Assunto de algebra legal

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Álgebras e Tecnologia Iniciação à Nova Matemática da Engenharia 
2 – Combinações Lineares Geloneze-Menochi 
 
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§2. COMBINAÇÕES LINEARES E DEPENDÊNCIA LINEAR 
 
2.1 COMBINAÇÕES LINEARES E DEPENDÊNCIA LINEAR 
 
Dentro dos espaços vetoriais existem outros espaços vetoriais 
chamados de subespaços vetoriais. Para estudar subespaços vetoriais 
precisamos de combinações lineares de vetores. 
 
Definição 2.1.1 Sejam V um espaço vetorial sobre e os vetores 
v1, v2, ..., vm ∈ V. Qualquer vetor v da forma a1v1 + a2v2 + ... + amvm, 
onde ai ∈ , é chamado uma combinação linear de {v1, v2, ..., vm}. 
O conjunto de todas essas combinações lineares, denotado por 
<{v1, v2, ..., vm}> é chamado espaço gerado por {v1, v2, ..., vm}. 
De um modo geral, para qualquer subconjunto S de V, o símbolo 
〈S〉 representa todas as combinações lineares de vetores em S; 
definimos 〈S〉 = {0} se S é vazio, isto é, 〈∅〉 = {0}. 
Dado um espaço vetorial V, diz-se que os vetores w1, w2, ..., wr 
geram V, ou formam um conjunto gerador do espaço V, 
se V = 〈{w1, w2, ..., wr}〉. Em outras palavras, os vetores w1, w2, ..., wr 
geram V se, para todo v ∈ V, existem escalares a1, a2, ..., ar tais que 
 
v = a1w1 + a2w2 + ... + arwr, 
 
isto é, se v é uma combinação linear dos wi, 1 ≤ i ≤ r. 
 
 
O novo método atraiu muito pouco a atenção. A convite de Klein,
Ricci e seu antigo discípulo Levi-Civita prepararam um artigo
sobre o cálculo tensorial e suas aplicações à física matemática
para publicá-lo em uma revista que era lida por matemáticos
de todas as nacionalidades. O artigo apareceu em francês
em 1901 e produziu muito pouco efeito. Porém, alguns geômetras
curiosos não italianos captaram o novo cálculo e, pelo menos
um, Grossmann, de Zurique, o compreendeu e o ensinou
a Einstein. O cálculo tensorial era uma classe particular
da álgebra vetorial generalizada, muito apropriada para
expressar as equações diferenciais da relatividade em forma
covariante, como exige um postulado da teoria de Einstein. 
E. T. Bell
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Exemplo 2.1.1 Os vetores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) 
geram o espaço vetorial ℝ3. Especificamente, para qualquer vetor 
u = (a, b, c) de 3, temos: 
 
u = (a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1) = a i + b j + c k. 
 
Portanto, u é uma combinação linear de i, j e k. 
 
Exemplo 2.1.2 Consideremos o espaço vetorial 3. O espaço gerado 
por qualquer vetor não-nulo u ∈ 3 consiste de todos os múltiplos 
escalares de u; geometricamente, 〈{u}〉 é a reta que passa pela origem 
(0, 0, 0) e pela extremidade de u. Se tomarmos dois vetores quaisquer 
u, v∈ 3 que não sejam múltiplos um do outro, 〈{u, v}〉 é o plano que 
passa pela origem (0, 0, 0) e que contém os pontos extremos de u e v. 
 
Exemplo 2.1.3 Os polinômios 1, t, t2, t3, ... , geram o espaço vetorial 
P(t) de todos os polinômios, isto é, P(t) = 〈{1, t, t2, t3, ...}〉. 
Isso significa que qualquer polinômio é uma combinação linear 
de 1 e de potências de t. Analogamente, os polinômios 1, t, t2, ..., tn, 
geram o espaço Pn(t) de todos os polinômios de grau ≤ n. 
 
2.2 DEPENDÊNCIA LINEAR 
 
Dado um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vk}, consideremos as suas 
combinações a1v1 + a2v2 + ... + akvk. A combinação trivial, com todos 
os “pesos” ai = 0, obviamente produz o vetor nulo: 0v1 + 0v2 + ... + 0vk 
= 0 com os vi. A questão é saber se essa é a única maneira de se 
produzir o vetor nulo com os vi. Se a resposta for afirmativa, dizemos 
que os vetores são linearmente independentes. Se alguma outra 
combinação, que não seja a nula, produz também o vetor nulo, então 
eles são linearmente dependentes. 
 
Definição 2.2.1 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo . 
Os vetores v1, v2, ..., vk ∈ V são linearmente dependentes sobre 
ou, simplesmente, dependentes, se existem escalares 
a1, a2, ..., ak ∈ , não simultaneamente nulos, tais que 
 
a1v1 + a2v2 + ... + akvk = 0. 
 
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Caso contrário, os vetores são linearmente independentes sobre , 
ou simplesmente independentes. 
Os conceitos de combinação linear e de dependência linear estão 
estreitamente relacionados, pois os vetores são linearmente 
dependentes se, e somente se, um deles é combinação linear 
dos outros. 
 
Exercício 2.2.1 Suponhamos que dois ou mais vetores, não 
simultaneamente nulos, v1, v2, ..., vm sejam linearmente dependentes. 
Então, um dos vetores é combinação linear dos precedentes, isto é, 
existe um k > 1 tal que 
 
vk = a1v1 + a2v2 + ... + ak− 1 vk − 1 + ak + 1 vk + 1 + … + am vm. 
 
Definição 2.2.2 Dizemos que um conjunto {v1, v2, ..., vm} de vetores 
é linearmente dependente (l.d.) (independente (l.i.)), conforme o sejam 
os vetores v1, v2, ..., vm. Um conjunto infinito S de vetores 
é linearmente dependente se existem vetores u1, u2, ..., um em S que 
são linearmente dependentes; caso contrário, S é linearmente 
independente. Define-se o conjunto vazio Ø como linearmente 
independente. 
 
Decorrem das definições acima as seguintes observações: 
 
Observação 2.2.1 Se 0 é um dos vetores v1, v2, ..., vm, digamos 
v1 = 0, então os vetores devem ser linearmente dependentes, 
pois 1v1 + 0v2 + ... + 0vm = 1.0 + 0 + ...+ 0 = 0 e o coeficiente de 1v 
não é zero. 
 
Observação 2.2.2 Qualquer vetor não-nulo v é linearmente 
independente; pois cv = 0, v ≠ 0 implica c = 0. Assim, a única 
combinação linear do conjunto {v} que produz o vetor nulo é 0.v. 
 
Observação 2.2.3 Se dois dos vetores v1, v2, ..., vm são iguais, ou se 
um é múltiplo escalar do outro, digamos, se v1 = cv2, então 
os vetores são linearmente dependentes, pois 
 
1v1 − cv2 + 0v3 + ... + 0vm = 0. 
 
Observação 2.2.4 Dois vetores v1 e v2 são linearmente dependentes 
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se, e somente se, um deles é múltiplo do outro. 
 
Observação 2.2.5 Se o conjunto {v1, v2, ..., vm} é linearmente 
independente, então também o será qualquer subconjunto 
seu de vetores {
kii
vv ,,
1
K }. 
 
Observação 2.2.6 Se um conjunto S de vetores é linearmente 
independente, então qualquer subconjunto de S também o é. Por outro 
lado, se S contém algum subconjunto linearmente dependente, então 
o próprio S é linearmente dependente. 
 
Observação 2.2.7 No espaço real 3, a dependência linear de vetores 
pode ser descrita da seguinte maneira: 
a) Dois vetores quaisquer v1 e v2 são linearmente dependentesse, 
e somente se, possuem a mesma reta suporte pela origem; 
b) Três vetores quaisquer v1, v2 e v3 são linearmente dependentes 
se, e somente se, estão em um mesmo plano que passa pela 
origem. Quatro vetores são l.d. em 3. 
 
2.3 SUBESPAÇOS GERADOS, BASES E DIMENSÃO 
 
2.3.1 SUBESPAÇOS GERADOS 
 
Se v1, v2, ..., vn são vetores em um espaço vetorial V sobre um corpo 
K, alguns vetores de V se expressam como combinações lineares 
desses vetores enquanto que outros vetores não. Um conjunto 
de vetores “gera” um subespaço por meio das chamadas combinações 
lineares de vetores. O próximo passo em nossa discussão será 
o de mostrar que, se nós considerarmos um conjunto U, que consiste 
de todos os vetores que podem ser expressos por combinações lineares 
de v1, v2, ..., vn, então U será um subespaço vetorial de V. 
 
Teorema 2.3 .1 Se v1, v2, ..., vn são vetores em um espaço vetorial 
V sobre um corpo K, então: 
a) o conjunto U de todas as combinações lineares de v1, v2, ..., vn 
é um subespaço vetorial de V; 
b) U é o menor subespaço de V que contém v1, v2, ..., vn, no seguinte 
sentido: qualquer subespaço de V que contém v1, v2, ..., vn também 
contém U. 
 
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Demonstração. 
a) Para demonstrar que U é um subespaço de V, basta mostrar que 
U é fechado para as operações de adição e multiplicação por escalar. 
U contém os vetores v1, v2, ..., vn e também o vetor nulo, pois 
0 = 0v1 + 0v2, + ... + 0vm. Se u e v são vetores em U, então 
 
u = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn e v = d1v1 + d2v2 + ... + dnvn, 
 
onde os ci’s e os di’s são escalares, 1 ≤ i ≤ r. Logo 
 
u + v = (c1 + d1) v1 + ... + (cn + dn) vn 
 
e, para um escalar arbitrário a, au = (ac1) v1 + (ac2) v2 + ... + (acn) vn. 
Portanto, u + v e au se expressam como combinações lineares 
de v1, v2, ..., vn e, conseqüentemente, estão em U. Isso mostra que 
U é fechado em relação às operações de adição e multiplicação 
por escalar. 
 
Exercício 2.3.1 Demonstre o item b) do teorema acima. 
 
Exercício 2.3.2 Seja S um subconjunto de um espaço vetorial V. 
Demonstre que: 
(a) 〈S〉 é um subespaço de V que contém S; (b) se W é um subespaço 
de V que contém S, então 〈S〉 ⊂ W . 
 
Concluímos do exercício anterior que 〈S〉 é o menor subespaço 
de W que contém S. Assim, o processo de combinação linear 
de vetores de um conjunto S, não só gera um subespaço vetorial, 
mas o faz da maneira mais econômica possível. Essa idéia de geração 
da menor subestrutura possível que contém um subconjunto, dentro 
de uma estrutura previamente dada, constitui uma importante 
estratégia na solução de problemas em Matemática. 
Definimos, então, subespaços vetoriais gerados por um conjunto S 
de vetores: 
 
Definição 2.3.1 Se S = {v1, v2, ..., vn} é um conjunto de vetores 
de um espaço vetorial V, então o subespaço U de V, que consiste 
de todas as combinações lineares dos vetores em S, é chamado 
o espaço gerado por v1, v2, ..., vn. Nesse caso, dizemos que v1, v2, ..., vn 
geram U. Em outras palavras, todo vetor v em U se expressa como 
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combinação linear dos vi’s, isto é, 
 
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn 
 
para coeficientes ai em K. Para indicar que U é o espaço vetorial 
gerado pelos vetores do conjunto S = {v1, v2, ... , vn}, nós escrevemos 
U = 〈S〉 ou U = 〈{v1, v2, ... , vn}〉. 
 
Exemplo 2.3.1 Se u e v são vetores não colineares em 3, então 
o subespaço gerado pelo conjunto {u, v}, que consiste no conjunto 
de todas as combinações lineares au + bv, é o plano determinado 
por u e v, isto é, o plano que passa pela origem e contém os vetores 
u e v. Se v é um vetor não nulo em 2, ou em 3, então o espaço 
gerado por {v}, que consiste no conjunto de todos os múltiplos 
escalares cv, é, em termos geométricos, a única reta determinada por 
v, ou seja, a reta que passa pela origem e pelo ponto v. 
 
De longe, o espaço vetorial mais importante para nós, nessa 
coleção de apoio à Nova Matemática da Engenharia, é o espaço 3. 
É nesse espaço, ou em algum dos seus subespaços planos, que 
estudaremos as translações e rotações da garra do robô, e colocaremos 
os sistemas de coordenadas cartesianas, associados aos diversos elos 
com origem em suas juntas. 
 
Exemplo 2.3.2 Os vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) 
geram o espaço vetorial 3, pois qualquer vetor (a, b, c) em 3 
é uma combinação linear dos ei’s; especificamente: 
 
(a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = a e1 + b e2 + c e3. 
 
Exemplo 2.3.3 Os polinômios 1, x, x2, ..., xn geram o espaço vetorial 
Pn, pois cada polinômio p em Pn pode ser escrito 
como p = a01 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn que é uma combinação linear 
de 1, x, x2, ... , xn. Portanto, Pn = 〈{1, x, x2, ..., xn}〉. 
 
Os polinômios 1, x, x2, ..., xn, xn + 1, ... , geram o espaço vetorial 
de todos os polinômios em x, pois qualquer polinômio 
é uma combinação linear do polinômio constante 1 e das potências 
em x. 
 
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Exercício 2.3.3 Mostre que o espaço vetorial V dos polinômios 
sobre um corpo qualquer K, não pode ser gerado por um número finito 
de vetores. 
 
Exercício 2.3.4 Mostre que os vetores u = (2, 2, 1), v = (1, 0, 1) 
e w = (2, 1, 4) não geram o espaço vetorial 3 sobre . 
 
Os conjuntos geradores não são únicos. Vimos no exemplo que 
os vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) geram o espaço 
vetorial 3. Por outro lado, os vetores u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) 
e w = (0, 0, 1) também geram o espaço vetorial 3 sobre . 
 
Exercício 2.3.5 Se S = {v1, v2, ... , vn} e S’ = {w1, w2, ... , wk} 
são dois subconjuntos de vetores de um espaço vetorial V, 
então 〈{v1, v2, ... , vn}〉 = 〈{w1, w2, ... , wk}〉 se, e somente se, cada vetor 
em S é uma combinação linear dos vetores de S’, e cada vetor em S’ 
é uma combinação linear dos vetores em S. 
 
2.4.2 BASES E DIMENSÃO 
 
Os vetores u = (1, 0, 0) e v = (0, 1, 0) e w = (−2, 0, 0) geram o plano 
xy no espaço vetorial 3. Contudo não precisamos dos três 
para gerar o plano xy, pois bastam u e v para isso. 
Por outro lado, u e v são vetores linearmente independentes em 3 
e u, v e w são linearmente dependentes. 
 
Definição 2.4.2 Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto B 
de vetores satisfazendo as duas propriedades seguintes: 
 
a) B é linearmente independente; 
b) B gera V. 
 
A combinação dessas duas propriedades é absolutamente 
fundamental na Álgebra Linear. Istosignifica que todo vetor de V 
é uma combinação linear dos vetores de B, pois os vetores de B 
geram V. Isso também significa que essa combinação linear é única. 
De fato, se v = a1v1 + ... + anvn e, por outro lado, v = b1v1 + ... + bnvn 
então, se subtrairmos as equações uma da outra, membro a membro, 
obtemos: 
0 = v – v = iii vba )( −∑ . 
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Agora, observemos o papel fundamental da independência linear: 
como os vetores de B são linearmente independentes, segue-se 
que ai − bi tem que ser zero, para todos os índices i. Portanto, 
ai = bi para todo i, e concluímos que existe uma única maneira 
de expressar v como uma combinação linear dos vetores da base. 
 
Exemplo 2.4.4 Os vetores e1 = (1, 0, ... , 0), e2 = (0, 1, 0, ... , 0) , ... , 
en = (0, 0, ... , 0, 1) formam uma base B, chamada base usual, 
ou canônica, do espaço vetorial K n sobre o corpo K. 
 
Observemos que os vetores e1 = (1, 0, ... , 0), e2 = (0, 1, 0, ... , 0), 
... , en = (0, 0, ... , 0, 1) não formam a única base do espaço n. 
Em geral, um espaço vetorial sobre um corpo infinito, como é o caso 
do n sobre o corpo dos números reais, admite um número infinito 
de bases. 
A base de um espaço vetorial é uma generalização, para espaços 
vetoriais arbitrários, do sistema de coordenadas em espaços 
bi e tridimensionais. Para elucidar essa afirmação, recorde que 
demonstramos acima que existe uma única maneira de expressar 
um vetor arbitrário v como uma combinação linear dos vetores 
de uma base B. 
 
Exemplo 2.4.5 Considere o plano usual xy, ou seja, o espaço vetorial 
2
 sobre . O vetor v = (3, −2) é linearmente independente, 
mas é incapaz de gerar sozinho o plano 2. Os vetores u = (2, 2), 
v = (3, −2) e w = (1, 4) geram o 2, mas não da maneira 
mais econômica, isto é, não são independentes. Porém, quaisquer 
dois desses vetores formam uma base de 2, ou seja, geram 2 
da maneira mais econômica possível porque são linearmente 
independentes. 
 
Exemplo 2.4.6 Se S = {v1, v2, ... , vn} é um conjunto linearmente 
independente em um espaço vetorial V, então S é uma base 
do subespaço gerado 〈S〉, pois S gera 〈S〉 por definição de espaço 
gerado. 
 
Apesar de a escolha da base para se representar os vetores 
de um espaço não ser única, existe uma propriedade intrínseca 
do espaço que é comum a qualquer uma das bases. É um dos 
invariantes mais importantes da Matemática. Chama-se dimensão 
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do espaço vetorial. 
 
Notemos que uma das contribuições mais famosas 
de Einstein foi a idéia de que o nosso universo tem quatro 
dimensões: as três dimensões de comprimento, largura 
e altura, e mais o tempo. Hoje existem teorias que propõem 
onze dimensões para o nosso universo. O famoso físico-
matemático Edward Witten, considerado o Einstein do final 
do Século XX, demonstrou um teorema que nos diz que 
a dimensão do universo tem que ser ímpar. Como a teoria 
física chamada de “o modelo padrão” precisa de dez 
dimensões para acomodar matematicamente todas 
as partículas conhecidas, segue-se que o nosso universo deve 
ter pelo menos onze dimensões. É também interessante 
especular que, quando um elétron “desaparece” de um nível 
quântico dentro de um átomo para “reaparecer” em outro, 
na verdade ele “se moveu continuamente” de um nível 
para outro mas em uma dimensão que não somos capazes 
de detectar! 
 
Teorema 2.4.2 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. 
Então, todas as bases de V têm o mesmo número de elementos. 
 
Exercício 2.4.6 (a) Suponha que B1 = {v1, v2, ... , vn} 
e B2 = {w1, w2, ... , wm} sejam bases de um mesmo espaço vetorial V. 
Demonstre que m = n. Conclua o teorema acima. 
 
O Teorema 2.4.2 implica que todas as bases de n têm o mesmo 
número n de vetores. Em particular, todas as bases de 3 têm 
3 vetores, todas as bases de 2 têm 2 vetores e todas as bases de 1 = 
 têm um vetor. Intuitivamente, 3 é tridimensional, 2 (um plano) 
é bidimensional e (uma reta) é unidimensional. Assim, o número 
de vetores de uma base é o mesmo que a dimensão desses espaços. 
 
Definição 2.4.3 A dimensão de um espaço vetorial é definida como o 
número de vetores de uma base de V e denotada por dim V. Se uma 
base for infinita, dizemos que o espaço é de dimensão infinita. Além 
disso, definimos o espaço vetorial nulo como tendo dimensão zero. 
 
Exemplo 2.4.7 Seja K um corpo qualquer. Consideremos o espaço 
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vetorial Kn que consiste de n − uplas de elementos de K. 
Os vetores e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,0,...,0) , ......, en = (0,0,...,0,1) 
formam a base usual ou canônica de Kn. Assim, Kn tem 
dimensão n, ou seja, é um espaço vetorial de dimensão n 
sobre K. 
 
Exemplo 2.4.8 Seja U o espaço de todas as matrizes 2×2 sobre 
o corpo K. Então, as matrizes 
 




00
01
, 



00
10
, 



01
00
, 



10
00
 
 
formam uma base de U. Portanto, dim U = 4. 
 
Sejam V o espaço vetorial de todas matrizes m×n sobre K e seja 
Eij ∈ V a matriz cujo elemento ij é 1 e que tem 0 nas demais posições. 
Então, o conjunto {Eij} é a base usual de V; conseqüentemente 
dim Eij = mn. 
 
Exemplo 2.4.9 Seja Pn o espaço vetorial dos polinômios na variável x 
de grau ≤ n. O conjunto {1, x, x2, ..., xn} é linearmente independente 
e gera Pn. Assim, ele é uma base de Pn, logo dim Pn = n + 1. 
Por outro lado, o espaço vetorial de todos os polinômios não é 
de dimensão finita, pois nenhum conjunto finito de polinômios 
gera esse espaço como vimos no parágrafo anterior. Logo, esse espaço 
é de dimensão infinita. 
 
A principal relação entre a dimensão de um espaço vetorial 
e seus subconjuntos de vetores linearmente independentes está contida 
no seguinte resultado: 
 
Teorema 2.4.3 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. 
Então: 
a) Qualquer conjunto de n + 1, ou mais, vetores é linearmente 
dependente. 
b) Qualquer conjunto linearmente independente é parte 
de uma base, isto é, pode ser estendido a uma base de V. 
c) Um conjunto linearmente independente com n elementos é 
uma base de V. 
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Exercício 2.4.7 Demonstre o teorema 2.4.3.Exemplo 2.4.10 Os vetores (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), 
(0, 0, 0, 1) de 4 são linearmente independentes. Como dim 4 = 4, 
segue-se, do resultado anterior, que eles formam uma base de 4. 
 
Exemplo 2.4.11 Os quatro vetores (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) 
e (1, 0, 0) de 3 são linearmente dependentes, pois pertencem 
a um espaço vetorial de dimensão 3. 
 
O teorema seguinte nos ensina uma relação básica 
entre a dimensão n de um espaço vetorial V e a dimensão m 
de um subespaço seu: 
 
Teorema 2.4.4 Seja W um subespaço de um espaço vetorial V 
n-dimensional. Então, dim W ≤ n. Em particular, se dim W = n, 
então W = V. 
 
Exercício 2.4.8. Demonstre o Teorema 2.4.4. 
 
Exemplo 2.4.12 Seja W um subespaço do espaço vetorial 3. 
Como dim 3 = 3, segue-se, pelo teorema precedente, que a dimensão 
de W só pode ser 0, 1, 2 ou 3, Portanto: 
 
(a) se dim W = 0, então W = {0}, um ponto; 
(b) se dim W = 1, então W é uma reta passando pela origem; 
(c) se dim W = 2, então W é um plano passando pela origem; 
(d) se dim W = 3, então W = 3. 
 
2.5 COORDENADAS 
 
Seja B = {v1, v2, ... , vn} uma base de um espaço vetorial V 
n − dimensional sobre um corpo K, e seja v um vetor qualquer em V. 
Como B gera V, v é uma combinação linear dos vi’s, isto é: 
 
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn, ai ∈ K. 
 
Como os vi’s são linearmente independentes, tal representação é única, 
isto é, os n escalares a1, a2, ... , an são completamente determinados 
pelo vetor v e a base B, como já vimos anteriormente. Dizemos que 
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esses escalares são as coordenadas de v em relação à base {vi}. 
Assim, denominamos a n − upla (a1, a2, ... , an) coordenadas de v 
em relação à base B, e a representamos por [v]B, ou simplesmente [v]. 
 
Exercício 2.5.9 Encontre as coordenadas de v = (4, −3, 2) em relação 
à base {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} de 3. 
 
Devemos notar que as coordenadas dependem não só dos vetores 
da base, mas também da ordem em que escrevemos os vetores 
da base, pois qualquer mudança na ordem dos vetores da base resulta 
em uma mudança da ordem das coordenadas. 
Observemos que existe uma correspondência bijetora entre 
um espaço vetorial V sobre K de dimensão n, e o espaço vetorial Kn. 
Tal correspondência preserva as operações de adição e multiplicação 
por escalar dos espaços vetoriais. Quando ocorre uma correspondência 
como essa entre espaços vetoriais V e W, sobre o mesmo corpo, 
dizemos que os espaços envolvidos são isomorfos e escrevemos 
V ≅ W. 
Portanto, podemos afirmar que: 
 
Teorema 2.5.5 Seja V um espaço vetorial n-dimensional sobre 
um corpo K. Então, V e Kn são isomorfos. 
 
Demonstração. A cada vetor v ∈ V corresponde, relativamente 
a uma base dada {v1, v2, ... , vn}, uma n − upla [v]B em Kn. Por outro 
lado, se (a1, a2, ... , an) ∈ Kn, então existe um vetor em V da forma 
a1v1 + a2v2 + ... + anvn. Assim, a base {v1, v2, ... , vn} determina 
uma correspondência bijetora entre os vetores de V e todas 
as n − uplas de Kn. Observe também que, se v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn 
corresponde a (a1, a2, ... , an), e w = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn corresponde 
a (b1, b2, ... , bn), então a soma 
 
v + w = (a1 + b1) v1 + (a2 + b2) v2 + ... + (an + bn) vn 
 
corresponde à soma (a1, a2, ... , an) + (b1, b2, ... , bn) e, para qualquer 
escalar k ∈ K, kv = (ka1)v1 + (ka2)v2 + ... + (kan)vn corresponde 
a k(a1, a2, ... , an). 
 
Portanto, demonstramos que 
 
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2 – Combinações Lineares Geloneze-Menochi 
 
50
 
[v + w]B = [v]B + [w]B 
 
e 
 
 [kv]B = k[v]B. 
 
Exercício 2.5.10 Seja S = {(1, 2, 1), (2, 3, 0), (0, 0, 1)} uma base 
de 3. 
(a) Encontre as coordenadas de v = (4, −1, 0) em relação a S. 
(b) Encontre o vetor v em 3 cujas coordenadas em relação 
à base S são (−1, 2, 3). 
 
Notemos que ainda não demonstramos a existência de uma 
base em um espaço vetorial! Portanto, devemos perguntar 
imediatamente se um espaço vetorial sempre tem uma base. 
Isso é verdade e a demonstração depende de um dos Axiomas 
básicos da Teoria dos Conjuntos que está subjacente à teoria 
matemática na qual estamos trabalhando agora. Uma Lógica 
e uma Teoria de Conjuntos determinam uma matemática. 
A Lógica que estamos utilizando é a Lógica Clássica 
Aristotélica reformulada por Gottlob Frege no final do Século 
XIX. Podemos dizer que a Teoria de Conjuntos de Zermelo-
Fraenkel é a teoria de conjuntos subjacente à matemática 
na qual elaboramos os conceitos de álgebra real e de espaços 
vetoriais. O Axioma da Escolha, um dos axiomas básicos 
da Teoria de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, é a informação 
fundamental da qual derivamos o resultado “qualquer espaço 
vetorial possui uma base”. 
Uma outra Teoria de Conjuntos combinada com uma outra 
Lógica produzem uma outra matemática. A matemática 
na qual elaboramos, por exemplo, o modelo cinemático 
do robô plano chama-se Matemática Clássica. 
 
Uma outra pergunta obrigatória é se as bases de um espaço 
vetorial têm sempre o mesmo número de vetoresi. 
A resposta, como já sabemos é afirmativa, e fornece 
um dos mais importantes invariantes, não só da Matemática, 
mas também da Física: a dimensão de um espaço vetorial, finita ou 
infinita. 
 
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2 – Combinações Lineares Geloneze-Menochi 
 
51
 
NOTAS 
 
i
 Para discutir esse ponto é necessário lembrar que há infinitos infinitos e 
recorrer ao Lema de Zorn, tópicos que não podemos abordar aqui. 
	2.3 SUBESPAÇOS GERADOS, BASES E DIMENSÃO
	Exercício 2.3.1 Demonstre o item b) do teorema acima.