M5_Taxa_Juros_Serie_Gradiente_Inflacao_Cambio

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© Chaim 2009
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Engenharias
Engenharia Econômica
Matemática Financeira
Professores: Ricardo, Fabiano e Thais
Engenharia Econômica
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Modelo Geral de GC
Preço-Demanda
Custo-Volume
Leis e Princípios 
Econômicos
Matemática
Financeira
Ambiente 
Econômico
Principios Métodos
Engenharia Econômica
Conhecimentos inter e multidisciplinares 
Cenários
Complexos
Prospectivos
Probabilidade 
e
Estatística
Fundamentos = genericos 
Valor do dinheiro no
Tempo
Gerenciamento de 
Riscos e Incertezas
Projetos e Análise 
de Investimentos
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Equações
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Juros da Economia – decisões COPOM
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11,25 11,25 11,75 
12,25 
13,00 
13,75 13,75 13,75 
12,75 
11,25 
10,25 
9,25 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 
9,50 
0,00 
2,00 
4,00 
6,00 
8,00 
10,00 
12,00 
14,00 
16,00 
17,25 
16,50 
15,75 15,25 14,75 14,25 13,75 13,25 13,00 12,75 12,50 12,00 11,50 11,25 11,25 11,25 11,25 11,25 11,75 
12,25 
13,00 
13,75 13,75 13,75 
12,75 
11,25 
10,25 
9,25 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 
9,50 
0,00 
2,00 
4,00 
6,00 
8,00 
10,00 
12,00 
14,00 
16,00 
18,00 
20,00 
Juros da Economia – decisões COPOM
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Fórmulas dos fatores de tabelas financeiras 
Fonte: http://www.bcb.gov.br/?INDECO
Vigência de Vigência até % a.a.
18.1.2006 8.3.2006 17,25 
8.3.2006 19.4.2006 16,50 
19.4.2006 31.5.2006 15,75 
31.5.2006 19.07.2006 15,25 
19.7.2006 30.08.2006 14,75 
30.8.2006 18.10.2006 14,25 
18.10.2006 29.11.2006 13,75 
29.11.2006 24.1.2007 13,25 
24.1.2007 7.3.2007 13,00 
7.3.2007 18.4.2007 12,75 
18.4.2007 6.6.2007 12,50 
6.6.2007 18.7.2007 12,00 
18.7.2007 5.9.2007 11,50 
5.9.2007 17.10.2007 11,25 
17.10.2007 5.12.2007 11,25 
5.12.2007 23.1.2008 11,25 
23.1.2008 5.3.2008 11,25 
5.3.2008 16.4.2008 11,25 
16.4.2008 4.6.2008 11,75 
4.6.2008 23.7.2008 12,25 
23.7.2008 10.9.2008 13,00 
10.9.2008 29.10.2008 13,75 
29.10.2008 10.12.2008 13,75 
10.12.2008 21.1.2009 13,75 
21.1.2009 11.3.2009 12,75 
11.3.2009 29.4.2009 11,25 
29.4.2009 10.6.2009 10,25 
10.6.2009 22.7.2009 9,25 
22.7.2009 2.9.2009 8,75 
2.9.2009 21.10.2009 8,75 
21.10.2009 9.12.2009 8,75 
9.12.2009 27.1.2010 8,75 
27.1.2010 17.3.2010 8,75 
17.3.2010 28.4.2010 8,75 
28.4.2010 9.6.2010 9,50 
Juros da Economia – decisões COPOM
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Taxas e Conversão de taxas 
 Em algumas transações financeiras, a taxa de juros
informada é apenas aparentemente correta, muitas
vezes pela intenção de fazer parecer que a taxa é
menor ou maior aos olhos de quem concorda com
ela.
 Exemplo: Consideremos uma taxa de 36% a.a.
Como converter essa taxa para capitalização
mensal?
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Taxas e Conversão de taxas 
 A regra utilizada por algumas transações
financeiras é:
 36% a.a.  36/12=3% a.m.
 Este valor está correto?
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Taxas e Conversão de taxas 
 Como converter de forma correta a taxa de 36%
a.a. em uma taxa mensal?
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Taxas e Conversão de taxas 
RECAPITULANDO:
Ex1: 36% a.a. / 12 = 3% a.m; 36% a.a. = (1,36)1/12 -1=2,5955 % a.m
Ex2: 4% a.m x12 = 48%; (1,04)12 =60,10% a.a
Para taxas pequenas, essa lógica funciona bem. Uma taxa de 6% a.a.
equivale a uma taxa mensal de 0,00486755, pela aplicação da seguinte
fórmula: Taxa equivalente = – 1. Na calculadora HP 12C, se
executarmos a seqüência 6|i|g|12÷, resultará uma taxa de 0,5.
A primeira, denomina-se taxa efetiva, a segunda, taxa nominal.
Na taxa efetiva, o período referido na taxa coincide com o período de
capitalização. Em caso contrário, a taxa é nominal. Exemplos de taxas
nominais: 40% a.a. com capitalização mensal; 12% a.s. com capitalização
trimestral.
 
12/1
06,01
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Taxas e Conversão de taxas 
Quando é dito que a taxa é de 60% ao ano com capitalização mensal,
significa que a taxa a ser efetivamente considerada será de: 60%/12 =
5% ao mês, aplicados em 12 períodos equivalem a: (1,05)12-1=79,59%
a.a. = Taxa efetiva anual.
 Qual a taxa efetiva mensal equivalente a 12% ao semestre?
(1+0,12)1/6 – 1 = 1,91% a.m (A49)
 Qual a taxa semestral equivalente a 10% a.m? (1+0,10)6-1=0,77 ou
77,16% a.s (um semestre contém seis meses) (A50)
F = P(1+i)n
(1+im)
12 = (1+it)
4  a taxa mensal im, aplicada doze vezes, deve dar o
mesmo resultado que a taxa trimestral it aplicada quatro vezes.
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Taxas e Conversão de taxas 
 Para transformação de taxas efetivas de período menor em taxa
efetiva de período maior temos:
Ou
Onde: iM é a taxa de maior período e im é a taxa de menor período
m
mM ii )1()1( 
   10011  mmM ii
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Taxas e Conversão de taxas 
 Para transformação de taxas efetivas de período maior em taxa
efetiva de período menor temos:
Ou
Onde: iM é a taxa de maior período e im é a taxa de menor período
m
Mm ii
1
)1()1( 
  10011
1






 mMm ii
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Taxas e Conversão de taxas – Exercícios
a) Qual a taxa equivalente mensal, de 42% ao ano
capitalizada trimestralmente? (vamos considerar
que, nesse caso, o banco multiplica por 4 a taxa
trimestral para obter a taxa anual nominal) (A51)
b) Qual é a taxa efetiva anual, de 24% ao semestre
capitalizada mensalmente? (vamos considerar que
nesse caso o banco multiplica por 6 a taxa mensal
para obter a taxa semestral nominal) (A51)
(42%/4)=10.5%/3=3,5%^12=51,11% a.a
(24%x2)=48% a.a
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Taxas e Conversão de taxas – Exercícios
(c) Uma companhia planeja depositar UM 100.000,00
em um fundo no fim de cada ano, durante os
próximos três anos. Se o fundo paga uma taxa de
6,00% a.a, com capitalização quadrimestral, quanto
a companhia terá no fim do sexto ano? (vamos
considerar que, nesse caso, o banco multiplica por 3
a taxa quadrimestral para obter a taxa anual
nominal) [380.920,27]
(c) Um agiota empresta dinheiro para mensalistas
apertados nas seguintes condições: “te dou 5.000 e
tu me devolverás 5.500 em uma semana”. Qual a
taxa de juros anual envolvida na transação?
(6%/3)=1.02^1/4=1.004963^12-1=6,1208% a.a
10% por semana ^ 52-1*100 = 14.104,29% a.a
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Taxa de desconto 
 A diferença entre o desconto e o juro é que 
o desconto é calculado a partir do valor futuro, 
enquanto que o juro sobre o valor presente. 
Equação: (d =j/(1+j))
 Exemplo: Um determinado produto é vendido à 
vista com desconto de 10%. Qual a taxa de 
juros que será paga por quem optar pela 
compra com cheque pré-datado para 30 dias?
J =(0,10/(1-0,10))  j = 0,111111 ou 11.11%. OU 90|CHS|PV; n=1; 100|FV;iEngenharia Econômica
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Séries em gradiente
 Se numa série contínua de compromissos 
financeiros existir um aumento contínuo em 
cada período, tal aumento é designado por 
G e se chama Gradiente Aritmético.
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A partir do próximo segundo ano, desejo aplicar anualmente, de 
forma crescente, um valor múltiplo de $ 10.000,00, 
multiplicando-se o primeiro valor por 1, o segundo por 2, e 
assim por diante. Quanto terei no final de 7 aplicações, 
considerando-se uma taxa anual de juros igual a 25%? (B38) 
F=U((1+i)n-1/i) (fórmula para n anuidades)
F = G(((1+i)n -1-ni)/i2) (fórmula do gradiente, derivada da anterior)
=10.000(((1+0,25)8-1-8x0,25)/0,252)
F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj;10.000|g|CFj; 20.000|g|CFj; 
30.000|g|CFj; 40.000|g|CFj; 50.000|g|CFj; 60.000|g|CFj; 70.000|g|CFj; 
25|i;f|NPV;25|i; 8|n;FV (473.674,30)
Ex 11
Séries em gradiente
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Quanto deverei aplicar agora, a uma taxa de juros de 6% a.a., para 
obter, a partir do próximo segundo ano, uma série de 5 
pagamentos, sendo que o primeiro pagamento é G = R$ 
20.000,00 e os outros são gradativamente, crescentes 
formando uma série uniforme gradiente igual a G, 2G, 3G, 4G 
e 5G? (B41)
F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj; 20.000|g|CFj; 40.000|g|CFj; 
60.000|g|CFj; 80.000|g|CFj; 100.000|g|CFj; 6|i;f|NPV (229.187,03)
P = G(((1+i)n -1 – ni)/(i2(1+i)n))
Ex 12
Séries em gradiente
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Quanto deverei aplicar de forma uniforme, durante 8 períodos 
anuais, a uma taxa de juros de 15% anuais, para obter, a 
partir do segundo período, uma série de 7 pagamentos 
gradativamente crescentes, de tal forma que o primeiro seja 
igual a G = $ 5.000,00, formando com os outros uma série 
uniforme gradiente igual a G, 2G, 3G, 4G,5G, 6G,7G? (B44)
F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj;5.000|g|CFj; 10.000|g|CFj; 15.000|g|CFj; 
20.000|g|CFj; 25.000|g|CFj; 30.000|g|CFj; 35.000|g|CFj; 15|i;f|NPV 
(62.403,58) 
62403,58|CHS|PV;15|i;8|n;PMT (13.906,64)
U = G(((1+i)n -1 – ni)/(i((1+i)n -1))
Ex13
Séries em gradiente
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Quanto deverei aplicar de forma uniforme, durante 8 períodos 
anuais, a uma taxa de juros de 15% anuais, para obter, a 
partir do segundo período, uma série de 7 pagamentos 
gradativamente crescentes, de tal forma que o primeiro seja 
igual a G = $ 5.000,00, formando com os outros uma série 
uniforme gradiente igual a G, 2G, 3G, 4G,5G, 6G,7G? (B44)
F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj;5.000|g|CFj; 10.000|g|CFj; 15.000|g|CFj; 
20.000|g|CFj; 25.000|g|CFj; 30.000|g|CFj; 35.000|g|CFj; 15|i;f|NPV 
(62.403,58) 
62403,58|CHS|PV;15|i;8|n;PMT (13.906,64)
U = G(((1+i)n -1 – ni)/(i((1+i)n -1))
Ex13
Séries em gradiente
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Inflação
• Inflação é a perda do poder aquisitivo da moeda. Possíveis 
causas: aumento da demanda sem o respectivo aumento da 
produção; aumento de custos de fatores de produção de 
alguns produtos; especulação com estoques ou excesso de 
circulação de moeda.
• Impactos na matemática financeira e na análise de 
investimentos: a correção monetária visa corrigir a moeda na 
medida exata da inflação. Utiliza-se, na prática, a taxa de 
inflação para produzir a correção monetária.
• Aplica-se, primeiramente, uma taxa de correção monetária, 
inflação ou variação cambial para, depois, aplicar-se a taxa de 
juros.
• A variação cambial aparecerá nos problemas de empréstimos 
de forma análoga à correção monetária.
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Inflação 
Uma empresa brasileira fez um empréstimo equivalente a UM 
2.000.000,00 em um banco alemão, nas seguintes condições:
- Juros de 2,8% ao trimestre; 
- Pagamentos em cinco prestações anuais, em marcos.
Se a valorização do marco em relação à UM nos próximos
anos for estimada em 36%, 35%, 38%, 40% e 39%, calcule
o valor em UM das prestações a serem pagas. (A86)
Taxa equivalente anual: (1+0,028)4 = 1+i  i = 11,679242
Valor das amortizações: 2.000.000/5 = 400.000,00  Amortização não corrigida
Juros:
J1 = 11,68/100 x 2.000.00 = 233.585,84
J2 = 11,68/100 x 1.600.00 =186.867,88
J3 = 11,68/100 x 1.200.00 = 140.150,91
J4 = 11,68/100 x 800.00 = 93.433,94
J5 = 11,68/100 x 400.000 = 46.716,97
Prestações:
P1 = (400.000 + 233.585,84) x 1,36
P2 = (400.000 + 186.867,88) x 1,36 x 1,35
P3 = (400.000 + 140.150,91) x 1,36 x 1,35 x 1,38
P4 = (400.000 + 93.433,94) x 1,36 x 1,35 x 1,38 x 1,40
P5 = (400.000 + 46.716,97) x 1,36 x 1,35 x 1,38 x 1,40 x 1,39
Resposta: 2.202.556,46
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Inflação 
1º passo: estruturar o fluxo de caixa original (100|CHS; 40,50,60 – receitas)
2º passo: estimar as parcelas a corrigir, aplicando-se a variação cambial sobre as parcelas
Parcela corrigida no ano 1 = 40 x (1+0,2) = 48
Parcela corrigida no ano 2 = 50 x (1+0,2) x (1+0,25) = 75
Parcela corrigida no ano 3 = 60 x (1+0,2) x (1+0,25) x (1+0,3) = 117
Uma empresa investirá UM 100,00 num projeto voltado à exportação que 
lhe proporcionará lucros de UM 40,00 no 1º ano, UM 50,00 no 2º ano e UM 
60,00 no 3º ano . É estimada uma valorização do dólar em relaçao à UM 
considerada, de 20, 25 e 30%, respectivamente para o 1º, 2º e 3º anos, e 
evidentemente os lucros da empresa crescerão com a variação cambial. Por 
outro lado, é estimada uma inflação no período, de 22, 28 e 35%. 
Pergunta-se qual a taxa de retorno real deste investimento? (A86) 
3º passo: ajustar o fluxo em função das estimativas da inflação
Parcela ajustada no ano 1 = 48/(1+0,22) = 39,34
Parcela ajustada no ano 2 = 75/(1+0,22) x (1+0,28) = 48,03
Parcela ajustada no ano 3 = 117/(1+0,22) x (1+0,28) x x (1+0,35) = 55,50
4º passo: Calcular a taxa real de retorno do investimento
VP = 0 = -100 + 39,34/(1+i) + 48,03 (1+i)2 + 55,50/ (1+i)3
100|CHS|g|Cfo; 39,34|g|CFj; 48,03|g|CFj; 55,50|g|CFj; f|IRR (18,95%) a.a.
Engenharia Econômica
© Chaim2010
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Inflação e Análise de investimentos
A análise de investimentos deve ser baseada nos índices de 
inflação, quando esta ocorrer. Por exemplo, um aplicador que
teve um rendimento de 45% a.a. quando a inflação neste ano
foi de 30% teve um rendimento real de: 
1,45/1,30 – 1 = 01154 ou 11,54% reais.
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Inflação – Exercícios propostos
Qual a taxa efetiva global semestral (resultado em %) a88
(a) 5% a.m de correção monetária mais 10% ao trimestre de juros (62,15);
(b) 2% à quinzena de correção cambial mais 15% a.a. de juros (36%)
Qual a taxa efetiva anual de:
(a) Correção monetária de 1% a.m e juros de 12% a.a. (74,90%)
(b) 30% ao semestre com capitalização quinzenal (80,87 %)
(c) 50% a.a. com correção monetária de 15% ao trimestre (162,35%)
Tarefa para a próxima aula: Resolver os exercícios acima e entregar o 
manuscrito em uma folha.