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Objetivos
Módulo 1
Funções de primeiro grau
Reconhecer as propriedades das funções de primeiro grau.
Acessar módulo
Módulo 2
Funções de segundo grau
Reconhecer as propriedades das funções de segundo grau.
Acessar módulo
Módulo 3
Funções exponenciais
Funções básicas
Profª. Aneuri Souza de AmorimDescrição
Conceitos iniciais da matemática para a solução de equações de primeiro grau e de segundo grau, bem como de funções
exponenciais e logarítmicas, além de suas representações e interpretações gráficas.
Propósito
A análise e a compreensão de fenômenos e situações do cotidiano na área da saúde demandam a construção e a
interpretação de gráficos por meio da solução de equações de primeiro e segundo grau e das funções exponenciais e
logarítmicas, o que torna esses conhecimentos matemáticos essenciais à sua atuação profissional.
Preparação
Antes de iniciar este conteúdo, certifique-se de que tem acesso a uma calculadora científica, e tenha em mãos papel,
caneta e régua para a resolução dos exercícios algébricos e confecção de gráficos no plano cartesiano.
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Funções exponenciais
Reconhecer as propriedades das funções exponenciais.
Acessar módulo
Módulo 4
Funções logarítmicas
Reconhecer as propriedades das funções logarítmicas.
Acessar módulo
1
Funções de primeiro grau
Ao final deste módulo, você reconhecerá as propriedades das funções de primeiro grau.
Na área de saúde, é comum o uso de variadas funções matemáticas para descrever diversos comportamentos, como o crescimento linear da
resposta de um grupo de pacientes a dado medicamento, por exemplo.
A compreensão dessas funções matemáticas, suas soluções próprias e as particularidades nas construções de representações gráficas
permitem aos profissionais de saúde representar diferentes fenômenos e interpretar o comportamento de funções pelo uso de gráficos.
Introdução
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Características da função de primeiro grau
A função de primeiro grau é caracterizada por possuir uma relação entre duas variáveis Y e X, que podem ser representadas no plano cartesiano,
sendo Y representado no eixo vertical e X no eixo horizontal. Com esse tipo de equação, estuda-se a variação de Y quando X varia de forma linear, ou
seja, quando X tem expoente 1. Essa função tem como principal finalidade escrever uma fórmula matemática na qual consigamos atribuir valores à
variável X e obtermos o valor de Y. Sua equação é:
Onde:
São as variáveis.
Para que essa função exista, .
Equações algébricas em situações contextualizadas com funções de primeiro grau
Existem diferentes aplicações da função de primeiro grau em variadas áreas, inclusive no nosso dia a dia. Devemos ser capazes de observar se há a
possibilidade de escrever uma fórmula matemática que permita encontrar um valor desejado atribuindo valores para uma dada variável e realizando
operações matemáticas descritas nesse tipo de função.
Y = aX + b
X e Y a e b
a ≠ 0
Exemplo
A título de exemplo, podemos pensar em uma situação do cotidiano: uma pessoa vai almoçar em um restaurante que serve comida por
quilo. O valor do quilograma da comida é R$30, porém, para pagamentos no cartão de crédito, o restaurante cobra uma taxa fixa de R$5.

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Analisando essa situação, uma pessoa pode saber quanto gastará assim que souber o peso total dos alimentos que selecionou, basta transformar
essa descrição em uma equação matemática. Se pensarmos em calcular o valor final a pagar, essa é a variável que queremos calcular, Y; como a
quantidade de comida em quilograma varia de pessoa para pessoa, essa é a variável X, para a qual serão atribuídos valores diferentes a fim de
calcular o resultado final. Sendo assim, a equação estruturada ficará da seguinte forma:
Onde:
Representa o que queremos saber, o valor final a pagar.
Dessa forma, podemos prever o gasto para pagamento no cartão de crédito da quantidade de comida selecionada.
Suponha que uma pessoa colocou no prato 0,3kg e outra 0,5kg, quanto cada uma irá pagar?

Pessoa 1

Pessoa 2
Assim, conseguimos prever os valores a serem pagos para qualquer peso de comida.
É importante observar que a lei de formação da função de primeiro grau possui sempre um valor constante (coeficiente b) somado ao produto de
uma quantidade fixa e um valor variável na forma linear (coeficiente a), ou seja, com expoente 1.
Vamos analisar outra situação para compreender melhor essa lei de formação.
Suponhamos a importação de vacinas feitas pelo Brasil para o tratamento de uma doença que está atingindo uma grande parcela da população.
Y = 30X + 5
Y 30 X 5
Y = 30 ⋅ 0, 3 + 5
Y = 9 + 5 = 14
Y = 30 ⋅ 0, 5 + 5
Y = 15 + 5 = 20
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Essas vacinas serão transportadas de forma rápida diretamente da China para o Brasil, em voo direto, a um custo total de US$2 milhões. A
negociação foi feita diretamente com o laboratório produtor e conseguiu-se o preço de US$10 por dose de vacina. Vamos estruturar e escrever essa
lei de formação usando a função de primeiro grau.
Onde:
Representa o custo total que queremos calcular.
Dessa forma, pode-se planejar o gasto final da compra de qualquer quantidade de vacina. Por exemplo, quanto se gastará caso sejam compradas 50
milhões de doses dessa vacina? Basta resolvermos e calcularmos a equação da seguinte forma:
Imagine uma pesquisa que avalia o crescimento de uma bactéria no corpo humano. Observou-se que, no primeiro dia de contato com o ser humano,
já surgem 1.000 bactérias na pessoa contaminada e que, a cada dia que passa sem tratamento médico, há um crescimento de 20 bactérias por dia.
Vamos estruturar a lei de formação da situação descrita na forma de uma equação matemática, partindo dos seguintes dados: uma parte inicial
constante de 1.000 bactérias no primeiro dia de contato com ser humano e uma parte variável de 20 bactérias por dia nos demais dias. Obtemos a
seguinte equação:
Suponha agora que um médico queira saber quantas bactérias tem seu paciente que teve contato com o microrganismo 15 dias antes da consulta,
para assim poder prever a quantidade de medicação que vai prescrever. Será possível calcular essa quantidade de bactérias nesse período de
tempo da seguinte forma:
Y=1.300 bactérias
Y = 10X + 2.000.000
Y X 10 2.000.000
Y = 10(50.000.000) + 2.000.000
Y = 500.000.000 + 2.000.000
Y = 502.000.000
Y = 20X + 1.000
Y = 20(15) + 1.000
Y = 300 + 1.000
Resumindo
A função de primeiro grau tem uma parte constante e uma parte variável, descrita por sua variável com expoente 1, de forma linear.

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Equação de primeiro grau
Neste vídeo, o especialista Sandro Davison demonstrará como resolver uma equação de primeiro grau.
Construção do grá�co relacionado à função
Também chamada de função afim, a função de primeiro grau pode ser descrita conforme visto anteriormente:
Nesse caso:
• X e Y são as variáveis.
• a e b são os coeficientes.
Para que essa função exista, .
Essa função descreve uma reta em um plano cartesiano bidimensional, com seus termos identificados da seguinte forma:
São os valores do par ordenado no eixo Y.

Y = aX + b
a ≠ 0
Y X a b
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Para a construção de um gráfico de uma reta em um plano cartesiano, resolvemos a equação anterior atribuindo valores a X e obtendo valores
correspondentes para Y.Contudo, antes de iniciarmos a construção da reta, apresentaremos o plano cartesiano e os pares ordenados, que serão
necessários para a representação da reta.
Gráfico: Representação dos eixos cartesianos X e Y e sua divisão em quadrantes. 
Elaborado por Aneuri de Amorim.
O eixo X, também chamado de abscissa, é o eixo horizontal do plano cartesiano; já o eixo Y, conhecido como ordenada, é o eixo vertical desse plano.
Os dois eixos se cruzam em um único ponto que chamamos de origem dos eixos.
Qualquer ponto a ser representado no plano cartesiano deve possuir um par ordenado da forma (X, Y), sempre nessa ordem: o primeiro corresponde
ao valor do eixo X, o segundo, ao valor do eixo Y. Então, um ponto qualquer P pode ser identificado e representado no plano cartesiano, como
podemos ver a seguir:
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Gráfico: Plano cartesiano em escala com o ponto P (2, 5) representado. 
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Nessa imagem, vemos o ponto P (2, 5) representado no plano cartesiano: seu valor no eixo X é 2 e seu valor no eixo Y é 5. Assim, devemos marcar o
ponto de interseção entre esses dois valores, que corresponde ao ponto P (2, 5).
Para representar a função de primeiro grau no plano, que é uma reta, vamos escolher valores para X (eixo horizontal do plano) e calcular o valor
correspondente de Y (eixo vertical do plano), obtendo assim alguns pares ordenados. Então, ligaremos os pontos e traçaremos a reta formada pelos
resultados da equação da função de primeiro grau.
A título de exemplo, vamos traçar o gráfico da reta dada por esta função de primeiro grau:
Existe ainda uma particularidade: entre dois pontos no plano cartesiano, só é possível traçarmos uma única reta. Logo, precisamos apenas de dois
pares ordenados para traçarmos a reta. Escolheremos, então, dois valores da variável X para encontrar o valor correspondente da variável Y e assim
obter dois pares ordenados.
Inicialmente, consideraremos X=1, portanto, devemos substituir esse valor na equação da reta anterior.
Y = X + 4
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Então, quando X for 1, Y vale 5, e assim temos o primeiro par ordenado: (1,5).
Consideraremos agora X=-1.
Então, quando X for –1, Y vale 3, e assim temos o segundo par ordenado: (-1,3)
Podemos resumir os cálculos no seguinte quadro:
X Y
1 1
-1 3
Elaborado por Aneuri de Amorim.
Finalmente, vamos marcar esses pontos no plano cartesiano e traçar a reta que os une.
Y = (1) + 4
Y = 1 + 4
Y = 5
Y = (−1) + 4
Y = −1 + 4
Y = 3
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Gráfico: Plano cartesiano em escala com os pontos (1, 5) e (–1, 3) e a reta Y=X+4 representados na imagem. 
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Grá�co da função de primeiro grau
Agora, o especialista Sandro Davison demonstrará como construir um gráfico da função de primeiro grau.

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Inferências sobre um grá�co e seus coe�cientes
Neste estudo, você aprendeu que a função de primeiro grau é descrita pela equação geral:
Vimos também como se constrói um gráfico atribuindo valores para X e calculando valores para Y e, além disso, sabemos que o gráfico dessa
função no plano cartesiano sempre será uma reta. Contudo, podemos construir esse gráfico e analisar algumas características e particularidades a
partir da análise dos coeficientes a e b da equação.
Coe�ciente angular
O coeficiente a é chamado de coeficiente angular da reta, pois representa a sua inclinação. Temos duas possibilidades:
Gráfico: Reta , representando o coeficiente angular crescente a > 0. 
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Coe�ciente angular positivo: a>0
Significa que a inclinação da reta será positiva, isto é, será uma reta crescente e o ângulo com o eixo X será menor do
que 90°.
A reta apresentada a seguir foi construída usando a seguinte equação:
Onde a=2 (a>0).
 1 de 2 
Coe�ciente linear
Já o coeficiente b é chamado de coeficiente linear da reta. Ele representa o ponto em que a reta irá tocar o eixo Y e sempre será o par ordenado (0,
b), obtido ao assumir o valor X=0 na equação geral da reta:
Y = aX + b
Y = 2X − 3
Y = 2X − 3
Y = aX + b
Y (0) + b
 
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Nos dois gráficos anteriores, podemos ver que os pontos onde as retas tocam o eixo Y podem ser obtidos por suas equações.
No primeiro grá�co
A equação da reta é dada por: 
b=-3
Podemos ver que a reta toca o eixo Y no ponto (0,-3).
No segundo grá�co
A equação da reta é dada por: 
Temos: b=2
Logo, a reta toca o eixo Y no ponto (0,2).
Há ainda outra propriedade que devemos conhecer: a raiz da reta.
A raiz da reta, é o ponto onde a reta toca o eixo X, no qual Y=0.
Observando a equação da reta como exemplo: , para obter sua raiz, sempre fazemos com que Y=0 e assim teremos:
 
 
 
A raiz dessa equação da reta será X=1, logo, a reta irá tocar o eixo X no ponto (1, 0), conforme demonstrado no gráfico.
Y = a(0) + b
Y = 0
Y = 2X − 3
Y = −2X + 2
Y = −2X + 2
Y = 0
Y = −2X + 2
4X = 4
X = 22 = 1
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Grafico: Raiz da reta Y=-4X+4. 
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Aplicações da função de primeiro grau
O especialista Sandro Davison mostrará, neste vídeo, como resolver problemas reais usando a função de primeiro grau.

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Demonstração
Como já vimos, para traçarmos uma reta no plano cartesiano são necessários apenas dois pontos, dois pares ordenados (X, Y). Sendo assim,
podemos escolher um ponto em que a reta toca o eixo Y, dado pelo coeficiente linear da reta e, um ponto em que a reta toca o eixo X, dado pela raiz
da reta.
Utilizaremos, para demonstração, a reta dada pela equação:
Comparando com a equação geral da reta: 
Podemos ver que: a=-1 e b=2
Se a < 0, o coeficiente angular é negativo, logo, a reta é decrescente. Considerando que b=2, a reta tocará o eixo Y em (0,b)=( 0,2).
Para vermos isso, basta assumir X=0 na equação.
Y=-(0)+2 
Y=2
Então, já temos um ponto (0, 2) para traçar a reta. Falta o segundo ponto, que é a raiz, obtida ao considerar Y=0 na equação e calcular o valor de X.
Resolvendo: X=2
Logo, temos o segundo ponto da reta: (2, 0).
Traçando a reta, teremos a seguinte imagem:
Y = −X + 2
Y = aX + b
0 = −X + 2
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Gráfico da reta Y=-X+2. Estão representados no gráfico o ponto em que a reta toca o eixo Y (coeficiente linear da reta) e o ponto em que toca o eixo X (raiz da reta). 
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Mão na massa
_black
Questão 1
Marque a afirmativa correta relacionada à reta da equação Y=-X+1.
A Representa uma reta crescente pois o coeficiente angular é a=-1.
B Representa uma reta decrescente pois o coeficiente angular é a=-1.
C Representa uma reta crescente pois o coeficiente angular é a=1.
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D Representa uma reta decrescente pois o coeficiente angular é a=1.
E Representa uma reta constante pois o coeficiente angular é a=1.
Responder
Questão 2
Marque a afirmativa correta com relação à equação da reta .Y = 3X + 2
A Essa reta possui coeficientelinear b=3.
B Essa reta possui coeficiente linear b=-3.
C Essa reta não possui coeficiente linear.
D Essa reta possui coeficiente linear b=2.
E Essa reta possui coeficiente linear b=-2.
Responder
Questão 3
Sobre a equação , é correto afirmar queY = −X + 2
A representa uma reta crescente e toca o eixo Y no ponto (0,-2).
B representa uma reta decrescente e toca o eixo Y no ponto (2,0).
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C representa uma reta crescente e toca o eixo Y no ponto (2,0).
D não representa uma reta.
E representa uma reta decrescente e toca o eixo Y no ponto (0,2).
Responder
Questão 4
Sobre a equação , podemos afirmar que é uma retaY = 2X + 3
A decrescente, pois a=3 (a>0), que toca o eixo Y no ponto (0, 2).
B crescente, pois a=2 (a>0), que toca o eixo Y no ponto (0, 3).
C crescente, pois a=2 (a>0), que toca o eixo Y no ponto (3, 0).
D decrescente, pois a=2 (a>0), que toca o eixo Y no ponto (3, 0).
E crescente, pois a=2 (a>0), que toca o eixo Y no ponto (0, 0).
Responder
Questão 5
Observando o gráfico a seguir, marque a opção com a resposta correta.
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Gráfico Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
A Reta com coeficiente linear 3 e raiz 5.
B Reta com coeficiente linear 5 e raiz 3.
C Reta com coeficiente angular 3 e raiz 5.
D Reta com coeficiente angular 5 e raiz 3.
E Reta com coeficiente linear 3 e coeficiente angular 5.
Responder
Questão 6
Indique o valor da raiz da reta .Y = −2X + 4
A X = 0, 5
B X = −2
C X = 2
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Teoria na prática
As funções de primeiro grau têm grande aplicação no nosso dia a dia e em diferentes áreas do conhecimento. Sempre que observamos um
crescimento ou um decrescimento de forma linear entre duas variáveis, teremos aí representada uma função de primeiro grau.
Suponha a análise da ação de dado medicamento em um grupo grande de pessoas da população. Foi observado que o número de pessoas curadas
(Y) crescia de forma linear de acordo com a quantidade de medicação dada (X), seguindo a seguinte equação:
Podemos afirmar que se nenhum medicamento ( ) for dado à população analisada, teremos uma quantidade pequena de pessoas curadas (
). Contudo, é possível ver que quanto mais medicação dada, maior será a quantidade de pessoas curadas.
Pode-se analisar os dados usando os conceitos da equação da reta:
• O coeficiente angular da reta: , logo, a reta é crescente, pois .
• O coeficiente linear da reta: , assim, a reta toca o eixo Y em (0, 100).
• Se nenhum medicamento for dado, 100 pessoas se curam.
Vamos supor que são dados 100 medicamentos ( ):
Quando 100 medicamentos são dados ( ), 600 pessoas são curadas ( ).
O gráfico nos mostra um crescimento linear grande.
D X = −0, 5
E X = 4
Responder
_black
Y = 5X + 100
X = 0
Y = 100
a = 5 a > 0
b = 100
X = 100
Y = 5(100) + 100
Y = 500 + 100
Y = 600
X = 100 Y = 600
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Gráfico: O crescimento linear da equação da reta . 
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Y = 5X + 100

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
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Questão 1
Dada a função de primeiro grau:
Assinale a opção que apresenta o valor da raiz dessa função.
Y = 4X − 2
A X = 0, 5
B X = 2
C X = −0, 5
D X = −2
E X = 4
Responder
Questão 2
Qual o ponto onde a reta dada pela equação a seguir toca o eixo Y?
Y = 2X − 2
A (0,0)
B (-2,0)
C (2,0)
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2
Funções de segundo grau
Ao final deste módulo, você reconhecerá as propriedades das funções de segundo grau.
Características da função de segundo grau
A função de segundo grau apresenta uma relação entre duas variáveis, Y e X, que podem ser representadas no plano cartesiano, sendo Y
representado no eixo vertical e X no eixo horizontal. Estuda-se, com esse tipo de equação, como fica a variação da variável Y quando a variável X
varia de forma quadrática, ou seja, quando X tem expoente 2. Essa função tem como principal finalidade escrever uma fórmula matemática na qual
consigamos atribuir valores à variável X e obtermos o valor de Y. Sua equação é:
D (0,-2)
E (0,2)
Responder

Y = aX2 + bX + c
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Onde:
São as variáveis.
Para que essa função exista, .
Equações algébricas em situações contextualizadas com funções de segundo grau
Existem diversas aplicações da função de segundo grau em em diferentes áreas, inclusive no nosso dia a dia. O importante é saber observar, em
cada situação, se há a possibilidade de escrever uma fórmula matemática que permita encontrar um valor desejado, atribuindo valores para uma
dada variável e realizando operações matemáticas descritas nesse tipo de função.
As aplicações mais conhecidas da função de segundo grau estão na área da física, com a função horária de movimento retilíneo uniformemente
variado, mas existem outras aplicações nas áreas de negócios e ciências, desde de que se consiga descrever da seguinte forma:
Considere um exemplo hipotético: um médico pesquisa a absorção em miligramas (Y) de dado medicamento em função do tempo (X). A equação
que descreve essa análise é dada por:
Vamos analisar o que ocorre na quantidade de medicação absorvida (Y) com o passar do tempo.
X e Y a, b e c
a ≠ 0
Y = aX2 + bX + c
Comentário
A solução dessa equação, quando representada em um gráfico no plano cartesiano, apresenta-se como uma parábola. Assim, é muito
usada para analisar crescimentos e decrescimentos de uma variável (X) em função de outra variável (Y).

Y = X2 + 2X + 1
0,5 hora após a ingestão 
1 hora após a ingestão 
2 horas após a ingestão 
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Podemos observar que essa função não tem o mesmo comportamento da função de primeiro grau, pois ela
apresenta um valor inicial que diminuiu e depois cresceu novamente.
Ainda no exemplo da análise de absorção de um medicamento, considere que a equação que descreve esse processo é:
Essa também é uma função de segundo grau, mas com um sinal negativo no termo .
Vamos analisar o comportamento apresentado acerca da quantidade de medicação absorvida (Y) com o passar do tempo.
Podemos observar que há um rápido crescimento da absorção da medicação até 1 hora após a ingestão; após 2 horas, a quantidade absorvida
começa a diminuir.
O comportamento apresentado é diverso nas duas situações hipotéticas, e isso ocorre principalmente em razão do sinal negativo na frente do termo
X², que diferencia as duas funções de segundo grau. Veremos esse aspecto em mais detalhes na sequência.
Equações de segundo grau
A seguir, o especialista Sandro Davison resolverá equações de segundo grau.
Y = −X2 + 2X + 1
x2
0,5 hora após a ingestão 
1 hora após a ingestão 
2 horas após a ingestão 

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Lógica da construção do grá�co relacionado à função de segundo grau
Também chamada de função quadrática, a função de segundo grau pode ser descrita como visto anteriormente:
Onde:
São as variáveis.
Para que essa função exista, .
Essa função é representada graficamente por uma parábola em um plano cartesiano bidimensional. Para a construção do gráfico, precisamos
saber:
PrimeiroPonto em que a parábola tocará o eixo Y.
Segundo
Ponto ou pontos em que a parábola tocará o eixo X.
Terceiro
Vértice da parábola, isto é, o ponto em que ela muda de direção.
A parábola tocará o eixo Y no ponto em que X=0. Substituindo na equação, teremos:
Portanto, o ponto em que a parábola toca o eixo Y é sempre o par ordenado (0, c).
Y = aX2 + bX + c
X e Y a, b e c
a ≠ 0
Y = a(0)2 + b(0) + c
Y = c
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A parábola pode tocar o eixo X mais de uma vez, diferentemente da reta da função de primeiro grau. Quando há esse encontro entre parábola e eixo
X, chamamos o(s) ponto(s) de raízes da parábola. Para obter a raiz, consideramos Y=0 e:
Por fim, para a construção do gráfico da parábola, precisaremos do vértice, que é dado por um ponto com coordenadas (X, Y) que são:
Vamos representar graficamente a função de segundo grau dada pela equação:
Observando a equação geral da função de segundo grau: podemos identificar os coeficientes a, b e c.
Coeficientes
a 2
b -1
Substituímos na equação geral da parábola: 0 = aX2 + bX + c
Ou melhor escrevendo: aX2 + bX + c = 0
Essa equação é solucionada pela fórmula de Bhaskara, dada por: X1,2 =
−b±√Δ
2a
Sendo: Δ = b2 − 4ac
 significa que é possível que a parábola tenha duas raízes, devido ao sinal fórmula de Bhaskara.X1,2 ±da
X do vértice 
Y do vértice 
Vértice 
Y = 2X2 − X − 1
Y = aX2 + bX + c
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Coeficientes
b 1
c -1
Elaborado por Thaiane Andrade.
Em seguida, acompanhando o passo a passo é possível:
Encontrar o ponto onde a parábola toca eixo Y.
Como vimos, esse ponto (X=0) é dado pelo par ordenado (0,c), logo, a parábola toca o eixo Y em (0,-1).
Os pontos encontrados que permitirão desenhar a parábola no plano cartesiano são:
• Ponto em que a parábola tocará o eixo Y: (0,-1).
• Pontos em que a parábola tocará eixo X (raízes da parábola): (1,0) e (-0,5,0).
• Vértice da parábola: (0,25 ,-1,125).
Primeiro passo Segundo passo Terceiro passo
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Gráfico: Parábola dada pela equação . 
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Grá�co da função do 2º grau
De forma explicativa, o especialista Sandro Davison resolverá passo a passo a construção do gráfico.
Y = 2X2 − X − 1

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Interpretação do grá�co da função de segundo grau — parábola
Como já mencionado, a função de segundo grau, também conhecida como função quadrática, é descrita pela equação geral:
Você já entendeu como é construído o gráfico da parábola, característico das funções de segundo grau, então, vamos analisá-lo a partir de alguns
pontos notáveis da parábola.
As parábolas possuem algumas características particulares que podem ser observadas mesmo antes de sua representação gráfica final, como as
concavidades e a quantidade de vezes que a parábola pode tocar o eixo X.
A concavidade da parábola pode ser voltada para cima ou para baixo. Quando a equação de segundo grau tem o coeficiente a positivo, ,
teremos uma parábola com concavidade voltada para cima (U). Quando o coeficiente é negativo, , teremos uma parábola com
concavidade voltada para baixo ( ).
Y = aX2 + bX + c
a > 0
 a ––
a < 0
∩
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Gráfico: Parábola de equação com e concavidade para cima. 
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
a > 0
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Gráfico: Parábola de equação com e concavidade para baixo. 
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Outro ponto notável importante a ser analisado na equação da parábola é o número de encontros com o eixo X que ela fará. Deve-se observar, antes
de representar graficamente, quantas vezes a parábola tocará o eixo X, ou seja, quantas raízes ela possui. As possibilidades são:
Análise do grá�co da função de segundo grau
Neste vídeo, o especialista Sandro Davison ensinará a analisar o gráfico da função de segundo grau.
a < 0
Parábola com duas raízes 
Parábola com uma raiz 
Parábola sem raiz 

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Demonstração
Para exemplificar, veremos a construção do gráfico de uma parábola que não toca o eixo X, isto é, que não tem nenhuma raiz. Entretanto, a parábola
existe e pode ser representada graficamente.
Considere a seguinte função de segundo grau:
Coeficientes
a 1
b -2
c 1
Elaborado por Thaiane Andrade.
Em seguida, acompanhando o passo a passo é possível:
Encontrar o ponto em que a parábola toca o eixo Y.
Essa etapa é simples, pois sabemos que esse ponto é definido por (0,c), logo, é (0,2).
Mão na massa
Y = X2 − 2X + 2
Primeiro passo Segundo passo Terceiro passo Quarto passo
_black
Questão 1
Marque a afirmativa correta relacionada à concavidade da parábola .Y = 2X2 − 2X + 1
A Representa uma parábola com concavidade para cima, pois .a = −2
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B Representa uma parábola com concavidade para cima, pois .a = 2
C Representa uma parábola com concavidade para cima, pois .a = 1
D Representa uma parábola com concavidade para cima, pois .a = −1
E Representa uma parábola sem concavidade, pois .a = 2
Responder
Questão 2
Marque a afirmativa correta relacionada à concavidade da parábola .Y = −2X2 + 2X − 1
A Essa parábola tem concavidade para baixo, pois .a = −2
B Essa parábola tem concavidade para cima, pois .a = 2
C Essa parábola tem concavidade para cima, pois .a = 1
D Essa parábola tem concavidade para baixo, pois .a = −1
E Essa parábola não tem concavidade, pois .a = 2
Responder
Questão 3
Analisando a equação da parábola a seguir, diga em que ponto a figura irá tocar o eixo Y: Y = 2X2 + X − 1
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A A parábola toca o eixo Y no ponto (-1,0).
B A parábola toca o eixo Y no ponto (0,2).
C A parábola toca o eixo Y no ponto (0,1).
D A parábola não toca o eixo Y.
E A parábola toca o eixo Y no ponto (0,-1).
Responder
Questão 4
Quando solucionamos a equação de uma parábola e encontramos um valor de , o que isso representa?Y = aX2 + bX + c Δ < 0
A Representa uma parábola que não tem raiz, logo, não existe a parábola.
B Representa uma parábola que não tem raiz, logo, toca o eixo X duas vezes.
C Representa uma parábola que tem duas raízes, logo, toca o eixo X duas vezes.
D Representa uma parábola que não tem raiz, logo, toca o eixo X uma vez.
E Representa uma parábola que não tem raiz, logo, não toca o eixo X.
Responder
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Questão 5
Dada a equação de segundo grau , qual o valor de e o que ele representa?Y = X2 − 4X + 3 Δ
A , o que representa que a parábola toca o eixo X em dois pontos.Δ = 4
B , o que representa que a parábola toca o eixo X em dois pontos.Δ = −4
C , o que representa que a parábola não toca o eixo X.Δ = −4
D , o que representa que a parábola toca o eixo X em um ponto.Δ = 0
E , o que representa que a parábola toca o eixo X em um ponto.Δ = 0
Responder
Questão 6
Quando solucionamos a equação de uma parábola , encontramos um valor de , o que isso significa?Y = aX2 + bX + c Δ = 0
A Significa que a parábola não tem raiz, logo, não existe a parábola.
B Significa quea parábola não tem raiz, logo, toca o eixo X duas vezes.
C Significa que a parábola tem duas raízes, logo, toca o eixo X duas vezes.
D Significa que a parábola tem uma raiz, logo, toca o eixo X uma vez.
E Significa que a parábola não tem raiz, logo, não toca o eixo X.
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Teoria na prática
Voltando à análise inicial desse módulo, apresentamos uma situação hipotética, na qual era pesquisada a quantidade de incorporação de um
medicamento ao longo do tempo, dada pela equação:
Com os conhecimentos acumulados até aqui, podemos traçar o gráfico e analisá-lo.
Os coeficientes são:
Coeficientes
1
-2
1
Elaborado por Thaiane Andrade.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como , só temos uma raiz . Portanto, a parábola toca o eixo X no ponto .
Sabemos que a parábola sempre toca o eixo Y no ponto (0, c), logo, temos o ponto (0, 1).
O vértice da parábola será calculado com base na fórmula já apresentada:
Podemos verificar que o vértice coincide com a raiz.
Responder
_black
Y = X2 − 2X + 1
a
b
c
X1,2 =
−b ± √Δ
2a
Δ = b2 − 4ac
Δ = (−2)2 − 4(1)(1) = 4 − 4 = 0
X1,2 =
−(−2) ± √0
2 ⋅ 1
=
2 ± 0
2
=
2
2
= 1
Δ = 0 X1 = X2 = 1 (1, 0)
V = ( −b
2a
, −
Δ
4a
)
(
−(−2)
2.1
, −
0
4.1
) = ( 2
2
, 0) = (1, 0)
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Com esses pontos, o gráfico já pode ser formado:
Gráfico: Parábola , com concavidade para cima e tocando o eixo X em um único ponto. 
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Y = X2 − 2X + 1
Saiba mais
Analisando esse gráfico, o eixo Y representa a absorção em mg do medicamento, já o eixo X, o tempo em horas de absorção. É possível
observar que há uma grande absorção assim que a medicação é administrada, visível pelo ponto em que a parábola toca o eixo Y. Vemos
também que a absorção é nula após 1 hora da administração do medicamento, indicada pelo ponto onde a parábola toca o eixo X. A
sequência da parábola demonstra que a absorção vai aumentando com o passar do tempo.

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
Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Questão 1
Considere a seguinte função de segundo grau:
Marque a opção que apresenta o ponto em que a parábola toca o eixo Y.
Y = 3X2 − 2X + 1
A (0,1).
B (1,0).
C (0,3).
D (0,-2).
E (-2,0).
Responder
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3
Funções exponenciais
Ao final deste módulo, você reconhecerá as propriedades das funções exponenciais.
Questão 2
Marque a opção correta com relação à parábola da seguinte equação:
Y = −2X2 + 3X − 1
A É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .a = −1
B É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .a = 3
C É uma parábola com a concavidade para cima, pois .a = −1
D É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .a = −2
E É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .a = −3
Responder

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Características da função exponencial
A função exponencial representa uma relação entre duas variáveis Y e X, que podem ser representadas no plano cartesiano, sendo Y representado
no eixo vertical e X no eixo horizontal. Esse tipo de equação é utilizado para estudar a variação de Y quando X varia de forma exponencial, ou seja,
quando X é o expoente. A principal finalidade dessa equação é escrever uma fórmula matemática na qual consigamos atribuir valores à variável X e
obtermos o valor de Y. Sua equação é:
Onde:
É chamado de base.
Para que essa função exista, e .
A função exponencial tem uma característica diferente das funções de primeiro e de segundo grau: a variável X está no expoente de uma base.
Sendo assim, para que a função exista no conjunto dos números reais, a base a deve seguir duas condições: e . Vamos analisá-las:
Y = aX
a x
a > 0 a ≠ 1
Exemplo
Veja alguns exemplos:

Y = 3x
Y = (0, 4)X
Y = (√5)X
a > 0 a ≠ 1
a = 0 
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Grá�cos de funções exponenciais
Os gráficos das funções exponenciais nunca tocam o eixo X, pois esse tipo de função não possui raiz. Desse modo, a construção do gráfico se
baseia em atribuir valores para a variável X e calcular o valor correspondente da variável Y.
As funções exponenciais são categorizadas segundo o valor de sua base, lembrando que há duas condições para tais valores — ser positiva e
diferente de 1.
Função exponencial crescente
Sempre que o valor de , a função exponencial é definida como crescente. Para exemplificar, representaremos graficamente a seguinte função:
Vamos escolher valores de X e calcular o valor de Y:
Ao calcularmos com os números inteiros subsequentes, obtemos os valores a seguir:
X Y
-3 0,125
-2 0,25
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
3 8
Elaborado por Thaiane Andrade.
Podemos perceber que a função exponencial sempre toca o eixo Y no ponto (0, 1) quando temos X=0, Y=1, pois qualquer número elevado a zero é
igual a 1.
a = 1 
a < 0 
a > 1
Y = 2X
X = −3
Y = 2−3 = 0, 125
X = −2
Y = 2−2 = 0, 25
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Gráfico: Função exponencial crescente . 
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Ainda, é possível observar por que essa é uma função crescente: conforme o valor de X aumenta, o valor de Y também cresce. O crescimento inicial
é pequeno, mas depois vai aumentando consideravelmente. Essa é uma característica das funções exponenciais com base .
Função exponencial decrescente
Sempre que o valor de 0 < a>1, a função é classificada como decrescente. Quando a base é maior do que zero e menor do que 1, seu valor é um
número fracionário.
A título de exemplo, representaremos graficamente esta função:
Vamos escolher valores de X e calcular o valor de Y:
Y = 2X
a > 1
Y = ( 1
2
)
x
= (0, 5)X
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Ao calcularmos com os números inteiros subsequentes, obtemos os valores a seguir:
X Y
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 0,5
2 0,25
Elaborado por Thaiane Andrade.
Conforme já observado, a função exponencial sempre toca o eixo Y no ponto (0,1).
X = −3
Y = ( 1
2
)
x
= (0, 5)X
Y = ( 1
2
)
x
= (0, 5)X
Y = ( 1
2
)
x
= (0, 5)X
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Gráfico: Função exponencial decrescente . 
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Assim, é possível observar por que essa é uma função decrescente: à medida que o valor de X aumenta, o valor de Y decresce. Os valores iniciais
são grandes, depois diminuem bastante. Essa é uma característica das funções exponenciais com base 01.
Grá�co exponencial
Com a ajuda do especialista Sandro Davison, você aprenderá a construir um gráfico crescente e outro decrescente.
Y = (0, 5)X

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Problemas com funções exponenciais
As funções exponenciais são muito usadas na área da saúde, pois diversos comportamentos analisados podem ser explicados e estudados por
esse tipo de relação entre variáveis.
Suponhamos que um pesquisador esteja analisando o crescimento de uma bactéria em uma cultura. Ele observa que a função do crescimento do
número de bactérias (Y) com o passar do tempo (X) é dada pela equação:
Onde X representa o tempo em horas e Y representa o número de bactériasna placa.
Conforme já demonstrado, essa função tem a base 2, que é maior do que 1 ($ a >1 $), e sempre que isso ocorre temos uma função exponencial
crescente. A partir da equação, podemos prever o número de bactérias que estarão presentes na placa em qualquer valor de tempo, lembrando que
no tempo inicial, X=0, teremos como resultado Y=1, isto é, uma bactéria na placa. Veja a resolução da equação:
Analisaremos agora duas situações considerando diferentes períodos de tempo:
1º caso: X=192 horas
2º caso: X=384 horas
Y = 2X/24
X = 0
Y = 20/24 = 20 = 1
Y = 2192/24 = 28 = 256

Y = 2384/24 = 216 = 65.536
Atenção
Podemos perceber que o crescimento do número de bactérias é muito maior conforme o tempo passa. Esse tipo de equação, chamada de
função resposta, tem como característica um crescimento muito acentuado.

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Gráfico: Crescimento e o decrescimento da covid-19 como funções exponenciais. 
Extraído de Shutterstock.com.
Ao final de 2019, uma pandemia da doença covid-19 surgiu, causada por um novo coronavírus. No mundo todo, seu comportamento foi semelhante
a um crescimento exponencial, e depois de implementadas algumas medidas como distanciamento social, uso de máscaras e vacinação em
massa, iniciou-se uma diminuição também exponencial. Esse comportamento pode ser exemplificado no gráfico.
Análise do grá�co exponencial
Neste vídeo, o especialista Sandro Davison analisa um gráfico exponencial.

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Demonstração
Vamos supor que um país esteja fazendo tudo que é possível, com medidas bastante rígidas, para controlar a covid-19 e diminuir o número de
casos graves em seu sistema de hospitalização. A partir da análise dos dados, delineou-se uma previsão, representada pela função exponencial a
seguir:
Como vemos, a base dessa função é do tipo , , logo, é uma função exponencial decrescente. Sendo X o tempo em meses e Y o
número de internações, usaremos essa equação para calcular a diminuição do número de internações prevista com o passar do tempo em meses.

1º caso: X= 1 mês

2º caso: X=2 meses

3º caso: X= 4 meses
 aproximadamente

4º caso: X= 6 meses
 aproximadamente
Ao observar esses cálculos, vemos que o tempo está aumentando um pouco, entretanto, o número de casos
diminui muito mais rapidamente, o que é uma característica das funções exponenciais decrescentes.
Y = 1.000.000(0, 25)X
0 < a < 1 a = 0, 25
Y = 1.000.000(0, 25)1 = 1.000.000(0, 25) = 250.000
Y = 1.000.000(0, 25)2 = 1.000.000(0, 0625) = 62.500
Y = 1.000.000(0, 25)4 = 1.000.000(0, 003906) = 3.906
Y = 1.000.000(0, 25)6 = 1.000.000(0, 000244) = 244

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Mão na massa
_black
Questão 1
Assinale a afirmativa correta sobre função exponencial .Y = 3x
A É uma função exponencial crescente, pois a base é .a < 0
B É uma função exponencial crescente, pois a base .a = 3 > 1
C É uma função exponencial decrescente, pois a base .a = 3 > 1
D É uma função exponencial crescente, pois a base .a = X
E É uma função exponencial crescente, pois a base é .a > 0
Responder
Questão 2
Marque a afirmativa que caracteriza corretamente esta função exponencial: Y = (0, 2)x
A Função exponencial decrescente, pois a base é , logo, .a = 0, 2 0 < a < 1
B Função exponencial crescente, pois a base é , logo, .a = 0, 2 a > 0
C Função exponencial decrescente, pois a base .a = X
D Função exponencial crescente, pois a base .a = X
E Função exponencial constante pois 0 < a < 1
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E Função exponencial constante, pois .0 < a < 1
Responder
Questão 3
Assinale a afirmativa correta relacionada ao ponto da função exponencial que toca o eixo X.Y = 4x
A O ponto (0, 1) toca o eixo X.
B O ponto (0, 0) toca o eixo X.
C O ponto (4, 0) toca o eixo X.
D O ponto (0, 4) toca o eixo X.
E As funções exponenciais não tocam o eixo X, pois esse tipo de função não tem raiz.
Responder
Questão 4
Marque a afirmativa correta quanto ao ponto da função exponencial que toca o eixo Y.Y = 4x
A O ponto (0, 4) toca o eixo Y.
B O ponto (0, 0) toca o eixo Y.
C O ponto (4, 0) toca o eixo Y.
D O ponto (0, 1) toca o eixo Y.
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E As funções exponenciais não tocam o eixo Y, pois esse tipo de função não tem raiz.
Responder
Questão 5
Considere a equação do . Qual o valor de Y para X=4?Y = 3x
A Y=81
B Y=12
C Y=4/3
D Y=3/4
E Y=1/12
Responder
Questão 6
Considere a equação do . Qual o valor de Y quando X=2 e X=4, respectivamente?Y = (0, 5)x
A Y=0,0625 e Y=0,25.
B Y=1 e Y=2.
C Y=2 e Y=1.
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Teoria na prática
Ao observar o gráfico de uma função exponencial, podemos fazer algumas análises com base na forma dos gráficos, identificando se o que está
representado é um comportamento crescente ou decrescente.
A pandemia mundial de covid-19 tem provocado análises de crescimentos e decrescimentos exponenciais de número de infectados, número de
internados ou número de mortos em função do tempo.
Utilizaremos o gráfico a seguir para uma análise desses comportamentos:
Gráfico: Crescimento e o decrescimento da covid-19 como funções exponenciais. 
Extraído de Shutterstock.com.
Nesse gráfico, o eixo vertical representa o número de pessoas infectadas pelo vírus e o eixo horizontal indica o tempo em meses. Conhecendo o
comportamento das funções exponenciais, podemos observar que no ano de 2020 há um crescimento exponencial do mês 1 até o mês 12,
seguindo o comportamento de uma função exponencial de base . Então, por efeito de alguma ação, o número de casos começa a diminuir de
forma acentuada, seguindo as características de uma função exponencial com base , como vimos em alguns exemplos numéricos ao
longo desse estudo.
D Y=0,25 e Y=0,0625.
E Y=0,5 e Y=0,25.
Responder
_black
a > 1
0 < a < 1
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
Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Questão 1
Considere a seguinte função exponencial: .
Assinale a opção que indica corretamente onde a função toca o eixo Y.
Y = 6X
A A função toca o eixo Y em (0,1).
B A função toca o eixo Y em (1,0).
C A função toca o eixo Y em (0,3).
D A função toca o eixo Y em (0,20).
E A função toca o eixo Y em (20,0).
Responder
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4
Funções logarítmicas
Ao final deste módulo, você reconhecerá as propriedades das funções logarítmicas.
Questão 2
Marque a opção que indica o valor de Y para nesta equação: .X = −2 Y = (0, 5)X
A Y=0,5
B Y=-1
C Y=-0,25
D Y=4
E Y=-2
Responder

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Logaritmo
Sejam a e b números reais positivos e , chamamos logaritmo de a na base b ao expoente X tal que:
Então:
Onde:
É chamado de logaritmando.
Função logarítmica
A fim de demonstrar a forma como é calculada a função logarítmica, utilizaremos este exemplo:
Em que se lê “logaritmo de 32 na base 2 é igual a X”.
O que queremos calcular é o valor de X e, para isso, usamos a função exponencial, transformando esse cálculo de forma a encontrar o valor de X
que torne a seguinte equação verdadeira: 
Para solucionar esse tipo de equação, devemos encontrar o valor correspondente de 32 na base 2, que podemos fatorar, encontrando:
b ≠ 1
b
x = a
logb(a) = X
a b
log2(32)= X
2x − 32
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Após a fatoração:
Temos que:
32 = 25
Logo:
log2 32 = X
2X = 32
2X = 25
Como as bases são iguais (2), a única solução possível é quando os expoentes são iguais:
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A função logarítmica possui algumas propriedades que auxiliam bastante na interpretação e na solução de equações baseadas neste tipo de
função. Vamos ver essas propriedades a seguir.
Temos ainda:

Logaritmo da potência

Logaritmo do produto

Logaritmo do quociente
X = 5
Então:
log2 32 = 5
log
a
a = 1 
log
a
1 = 0 
log
a
am = m 
loga b
m = m ⋅ loga b
loga(b ⋅ c) = loga b + loga c
loga
b
c
= loga b − loga c

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Logaritmo
Você sabe como calcular uma função logarítmica? É exatamente isso que aprenderemos no vídeo a seguir.
Grá�cos de funções logarítmicas
Para traçarmos um gráfico de uma função logarítmica, devemos selecionar valores de X e calcular o valor de Y associado, resolvendo a função
logarítmica na base desejada, da seguinte forma:
Vamos atribuir valores para a variável X e, sabendo o valor da base a — base 2 ou base 10, por exemplo —, obtemos o valor de Y correspondente.
A fim de exemplificar a construção de um gráfico que represente a função logarítmica, usaremos um exemplo numérico. Então, analisaremos
algumas particularidades de seus gráficos.
Considere a seguinte função logarítmica:
A base do logaritmo selecionado é 2. Utilizando uma calculadora científica, vamos calcular o logaritmo com diversos valores para X, conforme
apresentado no quadro a seguir:
Atenção!
Quando a base do logaritmo é 10, ela não deve ser indicada: .log10 a = loga

Y = log
a
X
Y = log2 X
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X YX Y
0,125 -3
0,25 -2
0,5 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
Elaborado por Aneuri de Amorim.
Ao representar os pares ordenados (X, Y) no plano cartesiano, desenha-se o seguinte gráfico:
Gráfico da função . 
Elaborado por Aneuri de Amorim.
A função logarítmica tem algumas características que podemos ver no gráfico anterior.
Esse tipo de função nunca toca o eixo Y, isto é, não há a possibilidade de um par ordenado (0, Y), pois o X nunca assumirá o valor de zero. Não é
possível, por exemplo, . Em síntese, não existe logaritmo de zero em nenhuma base.
Podemos perceber outra característica importante no gráfico dessa função: ela toca o eixo X (raiz da função) no ponto (1, 0). Como vimos
anteriormente em uma das propriedades, logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero. Logo, ao assumirmos X=1, teremos:
log2 Xlog2 X
log2 0, 125 =
log2 0, 25 =
log2 0, 5 =
log2 1 =
log2 2 =
log2 4 =
log2 8 =
Y = log2 X
Y = log2 0
Y = log
a
1 = 0
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Portanto, independentemente da base selecionada, toda função logarítmica tem como raiz (1, 0) e tocará o eixo X
nesse ponto.
X=1 e Y=0 t
Ainda, pode-se destacar que, quando a base é maior do que 1, a função é crescente. Nesse caso, os valores assumidos por X maiores que 1 têm
logaritmos positivos; já os valores de X entre 0 e 1 tem logaritmos negativos.
Quando a base é menor do que 1, os números maiores que 1 têm logaritmos negativos e aqueles entre 0 e 1 têm logaritmos positivos. Nos casos
em que a base do logaritmo é um valor entre 0 e 1, a função é decrescente, como representaremos a seguir.
Considere a seguinte função:
Ao atribuir os valores de X e calcular o Y usando uma calculadora científica, obtemos estes resultados:
X Y
0,125 3
0,25 2
0,5 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
Elaborado por Aneuri de Amorim.
É possível, então, construir o gráfico.
Y = log0,5 X
Y = log0,5 X
log0,5 0, 125 =
log0,5 0, 25 =
log0,5 0, 5 =
log0,5 1 =
log0,5 2 =
log0,5 4 =
log0,5 8 =
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Gráfico da função . 
Elaborado por Aneuri de Amorim.
Como a base dessa função logarítmica vale 0,5, logo, está entre 0 e 1, seu gráfico mostra que é uma função decrescente.
O grá�co logarítmico
Neste vídeo, o especialista Sandro Davison demonstrará como construir o gráfico da função logarítmica.
Problemas com funções logarítmicas
As funções logarítmicas e suas propriedades podem ser aplicadas em funções exponenciais para analisarmos o comportamento ou calcularmos a
variável X que se encontra no expoente.
Y = log0,5 X

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Utilizaremos como exemplo a função exponencial, conhecida anteriormente, que descreve o crescimento do número de bactérias (Y) com o passar
do tempo (X), dada pela equação:
Onde X representa o tempo em horas e Y representa o número de bactérias na placa.
Anteriormente, atribuímos valores de tempo a X para encontrarmos a quantidade de bactérias que estaria presente na placa analisada. Aplicando a
função logarítmica, podemos definir valores para a quantidade de bactérias e calcular, então, o tempo necessário para chegar a esse número.
Matematicamente, aplicamos uma função logarítmica aos dois lados do sinal de igual.
Dessa forma, é possível calcularmos quanto tempo será necessário para obter uma certa quantidade de bactérias.
Agora, vamos analisar quanto tempo é necessário para termos as seguintes quantidades de bactérias (Y):
 bactérias
Y = 2X/24
Nesse exemplo, utilizaremos a base 2:
log2(Y ) = log2(2
X/24)
Há uma propriedade que podemos aplicar:
log
a
a
m = m
Então:
log2(Y) =
X
24
Para deixarmos o X como variável, resolvemos:
X = 24 log2(Y )
1º Caso 2º Caso 3º Caso
Y = 256
X = 24 log2(256) = 24(8) = 192
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Problemas com funções logarítmicas
Neste momento, o especialista Sandro Davison nos ajudará a resolver um problema real usando a função logarítmica.
Demonstração
Nesta demonstração, utilizaremos algumas propriedades da função logarítmica para exercitar os trabalhos algébricos desse tipo de função.
Sabendo que e , vamos calcular o valor de:
O intuito aqui é usar as propriedades para melhorar o raciocínio lógico, logo, não utilizaremos a calculadora científica.
Podemos resolver usando apenas os valores fornecidos de e . Veja como:
Mão na massa

log10 2 = 0, 301 log10 3 = 0, 477
log10 64
log10 12
log10 2 log10 3
log10 64 
log10 12 
_black
Questão 1
Assinale a afirmativa correta com relação à função logarítmica a seguir: Y = log10 X
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Assinale a afirmativa correta com relação à função logarítmica a seguir: .Y = log10 X
A Representa uma função crescente, pois a base é .a < 0
B Representa uma função crescente, pois a base .a = 10 > 1
C Representa uma função decrescente, pois a base .a = 10 > 1
D Representa uma função crescente, pois esse tipo de função sempre é crescente.
E Representa uma função decrescente, pois esse tipo de função sempre é decrescente.
Responder
Questão 2
Marque a afirmativa correta acerca da função logarítmica a seguir: ;Y = log0,5 X
A Representa uma função decrescente, pois a base é .0 < a < 1
B Representa uma função crescente, pois a base é .0 < a < 1
C Representa uma função decrescente, pois a base a é positiva.
D Representa uma função decrescente pois a base a é negativa.
E Representa uma função crescente pois esse tipo de função sempre é crescente.
Responder
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Questão 3
Assinale a afirmativa que apresenta o cálculo correto do seguinte logaritmo: .log2 8 = X
A X=4.
B X=8.
C , logo, X=2.22 = 8
D , logo, X=8.22 = 8
E , logo, X=3.22 = 23
Responder
Questão 4
Assinale a afirmativa que indica o ponto em que a função a seguir toca o eixo X.
Y = log2 X
A A função toca o eixo Y no ponto (2, 0).
B A função toca o eixo X no ponto (0, 0).
C A função toca o eixo X no ponto (0, 1).
D A função toca o eixo X no ponto (1, 0).
E Esse tipo de função não toca o eixo X
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E Esse tipo de função não toca o eixo X.
Responder
Questão 5
Considere a função:
Marque a opção que indica o ponto em que ela toca o eixo Y.
Y = log2 X
A Essa função não toca o eixo Y.
B Essa função não toca o eixo X.
C Essa função toca o eixo Y em (0,1).
D Essa função toca o eixo Y em (1,0).
E Essa função toca o eixo Y em (0,2).
Responder
Questão 6
Marque a alternativa que indica a aplicação adequada de uma propriedade para solucionar a equação a seguir: log10 2
6
A .log10 2
6 = 6 − log10 2
B .log10 2
6 = 2 log10 6
C .log10 2
6 = log10 2 − log10 6
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Teoria na prática
Anteriormente, exemplificamos o uso da função exponencial em uma análise da diminuição dos casos graves de covid-19 com o passar do tempo.
Foi utilizada a função a seguir:
No exemplo, escolhemos um valor de X que representa o tempo em meses e calculamos o número de casos graves, expresso pela variável Y.
Com a aplicação da função logarítmica, é possível definirmos o número de casos (Y) e calcularmos quanto tempo (X) levará para alcançar esse
valor. Para isso, devemos aplicar a função logarítmica aos dois lados do sinal de igual da equação anterior. Utilizaremos o logaritmo de base 2, mas
poderia ser qualquer base.
Aplicamos, então, a propriedade do logaritmo do produto. Observe:
Calculando o logaritmo e aplicando a propriedade do logaritmo do expoente, teremos:
 casos
D .log10 2
6 = 6 log10 2
E .log10 2
6 = log10 2 + log10 6
Responder
_black
Y = 1.000.000(0, 25)x
log2(Y ) = log2 (1.000.000 ⋅ (0, 25)
X)
log2(Y) = log2(1.000.000) + log2(0, 25)
X
log2(Y) = 20 + X log2(0, 25)
log2(Y) = 20 − 2X
2X = 20 − log2(Y)
X =
20 − log2(Y)
2
1º Caso 2º Caso 3º Caso
Y = 1.000.000
X = 20−log2(1.000.000)2 =
20−20
2 = 0
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Considerando o resultado, este seria o nosso ponto de partida: um milhão de casos de covid-19 no momento do início do estudo.
X 2 2 0

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Questão 1
Considere esta função logarítmica: .
Qual o valor de Y para X=2?
Y = log2 X
A Y=1
B Y=2
C Y=0
D Y=-1
E Y=-2
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Considerações �nais
Neste conteúdo, você teve acesso a conhecimentos de matemática e agora está mais preparado e dotado dos recursos necessários para avançar
na sua profissão. Foram apresentados conceitos e aplicações de diferentes funções matemáticas: função de primeiro grau, de segundo grau,
exponencial e logarítmica.
Essas funções são muito utilizadas no dia a dia, bem como na descrição de situações, estudos e análises na área da saúde, conforme as
características dessas funções e dos dados analisados. Neste estudo, você observou esse uso em crescimentos lineares e exponenciais de
bactérias em uma amostra, por exemplo. Portanto, todos os conceitos aqui apresentados são de grande utilidade para a sua formação profissional.
Responder
Questão 2
Considere as duas funções logarítmicas:
• 1ª função: 
• 2ª função: 
É correto afirmar que
Y = log2 X
Y = log0,5 X
A a primeira é uma função constante e a segunda é uma função decrescente.
B as duas funções são decrescentes.
C as duas funções são crescentes.
D a primeira é uma função crescente e a segunda é uma função decrescente.
E a primeira é uma função decrescente e a segunda é uma função crescente.
Responder

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Podcast
Neste podcast, o especialista Sandro Davison falará sobra as funções e sobre como aplicá-las no dia a dia do profissional de saúde.
00:00 03:58
1x


Referências
MAIO, W. de (coord.); BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos da matemática: cálculo e análise. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
GUIMARÃES, L. G. S. et al. Bases matemáticas para engenharia. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
REGRA DE TRÊS. Matemática Didática. Consultado na internet em: 18 ago. 2021.
Explore +
No portal Educa+ Brasil, você pode ler mais sobre as funções logarítmica e exponencial.
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