Lista 2 - Limites

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Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
MAT 140 - Cálculo I
Lista 2 : Limite e Continuidade
1) Para a função g, cujo gráfico é apresentado abaixo, encontrar os seguintes limites ou explicar porque não existe.
a) lim
x→1
g(x) b) lim
x→2
g(x) c) lim
x→3
g(x)
1 2 3
x
1
y
0
2) Suponha que lim
x→0
f(x) = 1 e lim
x→0
g(x) = −5. Calcule
lim
x→0
2f(x)− g(x)
(f(x) + 7)
2
3
.
3) (Leithold, pg 72) Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→7
x2 − 49
x− 7
b) lim
x→− 32
4x2 − 9
2x+ 3
c) lim
s→4
3s2 − 8s− 16
2s2 − 9s+ 4
d) lim
y→−2
y3 + 8
y + 2
e) lim
y→−3
√
y2 − 9
2y2 + 7y + 3
f) lim
h→0
3
√
h+ 1− 1
h
g) lim
x→ 12
2x2 + 5x− 3
2x2 − 5x+ 2
h) lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1
i) lim
x→−2
8 + x3
4− x2
j) lim
x→2
x4 − 16
8− x2
k) lim
x→3
√
1 + x− 2
x− 3
l) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
m) lim
x→0
1−
√
1− x
x
n) lim
x→0
√
1 + x−
√
1− x
x
o) lim
x→1
√
x+ 3− 2
x− 1
p) lim
x→4
√
2x+ 1− 3
√
x− 2−
√
2
,
4) (Leithold, pg 76) Faça o esboço do gráfico de cada uma das funções abaixo e ache o limite indicado, se existir. Se o
limite não existir, justifique o motivo da não existência do mesmo.
a) f(x) =
 2, se x < 1,−1, se x = 1−3, se x > 1.
lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x)
b) f(x) =
{
−2, se x < 0,
2, se x ≥ 0.
lim
x→0+
f(x), lim
x→0−
f(x), lim
x→0
f(x)
c) f(t) =
{
t+ 4, se t ≤ −4,
4− t, se t > −4.
lim
t→−4+
f(t), lim
t→−4−
f(t), lim
t→−4
f(t)
d) f(x) =
{
s+ 3, se s ≤ −2,
3− s, se s > −2.
lim
s→−2+
f(s), lim
s→−2−
f(s), lim
s→−2
f(s)
e) f(x) =

x2 − 4 se x < 2
4 se x = 2
4− x2 se 2 < x
lim
x→2+
f(x); limx→2− f(x); limx→2 f(x)
1
5) Dada a função f, definida por f(x) =
|x|
x
para todo x ∈ R∗, calcule lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x). O limite lim
x→0
f(x) existe?
Justifique.
6) Calcule os limites laterais, nos pontos que não pertencem ao domı́nio de f, onde
a) f(x) =
|x+ 1|
x+ 1
.
b) f(x) =
|3x− 2|
2− 3x
.
c) f(x) =
√
2x(x− 1)
|x− 1|
7) (Leithold, pg 77) Em cada item a seguir, determine o valor das constantes a e b para que lim
x→x0
f(x) exista.
a) f(x) =
{
3x+ 2 se x < 4
5x+ a se 4 ≤ x ; x0 = 4.
b) f(x) =
{
ax− 3 se x 6 −1
x2 + a se − 1 < x ; x0 = −1.
c) f(x) =
 x
2 se x 6 −2
ax+ b se − 2 < x < 2
2x− 6 se 2 6 x
; x0 = −2 e x0 = 2
d) f(x) =
{
4x+ 3, se x ≤ −2,
3x+ a, se x > −2. ; x0 = −2
e) f(x) =
 2x− a se x < −3ax+ 2b se − 3 6 x 6 3
b− 5x se 3 < x
x0 = −3 e x0 = 3.
8) Verificar se a função f é cont́ınua no ponto especificado.
a) f(x) =
 x
2 − 4
x+ 2
, se x 6= −2,
4, se x = −2.
, no ponto x = −2.
b) f(x) =
 1− x
2
x− 1
, se x 6= 1,
−2, se x = 1.
, no ponto x = 1.
9) Determine L para que a função dada abaixo seja cont́ınua no ponto p especificado. Justifique.
a) f(x) =
 x
2 − 4
x− 2
, se x 6= 2,
L, se x = 2.
, em p = 2.
b) f(x) =
 x
2 − x
x
, se x 6= 0,
L, se x = 0.
, em p = 0.
10) (Leithold, pg 98)Resolva os seguintes limites no infinito.
a) lim
x→−∞
6x− 4
3x+ 1
b) lim
x→−∞
2x+ 7
4− 5x
c) lim
x→+∞
1 + 5x
2− 3x
d) lim
x→+∞
7x2 − 2x+ 1
3x2 + 8x+ 5
e) lim
x→+∞
x+ 4
3x2 − 5
f) lim
x→+∞
x2 + 5
x3
g) lim
y→+∞
2y2 − 3y
y + 1
h) lim
x→+∞
x2 − 2x+ 5
7x3 + x+ 1
i) lim
x→−∞
4x3 + 2x2 − 5
8x3 + x+ 2
j) lim
x→−∞
5x3 − 12x+ 7
4x2 − 1
k) lim
x→−∞
(
3x+
1
x2
)
l) lim
t→+∞
(
2
t2
− 4t
)
m) lim
x→+∞
√
x2 + 4
x+ 4
n) lim
x→−∞
√
x2 + 4
x+ 4
o) lim
y→−∞
√
y4 + 1
2y2 − 3
p) lim
x→+∞
(√
x2 + 1− x
)
q) lim
x→+∞
(√
x2 + x− x
)
r) lim
r→+∞
(√
3r2 + r − 2r
)
s) lim
r→−∞
(√
3r2 + r − 2r
)
2
11) Resolva os seguintes limites laterais.
a) lim
x→3+
5
3− x
b) lim
x→3−
4
x− 3
c) lim
x→ 12
+
4
2x− 1
d) lim
x→0+
2x+ 1
x
e) lim
x→0−
x− 3
x2
f) lim
x→1−
2x+ 3
x2 − 1
g) lim
x→1+
2x+ 3
x2 − 1
h) lim
x→3+
x2 − 3x
x2 − 6x+ 9
i) lim
x→−1+
2x+ 1
x2 + x
j) lim
x→0+
2x+ 1
x2 + x
k) lim
x→1+
3x− 5
x2 + 3x− 4
l) lim
x→2+
x2 − 4
x2 − 4x+ 4
m) lim
x→2+
x+ 2
x2 − 4
n) lim
x→2−
x+ 2
x2 − 4
o) lim
x→0−
√
3 + x2
x
p) lim
x→3+
√
x2 − 9
x− 3
q) lim
x→0+
1
x
− 1
x2
r) lim
x→0−
2− 4x3
5x2 + 3x3
s) lim
x→−4−
(
2
x2 + 3x− 4
− 3
x+ 4
)
12) (Leithold, pg 113) Nos itens a seguir, ache os valores das constantes c e k que tornam a função cont́ınua em (−∞,+∞)
e faça um esboço do gráfico da função resultante.
a) f(x) =
{
3x+ 7 se x 6 4
kx− 1 se 4 < x
b) f(x) =
{
kx− 1 se x < 2
kx2 se 2 6 x
c) f(x) =

x se x 6 1
cx+ k se 1 < x < 4
−2x se 4 6 x
13) (Leithold, pg 113) Em cada item a seguir, faça um esboço do gráfico da função f que satisfaça as condições dadas.
a) f é continua em (−∞, 2] e (2,+∞); lim
x→0
f(x) = 4; lim
x→2−
f(x) = −3; lim
x→2+
f(x) = +∞; lim
x→5
f(x) = 0
b) f é continua em (−∞, 0) e [0,+∞); lim
x→−4
f(x) = 0; lim
x→0−
f(x) = 3; lim
x→0+
f(x) = −3; lim
x→4
f(x) = 2
14) (Leithold, pg 122) Calcule o limite, quando ele existir.
a) lim
x→0
sen 4x
x
b) lim
x→0
2x
sen 3x
c) lim
x→0
sen 9x
sen 7x
d) lim
t→0
sen 3t
sen 6t
e) lim
x→0
sen3 x
x2
f) lim
x→0
x2
sen2 3x
g) lim
x→0
x
cosx
h) lim
x→0
1− cosx
1 + senx
i) lim
x→0
1− cos 4x
x
j) lim
x→0
1− cos2 x
2x2
k) lim
x→0
tg x
2x
l) lim
x→0
tg4 2x
4x4
m) lim
t→0+
sen t
t2
n) lim
x→0
1− cosx
x2
o) lim
x→0
1− cos 2x
sen 3x
p) lim
x→0+
sen(x)
x3 − x2
15) Calcule os limites abaixo.
a) lim
x→0
(1− 2x)1/x
b) lim
x→+∞
(1 + 3/x)x
c) lim
x→0
e2x − 1
x
d) lim
x→0+
3x − 1
x2
e) lim
x→+∞
(
x+ 2
x+ 1
)x
f) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x+1
16) (Leithold, pg 122) Em cada item, encontre o limite, se existir.
a) lim
x→0
sen(senx)
x
3
b) lim
x→0
senx sen
1
x
c) Dado: 1− cos2 x 6 f(x) 6 x2 para todo x no intervalo aberto
(
− 12π,
1
2π
)
. Ache lim
x→0
f(x).
d) Dado: − senx 6 f(x) 6 −2 + senx para todo x no intervalo aberto (−π, π). Ache lim
x→π/2
f(x).
17) Se lim
x→4
f(x)− 5
x− 2
= 1, determine lim
x→4
f(x).
18) Se lim
x→2
f(x)
x2
= 1, determine lim
x→2
f(x)
x
e lim
x→2
f(x).
19) Seja f uma função tal que
√
5− 2x2 ≤ f(x) ≤
√
5− x2 para −1 ≤ x ≤ 1. Determine lim
x→0
f(x).
20) Seja f : R→ R uma função tal que 2− x2 ≤ f(x) ≤ 2 cosx para qualquer x. Determine lim
x→0
f(x).
21) Seja f : R→ R uma função tal que |f(x)| ≤ 2|x| para qualquer x. Calcule lim
x→0
f
(
x3
)
x
.
22) Dê exemplo de uma função definida em R e que seja cont́ınua em todos os pontos, exceto em 1, 2 e 3.
Gabarito
1) a) Não existe b) 1 c) 0
2)
7
4
3) a) 14
b) −6
c) 16/7
d) 12
e)
√
6
5
f) 1/3
g) −7/3
h) 3/2
i) 3
j) −8
k) 1/4
l) 1/2
m) 1/2
n) 1
o) 1/4
p) 2
√
2
3
4) a) lim
x→1+
f(x) = −3, lim
x→1−
f(x) = 2, lim
x→1
f(x) não existe.
b) lim
x→0+
f(x) = 2, lim
x→0−
f(x) = −2, lim
x→0
f(x) não existe.
c) lim
t→−4+
f(t) = 8, lim
t→−4−
f(t) = 0, lim
t→−4
f(t) não existe.
5) lim
x→0+
f(x) = 1 e lim
x→0−
f(x) = −1. Não existe lim
x→0
f(x)
6) a) lim
x→−1+
f(x) = 1 e lim
x→−1−
f(x) = −1.
b) lim
x→ 23
+
f(x) = −1 e lim
x→23−
f(x) = 1.
c) lim
x→1+
f(x) =
√
2 e lim
x→1−
f(x) = −
√
2.
7) a) a = −6
b) a = −2
c) a = −3/2 e b = 1
d) a = 1
e) a = −3 e b = −6.
8) a) Não é cont́ınua em x = −2
b) É cont́ınua em x = 1
9) a) L = 4
b) L = −1
10) a) 2
b) −2/5
c) −5/3
d) 7/3
e) 0
f) 0
4
g) +∞
h) 0
i) 1/2
j) −∞
k) ∞
l) −∞
m) 1
n) −1
o) 1/2
p) 0
q) 1/2
r) −∞
s) +∞
11) a) −∞
b) −∞
c) +∞
d) +∞
e) −∞
f) −∞
g) +∞
h) +∞
i) +∞
j) +∞
k) −∞
l) +∞
m) +∞
n) −∞
o) −∞
p) +∞
q) −∞
r) +∞
s) +∞
12) a) k = 5
b) k = −1/2
c) c = −3, k = 4
13)
14) a) 4
b) 2/3
c) 9/7
d) 1/2
e) 0
f) 1/9
g) 0
h) 0
i) 0
j) 1/2
k) 1/2
l) 4
m) +∞
n) 1/2
o) 0
p) −∞
15) a) e−2 b) e3 c) 2 d) +∞ e) e f) e2
16) a) 1 b) 0 c) 0 d) −1
17) 7
18) 2 e 4
19)
√
5
20) 2
21) 0
5