Probabilidade e Estatística Aplicadas à Engenharia

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Probabilidade e estatística aplicada à engenharia
Daniel M. Rosa
Aula 4Aula 4
1º Semestre de 20101 Semestre de 2010
Daniel M. Rosa Probabilidade e estatística aplicadas à engenharia
Universidade de Brasília - Faculdade UnB Gama
O õ E t Al tó iOperações com Eventos Aleatórios
Considerando um espaço amostral finito S = {e1, e2, e3, ..., en} e A e B dois 
d F(S)eventos de F(S).
• União de conjuntos: A  B = {ei  S / ei  A ou ei  B}, i = 1, ..., n. O j { i / i i }, , ,
evento união é formado pelos pontos amostrais que pertençam a pelo 
menos um dos conjuntos.
Observações:Observações:
1) A  B = B  A
2) A  A = A
3) A   = A
4) Se A  B ) A  B = B
( i l A S S)
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(em particular A  S = S).
O õ E t Al tó iOperações com Eventos Aleatórios
• Intersecção de conjuntos: AB = {ei  S / ei  A e ei  B}, i 
= 1, ..., n. O evento intersecção é formado pelos pontos 
amostrais que pertençam simultaneamente aos eventos A e B.
Ob õObservações:
1) A  B = B  A.
2) A  A = A2) A  A = A.
3) A  =  .
4) Se A  B ) A  B = A4) Se A  B ) A  B = A
(em particular A  S = A).
5) (A  B)  C = A  (B  C)
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5) (A  B)  C = A  (B  C).
O õ E t Al tó iOperações com Eventos Aleatórios
• Complemento: S - A = A = Ac ={ei  S / ei  A}, i = 1, ..., n. 
O complemento de um evento A é, portanto, o evento 
contendo todos os resultados no espaço amostral S que não 
pertençam a Apertençam a A. 
Observações:
1) (Ac)c = A1) (A ) A
2) A  Ac = S
3) c = S3)  S
4) A  Ac = 
5) Sc = .
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5) S .
E t M t t E l i Di j tEventos Mutuamente Exclusivos ou Disjuntos
Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos ou disjuntos se A e B 
ã d j j li ã d l inão puderem ocorrer juntos, ou seja a realização de um exclui a 
realização do outro. 
• A e B são disjuntos se A  B = .A e B são disjuntos se A  B .
Exemplo: Lançam-se duas moedas. Sejam os eventos
A: saída de faces iguais e
B: saída de cara na primeira moeda.
Determinar os eventos:
A  B, A  B, Ac, Bc,(A  B)c,(A  B)c, (Ac  Bc), (Ac Bc), B -
A A - B Ac  B e Bc  A
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A, A B, A  B, e B  A.
Respostas: (A  B)c = {(c, r); (r, c); (r, r)}
S = {(c, c); (c, r); (r, c); (r, r)}
A = {(c, c); (r, r)}
B = {(c c); (c r)}
(Ac  Bc) = {(r, c)}
(Ac Bc) = {(c, r); (r, c); (r, r)}
B - A = {(c r)}B = {(c, c); (c, r)}
A  B = {(c, c); (c, r); (r, r)}
B - A = {(c, r)}
A – B = {(r, r)}
Ac  B = {(c, r)}
A  B = {(c, c)}
Ac = {(c, r); (r, c)}
Bc = {(r c); (r r)}
Bc  A = {(r, r)}
Ob N t q (A  B)c = (Ac  Bc)Bc = {(r, c); (r, r)}
(A  B)c = {(r, c)}
Obs.: Note que (A  B)c = (Ac  Bc) 
e (A  B)c = (Ac  Bc) 
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D fi i ã A i áti d P b bilid dDefinição Axiomática de Probabilidade
Para um dado experimento, é necessário atribuir para cada evento 
A no espaço amostral S um número P(A) que indica a 
probabilidade de A ocorrer. O número P(A) deve satisfazer três 
axiomas específicos:axiomas específicos:
• Axioma 1: Para qualquer evento A P(A)  0Axioma 1: Para qualquer evento A, P(A)  0
• Axioma 2: P(S) = 1
• Axioma 3: Para qualquer seqüência infinita de eventos disjuntosAxioma 3: Para qualquer seqüência infinita de eventos disjuntos 
A1, A2, ...
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Di t ib i ã d b bilid dDistribuição de probabilidade
Distribuição de probabilidade no espaço amostral S é uma especificação de números 
P(A) que satisfazem os axiomas 1, 2, e 3.P(A) que sat s a e os a o as , , e 3.
• Teorema 1: P() = 0;
• Teorema 2: Para qualquer seqüência finita de eventos disjuntos A1, A2, ... , An
• ;
• Teorema 3: Para qualquer evento A,
P(Ac) = 1 - P(A);
• Teorema 4: Para qualquer evento A 0 P(A) 1;
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Teorema 4: Para qualquer evento A, 0 P(A) 1;
Di t ib i ã d b bilid dDistribuição de probabilidade
• Teorema 5: Se A  B, então P(A) P(B); 
• Teorema 6: Para qualquer dois eventos A e B
P(A B) P(A) + P(B) P(A B)P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A B).
Observações:
1 P(A  A A ) = P(A ) + P(A ) + P(A )1. P(A1  A2 A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3)
= - [P(A1  A2) + P(A2  A3) + P(A1 A3)]
= +P(A1  A2  A3)( 1 2 3)
2. Se dois eventos são mutuamente exclusivos, então:
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P(A  B) = P(A) + P(B).
E t I d d tEventos Independentes
Supondo que dois eventos A e B ocorram independentes um do 
outro no sentido que a ocorrência ou não de um deles tenha 
nenhuma relação, e nenhuma influência na ocorrência ou na não 
ocorrência do outro então dois eventos são independentes se:ocorrência do outro, então dois eventos são independentes se:
P(A  B) = P(A) P(B)P(A  B) = P(A) . P(B)
• Teorema 1: Se dois eventos A e B são independentes então osTeorema 1: Se dois eventos A e B são independentes, então os 
eventos A e Bc também são independentes.
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E í iExercícios
1 - De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro 
baralho e uma carta do segundo Qual a probabilidade de a carta do primeirobaralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro 
baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?
2 - Uma urna A contém 3 bolas brancas 4 pretas 2 verdes; uma urna B contém 5 bolas2 Uma urna A contém 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém 5 bolas 
brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. 
Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de as três bolas retiradas da 
primeira, segunda e terceira urnas serem respectivamente, branca, preta e verde?
3 - De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual a 
probabilidade de a primeira ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?
4 - São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do 
primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tiramos uma 
dama e um rei não necessariamente nessa ordem?
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dama e um rei, não necessariamente nessa ordem?
E í iExercícios
5 - Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a 
soma ser 10 ou maior que 10soma ser 10 ou maior que 10.
6 - A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a de 
sua mulher é de 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:sua mulher é de 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:
a) ambos estejam vivos;
b) somente o homem esteja vivo;
c) somente a mulher esteja viva;c) somente a mulher esteja viva;
d) nenhum esteja vivo;
e) pelo menos um esteja vivo.
7 - Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = p; P(A  B) = 0,6. 
Calcular p considerando A e B:
a) Mutuamente exclusivos
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a) Mutuamente exclusivos
b) Independentes.