Base de Espaços Vetoriais

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Álgebra Linear II
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Junqueira
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin
Base de espaços vetoriais
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 · Introdução
 · Dando Continuidade...
 · Dependência e Independência Linear
 · Propriedades da Dependência Linear
 · Base de um Espaço Finitamente Gerado
 · Dimensão de um Espaço Vetorial Finitamente Gerado
 · Coordenadas de um Vetor em Relação a uma dada Base
Os objetivos desta unidade são:
 » Identificar se um conjunto de vetores é Linearmente Independente (L. 
I.) ou Linearmente Dependente (L. D.), evidenciando a importância e 
aplicação desta diferenciação; 
 » Explorar propriedades dos conceitos de dependência e independência 
linear;
 » Mostrar que um espaço (ou subespaço) vetorial pode ser explicitado 
de maneira mais simples por um conjunto de vetores que formam 
uma base desse espaço (ou subespaço);
 » Explorar propriedades de base e dimensão de um espaço vetorial;
 » Trazer exemplos significativos sobre o tema e algumas aplicações.
Nesta unidade. nossa meta é chegar ao conceito de base de espaços vetoriais. No entanto, 
temos de percorrer um caminho até lá e, nesse caminho, veremos vários conceitos não 
menos importantes e essenciais para compor uma base. 
Veremos quando um conjunto de vetores é linearmente independente ou linearmente 
dependente e também quais são as propriedades decorrentes dessas noções. 
Estas propriedades nos levam a analisar de maneira minuciosa, permitindo descobrir 
e perceber detalhes em maior profundidade da estrutura de espaços vetoriais e ainda 
resgatamos o conceito de espaço gerado.
Esses conceitos juntos é que vão nos permitir definir uma base de um espaço vetorial 
finitamente gerado. Além disso, ao fazer este estudo e acompanhar exemplos relatados, 
ampliamos nosso olhar para esse tipo de estrutura. 
Base de espaços vetoriais
6
Unidade: Base de espaços vetoriais
Contextualização
Veja e compare as três situações a seguir.
Situação 1
Qual é o espaço V gerado pelos vetores u1=(1,0) e v1=(0,1)?
Em outras palavras, quem é V = [u1,v1] = [(1,0),(0,1)]?
Observemos que qualquer vetor v=(x,y) ∈ [u1,v1], pela definição de espaço gerado, tem de 
ser escrito da forma: v=αu1 + βv1, para algum α, β ∈ R.
Mas v = αu1 + βv1 = α(1,0) + β(0,1) = (α,β) que é um vetor genérico do R
2, basta ter α = x e β=y. 
Daí qualquer (x,y) ∈ R2 pode ser escrito: (x, y) = x(1,0)+ y(0,1). Logo V = [u1,v1] = R
2. 
Situação 2
Considere agora os vetores u2=(1,1) e v2=(-1,1) e seja V=[u2,v2]. Quem é V=[u2,v2]?
Seja v = (x, y) ∈ [u2,v2], então v = (x, y) = α(1,1) + β(-1,1) = (α - β, α + β) , que também 
é um vetor genérico de R2, basta ter x=α-β e y = α+β, ou seja, α=
2
x y+ e β=
2
y x- . 
Exemplo: (3,5) = 4(1,1) + 1(-1,1). Logo V = [u2,v2] = R2.
Situação 3
Sejam agora os vetores u3=(1,0), v3=(0,-1) e w3=(1,2). Quem é V=[u3,v3,w3] ?
Analogamente à situação anterior, se v=(x,y) ϵ [u3,v3,w3], então v = (x,y) = α (1,0) + β (0,-1) + 
γ (1,2) = (α + γ, - β + 2γ), que também é um vetor genérico de R2, basta ter x = α + γ e y = -β + 2γ. 
Exemplo: (3,5) = 1(1,0) – 1(0, -1) + 2(1,2)
Mas, nesse caso, podemos também ter:
(3,5) = 2(1,0) – 3(0, -1) + 1(1,2) = -2(1,0) + 5(0, -1) + 5(1,2)=... Logo V=[u3,v3,w3]=R
2.
E o que podemos concluir?
 » Vimos que nas três situações o espaço gerado V = R2.
 » Então qual é a diferença entre eles?
 » Como espaço gerado, nenhuma.
Mas observe que nas situações (1) e (2), os vetores de R2 são escritos de forma única como 
combinação linear dos vetores de V, embora ainda na situação (1) isto seja de maneira mais simples. 
Vejamos no exemplo utilizado:
 » (3,5) = 3(1,0) + 5(0,1) e o conjunto {(1,0),(0,1)} é chamado base canônica de R2. 
 » (3,5) = 4(1,1) + 1(-1,1) e o conjunto {(1,1),(-1,1)} é uma base de R2, diferente da base 
canônica, mas também base. 
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Já na situação (3), os vetores de R2 são escritos como combinação linear dos vetores de V, 
mas não de maneira única.
(3,5) = 1(1,0) – 1(0, -1) + 2(1,2) = 2(1,0) – 3(0, -1) + 1(1,2) = -2(1,0) +5(0, -1) + 5(1,2)=...
E ainda podemos encontrar outras maneiras de representar o par (3,5) como combinação 
linear dos vetores de V. Nesse caso, o conjunto {(1,0),(0, -1), (1,2)} não é uma base de R2.
Você não acha que uma base de um espaço vetorial representa bem seu espaço vetorial? 
Mas temos ainda que responder a pergunta que não quer calar: 
Quando um conjunto de vetores se torna base de um espaço vetorial? Em outras palavras, 
que condições esses vetores têm de satisfazer para ser uma base de um espaço vetorial? 
 É sobre isto que vamos tratar nesta Unidade. 
Contexto histórico
A Álgebra teve origem na Aritmética, sendo caracterizada, essencialmente, pela 
substituição de números por letras, que se submeteram às mesmas operações e 
propriedades dos conjuntos numéricos. A desvinculação entre Álgebra e Aritmética 
aconteceu no momento em que se passou a estudar regras de operações e 
propriedades de forma independente daquelas ditadas pelos conjuntos numéricos.
Ao longo da História, encontramos vários traços de desenvolvimento de algumas 
noções elementares da álgebra linear e multilinear. E o estudo sobre espaços 
vetoriais deu-se após os estudos sobre resolução de sistemas lineares, matrizes e 
determinantes. 
No domínio relativo ao cálculo vetorial, os méritos são creditados principalmente 
a J. W. Gibbs (1839-1903) e a O. Heaviside (1850-1925). Contudo, entre os 
estudos que desembocaram no campo linear, destacam-se dois pesquisadores 
contemporâneos do século XIX: W. R. Hamilton (1805-1865) e H. G. Grassmann 
(1809-1877). 
O primeiro sistema vetorial encontrado foram os números complexos, devido a 
Hamilton, numa descoberta acidental. Na tentativa de generalizar os complexos 
para três dimensões, Hamilton percebeu que não bastavam três dimensões; ele 
precisava de quatro! Teve um insight e inventou os quatérnios (já ouviram falar!?).
Claro que não criou todo o sistema naquele momento, apenas conseguiu dar forma 
coerente a um conjunto de ideias que pipocavam nos artigos da época, pois foi a 
impossibilidade de se conseguir dar ao R3 uma estrutura semelhante aos complexos (que 
é uma forma de se ver o plano euclidiano R2, identificando o par ordenado (a,b) com 
vetores v=a+bi e algumas operações, como adição, produto escalar e produto vetorial) 
que impulsionou os estudos da época em direção aos quatérnios e outros caminhos. 
Do produto quaterniônico, os pragmáticos Gibbs e Heaviside destacaram os produtos 
escalar e vetorial usuais e determinaram o enxuto sistema tridimensional que até hoje 
empregamos. 
E se os complexos e os quatérnios são os antecessores do sistema vetorial 
determinado por Gibbs e Heaviside, o sistema de Grassmann é o seu sucessor. 
Em 1862, Grassmann rescreveu o livro de 1844, da Teoria Linear de Extensão, 
no qual apresentou uma definição estritamente algébrica de grandezas extensivas e 
se aproximou muito de uma definição abstrata da noção de espaço vetorial sobre 
o corpo dos reais e todas as propriedades algébricas elementares dos espaços 
vetoriais são deduzidas. Também as noções formais de independência linear, de 
base e dimensão são claramente explicadas.
8
Unidade: Base de espaços vetoriais
Introdução
Na unidade anterior vimos o que é um espaço vetorial, ou melhor, qual estrutura torna um 
conjunto de objetos matemáticos um espaço vetorial. Vimos, também, em que condições um 
subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço. 
Definimos combinação linear de um conjunto de vetores S = {u1, u2, ...,uk}, de um espaço 
vetorial E, como sendo uma soma de múltiplos desses vetores, ou seja, a1u1 + a2u2+....+akuk, 
com a1, a2, ...,ak escalares.
A partir da definição de combinação linear, pudemos tratar de espaço gerado [S] = [u1,u2, 
...,uk] , cujos vetores v∈[S] são dados por v = a1u1 + a2u2 +....+akuk, para a1, a2, ...,ak 
escalares reais. Dessa forma, por construção, um espaço gerado é um espaço vetorial. 
Todos esses conceitos são importantese estarão presentes nesta Unidade.
Dando Continuidade...
Agora, estamos interessados em conceituar base de um espaço vetorial, que facilita tanto o 
processo de obtenção dos demais vetores, como a própria leitura do espaço vetorial. 
Veja, como exemplo, na figura a seguir, um vetor u = (x,y,z) do R3 representado numa base 
particular desse espaço, denominada base canônica, análoga à base canônica do R2 (mostrada 
no tópico contextualização). 
Temos, então, u = xi + yj + zk, onde i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1).
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Dependência e Independência Linear
Esses conceitos são fundamentais para a compreensão do conceito de base de um espaço 
vetorial. O objetivo é mostrar que, dado um espaço vetorial finitamente gerado E, existe 
um subconjunto não vazio e finito W de vetores de E, tal que todo vetor v de E pode ser 
representado de maneira única como uma combinação linear dos vetores de W. E mais, 
qualquer outro subconjunto de E com esta propriedade terá o mesmo número de vetores. 
Mas, para isso, vejamos as definições a seguir. 
Considere E um espaço vetorial sobre R (lembre-se que os escalares serão sempre 
números reais).
Definição 1
Dizemos que um conjunto U = {u1, u2, ...,uk} de vetores de E é linearmente 
independente (L. I.) se, e somente se, a igualdade a1u1 + a2u2 +....+ akuk = 0, só é 
possível se a1 = a2 = .... = ak = 0, ou seja, todos os escalares forem nulos.
Definição 2
Dizemos que um conjunto U = {u1, u2, ...,uk} de vetores de E é linearmente 
dependente (L. D.) se, e somente se, a igualdade a1u1 + a2u2 +....+ akuk = 0 ocorre, 
sem que todos os escalares sejam nulos, ou seja, existe pelo menos um escalar ai, para 
algum i = 1,2,3,...,k, tal que ai ≠ 0.
Atenção
Observe que um subconjunto U ⊂ E, com um número finito de 
elementos, só tem duas alternativas mutuamente excludentes, ou é L. 
I. ou é L. D.
Exemplo 1
Vamos mostrar que o conjunto U = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} de vetores do R3 é L. I.
Seja uma combinação linear a1(1,0,0) + a2(0,1,0) + a3(0,0,1) = 0 = (0,0,0). Daí, temos (a1,0,0) 
+ (0,a2,0) + (0,0,a3) = (a1,a2,a3) = (0,0,0), com o que podemos deduzir que a1 = a2 = a3 = 0. 
Logo, o conjunto U é L. I., ou seja, os vetores de U são linearmente independentes entre si. 
10
Unidade: Base de espaços vetoriais
Exemplo 2
Verificar se os seguintes vetores de R3, u = (1,2,0), v = (0,2,1) e w = (2,2,-1) são L. I. ou L. D. 
Se au + bv + cw = 0, temos a(1,2,0) + b(0,2,1) + c(2,2,-1) = (0,0,0).
Daí (a, 2a, 0) + (0, 2b, b) + (2c, 2c, -c) = (a+2c, 2a+2b+2c, b-c) = (0,0,0) o que nos dá o 
sistema de equações lineares 
2    0
2 2 2    0
   0
a c
a b c
b c
ì + =ïïïï + + =íïï - =ïïî
 Que é equivalente ao sistema 
    2
   0
   
a c
a b c
b c
ì =-ïïïï + + =íïï =ïïî
Substituindo a primeira e terceira equações, na segunda equação temos:
-2c + c + c = 0, para qualquer valor de c, inclusive c ≠ 0. 
Portanto, os vetores u, v e w são L. D.
Exemplo 3
Considere E o espaço das funções reais a valores reais. Mostre que o conjunto W = {senx, 
cosx} é L. I.
Seja asenx + bcosx = 0 (função identicamente nula). 
Mas a equação asenx = -bcosx se torna verdadeira, por exemplo, para a = b = 1 e 
x=
4
k
p
p+ para k inteiro. Logo, a função asenx+bcosx não é identicamente nula. Logo, 
asenx + bcosx = 0 se, e somente se, a = b = 0. 
Então, W é L. D. 
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Propriedades da Dependência Linear
Propriedade 1
Se um conjunto finito S ⊂ E contém o vetor nulo de E, então S é L.D.
Prova
Isto é fácil provar: seja S = {u1, u2, ...,uk} e podemos supor, sem perda de 
generalidade, que u1=0. Daí uma combinação linear a1u1 + a2u2 +....+ akuk = 0 
pode ocorrer com a2=a3=...= ak=0, mas com a1 ≠ 0 e, portanto, S é L.D.
Propriedade 2
Se S = {u} ⊂ E, com u ≠ 0, então S é L.I.
Prova
Lembrando que uma combinação linear de um único vetor é um múltiplo 
deste vetor, então se au = 0, como u≠0 temos que a = 0 necessariamente. 
E como este é o único escalar e a = 0, logo S é L. I.
Propriedade 3
Se S = {u1,u2,...,uk} ⊂ E é L.D., então um dos vetores de S é combi-
nação linear dos outros vetores de S.
Prova
Dada uma combinação linear dos vetores de S igual a zero, 
a1u1 + a2u2 +....+ akuk = 0, como S é L.D., temos que ai ≠ 0, para algum 
i + 1,2,...k. Daí, podemos escrever aiui = – a1u1 – a2u2 – a3u3 – ... 
– ai-1ui-1 – ai+1ui+1 – ...– akuk.
Como ai ≠ 0, podemos dividir ambas as equações por ai e teremos ui 
escrito como uma combinação linear dos outros vetores de S.
Propriedade 4
Sejam S e T dois subconjuntos finitos e não 
vazios de E, com S ⊂ T. Então, temos:
a) Se T é L. I., então S é L. I.
b) Se S é L. D., então T é L. D.
Prova
Dado que S ⊂ T, é fácil de ver que se o conjunto maior T tem todos 
os seus vetores linearmente independentes, qualquer subconjunto destes 
mesmos vetores são também linearmente independentes. 
Analogamente, se o conjunto menor S tem os seus vetores linearmente 
dependentes, qualquer extensão dos vetores de S será também linearmente 
dependente.
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Unidade: Base de espaços vetoriais
Propriedade 5
Seja S ⊂ E. Se S é L. I. e, para algum v∈E, S∪{v} é L. D., então v é 
combinação linear dos vetores de S.
Prova
Temos que S ⊂ S ∪ {v} e que S ∪ {v} é L. D. Pela propriedade 3, algum 
vetor de S ∪ {v} é combinação linear dos outros, mas como S é L. I., 
resta apenas o vetor v que pode ser escrito como combinação linear dos 
vetores de S.
Propriedade 6
Seja S ⊂ E. Se S = {u1,u2,...,uk} tal que algum vetor ui de S é escrito 
como combinação linear dos outros vetores de S, então temos a igualdade 
dos espaços gerados [S] = [S – ui].
Prova
O espaço gerado [S] é o conjunto de todas as combinações lineares dos 
vetores de S. Como ui já é combinação linear dos outros vetores de S, se 
retirarmos ui do conjunto S, o espaço gerado [S – ui] também é o conjunto 
de todos os vetores escritos como combinação linear dos outros vetores 
de S. Com isso, podemos concluir que [S] = [S – ui].
Em síntese
1. Um conjunto S = {u1,u2,...,uk} é L. I. se, e somente se, nenhum 
vetor de S é escrito como combinação linear dos outros vetores de S;
2. Dois vetores não nulos são L.D, se um é múltiplo escalar do outro;
3. Se V = {v}, com v≠0, então V = {v} é L. I.; 
4. Se V contém o vetor nulo, então V é L. D.
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Exemplo 4
Vamos analisar agora os conjuntos de vetores do R2 utilizados no tópico Contextualização. 
Denotemos por V1, V2 e V3 os conjuntos do R
2 vistos, respectivamente, nas situações (1), (2) e 
(3) apresentadas. Queremos analisar se estes conjuntos são L. I. ou L. D. 
Na situação (1), o conjunto V1 = {(1,0), (0,1)}, é claramente L. I., o que pode ser visto e 
mostrado como no exemplo 1. Note que neste caso, um vetor genérico de R2, v = (x, y), é escrito 
de maneira única como combinação linear dos vetores de V1, a saber, v = x(1,0) + y(0,1). 
Na situação (2), o conjunto V2 = {(1,1), (-1,1)}. Seja, então, a combinação linear 
a1(1,1) + a2(-1,1) = (0,0) → (a1,a1) + (-a2,a2) = (a1-a2, a1+a2) = (0,0). Logo, temos o seguinte 
sistema linear: 1 2
1 2
   0
 
   0
a a
a a
ì - =ïïíï + =ïî
 cuja resolução é: a1 = a2 e a1 = -a2, o que só é possível se a1 = a2 = 0.
Logo, V2 é L. I. Note que, também neste caso, um vetor genérico de R
2, v = (x, y), é escrito de 
maneira única como combinação linear dos vetores de V2, a saber, v = 2
x y+ (1,1) + 
2
y x- (-1,1). 
Na situação (3), o conjunto V3 = {(1,0),(0,-1),(1,2)} e seja a combinação linear (A), o que nos 
dá o sistema de equações lineares (B), que é um sistema de duas equações a três incógnitas 
e cuja resolução nos dá (C), ou seja, uma solução na qual temos uma das variáveis livres, 
podendo assumir qualquer valor real, e duas variáveis dependentes dela, o que implica 
infinitas soluções.
(A) a1(1,0) + a2(0,-1) + a3(1,2)= 
(0,0) → (a1+a3, -a2+2a3) = (0,0)
(B)
1 3
2 3
   0
2    0
a a
a a
ì + =ïïíï- + =ïî
(C)
1 3
2 3
   
   2
a a
a a
ì =-ïïíï =ïî
 Então, podemos escolher uma delas, que não seja a solução identicamente nula, por 
exemplo, escolhendo a3 = 2 temos a1 = -2 e a3 =4. Isto prova que o conjunto V3 é L. D.
Nesse caso, cada vetor u de R2 será escrito de mais de uma maneira, aliás, de infinitas 
maneiras, como combinação linear dos vetores de V3, como pudemos ver na apresentação 
desta situação no tópico da contextualização. 
Resumindo
Observemos que já havíamos mostrado que os espaços gerados por V1, V2 e V3 
era todo o espaço vetorial R2, ou seja, [V1] = [V2] = [V3] = R
2. Aqui mostramos 
que V1 e V2 são conjuntos L. I., mas o conjunto V3 é L. D. E vimos também 
que, nos casos (1) e (2), qualquer vetor do R2 é escrito de maneira única como 
combinação linear dos vetores, respectivamente, de V1 e de V2. 
Já no caso (3), qualquer vetor de R2 será escrito como combinação linear 
dos vetores de V3, mas não de maneira única. 
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Unidade: Base de espaços vetoriais
Exemplo 5
Seja E = R3 e W ⊂ E, W = {(1,0,1), (0,1,2), (1,1,1)}:
I) Mostre que W é L. I.;
II) Escreva o vetor v = (1, 2, 3) como combinação linear dos vetores de W.
Vamos verificar se W é L. I. 
Seja a(1,0,1) + b(0,1,2) + c(1,1,1) = (0,0,0). Então, temos (a + c, b + c, a + 2b + c) = (0,0,0), 
o que nos dá o sistema linear:
   0    
   0    
2    0 2    
a c a c
b c b c
a b c a b c
ì ì+ = =-ï ïï ïï ïï ï+ = ® =-í íï ïï ï+ + = + =-ï ïï ïî î
Substituindo a primeira e segunda equações na terceira equação, temos: -3c = -c. Logo c = 
0 e a = b = - c = 0. Então W é L. I. 
Agora vamos mostrar que v = (1,2,3) ∈ [W]. 
a(1, 0, 1) + b(0, 1, 2) + c(1, 1, 1) = (1, 2, 3) → (a + c, b + c, a + 2b + c) = (0,0,0)
   1   1 
   2 2 2    4
2    3 2    3
a c a c
b c b c
a b c a b c
ì ì+ = + =ï ïï ïï ïï ï+ = ® + =í íï ïï ï+ + = + + =ï ïï ïî î
Somando a primeira e segunda equação e mantendo a terceira, temos:
2 3    5
2    3
a b c
a b c
ì + + =ïïíï + + =ïî
Subtraindo a segunda equação da primeira, ficamos com 2c = 2, logo, c = 1. Voltando com 
esse valor de c = 1 no primeiro sistema, temos a = 0 e b = 1.
Logo o vetor v = (1, 2, 3) = 0(1, 0, 1) + 1(0, 1, 2) + 1(1, 1, 1).
Após estes exemplos e reflexões, estamos preparados para a definição seguinte.
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Base de um Espaço Finitamente Gerado
Definição 3
Seja E um espaço vetorial sobre R e V ⊂ E um subconjunto de E com um número finito de 
elementos, isto é, V = {u1,u2,....,un}. Dizemos que V é uma base de vetores de E se, e somente 
se, V é L.I. e V gera E.
Exemplo 6
Em relação à resolução e considerações finais do exemplo 3, podemos, então, concluir que 
V1 = {(1, 0), (0, 1)} é V2 = {(1, 1), (-1, 1)}, por serem L. I. e gerarem o espaço R
2, são bases do R2.
Vale ressaltar, ainda, que V1 = {(1,0), (0,1)} é conhecida como base canônica do R
2. 
Entretanto, V3 = {(1, 0), (0, -1), (1, 2)}, por ser L. D., não é uma base para o R
2. 
Aliás, podemos mostrar que quaisquer três vetores do R2 serão sempre L. D. Veja: se dois vetores 
já são L. D., pela propriedade 4, qualquer acréscimo de mais vetor tornaria esse conjunto L. D. 
Então, vamos pegar dois vetores L. I. do R2, que pode ser o conjunto V1 = {(1, 0), (0, 1)} e 
consideremos um vetor qualquer não nulo w = (r, s) do R2, logo r ≠ 0 ou s ≠ 0. Seja o conjunto 
W = {(1, 0), (0, 1), (r, s)} e considere a combinação linear a(1, 0) + b(0, 1) + c(r, s) = (0, 0), 
com c ≠ 0. Temos, então, de resolver o sistema linear:
 0 
0 0
 0 
a cr a cr
a ou b
b cs b cs
+ = = - 
→ → ≠ ≠ + = = - 
. Logo, W é L. D.
Exemplo 7
Seja E o espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 3. Vamos mostrar que o conjunto 
W = {1, x, x2, x3} é base de E.
É fácil ver que um polinômio de E é forma p(x) = a0 + a1x + a2x
2+ a3x
3, com coeficientes 
reais. Logo, vemos que [W] = E. Basta agora mostrar que W é L. I. 
Para isto, temos de mostrar que a + bx + cx2 + dx3 = 0 (polinômio identicamente nulo). Mas 
isto só é possível se, e somente se, a = b = c = d = 0. Então, W é L. I. 
Como W é L. I. e [W] = E, então W é uma base de E, no caso, chamada base canônica de E. 
16
Unidade: Base de espaços vetoriais
Exemplo 8
Seja 
1 0 0 1
    0 1 , 2 1
2 1 1 0
W
ì üé ù é ùï ïï ïê ú ê úï ïï ïê ú ê ú= -í ýê ú ê úï ïï ïê ú ê ú-ï ïë û ë ûï ïî þ
 o subconjunto do espaço vetorial E = M3x2, verifique se W 
é L. I. e encontre o espaço gerado [W].
Vamos verificar se 
1 0 0 1
    0 1 , 2 1
2 1 1 0
W
ì üé ù é ùï ïï ïê ú ê úï ïï ïê ú ê ú= -í ýê ú ê úï ïï ïê ú ê ú-ï ïë û ë ûï ïî þ
 é L. I.
1 0 0 1 0 0 0 0
a 0 1 +b 2 1    0 0 2    0 0 a = b = 0
2 1 1 0 0 0 2 0 0
a b
b a b
a b a
é ù é ù é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú- = ® - + = ®ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú- -ë û ë û ë û ë û ë û
Logo, W é L. I.
Agora vamos ver quem é [W]. Seja A∈ [W]. Então, temos:
1 0 0 1
A 0 1 2 1 2
2 1 1 0 2
     
     = - + = - +     
     - -     
a b
a b b a b
a b a 
E como W é L. I., temos que W é base de [W]. 
Agora, veremos um resultado muito importante.
Teorema 1
Se um conjunto U = {u1,u2, ...,un} é base de um espaço vetorial E, então todo conjunto 
com mais de n vetores é L. D.
Demonstração
Para facilitar, sem perder a generalidade, podemos considerar n = 2. Seja, U = {u1, u2} 
base de E; portanto U é L. I. e tomemos V = {v1, v2, v3}. 
Vamos mostrar que V é L. D, ou seja, que existem escalares, não todos nulos, tal que:
αv1 + βv2 + γv3 = 0 (1)
Mas como U = {u1, u2} é base de E, cada vetor de V deve ser escrito como combinação 
linear dos vetores de U. Assim, teremos:
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
3 31 1 32 2
   
   
   
v a u a u
v a u a u
v a u a u
ì = +ïïïï = +íïï = +ïïî
 (2)
17
Substituindo as relações de (2) em (1) encontramos:
α(a11 u1 + a12 u2 ) + β(a21 u1 + a22 u2 ) + γ(a31 u1 + a32 u2 ) = 0 (3)
Podemos reordenar convenientemente as relações em (3), obtendo:
(αa11 + βa21 + γa31 ) u1 + (αa12 + βa22 + γa32) u2 = 0 (4)
Mas como U = {u1, u2} é base, a equação (4) é satisfeita se, e somente se, os coeficientes 
de u1 e de u2 forem todos nulos, então, teremos o seguinte sistema:
11 21 31
12 22 32
   0
   0
a a a
a a a
a b g
a b g
ì + + =ïïíï + + =ïî
 (5)
O sistema (5) é um sistema linear homogêneo com três variáveis, α, β, γ, e apenas duas 
equações. Logo, admite solução não trivial, ou seja, existem valores nem todos nulos para 
as variáveis em questão. Isso nos mostra que o sistema (2) admite pelo menos uma solução 
diferente de zero.
Portanto, V é L. D. 
Observe que na demonstração utilizamos em (5) conceitos relativos à resolução de 
sistemas lineares. 
Vamos recordar?
Dado um sistema de equações lineares homogêneo de m equações a n incógnitas A 
X = 0, onde A é a matriz mxn dos coeficientes, X é a matriz coluna nx1 e 0 é a matriz 
nula mx1, dos termos independentes, como se segue:
11 1 1
1
0
0
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú=ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û

    

n
m mn n
a a x
   
a a x
As seguintes afirmações são válidas: 
I) A X = 0 admite sempre solução, pois a matriz X = 0 , identicamente 
nula, é solução, chamada de solução trivial.
II) Se m <n, então existe solução diferente da trivial, ou seja, existe X 
com nem todos os seus elementos nulos. 
Você já deve ter visto isto anteriormente, mas caso não se recorde, pode consultar em 
algum livro indicado nas referências.
Como consequência imediata do Teorema 1, temos o seguinte:
Corolário
Duas bases de um mesmo espaço vetorial finitamente gerado E têm sempre o 
mesmo número de vetores.
É uma decorrência direta de uma proposição ou teorema demonstrado.
18
Unidade: Base de espaços vetoriais
Teorema 2
Todo espaço vetorial finitamente gerado admite uma base.
Demonstração
Se E = {0}, por convenção o conjunto ∅ é uma base de E.
Se E ≠ {0}, como E um espaço vetorial finitamente gerado, então existe um subconjunto 
finito e não vazio S tal que E = [S]. Como ≠ ∅, existe pelo menos um subconjunto não vazio de 
E que é L. I. Seja V um desses subconjuntos L. I., com maior número possível de elementos. 
Afirmamos que V é base. 
Vejamos: 
Se w∈ S – V, temos V ∪ {w} é L. D., então w é combinação linear dos vetores de V.Logo, 
pela propriedade 6, podemos concluir que [V] = [S] = E. 
Portanto, como V é L. I. e gera E, V é uma base do espaço vetorial E.
Dimensão de um Espaço Vetorial Finitamente Gerado
Definição 4
A dimensão de um espaço vetorial finitamente gerado E, denotada por dim(E), é o número 
de elementos de qualquer base de E. 
Como já vimos que bases de um mesmo espaço vetorial E, finitamente gerado, têm sempre 
o mesmo número de vetores, para encontrar a dim(E), basta ter uma base de V de E. Sendo E 
finitamente gerado, uma base de E tem um número finito de elementos n, n > 0. Daí dizemos 
que dim(E) = n.
A partir desta definição e com o que vimos até aqui podemos tirar algumas conclusões: 
Seja um espaço vetorial E, com dim(E) = n:
I) Se V é um subespaço de E, então dim(V) ≤ n. Além disso, se dim(V) = n, temos que 
V = E;
II) Qualquer subconjunto W de E com mais de n vetores é L. D.
Para pensar
Para mostrar que um subconjunto V de um espaço vetorial E é uma base de E, 
temos de mostrar duas condições: (a) V é L. I. e (b) [V] = E. Mas se já sabemos 
que dim(V) = n, então, basta mostrar apenas uma das duas condições. 
Você sabe por quê? Mostre!
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Teorema 3
Seja E um espaço vetorial tal que dim(E) = n. Se W é um subconjunto de E, tal que W é L. 
I., então, W pode ser completado até formar uma base de E.
Demonstração: Como dim (E) = n e W é um subconjunto L. I. de E, então, o número m de 
vetores de W é tal que m≤n. Temos, então:
a) Se m = n, então, W é base de E (esta parte você já deve ter mostrado, senão, mostre!). 
b) Se m < n, então, podemos completar W com vetores v de E – W, até que o novo 
subconjunto W* tenha n vetores L. I. Da, pelo item (a), W* é base de E.
Exemplo 9
Seja E = R3, então, a dimensão de qualquer subespaço V de E só pode ser 0, 1, 2 ou 3. Já 
vimos que os subespaços possíveis de E, são: 
a. Um ponto, neste caso V = {0}, logo dim (V) = 0;
b. Uma reta passando pela origem, neste caso, V = {v}, e v é um vetor que pertence a esta reta, 
em outras palavras, v determina a direção da reta que passa pela origem. Daí, dim(V) = 1; 
c. Um plano passando pela origem, neste caso V = {v1, v2}, sendo v1 e v2 dois vetores L. 
I., que determinam este plano. Daí, dim(V) = 2;
d. Finalmente, V é o subespaço próprio, V = E. Neste caso, dim(V) = dim(E) = 3.
Exemplo 10
Seja o espaço vetorial E = M2x2, o espaço das matrizes 2x2, e V o subconjunto de E dado por:
1 0 0 1 0 0 0 0
    , , ,
0 0 0 0 1 0 0 1
V
ì üé ù é ù é ù é ùï ïï ïê ú ê ú ê ú ê ú=í ýê ú ê ú ê ú ê úï ïë û ë û ë û ë ûï ïî þ
É fácil ver que qualquer matriz    
a b
A
c d
é ù
ê ú= ê úë û
 é combinação linear dos vetores de V:
1 0 0 1 0 0 0 0
   
0 0 0 0 1 0 0 1
A a b c d
é ù é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú ê ú= + + +ê ú ê ú ê ú ê úë û ë û ë û ë û
Também não é difícil verificar que os vetores de V são L. I., pois se:
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
       
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
a b
a b g d
g d
é ù é ù é ù é ù é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú+ + + = ® =ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê úë û ë û ë û ë û ë û ë û ë û
, cuja solução é a 
solução identicamente nula, isto é, α = β = γ = δ = 0. Logo, V é L. I.
Portanto, como V é L.I e gera E, temos que V é base de E = M2x2. Nesse caso, a base 
canônica de E. Assim sendo, como V tem 4 vetores, temos dim(V) = 4.
20
Unidade: Base de espaços vetoriais
Para pensar
Baseado no exemplo 10, você saberia dizer qual é a dimensão do espaço das 
matrizes M3x2? 
Qual seria a base canônica de M3x2. 
E qual é a dim(Mmxn)?
Proposição
Sejam W1 e W2 dois subespaços de dimensão finita de um espaço vetorial E. Então 
dim(W1 +W2) = dim(W1) + dim(W2) – dim(W1∩W2).
Lembremos que a soma de subespaços é subespaço vetorial, como também a intersecção 
deles. Vamos omitir a demonstração, por entender ser bastante intuitiva. 
Vale alertar que o subespaço soma pode não ser igual a E, mas estar contido. Entretanto, 
caso E = W1 ⊕ W2, então W1 ∩ W2 = {0}, daí dim(W1 ∩ W2) = 0 e dim(E) = dim(W1) + dim 
(W2), confirmando a proposição.
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Coordenadas de um Vetor em Relação a uma dada Base
Definição 4
Dado E um espaço vetorial finitamente gerado, com dim(E) = n, n>0, considere V = {v1, 
v2, ..., vn} uma base de E. Então, cada vetor v de E é escrito como combinação linear dos 
vetores dessa base, v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn. 
Assim, dizemos que os escalares, na mesma ordem, são as coordenadas de v na base V, e 
sua representação é dada pela matriz nx1:
1
2
n V
a
a
a
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û

Exemplo 11
Seja E = R2 e V = {(1,1), (0,1)} uma base de R2. As coordenadas do vetor v = (2,5) em 
relação à base V. Vamos representar v como combinação linear dos vetores da base V. Temos: 
(2,5) = a(1,1) + b(0,1) = (a, a+b). Daí é fácil concluir que a = 2 e b = 3. Então, as coordenadas 
de v em relação à base V será dada r 2
3
V
é ù
ê ú
ê úë û
.
Note que a ordem das coordenadas deve ser respectiva à ordem dos vetores. 
Vimos os conceitos de dependência e independência linear, de base 
e dimensão de espaços vetoriais finitamente gerados, além de outros 
resultados importantes sobre estes conceitos. 
Refaça os exemplos, reveja as definições, propriedades e teoremas, procure 
entender bem as provas e demonstrações, pois elas auxiliam a compreensão 
dos conceitos e se prepare para resolver as atividades da unidade.
 
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Unidade: Base de espaços vetoriais
Material Complementar
Se você deseja aprofundar seus estudos sobre Álgebra Linear, consulte os links a seguir. 
São livros sobre o tema e estão disponíveis na internet. Afinal é sempre bom poder ver outras 
abordagens, exemplos e aplicações. 
Esse material cobre todo o conteúdo abordado e muito mais. Com isso, você pode verificar 
e tirar possíveis dúvidas sobre os conceitos tratados, rever conteúdos já vistos e também 
ampliar para outros conteúdos mais avançados. 
Depende do seu interesse e curiosidade. E pode também fazer outras buscas por sua conta; 
as possibilidades são vastas. 
Leituras
Álgebra linear e aplicações - http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt2.pdf;
Curso de Álgebra Linear - http://www.labma.ufrj.br/~mcabral/textos/alglin/CursoAlgLin-livro.pdf;
Algebra Linear - http://www.icmc.usp.br/pessoas/szani/alglin.pdf.
23
Referências
ANTON, H. Álgebra Linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. Álgebra linear. 3.ed. São Paulo: Harbra, 1986.
EDWARDS J. R., C. H., PENNEY, D. E. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro: 
Prentice-Hall do Brasil, 1998.
LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
LAWSON, T. Álgebra Linear. São Paulo: Edgard Blücher, 1997. 
STEINBRUCH, A. Álgebra linear. 2.ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
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Unidade: Base de espaços vetoriais
Anotações