Lista de Exercícios - Estatística Básica - Josiane 6

Prévia do material em texto

Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro 2010
Profa.: Josiane Cordeiro
Sexta Lista de Estat´ıstica Ba´sica
Infereˆncia
1. Exerc´ıcios da Apostila (Cunha & Peres): Cap´ıtulo 7, em particular: 7.1, 7.3-7.5,
7.15, 8.3, 8.4, 8.6 (letras a e b), 8.7 e 8.8.
2. Uma v.a. X tem distribuic¸a˜o normal com me´dia 100 e desvio padra˜o 10.
(a) Calcule P (90 < X < 110).
(b) Se X¯ e´ a me´dia de uma amostra aleato´ria simples de 16 elementos retirados
dessa populac¸a˜o, calcule P (90 < X¯ < 110).
(c) Que tamanho deveria ter a amostra para que P (90 < X¯ < 110) = 0, 95?
3. A ma´quina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuicao
normal, com media µ e desvio padra˜o 10g.
(a) Em quanto deve ser regulado o peso me´dio µ para que apenas 10% dos pacotes
tenham menos do que 500g?
(b) Com a ma´quina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4
pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2kg?
4. Os comprimentos das pec¸as produzidas por determinada ma´quina teˆm distribuic¸a˜o
normal com uma me´dia de 172 mm e desvio padra˜o de 5 mm. Calcule a probabili-
dade de uma amostra aleato´ria simples de 16 pec¸as ter comprimento me´dio
(a) entre 169 mm e 175 mm;
(b) maior que 178 mm;
(c) menor que 165 mm.
5. O fabricante de uma laˆmpada especial afirma que o seu produto tem vida me´dia
de 1600 horas, com desvio padra˜o de 250 horas. O dono de uma empresa compra
100 laˆmpadas desse fabricante. Qual e´ a probabilidade de que a vida me´dia dessas
laˆmpadas ultrapasse 1650 horas?
6. Em determinada populac¸a˜o, o peso dos homens adultos e´ distribu´ıdo normalmente
com um desvio padra˜o de 16 kg. Uma amostra aleato´ria simples de 36 homens
adultos e´ sorteada desta populac¸a˜o, obtendo-se um peso me´dio de 78,2 kg. Construa
1
um intervalo de confianc¸a de n´ıvel de confianc¸a 0,95 para o peso me´dio de todos os
homens adultos dessa populac¸a˜o.
7. De uma populac¸a˜o normal com desvio padra˜o 2, extrai-se uma aas de tamanho 36,
que fornece o seguinte resultado:
∑36
i=1Xi = 1236. Calcule o intervalo de confianc¸a
para a me´dia populacional µ, utilizando o n´ıvel de significaˆncia α = 2%.
8. Defina e exemplifique: a) Populaca˜o b) Amostra c) Paraˆmetro d) Estimador
9. Como voceˆ pode verificar se um estimador e´ mais eficiente do que o outro?
10. Qual e´ a definic¸a˜o de um estimador na˜o viciado?
11. Uma populac¸a˜o tem uma me´dia de 200 e um desvio padra˜o de 50. Uma amostra
aleato´ria simples de tamanho 100 sera´ tomada e a me´dia da amostra X¯ sera´ usada
para estimar a me´dia da populac¸a˜o.
a) Qual e´ o valor esperado e o desvio padra˜o de X¯?
b) Determine a probabilidade da me´dia da amostra ser superior a 208. E, em seguida
encontre a probabilidade de ser inferior a 205.
12. Uma populac¸a˜o tem uma me´dia de 100 e um desvio padra˜o de 16. Qual e´ a proba-
bilidade de uma me´dia da amostra estar dentro de ±2 da me´dia da populac¸a˜o para
cada um dos seguintes tamanhos de amostra?
a) n = 50 b) n = 100 c) n = 144 d) n = 400
e) Qual e´ a vantagem de um tamanho de amostra maior?
13. Uma varia´vel aleato´ria X tem distribuic¸a˜o normal, com me´dia 50 e desvio padra˜o 5.
a) Qual e´ a P (46 ≤ X ≤ 54)?
b) Se X¯ e´ a me´dia de uma amostra de 9 elementos retirados dessa populac¸a˜o,
calcule P (46 ≤ X¯ ≤ 54).
c) Que tamanho deveria ter a amostra para que P (46 ≤ X¯ ≤ 54) = 0, 95?
14. Considere uma amostra aleato´ria de 40 contas na˜o-comerciais na filial de um banco
com saldo me´dio dia´rios de 500 reais e desvio padra˜o de 100 reais.
a) Construa um intervalo de 95% de confianc¸a para a verdadeira me´dia.
b) Construa um intervalo de 99% de confianc¸a para a verdadeira me´dia.
c) Se a amplitude de um intervalo de confianc¸a, constru´ıdo a partir dessa amostra,
e´ de 20; qual teria sido o n´ıvel de significaˆncia?
15. A confiabilidade de um componente e´ a probabilidade de que ele funcione sob as
condic¸o˜es desejadas. Uma amostra aleato´ria simples de 1000 desses componentes
e´ extra´ıda e cada componente testado. Calcule a probabilidade de obtermos pelo
menos 30 itens defeituosos supondo que a confiabilidade do item seja
2
(a) 0,995
(b) 0,85
16. O peso X de um certo artigo e´ descrito aproximadamente por uma distribuic¸a˜o
normal com σ = 0, 58. Uma amostra de tamanho n = 25 resultou em x¯ = 2, 8.
Desenvolva detalhadamente o intervalo de confianc¸a para a me´dia dos pesos com
n´ıvel de confianc¸a 0, 90.
17. De uma populac¸a˜o normal com σ = 5, retira-se uma amostra aleato´ria simples de
tamanho 50, obtendo-se x¯ = 42.
(a) Obtenha o intervalo de confianc¸a para a me´dia com n´ıvel de significaˆncia de
5%.
(b) Qual e´ o erro de estimac¸a˜o?
(c) Para que o erro seja ≤ 1, com probabilidade de acerto de 95%, qual devera´ ser
o tamanho da amostra?
18. Um gerente de produc¸a˜o deseja estimar a proporc¸a˜o de pec¸as defeituosas em uma de
suas linhas de produc¸a˜o. Para isso, ele seleciona uma amostra aleato´ria simples de
100 pec¸as dessa linha de produc¸a˜o, obtendo 30 defeituosas. Determine o intervalo de
confianc¸a para a verdadeira proporc¸a˜o de pec¸as defeituosas nessa linha de produc¸a˜o,
a um n´ıvel de significaˆncia de 5%.
19. Uma associac¸a˜o de estudantes universita´rios de uma grande universidade deseja
saber a opinia˜o dos alunos sobre a proposta da reitoria sobre o prec¸o do bandeja˜o.
Para isso, seleciona aleatoriamente uma amostra de 200 estudantes, dos quais 120
sa˜o favora´veis a` proposta da reitoria.
(a) Construa um intervalo de confianc¸a para a verdadeira proporc¸a˜o de alunos
favora´veis a` pol´ıtica da reitoria, ao n´ıvel de significaˆncia de 2%.
(b) Qual e´ a margem de erro em (a)?
(c) Qual devera´ ser o tamanho da amostra para se ter um erro de no ma´ximo 5%,
com n´ıvel de confianc¸a de 98%?
20. Uma amostra aleato´ria simples de uma populac¸a˜o normal apresenta as seguintes
caracter´ısticas: n = 25, x¯ = 500 e σ = 900. Construa um intervalo de confianc¸a de
n´ıvel de confianc¸a de 98% para a me´dia da populac¸a˜o e um intervalo de confianc¸a
de n´ıvel de confianc¸a de 98% para a variaˆncia da populac¸a˜o.
3
21. Os tempos gastos por quinze funciona´rios em uma das tarefas de um programa de
treinamento esta˜o listados abaixo. E´ razoa´vel supor, nesse caso, que essa seja uma
amostra aleato´ria simples de uma populac¸a˜o normal, ou seja, e´ razoa´vel supor que
a populac¸a˜o de todos os tempos de funciona´rios submetidos a esse treinamento seja
aproximadamente normal.
52, 44, 55, 44, 45, 59, 50, 54, 62, 46, 54, 58, 60, 62, 63
(a) Obtenha o intervalo de confianc¸a de n´ıvel de confianc¸a de 95% para o tempo
me´dio populacional.
(b) Obtenha o intervalo de confianc¸a de n´ıvel de confianc¸a de 95% para a variaˆncia
populacional.
4