondas eletromagnéticas, a propagação da luz e de outras 
ondas foi descrita empiricamente por dois princípios atribuídos ao físico Christian 
Huygens e pelo matemático Fermat. 
“Cada ponto sobre uma frente de onda primária serve como uma fonte de 
ondas esféricas secundárias que avançam com velocidade e frequência iguais 
às da onda primária. A frente de onda primária em algum tempo adiante é o 
envelope dessa ondas secundárias” 
Princípio de Huygens 
Física IV: Ótica 
Princípio de Huygens e de Fermat 
“A trajetória seguida pela luz viajando de um ponto a outro é tal que o tempo de 
viagem é o mínimo. Isto é, a luz percorre a trajetória mais rápida.” 
Princípio de Fermat 
Física IV: Ótica 
 O tempo para realizar o percurso é dado pelo somatório de tempo 
percorrido em cada meio: 
 
 
 
onde ti é o tempo para percorrer em cada meio. 
 Sabendo que ti = di /vi e que a velocidade do meio (vi) é o índice do meio 
(ni) dividido pela a velocidade da luz (c) chegamos à equação: 
 
 
 
Usando um conceito a nível superior podemos encontrar o tempo utilizando à 
integral: 
𝑡 = 
𝑛
𝑐
𝑑𝑠 = 
𝑑𝑠
𝑣
𝐵
𝐴
𝐵
𝐴
 
onde: 
ds - é um elemento infinitésimo de comprimento. 
A - é o inicio da trajetória da luz 
B - é o fim da trajetória da luz 
𝑡 = 𝑡𝑖
𝑁
𝑖=1
 
𝑡 =
1
𝑐
 𝑛𝑖𝑑𝑖
𝑁
𝑖=1
 
 O fato de a trajetória ter uma menor distância não quer dizer 
que ela é necessariamente a trajetória de menor tempo. 
 
Física IV: Ótica 
Lei da reflexão 
 Usando o principio de Fermat podemos confirmar a lei da reflexão: “O ângulo de 
incidência é igual ao ângulo de reflexão” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Raio de luz refletindo em um espelho 
 
 O caminho ótico de A para B é dado pela distancia AP mais a distancia PB. 
Podemos calcular essa distancia (P) utilizando o teorema de Pitágoras: 
 
 
 
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/03/reflexao.jpg
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/03/reflexao.jpg
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/03/reflexao.jpg
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http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/03/equação-distancia.jpg
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Física IV: Ótica 
 
 
 O principio de Fermat diz que a distância deve ser mínima, para descobrir a 
menor distância, o menor valor de x, derivamos a equação e igualamos a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sabendo que Sen Ѳ = cateto oposto/hipotenusa, concluímos que 
 Sen Ѳ1 = Sen Ѳ1’ 
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/03/equação-distancia.jpg
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/03/equação-distancia-2.jpg
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Física IV: Ótica 
Lei da refração 
 Usando o principio de Fermat podemos confirmar a seguinte lei da refração: 
“Quando a luz passa de um meio, cujo índice de refração n1, para outro meio cujo índice de 
refração é n2,tem sempre n1 sen Ѳ1 = n2 sen Ѳ2” 
Dedução da lei 
 Na figura a seguir, foram ilustradas 3 trajetórias diferentes para a luz percorrer do 
ponto A ao ponto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Possíveis trajetórias para um raio luminoso refratado 
 
 Como a luz irá percorrer dois meios distintos, por exemplo, ar e vidro, ela tende a 
percorrer a maior distância no meio onde sua velocidade é maior, desta forma ela 
“economiza” tempo chegando mais rápido ao ponto B. 
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/03/refração1.jpg
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/03/leidefermat.gif
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/03/leidefermat.gif
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Física IV: Ótica 
 Considerando que v = c/n e o teorema de Pitágoras temos: 
 
 
 
 Derivando e igualando a zero para achar o valor mínimo de x encontramos: 
 O tempo para percorrer o trajeto AB é igual à soma de AP com PB, 
sabendo que o tempo é dado pela distância dividida pela velocidade. 
Encontramos que o tempo total é: 
 
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/03/equação-refração-3.jpg
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/03/equação-refração-2.jpg
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/03/equação-refração-2.jpg
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/03/equação-refração-3.jpg
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