Unidade III Transformações Lineares

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Álgebra Linear II
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Junqueira 
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin 
Transformações Lineares
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• Introdução
• Transformações Lineares
• Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear
• Transformações Lineares e Matrizes
Os objetivos desta unidade são:
 » Introduzir o conceito de transformações lineares e procurar relacionar 
com as noções já trabalhadas, como função linear;
 » Trabalhar as propriedades de uma transformação linear, mostrar e 
solicitar exemplos de uma transformação linear;
 » Identificar transformações lineares injetoras, sobrejetoras e 
isomorfismos; 
 » Identificar a matriz associada a uma transformação linear e como 
operar como ela para obter o mesmo resultado;
 » Apresentar diversos exemplos e aplicações para auxiliar a construção 
dos conceitos.
Nesta Unidade, vamos estudar transformações lineares – um tipo particular de função definida 
entre espaços vetoriais, suas propriedades, teoremas, exemplos e algumas aplicações. 
Veremos que importância tem o núcleo e a imagem de uma transformação linear e suas 
relações com os respectivos espaços vetoriais a que pertencem.
Vamos estudar quando uma transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora, nesse 
caso, chamada de isomorfismo. Também veremos como uma transformação linear pode 
ter uma matriz associada a ela, com a qual podemos operar obtendo os mesmos resultados, 
muitas vezes de maneira mais simples. 
Veja que, dessa forma, estaremos articulando conhecimentos já estudados numa relação 
interdisciplinar interna à área da Matemática, como também vislumbrando articulações 
com outras áreas da Ciência por meio das aplicações. Nessa Unidade traçaremos este 
caminho, enquanto desenvolvemos estes importantes conceitos.
Transformações Lineares
6
Unidade: Transformações Lineares
Contextualização
Você já deve ter visto sequências de imagens que se sobrepõem, transformando-se em 
outras imagens, muito comuns em clipes musicais, em propagandas na TV ou no cinema, 
como essa a seguir.
Figura 1: Comercial da Esso de 1991, carro se transforma em tigre por meio do morfismo
Fonte: SCHROEDER, 2007.
A maioria dos aplicativos de computação gráfica permite a manipulação de uma imagem de 
várias maneiras, tais como a mudança de suas proporções, rotações ou cisalhamentos.
Outra técnica básica de manipulação de imagens é a distorção de uma imagem pelo 
movimento dos vértices de um retângulo que a contém. Essas técnicas de transformação são 
conhecidas por deformações e morfismos, que se caracteriza por misturas de fotografias reais 
com fotografias modificadas pelo computador. Tais técnicas de manipulação de imagens têm 
encontrado aplicações na indústria médica, científica e de entretenimento. Por exemplo, 
Crossfading, uma técnica de mistura de imagens, na qual duas imagens são sobrepostas e 
manipuladas computacionalmente, gerando um morfismo, como na figura a seguir:
No Crossfading, duas imagens são sobrepostas 
de forma ponderada e normalizada por meio de 
interpolação linear, ou seja, duas imagens são 
colocadas juntas e cada uma contribuirá com uma 
porcentagem pré-definida na imagem de saída, 
satisfazendo a equação CF = (i.A) + (1- i).B, onde A e 
B são duas imagens qualquer e i é o valor da mistura 
(porcentagem de visualização da primeira imagem). 
Vale ressaltar que a soma das porcentagens de A e 
B dá sempre 1.
Para gerar este efeito durante um determinado 
período de tempo, é necessário somente iniciar o 
valor de i=1, para que a imagem A seja exibida completamente, e ir decrescendo até que 
chegue em 0, quando a imagem B será exibida por completo, como mostra a figura a seguir:
Figura 2. Deformações e morfismos.
7
Figura 3. Exemplo de Crossfading no tempo.
Fonte: WOLBERG, 1998.
 Já a técnica da Malha de Pontos Deformável utiliza pontos que, por sua vez, dão 
origem a uma malha que separa as regiões características da imagem em uma série de 
polígonos independentes. 
Figura 4. Exemplo de utilização da Malha Deformável
Fonte: WOLBERG, 1998.
O livro do Anton & Rorres, da nossa bibliografia, entre as aplicações de álgebra linear traz 
exemplos de envelhecimento de imagens, como as que se seguem: duas imagens da mesma 
mulher com uma diferença de 20 anos entre elas:
Figura 5. Imagem inicial e final.
 
 Fonte: ANTON, RORRES, 2001, p. 497.
As técnicas de computação gráfica que permitem projetar o envelhecimento de uma pessoa 
ao longo do tempo vêm possibilitando, entre outras coisas, a previsão de como seria hoje o 
rosto de uma criança desaparecida há tempos, processo este obtido a partir de poucas fotos 
dela ou de familiares, o que vem sendo usado e divulgado por alguns institutos de criminalística, 
por vezes com resultados positivos. 
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Unidade: Transformações Lineares
Aplicações muito úteis se verificam também nas áreas da Medicina.O desenvolvimento dos 
novos equipamentos para aquisição de imagens médicas (tomográficos, ultrassom, ressonância, 
videoscópios etc.) permite adquirir informações anatômicas específicas dos pacientes. 
Estes dados (imagens) devem ser processados para realçar e extrair características. Nesse 
caso, técnicas de processamento de imagens e reconhecimento de padrões são muito 
importantes, tanto para automatizar certos procedimentos, quanto para facilitar a interação e 
combinação dos dados, auxiliando o diagnóstico por imagens médicas. 
A projeção computacional de imagens também é bastante utilizada hoje para possibilitar a 
construção de réplicas de fósseis descobertos ou de faces a partir de um crânio encontrado. 
Um caso emblemático foi a reconstrução da mulher mais velha do Brasil e que não foi 
feita por nenhum cirurgião plástico, mas por meio de cientistas e pesquisadores de diversas 
áreas: a reconstrução de um rosto de 11.500 anos, Luzia, a primeira brasileira, o que veio a 
revolucionar as teorias de ocupação do continente americano. 
“Luzia” foi o nome dado a essa personagem associada à reconstrução facial e a um crânio pré-
histórico de milhares de anos escavado na região de Lagoa Santa, Minas Gerais, na década de 1970. 
Encontrado nos fundos de uma gruta, o crânio teria permanecido “esquecido” nas gavetas 
da reserva técnica do Museu Nacional, Rio de Janeiro, até ser “resgatado” e passar a figurar 
como um dos mais antigos registros da presença humana nas Américas. 
Por volta de 1999 e 2000, esse feito teve boa parte dos holofotes concedidos às mais 
importantes descobertas no campo científico. Desde então, tornou-se uma espécie de ícone 
científico e cultural no Brasil.
O impacto da descoberta e as interpretações a partir 
desta peça pré-histórica, que teria uma ancestralidade 
distante na África, têm sido de tal ordem que, nas palavras 
do bioantropólogo Walter Neves e do geógrafo Luís Piló, 
levaram a pré-história brasileira a ter um ícone próprio, tão 
importante quanto o Neandertal na Alemanha ou a Lucy 
na Etiópia.
A reconstituição do rosto de Luzia se deu em meio à ampla 
repercussão que os trabalhos de Neves e colaboradores 
tiveram na imprensa especializada internacional. 
Nesse âmbito, com vistas a realizar um documentário 
sobre o povoamento pré-histórico das Américas, a BBC 
de Londres financiou uma reconstrução crânio facial do 
espécime, em 1998, realizada por Richard Neave, da 
Universidade de Manchester, na Inglaterra. 
Feita a tomografia do crânio de Luzia no Brasil, as imagens foram enviadas para Manchester. 
Na Europa, foi gerada uma réplica do crânio em resina sobre a qual a face foi reconstruída em 
argila, na cor castanho-avermelhada. Tal reconstrução gerou uma face que sugere, visualmente 
falando, uma semelhança de Luzia com a aparência de populações de origem africana, fato 
este que gerou novas discussões e certa polêmica sobre a origem da ocupação dos continentes. 
Figura 7. Capa da Revista Veja, semana de 25 de agosto de 1999.
Fonte: Revista Veja
9
O processo, tanto para obtenção da imagem envelhecida, comopara recriar um rosto passa 
por diversas etapas, como a escolha dos vértices, triangulação das imagens, entre outras, que 
são de grande importância no resultado final.
No caso das deformações e morfismos, esse processo é similar, dependente do tempo, 
podendo ser feito começando por triangulação das imagens. Essas etapas são do campo da 
computação gráfica, que não é o objeto de nosso estudo aqui. 
Então o que tem a ver com nosso estudo? Na verdade, veremos constructos matemáticos 
subjacentes a essas técnicas computacionais, base de toda computação gráfica moderna que 
deu origem aos jogos 3D e efeitos especiais de filmes. Trata-se exatamente de transformações 
lineares, tema desta Unidade. 
Glossário
Um constructo é uma construção teórica que se desenvolve para resolver certo 
problema. Para a epistemologia, trata-se de um objeto conceitual ideal que implica 
uma classe de equivalência com processos cerebrais. O constructo está mais além 
de um processo mental concreto que se conhece como ideação (formar uma ideia, 
concepção), ou do processo físico e social, que implica a comunicação. Toda 
ação humana exige uma ação mental, uma criação, uma elaboração mental de 
conhecimentos múltiplos advindos de diversas fontes. Essas elaborações mentais 
com raízes na atividade humana são constructos. Para algumas ciências, como a 
matemática, os constructos são considerados objetos autônomos, mesmo que não 
tenham existência real. 
SCHROEDER, Greyce Nogueira. Morphing aplicado ao envelhecimento de imagens 
faciais. (2007). Dissertação de mestrado. Faculdade de Engenharia Elétrica e de 
Computação. Unicamp, Campinas, 2007; 
WOLBERG, G. The Visual Computer. Springer-Verlag,v. 14, 1998, p. 360-72;
 » http://www.ebah.com.br/content/ABAAABDYkAC/deformacao-morfismo-imagens. Acesso em: 5 nov. 2014; 
 » http://members.tripod.com/trab_alg_lin/def_morf.htm. Acesso em: 5 nov. 2014;
 » http://www.pergamum.udesc.br/dados-bu/000000/000000000013/0000139F.pdf. Acesso em: 5 nov. 2014;
 » http://www.scielo.br/pdf/mana/v15n2/a05v15n2.pdf. Acesso em: 5 nov. 2014.
http://www.ebah.com.br/content/ABAAABDYkAC/deformacao-morfismo-imagens
http://members.tripod.com/trab_alg_lin/def_morf.htm
http://www.pergamum.udesc.br/dados-bu/000000/000000000013/0000139F.pdf
http://www.scielo.br/pdf/mana/v15n2/a05v15n2.pdf
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Unidade: Transformações Lineares
Introdução
Agora que já sabemos o que são espaços vetoriais, estamos interessados em definir uma 
função entre espaços vetoriais. Não uma função qualquer, mas sim uma função que tem 
similaridade com a função linear definida entre conjuntos numéricos, só que agora os seus 
elementos, ao invés de números, serão vetores dos espaços vetoriais.
Vamos recordar o que é uma função linear à qual nos referimos?
Seja f: R → R tal que y = f(x) = ax, onde a é uma constante real e x ϵ R. Então, uma função 
linear definida no conjunto dos números reais e a valores reais é uma reta que passa pela 
origem, cuja inclinação é dada pela constante a. 
Funções lineares compreendem a forma mais simples de dependência entre variáveis. 
Observe agora que se pensarmos R como espaço vetorial, teremos de identificar os pontos da 
reta (números reais) x e y=ax como vetores da reta pensada como espaço vetorial, ou seja, se 
O é o ponto zero da reta real, P o ponto de coordenada x e Q o ponto de coordenada y da 
reta, então, teremos os vetores u=(OP

) e )(OQ=

v , tal que f(u)=v=au, um primeiro exemplo 
do que pretendemos tratar, como veremos a seguir. 
11
Transformações Lineares
Definição1
Sejam U e V dois espaços vetoriais sobre R. 
Uma função F: U → V é assim definida: para todo vetor u ∈ U, existe um único vetor v ∈ V, 
 tal que F(u) = v.
Vemos, então, que a definição de função é a mesma que já conhecemos definida em 
espaços euclidianos. 
Definição 2
Uma função T: U → V é uma transformação linear de U em V, se e somente se, satisfaz as 
seguintes condições: 
a. T(u1+u2) = T(u1) + T(u2), para todo u1, u2 ∈ U;
a. T(ku) = kT(u), para todo u ∈ U e todo escalar k real. 
Observação
Como estamos sempre tratando de espaços vetoriais sobre o corpo dos reais, 
sempre que nos referirmos aos escalares, este serão números reais. 
Exemplo 1
Sejam U = V = R e T(u) = a .u, para todo vetor u ∈ R, a escalar.
Vemos facilmente que T é uma transformação linear, pois:
a. T(u1+u2) = a(u1 + u2) = au1 +au2 = T(u1) + T(u2), para todo u1, u2 ∈ U.
b. T(ku) = a(ku) = k(au) = kT(u), para todo u ∈ U e todo escalar k real. 
Observe que este é exatamente o exemplo dado na introdução. Lá, como função linear da reta na 
reta real, aqui, como função definida no espaço vetorial R e usando a notação vetorial. 
Exemplo 2
Sejam U = R e V = R2 e T: U → V definida por: se u = x, T(u) = (x, 2x). Vamos verificar se 
T assim definida é uma transformação linear. 
a. T(u1 + u2) = T(x1 + x2) = ((x1 + x2), 2(x1 + x2)) = (x1 + x2), (2x1 + 2x2) = 
(x1, 2x1) + (x2 + 2x2) = T(x1) + T(x2) = T(u1) + T(u2)
b. T (ku) = T (kx) = (kx, 2kx) = (kx, k2x) = k(x, 2x) = kT(x) = kT(u)
Logo, T é uma transformação linear. 
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Unidade: Transformações Lineares
Exemplo 3:
Seja Pn(x) o espaço vetorial dos polinômios p de grau ≤ n, x ∈ R e com coeficientes reais, 
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 +....+anx
n. Seja T: Pn → Pn+1 assim definida: T(p) = T(p(x)) = x.p(x).
Vamos mostrar que T é uma transformação linear de Pn em Pn+1.
a. T(p + q) = T(p(x) + q(x)) = x.(p(x) + q(x)) = xp(x) + xq(x) = T(p) + T(q);
b. T(kp) = T(kp(x)) = x.(kp(x)) = k.(x.p(x)) = k.T(p(x)) = k.T(p) 
Logo, T é uma transformação linear. Observe que T(p) é um polinômio de grau (n+1) sem 
termo independente, T(p(x)) = a0x + a1x
2 + a2x
3 +....+anxn
+1. 
Exemplo 4
Seja V o espaço vetorial Rn e T a transformação que leva um vetor v ∈ Rn em suas coordenadas 
do Rn, ou seja, T: V → Rn tal que T(v)=(x1, x2, x3,...,xn). 
Claramente T é uma transformação linear que associa o vetor v do Rn às suas coordenadas 
do mesmo Rn. 
Lembre-se de que v pode ser identificado com o vetor determinado pelo segmento orientado 
OP

, em que O é a origem do Rn e P=(x1, x2, x3,...,xn). Estou ressaltando este fato, pois, 
embora pareça óbvio, devemos lembrar que estamos tratando do mesmo conjunto Rn, mas 
com estruturas diferentes, como espaço vetorial e espaço euclidiano. 
Veremos mais à frente que, apesar das estruturas diferentes, esses dois objetos matemáticos 
são isomorfos e a transformação linear aqui definida garante isto. 
Aproveito o ensejo para ressaltar que um vetor do Rn é uma classe de equivalência na qual 
são identificados todos que têm mesmo tamanho, direção e sentido, mas o ponto de aplicação 
é livre, daí, sem perder a generalidade, sempre podemos escolher o representante desta classe 
de equivalência como sendo v = OP

 . 
13
Relação de equivalência
Uma relação R definida num conjunto A é uma relação de equivalência se R é reflexiva, 
simétrica e transitiva. 
 » Reflexiva significa: a Ra, para todo a∈ A.
 » Simétrica significa: se aRb, então bRa, para a, b ∈ A.
 » Transitiva significa: se aRb e bRc, então aRc, para a, b, c ∈ A. 
A relação de igualdade é uma relação de equivalência, pois é reflexiva, a=a; simétrica, se 
a = b, então b = a; transitiva, se a = b e b = c, então a = c.
No conjunto Q dos números racionais, podemos definir uma relação de equivalência da 
seguinte forma: dois números racionais são equivalentes se, e somente se, suas frações 
irredutíveis são iguais. Daí, podemos pensar o conjunto dos números racionais representado 
por todas as suas frações irredutíveis. 
Uma classe de equivalência [a] do conjunto A é o subconjunto de todos os elementos b de 
A que estão relacionados com a pela relação de equivalência R, isto é, [a] = {b ∈ A: aRb}. 
Dessa forma, no caso de A = Q, temos, por exemplo, a classe de equivalência 
1
2
 
  
={ 1
2
m
n
= , m, n ∈ Z, n ≠ 0}.
No caso de vetores do espaço Rn, podemos estabelecer uma relação de equivalência R de 
forma que uRv, se u e v são vetores do Rn de mesmo tamanho, direçãoe sentido. Daí as 
classes de equivalência nesta relação são feixes de vetores de mesmo tamanho, direção e 
sentido. E podemos escolher um representante v de cada classe como sendo um desses 
vetores com ponto de aplicação na origem e ponto final P do Rn, isto é, v = OP

.
Exemplo 5
Seja U = M2x3 o espaço vetorial das matrizes A2x3 com elementos reais e V = M3x2 o espaço 
vetorial das matrizes B3x2 com elementos reais. Considere T: U → V assim definida:
a d
a b c
T b e
d e f
c f
 
   =       
É fácil verificar que T é uma transformação linear de U em V. Faça isto! 
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Unidade: Transformações Lineares
Exemplo 6
Uma transformação que não é linear.
Seja T: Mnxn → R, a transformação que leva uma matriz Anxn em seu determinante, ou seja, 
T(A) = det(A).
Observe que esta função T não satisfaz nenhuma das duas condições de uma transformação 
linear. Sabemos que det(A + B) ≠ det(A) + det(B). Basta tomar, por exemplo, para n = 2, 
1 1 0 1
     
2 0
 
3 0
 eA B
 −
=
  
   
   
= então 1 0  
4 0
A B

+ =

 
 
. 
Daí, temos: det(A) = 2, det(B) = - 3 e det (A+B) = 0 ≠ det (A) + det (B )= 2 -3= -1.
Além disso, também sabemos que se Anxn com det(A) ≠ 0 e B=kA, k escalar real, então 
det(kA)= kndet(A) ≠ kdet(A), sempre que k for não nulo e k≠∓1 (porque não sabemos se n 
é par ou ímpar).
Propriedade
Seja T: U → V uma transformação linear entre os espaços vetoriais U e V. 
Então para quaisquer vetores u1 e u2 de U e quaisquer escalares a1 e a2 temos que: 
T(a1u1 + a2u2) = a1T(u1) + a2T(u2). 
A demonstração sai como consequência direta das propriedades de transformação linear de T. 
Mais geralmente, seja T é uma transformação linear de U em V, se u1, u2, ..., un são 
vetores de U e a1,a2,...,an são escalares quaisquer em R, então T(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = 
a1T(u1) + a2T(u2) + ... + anT(un). Em outras palavras, uma transformação linear preserva 
combinações lineares.
Observação Em consequência disto, para mostrar que uma aplicação entre espaços 
vetoriais é uma transformação linear, basta mostrar que ela preserva uma 
combinação linear.
Exemplo 7
Considere D (R,R) o espaço vetorial das funções diferenciáveis com infinitas derivadas e seja a 
função D: D (R,R) → D (R,R) definida por D(f) = f’, onde f’ representa a derivada de f. Então, 
para f, g ∈ D (R,R), e escalares a, b reais, temos que D(af + bg) = af’+ bg’, pelas propriedades 
de derivação. Logo, D é uma transformação linear sobre o espaço vetorial D (R,R). 
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Exemplo 8
Considere a aplicação LA: R
2 → R2 obtida pela multiplicação da matriz  
a c
A
b d
 
=  
 
 pelo vetor 
do R2. Em outras palavras, ( ) . . A
a c
L A
b d
ν ν ν = =  
 
Vamos mostrar que LA é uma transformação linear definida sobre o R
2. Sejam u e v vetores 
do R2 e k escalar. Então, temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . . . .A A A
a c a c a c
L A L L
b d b d b d
     
+ = + = + = + = +     
     
u v u v u v u v u v
( ) ( ) ( ) ( ). . .A A
a c a c
L k A k k k kL
b d b d
   
= = = =   
   
u u u u u
Portanto LA é uma transformação linear. 
Observe que mostrar que LA é transformação linear independeu dos valores da matriz A. 
Além disso, para efetuar a multiplicação da matriz A por um vetor v, temos de usar o vetor v na 
forma matricial, ou seja, tomando v como um vetor coluna de 2 linhas, já que a multiplicação 
é a multiplicação de matrizes com v à direita da matriz A. Vejamos um caso particular no 
exemplo a seguir.
 
Exemplo 9
Considere 1
2
2 1
   
1 2
v
A e tome
v
−   
= =   
   
v . 
Daí ( ) 1 1 2
2 1 2
22 1
.
21 2A
v v v
L
v v v
−−     
= =     +     
v
O que esta transformação linear faz com um determinado vetor? 
Pense!
O que acontece com a base canônica do R2? 
Vamos ver?
Sejam 1 2
1 0
 
0 1
e e e
   
= =   
   
os vetores da base canônica. 
Vejamos o que acontece quando aplicamos a transformação linear LA nesses vetores:
( ) ( )1 2
2 1 1 2 2 1 0 1
 
1 2 0 1 1 2 1 2A A
L e e L e
− − −           
= = = =           
           
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Unidade: Transformações Lineares
Observe que a primeira coluna da matriz A é exatamente LA (e1 ) e a segunda coluna de A 
é LA (e2 ). Isso nos ajudará a pensar o que ocorre geometricamente com os vetores da base 
canônica e, em decorrência, com qualquer outro vetor ou mesmo uma figura do R2. Veja na 
representação a seguir a ação sobre os vetores da base canônica do R2. 
Figura 1. Ação de LA sobre os vetores da base canônica.
 
Observe que os vetores sofrem uma rotação de aproximadamente 26° com a ação de LA. 
Basta conferir o valor de arcsen ( 5
5
) ≅ 26°, já que 5 é a hipotenusa do triângulo retângulo 
de vértices (0,0), (2,0) e (2,1) e sen(θ) = 1 5
55
= , sendo θ o ângulo formado entre os vetores 
e1 e LA (e1). 
Além disso, esses mesmos vetores sofrem uma ampliação em suas medidas, no caso, 
dobram. Na verdade, {LA (e2)} do R
2. 
Daí, podemos pensar que todos os vetores sofrem as mesmas transformações, a 
transformação linear LA transforma a base canônica {e1, e2} na base {LA (e1)} transformações. 
Veja o que acontece com uma figura no plano na imagem seguinte. 
Figura 2. Ação de LA sobre um desenho no plano
 
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Teorema 1
Dados dois espaços vetoriais U e V, seja {u1, u2, ..., uk} uma base de U e {v1, v2,...,vk} um 
conjunto de vetores de V. Então, existe uma única transformação linear T: U → V, tal que 
T(ui) = vi, para todo i = 1, 2,..., k. 
Demonstração
Se u = a1u1 + a2u2 +... + akuk, seja a aplicação T dada por:
T(u) = a1T(u1) + a2T(u2) + ...akT(uk) = a1v1 + a2v2 + ... + akvk.
Observe que assim definida, T é linear e o fato de T(ui) = vi, para todo i = 1, 2, ..., k garante 
que leva a base de U no conjunto de vetores de V. 
Verifiquemos que T é única com essa propriedade. Suponha que existe outra transformação 
L tal que L(ui) = vi, para todo i =1, 2, ..., k. Daí, como T(ui) = vi = L(ui). Logo, T = L.
Exemplo 10
Qual é a transformação linear T: R2 → R3 tal que T(1,-1) = (1,2,3) e T(0,2) = (0,1,0)? 
Se já tivéssemos T definida na base canônica, a conclusão seria imediata. 
Mas {(1, -1), (0, 2)} é base do R2, embora não seja a base canônica. Então, um vetor 
v = (x, y) = a(1, -1) + b(0, 2) ⇒ (x, y) = (a, -a + 2b) ⇒ a = x e b 
2
x y
b
+= 
Então, temos que v = (x, y) = x(1, -1) + 
2
x y
b
+= (0,2). 
Aplicando a função T, temos:
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5, 1, 1 0,2 1,2,3 0,1,0 , ,3
2 2 2
x y x y x y
T T x y xT T x x x
+ + + = = − + = + =   
v
Assim, temos definida a transformação linear T. 
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Unidade: Transformações Lineares
Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear
Sejam U e V espaços vetoriais e T uma transformação linear de U em V. Se 0 é o vetor nulo 
de U, então T(0) = 0 é o vetor nulo de V. Isto pode ser facilmente mostrado.
Veja: como T é linear T(0) = T(u – u) = T(u) – T(u) = 0. Mas, podemos também ter outros 
vetores de U, cuja imagem é o vetor nulo de V.
Definição 3
Seja T: U → V é uma transformação linear entre os espaços vetoriais U e V. O conjunto 
de vetores u de V tal que T(u) = 0 é chamado de núcleo de T, denotada por N(T). Também 
encontramos a denominação Ker(T).
 
Definição 4
Seja T: U → V é uma transformação linear entre os espaços vetoriais U e V. O conjunto 
dos vetores v de V tal que V =T(u), para algum u de U é chamado conjunto imagem de T e 
denominado por Im(T).
 
Exemplo 11
Seja T: R3 → R3 uma transformação linear dada por T(x, y, z) = (2x, y, 0). Então, 
IM(T) = {(2x, y, 0): x, y ∈ R} = {x(2, 0, 0) + y(0, 1, 0): x,y ∈ R}.
Logo, Im(T) = [(2, 0, 0),(0, 1, 0)], portanto, dim (Im(T)) = 2. 
Por outro lado, N(T) = {(x, y, z) tal que T(x, y, z)=0} = {(x, y, z): T(x, y, z) = (0, 0, 0)}. Como 
T(x, y, z) = 0 ⟹ (2x, y, 0) = (0, 0, 0) ⇒ x = y = 0 e z é qualquer valor real.
Logo, N(T) = {(0, 0, z): z ∈ R} = [(0, 0, z)]. Então, dimN(T) =1. 
19
Recordando
Agora, vamos relembrar alguns conceitos sobre funções, necessáriospara esse 
momento da Unidade, mas com os quais você já deve ter se deparado em 
estudos anteriores. 
Se não é este o seu caso, consulte algum livro ou artigo sobre funções, que 
pode ser encontrado em livros didáticos desde o Ensino Médio até em livros de 
Cálculo ou Introdução ao Cálculo, do ensino superior.
Definição 5
Seja uma função f: A → B. Dizemos que f é:
I Injetora, se se somente se, se dados r e s ∈ A, se f(r) = f(s), então r = s;
II Sobrejetora, se e somente se, se Im(A) = B;
III Bijetora, se e somente se, f é injetora e sobrejetora.
Obviamente, como uma transformação linear é, antes de tudo, uma função, 
aplicam-se as mesmas definições.
E essas características de uma transformação linear serão úteis para o nosso 
estudo, como podemos ver a seguir.
Exemplo 12
Seja T: R → R2 definida por T(x) = (x,0). Claro que T é uma transformação linear. 
Vamos mostrar que se T é injetora, então N(T) = {0}. 
Veja:
T é injetora, pois se tivermos T(x1) = T(x2) ⇒ (x1, 0) = (x2, 0) ⇒ x1=x2. 
Agora, seja v ∈ N(T), por definição, T(v) = 0. Mas, T(v) = T(x) = (x,0) = (0, 0). Logo, x = 0. 
Portanto, N(T) = {0}.
Entretanto, T não é sobrejetora. Basta escolher um vetor w ∈ R2 tal que w = (x, y) com 
y ≠ 0 que facilmente verificamos que w ∉ Im(T). 
Na verdade,Im(T) ≠ R2. 
Observação Observe que esta aplicação T faz uma imersão de R em R2. E essa imersão é 
exatamente a Im(T), que apenas se ‘parece’ com R, mas é diferente de R e se 
encontra ‘embutida’ no R2. Na verdade, Im(T) é um subespaço vetorial do R2.
 
20
Unidade: Transformações Lineares
Teorema 2
Seja T: U → V uma aplicação linear entre os espaços vetoriais U e V. Então, N(T) = {0} se, 
e somente se, T é injetora. 
Demonstração 
Se N(T) = {0}, suponhamos u1, u2∈ U tais que T(u1) = T(u2). 
Então, temos T(u1 – u2) = T(u1) – T(u2) = 0 ⟹ (u1 – u2) ∈ N(T) = {0}. Logo u1 = u2; 
portanto, T é injetora. 
Se T é injetora, seja u ∈ N(T); então, temos que T(u) = 0.
Mas como sempre o vetor nulo 0 de U também pertence ao N(T), ou seja, T(0) = 0 e, por 
hipótese, T é injetora , temos que u=0. Logo N(T) = {0}.
 
Teorema 3
Seja T: U → V uma aplicação linear entre os espaços vetoriais U e V. Então, 
dim N(T) + dimIm(T) = dim (U). 
Demonstração 
Seja {u1, u2, ...,uk} uma base de N(T). Como N(T) ⊂ U é subespaço vetorial de U, podemos 
completar esta base de N(T) para chegar a uma base de U. Seja então {u1, u2, ...,uk, w1, w2, ..., ws} 
base de U. 
Queremos mostrar que {T(w1), T(w2),...,T(ws)} é base de Im(T). 
Para tal, devemos mostrar que: (I) [T(w1), T(w2),...,T(ws)] = Im(T) e também que (II) o 
conjunto {T(w1), T(w2),...,T(ws)} é L. I.
I
Dado v ∈ Im(T), existe u ∈ U tal que T(u) = v. Mas se u ∈ U, então u é combinação 
linear dos vetores da base de U, então teremos que:
u = a1u1 + a2u2 +...+ akuk + b1w1 + b2w2 +....+ bsws. Como v = T(u) temos:
v= T(a1u1 + a2u2 +...+ akuk + b1w1 + b2w2 +....+ bsws) = 
a1T(u1) + a2T(u2) +...akT(uk) + b1T(w1) + b2T(w2) +....+bsT(ws)
Como os vetores u1, u2, ...., uk ∈ N(T) ⟹ T(u1) = T(u2) = .... = T(uk) = 0. Logo, temos que 
v = a1T(u1) + a2T(u2) +...akT(uk) e, portanto, [T(w1), T(w2),...,T(wk)] = Im(T). 
21
II
Seja agora a combinação linear c1T(w1) + c2T(w2) +....+csT(ws) = 0. 
Queremos mostrar que todos os escalares ci, i = 1, 2, ..., s, são nulos.
Mas como T é linear, T(c1w1+ c2w2 +....+cswl) = 0 ⟹ c1w1 + c2w2 +....+csws=0
E como {w1,w2, ...,ws} é parte de uma base de U, estes vetores são L. I. Logo, teremos 
c1 = c2 = ....= cs = 0. 
Portanto, como mostramos (I) e (II), temos a tese comprovada. 
Corolário 1
Seja T: U → V uma transformação linear e admita que dim(U) = dim(V). Mostre que: T é 
injetora se, e somente se, T é sobrejetora.
Corolário 2
Seja T: U → V uma aplicação linear injetora. Se dim(U) = dim(V), então T leva uma base de 
U em uma base de V.
Demonstração
Seja {u1, u2,...,un} uma base de U. Como T é injetora e dim (U) = dim (V) = n, então, 
T é sobrejetora, pelo Corolário 1. Isto implica, pelo teorema 3, já que dim N(T) = 0, que 
dim Im(T) = n. O conjunto {T(u1), T(u2),...,T(un)} ⊂ Im(T) = V e, além disso, é o conjunto 
gerador de Im(T), isto é, [T(u1), T(u2),...,T(un)] = Im(T). 
Como dimIm(T) = n, temos um conjunto gerador da Im(T) = V com o mesmo número de 
vetores de V, isto implica, pelo que vimos na Unidade anterior, que este conjunto gerador é 
também L. I. e, portanto, base de V. Assim, mostramos que {T(u1), T(u2),...,T(un)} é base de 
V, concluindo que T leva base de U em base de V. 
Observe que esta demonstração também poderia ser feita apenas mostrando de maneira 
convencional que o conjunto {T(u1), T(u2),...,T(un)} é L.I., usando uma combinação linear igual 
a zero e concluindo que os coeficientes são todos nulos.
Entretanto, optamos por outro caminho e usamos diversos resultados já vistos na Unidade 
anterior e nesta unidade, de forma a articulá-los e assim poder contribuir para a compreensão 
destes conceitos. 
22
Unidade: Transformações Lineares
Definição 6
Quando uma transformação linear T: U → V é injetora e sobrejetora, ou seja, bijetora, 
dizemos que T é um isomorfismo e que os espaços U e V são isomorfos. 
Quando dois espaços vetoriais são isomorfos, do ponto de vista da álgebra linear, é como 
se fossem idênticos. 
Então se T: U → V é um isomorfismo, U e V têm a mesma dimensão e, além disso, 
existe transformação linear inversa T-1: V → U que é linear e também um isomorfismo, 
cujas funções compostas satisfazem ToT-1 = Id (V) e T-1oT= Id(U), sendo que Id é a função 
identidade de um conjunto. 
Como transformações lineares são funções, a composição de transformações lineares 
segue a regra da composição de funções, ou seja:
Se f: A → B e g: B → C podemos ter a composta (gof): A → C de forma que (gof)(x) = 
g(f(x)). No caso de f: A → B, tal que f(x) = y, ser bijetora teremos a inversa f-1: B ⟶ A, tal 
que f-1(y) = x. Daí, podemos definir as funções compostas:
(f-1of): A → A, com (f-1of)(x) = x e (fof-1): B → B, com (fof-1)(y) = y. Dessa forma, (f-1of) = Id 
(A) e (fof-1) = Id (B), ou seja, as funções identidade de A e B, respectivamente. 
No caso de composição de transformações lineares, a composta também será uma 
transformação linear.
Exemplo 13
Seja T: R3 → R3 definida por T(x, y, z) = (y, x, z - x). Vamos mostrar que T é um isomorfismo 
do R3. Que T é linear é fácil mostrar, pois: 
T(a(x1, y1, z1) + b(x2, y2, z2)) = 
T(ax1 + bx2, ay1 + by2, az1 + bz2) = 
(ay1 + by2, ax1 + bx2, (az1 + bz2) – ax1 + bx2)) = 
(ay1, ax1, az1 - ax1) + (by2, bx2, bz2 – bx2) = 
a(y1, x1, z1 - x1) + b(y2, x2, z2 - x2) = 
aT(x1, y1, z1) + bT(x2, y2, z2). 
Logo, T é linear.
Agora, basta mostrar que T é injetora, daí, pelo Corolário 1, será também sobrejetora e, 
portanto, um isomorfismo. 
Suponhamos que T(x1, y1, z1) = T(x2, y2, z2) ⟹ (y1, x1, z1 - x1)=(y2, x2, z2 - x2) ⟹ y1 = y2, 
x1 = x2 e z1=z2. Logo, (x1, y1, z1) = (x2, y2, z2) e, assim, T é injetora, portanto, um isomorfismo. 
23
Exemplo 14
Considere a mesma transformação do exemplo 13. Vamos mostrar de outra maneira que 
T é linear e um isomorfismo. Vamos ver como T atua na base canônica do R3, ou seja, a base 
α ={(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} . Então, como T(x, y, z) = (y, x, z - x) temos:
T(1, 0, 0) = (0, 1, -1) , T(0, 1, 0) = (1, 0, 0) e T(0, 0, 1) = (0, 0, 1). Podemos ver facilmente 
que esses 3 vetores são L. I. Logo, β = {(0, 1, -1), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} é uma outra base do R3. 
Então, qualquer combinação linear da base canônica α será levada numa combinação linear da 
base β. Assim, T é linear e como leva base do R3 em base do R3, T é injetora e sobrejetora, 
portanto, um isomorfismo. 
Podemos, ainda, encontrar a transformação linear inversa de T, isto é, T-1. Teremos que ter 
T-1 (0, 1, -1) = (1, 0, 0), T-1 (1, 0, 0) = (0, 1, 0) e T-1 (0, 0, 1) = (0, 0, 1). 
Queremos ter T-1 (x, y, z); então, basta escrevermos o vetor (x, y, z) como combinação 
linear da base β e aplicar a transformação linear T-1. Observe que a ordem dos vetores na base 
importa, pois uma base ésempre um conjunto ordenado de vetores.
(x, y, z) = a(0, 1, -1) + b(1, 0, 0) + c(0, 0, 1) = (b, a, -a + c) ⟹ b = x, a = y, c = z + y. 
E como T-1(x, y, z) = aT-1(0, 1, -1) + bT-1(1, 0, 0) + cT-1(0, 0, 1), substituindo pelos valores 
obtidos temos: T-1(x, y, z) = y (1, 0, 0) + x(0, 1, 0) + (z + x)(0, 0, 1) = (y, x, z + x). 
Exemplo 15
Seja T: R4 ⟶ R2 definida por T(x, y, z, w) = (x -y, z). Vamos mostrar que T é uma 
transformação linear, mas não é nem injetora. 
T é linear pois:
T((x, y, z, w) + (r, s, t, u)) = T(x + r, y + s, z + t, w + u) =
(x + r - y - s, z + t) = (x -y, z) + (r -s, t) = T(x, y, z, w) + T(r, s, t, u) 
Também T(k(x, y, z, t)) = T(kx, ky, kz, kt) = (kx - ky, kz) = k(x - y, z) = kT(x, y, z, t)
T não é injetora, pois se T(x, y, z, t) = (0,0), então, temos (x - y, z) = (0, 0). Daí x = y, z = 0 
e t é qualquer. Então, temos valores não nulos de x, y, z, t tal que T(x, y, z, t) = (0,0), com o 
que N(T) ≠ 0 = (0, 0). Por exemplo, T(1, 1, 0, 3) = (1 -1, 0) = (0,0).
24
Unidade: Transformações Lineares
Transformações Lineares e Matrizes
No exemplo 8, mostramos que uma transformação linear definida entre espaços euclidianos 
pode ser pensada como uma multiplicação por uma matriz, isto é, T = LA. 
Então, vejamos!
Definição 7
Seja T: Rn → Rm definida pelo seguinte sistema de equações lineares:
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m m mn n
v a x a x a x
v a x a x a x
v a x a x a x
= + +…
= + +



…
= +… +



Na notação matricial, teremos: 
1 11 1 1
1
n
m m mn n
v a a x
v a a x
     
     =     
          

    

 ou, de forma mais concisa:
v = Ax, em que A = 
11 1
1
n
m mn
a a
a a
 
 
 
  

  

 é chamada matriz da transformação linear T. 
Pela forma com T é definida, ou seja, a partir de um sistema de equações lineares, T é uma 
transformação linear.
Além disso, como T é a multiplicação da matriz A pelo vetor x, costuma-se representar 
T = TA. Mas, atente que isso só ocorre quando T é definida entre dois espaços vetoriais que 
são espaços euclidianos. 
25
Exemplo 16
Seja a transformação linear T: R4 → R3 definida pelas equações
1 1 2 3 4
1 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 3
2
3 4 2
v x x x x
v x x x x
v x x x x
= + + −
 = − + − +
 = − + +
T pode ser expressa na notação matricial v = A.x, ou seja,
1
1
2
2
3
3
4
1 2 1 3
1 1 2 1
3 1 4 2
 
−     
     = − −     
   −    
 
x
v
x
v
x
v
x
, onde 
1 2 1 3
1 1 2 1
3 1 4 2
− 
 = − − 
 − 
A
 
é a matriz associada à transformação linear T, 
1
2
3
4
x
x
x
x
 
 
 =
 
 
 
x é o vetor do R4 e 
1
2
3
v
v
v
 
 =  
  
v o vetor de R3.
Para termos o valor de T em algum vetor do R4, digamos, T(2, 1, -5, 3), basta multiplicar 
a matriz A por este vetor. 
Então:
1
2
3
1 2 1 3 2 2 2 5 9 10
1 1 2 1 1 2 1 10 3 12
3 1 4 2 5 6 1 20 6 9
3
v
v
v
 
 − + − − −                = − − = − + + + =               − − − − + −        
  
Entretanto, se partirmos para determinar os valores de T na base canônica de R4 teremos: 
T(1, 0, 0, 0) = (1, -1, 3), T(0, 1, 0, 0) = (2, 1, -1), T(0, 0, 1, 0) = (1, -2, 4) e 
T(0, 0, 0, 1) = (-3, 1, 2) que são, respectivamente nesta ordem, os vetores-coluna da matriz A.
Assim, sempre que tivermos uma matriz Amxn ela pode ser vista como uma aplicação linear 
T: Rn → Rm definida na base canônica do Rn.
Dessa forma, teremos T(u) = A.u, u ϵ Rn.
26
Unidade: Transformações Lineares
Exemplo 17
Seja TA: R
3 → R3 a multiplicação pela matriz 
1 1 2
2 3 1
3 2 1
A
− 
 = − 
  
. 
Verifique se TA é injetora. 
Se TA for injetora, ela leva uma base do R
3 em outra base do R3 e, como vimos anteriormente, 
TA seria inversível, isto é, haveria uma transformação linear inversa TA
-1. Mas isto corresponderia 
à matriz A ter uma inversa, que seria a matriz associada à TA
-1. 
Então, basta verificar se A tem inversa e isto só ocorre se o determinante de A for não nulo, 
isto é, det(A) ≠0. Entretanto, se observarmos a matriz A, logo verificamos que det(A) = 0, pois 
a terceira linha de A é soma das outras duas linhas. Ou, equivalentemente, a terceira coluna 
é a segunda coluna subtraída da primeira, o que significa que as imagens da base canônica do 
R3 pela TA, que são os vetores-coluna, são L.D. Logo, TA não é injetora. 
Chegamos ao fim dessa Unidade. Esperamos que você tenha aprendido 
os conceitos aqui tratados e tenha percebido como estão interligados aos 
conceitos das Unidades anteriores e até a alguns temas de outros campos.
 
27
Material Complementar
Para aprofundar seus estudos sobre Álgebra Linear você pode consultar os links a seguir. 
Alguns são livros sobre o tema outros são vídeos e sites. 
Os livros sobre o tema, disponíveis na internet, proporcionam outras abordagens, exemplos 
e aplicações. O material cobre todo o conteúdo abordado e avança mais. 
Os vídeos e sites podem ajudar a esclarecer os conceitos e procedimentos sobre 
transformações lineares, bem como ampliar nosso horizonte numa visão interdisciplinar e 
transversal sobre a matemática, em particular, sobre a harmonia que podemos encontrar na 
natureza e na arte e como isto se relaciona com a matemática e com alguns conceitos vistos 
na unidade, por exemplo, a simetria. 
Leituras:
http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt2.pdf
http://www.icmc.usp.br/pessoas/szani/alglin.pdf
Sites:
Vídeos Khan Academy (com legenda) - https://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations
Vídeos TV Escola - MEC - Simetrias - http://tvescola.mec.gov.br/tve/video?idItem=7252
A ordem do Caos - http://tvescola.mec.gov.br/tve/video;jsessionid=D907AFCE44371DF7EF5E76FB35B8EC9E?idItem=7247
TV Cultura - Arte & Matemática - http://www2.tvcultura.com.br/artematematica/home.html
Série Matemática e Arte
http://tvescola.mec.gov.br/tve/videoteca-series!loadSerie;jsessionid=293F6BAA5A2F06E1EC89A17322654F99?idSerie=7251
http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt2.pdf
http://www.icmc.usp.br/pessoas/szani/alglin.pdf
https://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations
http://tvescola.mec.gov.br/tve/video?idItem=7252
http://tvescola.mec.gov.br/tve/video;jsessionid=D907AFCE44371DF7EF5E76FB35B8EC9E?idItem=7247
http://www2.tvcultura.com.br/artematematica/home.html
http://tvescola.mec.gov.br/tve/videoteca-series!loadSerie;jsessionid=293F6BAA5A2F06E1EC89A17322654F99?idSerie=7251
28
Unidade: Transformações Lineares
Referências
ANTON, H., RORRES, C. Álgebra Linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. Álgebra linear. 3.ed. São Paulo: Harbra, 1986.
EDWARDS JR, C. H.; PENNEY, D. E. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro: 
Prentice-Hall do Brasil, 1998.
LAWSON, T. Álgebra Linear. São Paulo: Edgard Blücher, 1997. 
LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações. 2.ed. Rio de janeiro: LTC, 1999.
STEINBRUCH, A. Álgebra linear. 2.ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
29
Anotações