Aplicações de Transformações Lineares

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Álgebra Linear II
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profª. Dra. Ana Lúcia Junqueira
Revisão Textual:
Profª. Esp. Vera Lídia de Sá Cicaroni
Aplicações de Transformações Lineares
5
• Matrizes de transformações lineares
• As transformações do plano no plano
 · Relacionar transformações lineares e matrizes, encontrar a matriz associada 
a uma transformação linear.
 · Trabalhar composição de transformações lineares e suas respectivas matrizes.
 · Encontrar a matriz de uma transformação linear inversa e compreender sua 
importância no conceito de reversibilidade de uma operação matemática. 
 · Trabalhar matriz de mudança de base.
 · Explorar as principais transformações lineares, como rotação, translação 
e reflexão.
 · Apresentar outras aplicações da Álgebra Linear que utilizam matrizes e 
sistemas de equações lineares e transformações lineares para conhecimento 
da usabilidade e utilidade desse conteúdo temático.
Acompanhe o desenvolver da teoria bem como os procedimentos utilizados, confira as 
resoluções dos exemplos, preparando-se, assim, para resolver as atividades propostas na 
unidade. Aproveite as sugestões do material complementar.
Organize-se para dar conta do estudo em tempo hábil. Não deixe as tarefas se acumularem, 
pois a temática da disciplina requer estudos que necessitam de tempo para reflexão para 
cumprir o ciclo de aprendizagem, por isso não deixe para última hora. Teremos, como de 
costume, atividades avaliativas e de reflexão sobre o tema da unidade. Fique atento aos prazos!
Bom estudo!
Aplicações de Transformações Lineares
6
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Contextualização
Costumam nos encantar as formas harmoniosas encontradas no mundo, com suas 
regularidades e padrões, quer estes sejam próprios da natureza, quer sejam criados pelos 
homens, como nos mosaicos, nos artesanatos, na arquitetura e nas artes. 
Essa harmonia, esse belo, muitas vezes origina-se na simetria entre as formas. A simetria 
é, em sua essência, um conceito geométrico. Na verdade, a história nos mostra que ela se 
constitui mesmo na gênese do pensamento geométrico. Todavia, a associação com o conceito 
de simetria surge naturalmente sempre que nos deparamos com situações envolvendo 
regularidades ou padrões que se repetem. 
Exemplos de regularidades e padrões encontrados na natureza.
Observe as simetrias!
 
 
Agora veja os padrões realizados pelo homem em cestarias e cerâmicas, em construções, 
em mosaicos, estampas, na arquitetura e nas artes. 
colocandoamesacomcharme.com.br
Cestaria com motivos indígenas brasileiros.
iS
to
ck
/G
et
ty
 Im
ag
es
7
Marie-Lan Nguyen/Wikimedia 
Commons
Daderot/Wikimedia Commons
Culturas que antecederam aos índios brasileiros, obra de cultura Marajoara (400 a.C. a 
1.400 d.C.) e dos povos Aristé e Santarém (900 d.C. a 1.600 d.C.), tradições arqueológicas 
da Amazônia.
artesania-antigua.cl liveauctioneers.com
Cerâmicas: inglesa, de 1778, e chinesa, da dinastia Ming, período Wanli (1573-1619). 
pt.dreamstime.com divadeplantao.com.br
Mosaico árabe e azulejo português. 
decorandoimoveis.com riatita.com.br
Estampa de tapete persa e de xale espanhol
8
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Arquitetura
Ricardo Liberato/Wikimedia Commons michael hoefner/Wikimedia Commons
Pirâmides de Gizé, construção do Antigo Egito, iniciada na III dinastia e terminada na VI 
dinastia (2686-2345 a.C) e Casa de adoração Baha’í em Nova Delhi, de 1986.
Bgabel/Wikimedia Commons Yann/Wikimedia Commons
Catedral de Brasília, obra de Niemeyer, de 1970, e Taj Mahal, em Agra na Índia, mausoléu 
construído entre 1632 e 1653 pelo imperador Shah Jahan em memória de sua esposa favorita, 
Mumtaz Mahal, por isso conhecido como monumento ao amor. 
Obras de arte
Wikimedia Commons
Campo de trigo com corvos (1890): pintura de Vincent van Gogh.
9
obraslivres.com
Pipas: gravura de Maurício Nascimento
Obras artísticas com muitas simetrias, rotações e translações. 
50watts.com
Fantasia para Dorothea Melchior (1874): recorte de Hans Christian Andersen.
mcescher.com
Smalller and smaller I (1956): Mauritis C. Escher (Pavimentação Escher)
10
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
A matemática volta um olhar especial para o mundo das formas por meio da geometria. 
No entanto, as transformações lineares são também responsáveis por movimentos de figuras, 
imagens e objetos, como algumas transformações no plano e no espaço, em particular, as 
isometrias, tais como as simetrias e rotações. As transformações lineares também atuam em 
algumas deformações, como o cisalhamento. Já as translações derivam de transformações 
não lineares, mas afins. 
Não cabe, aqui, fazermos um curso de arte nem de computação gráfica, mas podemos 
despertar o nosso olhar para esses movimentos e ver como a álgebra linear também trata 
dessas transformações. É o que veremos nesta unidade.
Maurits Cornelis Escher é um dos mais famosos artistas gráficos do Mundo. A 
sua arte é apreciada por milhões de pessoas em toda a parte. Nasceu no dia 
17 de Junho de 1898 em Leeuwarden, província holandesa de Friesland. Não 
sendo um aluno brilhante, mostrou um talento artístico surpreendente. A sua 
visão maravilhosa do espaço e da matemática permitiu que criasse uma coleção 
fantástica de obras de arte. Ficou conhecido pela execução de transformações 
geométricas (isometrias) em suas obras de arte.
É principalmente reconhecido pelo seu incrível talento artístico em misturar 
elementos de surrealismo com elementos matemáticos, além da sua maravilhosa 
técnica em xilografia, litografia e meios-tons (mezzotints), que tendem a 
representar construções impossíveis, explorações do infinito e metamorfoses, 
com padrões geométricos entrecruzados que se transformam. 
Gostava particularmente de trabalhar desenhos com ilusões de espaço e 
formas, prédios impossíveis e mosaicos geométricos infinitos (pavimentações).
Escher faleceu a 27 de Março de 1972 e o seu trabalho continua a fascinar 
pela sua singularidade e originalidade. Hoje em dia é uma referência para os 
matemáticos e para os cientistas, ainda que não tenha tido uma formação 
“formal” de matemática ou de física. 
Veja no site oficial: http://www.mcescher.com/
http://www.mcescher.com/
11
Introdução
Na unidade anterior vimos definição, teoremas, propriedades e exemplos de transformações 
lineares entre espaços vetoriais, de dimensão finita, sobre o corpo nos números reais R. Vimos, 
também, alguns exemplos em que a transformação linear T entre dois espaços euclidianos 
podia ser interpretada como o produto da matriz TA, associada à transformação T, pelo vetor 
do espaço euclidiano de partida para obter o vetor do espaço euclidiano de chegada. Mas isso 
pôde ser feito porque a transformação era entre dois espaços vetoriais euclidianos, ou seja, do 
tipo Rn para algum n inteiro positivo. 
Veremos, agora, que, se U e V são espaços vetoriais de dimensão finita, mesmo que não 
necessariamente espaços euclidianos, então, com alguma criatividade, qualquer transformação 
linear T: U → V pode ser considerada como uma transformação matricial.
Matrizes de transformações lineares
Sejam U um espaço vetorial n-dimensional e V um espaço vetorial m-dimensional e 
T: U → V uma transformação linear. Se escolhermos bases a e b de U e V, respectivamente, 
então para todo vetor x em U, a matriz coordenada [x]a será um vetor do R
n e a matriz de 
coordenadas [T (x)]b será um vetor do R
m.
Podemos representar como segue:
12
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Se denotarmos a matriz canônica dessa transformação por A, teremos:
A. [x]a =[T (x)]b ( * )
Daí A é chamada a matriz de T em relação às bases a e b.
Como essa matriz A pode ser calculada?
Para tal tomemos uma base a do espaço vetorial U n-dimensional, a = {u1, u2, ... , un}, e uma 
base b do espaço vetorial V m-dimensional, b = {v1, v2, ... ,vm}.
Procuramos uma matriz mxn, 
11 1
1
n
m mn
a a
A
a a
 
 = 
  

  

 
tal que ( * ) valha para todo vetor x de U. 
Em particular, ( * ) deve valer para os vetores da base a. Mas as coordenadas desses vetores 
u1, u2, ... , un em relação à base a = {u1, u2, ... , un}, são:
[ ] [ ] [ ]1 2
0 0
1 0
0 .
. ,...,
1
0
0
. ,
.
.
. .
.
0 10
.
0
α α α
   
   
   

 
 
 
 =
 
 
  
  = =
   
   
      
nu u u
Dessa forma teremos:
[ ] ( )
11
21
11 1
31
1 1
1
1
1
0
0
. .
. .
. .
. .
0
α β
  
            = = =           
     

  

n
m mn
m
a
aa a a
A T
a a
a
u u
[ ] ( )
11
12
22
32
2
1
2 2
1
0
1
0
. . .
.
.
.
.
0
.
n
m mn
m
a a
A T
a
a
a
a
a
a
α β
  
            = = =           
     

  

u u
[ ] ( )
1
1
1
2
3
1 1
0
0
0
. . .
.
..
1
.
.
n
m m
n
n
n
m
n
n
a a
a
a
a
A
a a
a
T
α β
  
            = = =           
     

  

n nu u
13
E a matriz A ficará, assim, bem determinada, o que mostra que as colunas sucessivas de A 
são as matrizes coordenadas (colunas) de T (u1), T (u2), ... , T (un), em relação à base b. Dessa 
forma, a matriz de T em relação às bases a e b é:
( ) ( ) ( )1 2A T T Tβ β β      =        nu u u
Costumamos denotar essa matriz assim: A = [ T ]b, a
Logo, [ ] ( ) ( ) ( )1 2,T T T Tβ α β β β      =        nu u u e por ( * ) temos que:
[ T ]b, a . [ x ]a = [ T (x) ]b ( ** )
Observe que, na notação [ T ]b, a, o subscrito da direita (a) é a base do domínio U da 
transformação T, e o subscrito da esquerda (b ) é a base do contradomínio V de T. Daí porque 
parece que o “a” é cancelado da expressão ( ** ).
Importante!
No caso em que U = V, dizemos que T é um operador linear. 
Daí é usual tomar a = b para construir a matriz de T em relação 
à base a que é denotada apenas por [ T ]a em vez de [ T ]b, a. 
Nesse caso, se a = {u1, u2, ..., un}, temos:
[ ] ( ) ( ) ( )1 2T T T Tα α α α      =        nu u u e [ ] [ ] ( ).T Tα α α =  x x
14
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Vejamos, agora, alguns exemplos:
Exemplo 1
Se T: P1 → P2 é a transformação linear ( )( ) ( ).T p x x p x= , encontre a matriz de T associada 
às bases a = {u1, u2} e b = {v1, v2, v3}, onde
u1 = 1, u2 = x ; v1 = 1, v2 = x e v3 = x
2
Pela definição da transformação linear, temos:
T (u1) = T (1) = (x) . (1) = x e T (u2) = T(x) = (x) . (x) = x
2
Analisando a base b, podemos determinar as matrizes da coluna das coordenadas de T (u1) e 
T (u2) em relação à base b ( )1
0
1
0
T
β
 
   =   
  
u
, 
( )2
0
0
1
T
β
 
   =   
  
u
Assim, temos que [ ] ( ) ( )1 2,
0 0
1 0
0 1
T T T
β α β β
 
     = =      
  
u u
Exemplo 2
Se T: P1 → P2 é a transformação linear do exemplo 1, mostre que a matriz [ ] ,
0 0
1 0
0 1
T
β α
 
 =  
  
 
obtida no exemplo anterior satisfaz a equação ( ** ) para todo vetor u = p (x) = a + bx em P1.
Sabendo que ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2. .T T p x x p x x a bx ax bx= = = + = +u , analisando as coordenadas de 
u = p (x) e ( )( )T p x=v em relação às bases a e b, respectivamente, temos:
[ ] [ ] aa bx
bα α
 
= + =  
 
u e [ ] ( ) 2
0
T ax bx a
b
β β β
 
   = = + =     
  
v u
Assim, [ ] [ ] ( ),
0 0 0. 0. 0
. 1 0 . 1. 0.
0 1 0. 1.
a b
a
T a b a T
b
a b b
β α α β
+     
        = = + = =              +     
u u como queríamos mostrar.
15
Exemplo 3
Seja T: R3 → R2 uma transformação linear definida por T (x, y, z) = (2x + y – z, –3x + 4y + z), 
que podemos também escrever 
2
3 4
x
x y z
T y
x y z
z
  
+ −    =     − + +     
, lembrando que ambas as formas 
estão expressas em relação às bases canônicas dos respectivos espaços euclidianos.
Encontre a matriz da transformação T em relação às bases a = {u1, u2, u3} de R
3 e b = {v1, v2} 
de R2, onde:
1
2
0
1
 
 =  
 − 
u , 2
0
1
1
 
 =  
  
u , 3
3
1
2
 
 = − 
  
u ; 1
1
1
 
=  − 
v 2
2
0
 
=  
 
v
Resolução:
Pela definição de T, temos ( )1
5
7
T  =  − 
u , ( )2
0
5
T  =  
 
u e ( )3
3
11
T  =  − 
u
Expressando esses vetores como combinação linear da base b como
( ) 1 2
1 2 2
1 0
a b
T a b a b
a
+     
= + = + =     − −     
u v v , basta igualar a cada um deles e encontrar 
os valores de a e b obtendo:
( )1 1 27T = −u v v , ( )2 1 2
55
2
T = − +u v v e ( )3 1 211 4T = −u v v
Assim, ( )1
7
1
T
β
   =    − 
u , ( )2
5
5
2
T
β
− 
   =   
 
u e ( )3
11
4
T
β
   =    − 
u e, portanto, 
[ ] ( ) ( ) ( )1 2 3,
7 5 11
51 4
2
T T T T
β α β β β
− 
       = =        − −
 
u u u
Vamos verificar para um vetor u do R3, por exemplo, para u = (1, 2, –1) só como 
teste de que podemos recuperar T (u) escrito na base canônica do R2 a partir da 
matriz de coordenadas [ T (u) ]b.
Pela definição de T, temos que T (1, 2, –1) = (5, 4). Agora, vamos calcular as 
coordenadas de u em relação à base a ou seja, u = au1 + bu2 + cu3.
u = (1, 2, –1) = a (2, 0, –1) + b (0, 1, 1) + c (3, –1, 2) = (2a + 3c, b – c, –a + b + 2c)
16
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Daí resulta o sistema 
2 3 1
2
2 1
a c
b c
a b c
+ =
 − =
− + + = −
, cujas soluções são 
12
9
13
9
5
9
a
b
c
 =

 =

− =
 (Verifique!)
Logo, [ ]
12
9
13
9
5
9
α
 
 
 
 =  
 − 
  
u . Efetuando a multiplicação matricial [T ]b, a . [u]a , temos:
[ ]
12
36 7297 5 11
13 9 18. 5 81 8191 4
2 5 18 18
9
β
 
  − −    −        = = =     − −          −     
  
u . Então 1 2
72 81
18 18
−= +u v v . Fazendo as 
substituições: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )72 81 1 11, 1 2,0 72 162, 72 0 90,72 5,4
18 18 18 18
u −= − + = − + + = =
 
com o 
que conferimos a validade do seguinte diagrama:
Cálculo direto
x
[x]a
T(x)
17
Importância das matrizes de transformações lineares
Existem duas razões, uma teórica e outra prática.
I) Muitas vezes as respostas às questões teóricas sobre a estrutura de transformações 
 lineares em espaços vetoriais de dimensão finita podem ser obtidas simplesmente pelo 
 estudo da sua matriz. 
II) Essas matrizes tornam possível calcular as imagens de vetores usando a multiplicação 
 matricial. Além disso, esses cálculos podem ser efetuados de forma rápida em computadores. 
Vamos nos concentrar no segundo motivo, o prático. Para tal, seja T : U → V uma transformação 
linear. Então podemos calcular a matriz [T ]b, a que, segundo o diagrama (apresentado no exemplo 
anterior), pode ser usada para calcular T (u) em três passos, pelo procedimento indireto: 
(1) Calcule a matriz de coordenadas [u]a .
(2) Multiplique [u]a à direita por [T ]b, a para obter [ T (u) ]b .
(3) Reconstrua T (u) a partir de sua matriz de coordenadas [ T (u) ]b .
Observe que foi isso que fizemos no exemplo 3. 
Exemplo 4
Seja T : P2 → P3 a transformação definida por ( )( ) ( ).T p x x p x= . Vamos encontrar a 
matriz de T em relação à bases canônicas de P2 e P3, respectivamente, a = {u1, u2, u3} e 
b = {v1, v2, v3, v4}, onde:
u1 = 1, u2 = x, u3 = x
2 ; v1 = 1, v2 = x, v3 = x
2, v4 = x
3
Vamos, então, calcular T ( u
i
 ), para i = 1, 2, 3 e determinar suas coordenadas em relação à 
base b, T (u1 ) = x, T (u2 ) = x
2, T (u3 ) = x
3.
Daí, as coordenadas desses vetores de P3 em relação à base b são:
( ) ( ) [ ]1
0
1
1
0
0
T T x
ββ β
 
 
    = = =     
 
 
u
( ) ( ) 22
0
0
1
0
T T x x
β β β
 
 
     = = =       
 
 
u
( ) ( )2 33
0
0
0
1
T T x x
β ββ
 
 
      = = =      
 
 
u
18
Unidade: Aplicações de Transformações LinearesAssim, lembrando que, na mesma ordem, esses vetores coordenadas são as colunas da 
matriz [T ]b, a , temos que:[ ] ,
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
T
β α
 
 
 =
 
 
 
.
Vamos verificar que [T ]b, a . [u]a = [ T (u) ]b para todo vetor u = c0 + c1x + c2 x
2 de P2. 
Para tal, temos que escrever u como combinação linear da base a. Mas como a é a base 
canônica de P2, isso fica bem simples. Veja:
2
0 1 2 0 1 1 2 2 3.1 . . . . .c c x c x c c c= + + = + +u u u u . Logo [ ]
0
1
2
c
c
c
α
 
 =  
  
u
Vamos, também, escrever T (u) na base b.
T (u) = x . u = c0x + c1x
2 + c2x
3 = 0 . v1 + c0v2 + c1v3 + c2v4
Logo, as coordenadas de T (u) são: ( ) 0
1
2
0
c
c
c
T
β
 
 
   =   
 
 
u
Agora, basta verificar que [T ]b, a . [ ] ( )
0
1
1
2
0
2
00 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 . 
c
c T
c
c
c
c
α β
  
    
      = = =      
      
   
u u
Observação Fizemos a verificação para confrontar os resultados e fixar conceitos, ou 
seja, a veracidade da equação [T ]b, a . [u]a = [ T (u) ]b , mas já deve estar 
claro que não precisamos fazer esses dois movimentos todas as vezes, mas 
apenas se quisermos conferir, uma vez que levam a resultados equivalentes, 
particularmente se as bases são as canônicas dos espaços vetoriais envolvidos, 
o que faz coincidirem os processos direto e indireto do diagrama.
19
Exemplo 5
Considere, agora, U = V = R3 e T: R3 → R3 um operador linear definido por T (x, y, z) = 
(x + y, y, z –y). Seja a a base canônica, a {e1, e2, e3}, e b outra base do R
3, b = {v1, v2, v3}, 
cujos vetores são assim definidos:
v1 = (1, 1, 0), v2 = (–1, 0, 1) e v3 = (3, 2, 1)
a) Encontre a matriz da transformação linear [T ]b, a.
Calculando a imagem por T dos vetores da base canônica a, temos:
T (e1) = T (1, 0, 0) = (1, 0, 0), T (e2) = T (0, 1, 0) = (1, 1, –1), T (e3) = T (0, 0, 1) = (0, 0, 1).
Agora temos que encontrar a matriz de coordenadas desses vetores (imagens por T dos 
vetores da base canônica) em relação à base b. Para tal, vamos expressar como um vetor 
genérico u = (x, y, z) é representado na base b. Depois apenas substituímos ao valores dos 
coeficientes em função das respectivas coordenadas. Assim, se u = av1 + bv2 + cv3 , temos:
u = (x, y, z) = a (1, 1, 0) + b (–1, 0, 1) + c (3, 2, 1) = (a – b + 3c, a + 2c, b +c)
O que nos dá o sistema 
3
2
a b c x
a c y
b c z
− + =
 + =
 + =
. Subtraindo a segunda equação da primeira, ficamos 
com 
b c x y
b c z
− + = −
 + =
 e, somando as duas equações, temos 2
2
x y zc x y z c − += − + → = . 
Voltando ao sistema original, obtemos 
2
2
2
a x y z
x y zb
x y zc
= − + −
 − + + =

 − + =

.
Logo, substituindo as coordenadas de T (e1), T (e2) e T (e3), encontramos seus respectivos 
coeficientes. Assim, temos:
( )1
1
1
2
1
2
T
β
 
 
 
  =   
 
 
 
−
−
e ( )2
2
1
2
1
2
T
β
 
 − 
  =   
 −
 
 
e ( )3
1
1
2
1
2
T
β
− 
 
 
  =   
 
 
 
e
A matriz desejada terá as colunas, nessa ordem, T (e1), T (e2), T (e3), ou seja,
[ ] ,
1 2 1
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
T
β α
− − 
 
 
=  


−
 
− −


20
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Então, se tomarmos um vetor genérico u do R3 escrito na base canônica a, isto é, [ ]
x
y
z
α
 
 =  
  
u , 
basta efetuar a multiplicação [T ]b, a . [u]a para obtermos suas coordenadas na base b, isto é, [u]b .
Portanto, [T ]b, a . [ ] [ ]
1 2 1
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2
.
22
2
2
x y z
x x y z
y
z x y z
α β
− + −   
     − − +    = = =    
     − +   
− −
− −

−

  
u u
b) Ache as coordenadas do vetor v = (10, 6, –4) na base b.
Vamos fazer por dois caminhos para confrontar:
I) Podemos usar o sistema que encontramos para qualquer vetor. Daí só precisamos 
 substituir as coordenadas de v, que estão na base canônica, para encontrar os valores dos 
 coeficientes a,b,c. Teremos então:
2 10 12 4 6
10 6 4 4
2 2
10 6 4 0
2 2
a x y z
x y zb
x y zc
= − + − = − + + =
 − + + − + − = = = −

 − + − − = = =

 e, portanto 
6
4
0 β
 
 − 
  
II) Outro caminho é verificarmos que v = T (u) para algum u do R3. Não é difícil ver que 
 u = (4, 6, 2) pois T (4, 6, 2) = (4 + 6, 6, 2 – 6) = (10, 6 –4).
Então, [u]a = 
4
6
2 α
 
 
 
  
 e [v]b = [ T (u)]b = [T ]b, a . [u]a . Logo, temos:
[ ] [ ] [ ],
1 2 1
1 1 1
2 2 2
1 1
4 4 12 2 6
. . 6 2 3 1 4
2 2 3 11
2
0
2 2
T
β β α α
 
  − + −     
       = = = − − + = −       
       − +  
− −
− −
−    
 
v u
21
Observe que fizemos os seguintes caminhos do diagrama a seguir: seguindo as setas em 
azul no item (I) e seguindo as setas em vermelho no item (II). Assim, novamente, conferimos a 
validade do processo. Confira no diagrama a seguir:
Observação Quando as bases consideradas são as canônicas dos espaços vetoriais 
envolvidos, a matriz obtida é denominada matriz canônica da transformação 
linear. 
Quando lidamos com operadores lineares (caso que U = V) e, além disso, 
consideramos uma única base para representar tanto os vetores de entrada 
quanto suas imagens, a notação [T ] γ, γ , será substituída por [T ] γ.
Até o momento, trabalhamos da seguinte forma: dada uma transformação linear e fixadas 
duas bases, encontramos a matriz associada à transformação em relação a essas bases. 
Então faremos, agora, o percurso inverso, ou seja, vamos determinar a transformação a 
partir da matriz em relação às duas bases fixadas.
22
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Exemplo 6
Seja T : R3 → R2 e considere dadas duas bases do R2, a a base canônica e b = {(1, –1), (3, 2)}. 
Encontre a transformação T, sabendo que sua matriz associada é [ ] ,
1 1 2
0 4 3
T
β α
− 
=  − 
.
Como temos que encontrar a expressão de T, pela definição de matriz associada temos que 
as colunas de [T ]b,a são, respectivamente, T (e1), T (e2) e T (e3). Então, temos:
T (1, 0, 0) = –1. (1, –1) + 0. (3, 2) = (–1, 1)
T (0, 1, 0) = 1. (1, –1) + 4. (3, 2) = (12, 7)
T (0, 0, 1) = 2. (1, –1) –3. (3, 2) = (–7, –8)
Agora temos que escrever um vetor genérico u = (x, y, z) do R3 na base a, mas, como nesse caso 
a é a base canônica, isso fica simplificado, pois já sabemos que os coeficientes de u na base canônica 
são as próprias coordenadas de u. Então, como u = (x, y, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1 , 0) + z (0, 0, 1),
T (u) = xT (1, 0, 0) + yT (0, 1, 0) + zT (0, 0, 1) = x (–1, 1) + y (12, 7) + z (–7, –8) =
(–x + 12y – 7z, x + 7y – 8z)
logo, T (x, y, z) = (–x + 12y – 7z, x + 7y – 8z) é a matriz solicitada.
Suponha, agora, que temos duas bases de um espaço vetorial, mas só conhecemos uma 
delas e a matriz de mudança de base. Nessa situação, é possível encontrar a outra base, mas 
observe que, nesse caso, estamos tratando do operador linear Id definido no espaço vetorial. 
Vejamos no próximo exemplo.
Exemplo 7
Determine a base b do R2, sabendo que são dadas a matriz de mudança de base [ ] ,
1 2
2 3d
I
β α
− 
=  
  
e a base a = {(1, 1), (0, –1)}.
Vamos determinar a base b lembrando que o operador que estamos trabalhando é a 
identidade, isto é, Id: R
3 → R3, tal que Id: (v) = v, para todo v do R
3. Além disso, pela definição 
de matriz associada, [Id ]b, a . [v]a = [v]b, e as colunas de [Id ]b, a são, respectivamente na mesma 
ordem, as coordenadas dos vetores Id (e1 ) e Id (e2 ) na base b.
23
Suponhamos que b = {v1, v2}. Então temos 
1 1
1 2d
I
β
  −   
=    
    
 e 
0 2
1 3d
I
β
    
=    −    
 e isso significa que:
(1, 1) = –v1 + 2v2 = – (x1, y1) + 2 (x2, y2) = (–x1 + 2x2, –y1 + 2y2)
(0, –1) = 2v1 + 3v2 = 2 (x1, y1) + 3 (x2, y2) = (2x1 + 3x2, 2y1 + 3y2)
O que nos dá os sistemas 1 2
1 2
2 1
2 3 0
x x
x x
− + =
 + =
 e 1 2
1 2
2 1
2 3 1
y y
y y
− + =
 + = −
, cujas soluções são:
1
3
7
x −= , 2
2
7
x = , 1
5
7
y −= e 2
1
7
y = . Portanto,3 5 2 1, , ,
7 7 7 7
β  − −   =         
Vamos verificar? Seja o vetor w = (4, 0) e vamos encontrar as coordenadas desse vetor em 
relação à base a. (4, 0) = a (1, 1) + b (0, –1) = (a, a – b) → a = b = 4, então [ ] 4
4α α
 
=  
 
w .
Daí, [ ]1 2 4 4.
2 3 4 20 β
−     
= =     
     
w .
Conferindo: as coordenadas de w na base b. 
( ) ( )3 5 2 1 14,0 , , 3 2 , 5
7 7 7 7 7
c d c d c d− −   = + = − + − +      
3 2 28
5 0
c d
c d
− + =
 − + =
 → c = 4 e d = 20, então [ ] 4
20β
 
=  
 
w .
Tivemos o cuidado de fazer a verificação para não deixar dúvidas e reforçar ideias e 
procedimentos que estão subjacentes ao conceito de mudança de base.
Você pode ver um pouco mais sobre mudança de base no 
Material Complementar desta unidade.
Agora passaremos a algumas aplicações em espaços euclidianos. Por facilidade, vamos 
tratar desse assunto apenas no plano, isto é, no R2.
24
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
As transformações do plano no plano
Vamos apresentar algumas transformações lineares importantes por apresentarem uma 
visão geométrica. Veremos que uma expansão, uma rotação e certas deformações podem ser 
descritas por transformações lineares e essas podem, também, serem trabalhadas por meio 
de matrizes.
Caso 1: Expansão ou contração uniforme
Seja T : R2 → R2 definida por T (v) = k . v, k um escalar positivo. 
Por exemplo: T (v) = 2v ou T (x, y) = (2x, 2y). Esta função leva cada vetor do plano num vetor 
de mesma direção e sentido, mas com amplitude dobrada.
Fonte: BOLDRINI (1980, p. 147)
Observe que a figura obtida é semelhante à anterior. No caso, a figura foi ampliada 
proporcionalmente; suas medidas lineares foram duplicadas, entretanto não se deve confundir 
com a medida de área, que foi quadruplicada. O que está em jogo é a ampliação (ou redução) 
da figura de maneira uniforme, produzindo figuras semelhantes. Se T (x, y) = (2x, y), teríamos 
o aumento só na medida linear x e o quadrado se transformaria em um retângulo (com a 
base duplicada, mas a mesma altura) e que não representaria o que chamamos de ampliação 
uniforme. Se 0 < k < 1, teríamos uma redução uniforme.
Vamos ver que matriz está associada a essa ampliação:
x
y
 
 
 
 → 2
x
y
 
 
 
 ou 
x
y
 
 
 
 → 
2 0
.
0 2
x
y
   
   
   
De uma maneira geral: 
x
y
 
 
 
 → 
0
.
0
k x
k y
   
   
   
, k um escalar positivo. Veremos, logo mais, que, 
se k < 0, teremos uma ampliação (ou redução quando | k | < 1), mas também um rebatimento 
em relação à origem, o que configura uma composição de transformações.
25
Caso 2: Reflexão em torno do eixo horizontal
F: R2 → R2 definida por F (x, y) = (x, –y)
Fonte: BOLDRINI (1980, p. 148)
A representação matricial fica sendo;
x
y
 
 
 
 → 
x
y
 
 − 
 ou 
x
y
 
 
 
 → 
1 0
.
0 1
x
y
   
   −   
Obviamente, a reflexão em relação ao eixo vertical é:
x
y
 
 
 
 → 
x
y
− 
 
 
 ou 
x
y
 
 
 
 → 
1 0
.
0 1
x
y
−   
   
   
Caso 3: Reflexão em relação à origem
T: R2 → R2 definida por T (v) = –v ou T (x, y) = (–x, –y)
Fonte: BOLDRINI (1980, p. 148)
x
y
 
 
 
 → 
x
y
− 
 − 
 ou 
x
y
 
 
 
 → 
1 0
.
0 1
x
y
−   
   −   
26
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Caso 4: Rotação de um ângulo 0 (no sentido anti-horário)
Fonte: BOLDRINI (1980, p. 148)
O vetor v forma um ângulo a com o eixo horizontal. Temos, então, que:
x = rcosa, y = rsena e | v | = r ou 2 2r x y= + 
Vamos aplicar uma rotação de um ângulo 0 (lembre-se de que, por convenção, se o ângulo 
for 0, a rotação será no sentido anti-horário, se for de –0, será no sentido horário). Então as 
coordenadas (x', y' ) do vetor R0 (v) são:
x' = rcos (a + 0 ) = rcosa . cos0 – rsena . sen0 = xcos0 – ysen0
y' = rsen (a + 0 ) = rsena . cos0 + rsen0 . cosa = ycos0 + xsen0
Assim, R0 (x, y) = (xcos0 – ysen0, ycos0 + xsen0 ) e de forma matricial
'
 .
'
x xcos ysen cos sen x x
y xsen ycos sen cos y y
θ θ θ θ
θ θ θ θ
− −         
→ = =         +         
Seja o caso particular para uma rotação de 
2
πθ = . Como cos 0
2
π  =  
 e 1
2
sen π  =  
, então 
0 1
 .
1 0
x x y
y y x
− −       
→ =       
       
 que pode ser representado pela figura a seguir.
Fonte: BOLDRINI (1980, p. 149)
27
Caso 5: Cisalhamento horizontal
T (x, y) = (x + ky, y), k ∈ R.
Por exemplo, T (x, y) = (x + 2y, y). Daí, na forma matricial, temos:
2 1 2
 .
0 1
x x y x
y y y
+       
→ =       
       
O que pode ser representado pela figura a seguir:
Fonte: BOLDRINI (1980, p. 150)
Observação A transformação linear de cisalhamento na direção de x tem um efeito semelhante 
ao de deslizarmos um baralho de cartas na mesa, como ilustra a figura a seguir.
Essa transformação preserva a coordenada y e move os pontos na direção de x de acordo com 
o ângulo γ em relação à direção vertical, da seguinte forma: leva um ponto (x, y) → ( x', y) tal que o 
deslocamento dx = ytgy (basta ver no triângulo retângulo que 
 
 
xdcatetoopostotg
catetoadjacente y
γ = = ). Então:
' 1 .
.
0 1
x tg x x y tg
y y y
γ γ+     
= =     
     
28
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Analogamente, se o cisalhamento se der na direção y, [ ] 1 0
1
T
tgϕ
 
=  
 
 para um ângulo ϕ de 
cisalhamento em relação ao eixo horizontal. E, no caso de ocorrer cisalhamento simultâneo 
em ambas as direções, teremos:
' . 1
.
' . 1
x x y tg tg x
y x tg y tg y
γ γ
ϕ ϕ
+       
= =       +       
Em todos esses casos, podemos ver que as transformações descritas são lineares. Agora 
veremos uma transformação que não é linear e conhecida como transformação afim.
Caso 6: Translação
T (x, y) = (x + a, y + b), a, b constantes. Essa é uma translação no plano segundo o vetor (a, b) 
e, a menos que a = b = 0, está claro que T não é linear. 
Por exemplo, a translação T (x, y) = (x + 4, y + 2) pode ser interpretada como se deslocássemos 
a origem O = (0, 0) para um outro ponto do sistema cartesiano O’= (4, 2)
Podemos ter uma composição de transformações que atuam como composição de funções, 
uma vez que uma transformação antes de tudo é uma função (já falamos de composição de 
funções em unidade anterior). Vejamos um exemplo em que isso ocorre.
29
Exemplo 8
Seja T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (–2x, –2y), que é uma reflexão em relação à origem, o que 
vimos no caso 3. Vamos mostrar que T pode ser vista como uma composição de transformações 
lineares, por exemplo, uma expansão uniforme e uma reflexão em relação à origem. Sejam 
a expansão E e a rotação Rπ . Sabendo que cosπ = –1 e senπ = 0, temos Rπ (x, y) = (–x, –y) e 
E (x, y) = (2x, 2y). Daí, temos: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), , 2 , 2 2 , 2 ,R E x y R E x y R x y x y T x yπ π π= = = − − = . 
Observe ainda que T R E E Rπ π= =  .
E de forma matricial, como 
1 0
0 1
cos sen
R
sen cosπ
π π
π π
− −   
= =   −   
, temos:
( ) ( )1 0 2 0 2 0 2, . . . ,
0 1 0 2 0 2 2
x x x
R E x y T x y
y y yπ
− − −           
= = = =           − − −           

Observe que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, mas esse caso é uma 
exceção; o produto das matrizes [Rπ] . [E ] = [E ] . [Rπ] = [T ] é comutativo. 
Agora é com você: mostre que essa mesma transformação linear T pode ser representada 
pela composição de outras transformações lineares.
30
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Exemplo 9
Considere as duas transformações lineares no R2, a expansão T1 (x, y) = 2 (x, y) e o cisalhamento 
T2 (x, y) = (x + 2y, y). Ao efetuarmos, primeiro, a expansão e, depois, o cisalhamento, temos a 
sequência representada na figura.
Fonte: BOLDRINI (1980, p. 163)
Observe que a transformação resultante é ( ) ( )( )2 1 2 1, ,T Tx y T T x y=
As respectivas matrizes associadas a essas transformações lineares são:
[ ]1
2 0
0 2
T  =  
 
 e [ ]2
1 2
0 1
T  =  
 
Então a matriz da transformação resultante é dada por [ ]2 1
1 2 2 0 2 4
.
0 1 0 2 0 2
T T      = =     
     
 .
Daí, [ ]2 1
2 4 2 4
. .
0 2 2
x x y
T T
y y
+     
= =     
     
 v .
Mas observe que também neste caso, se invertermos a ordem da operação composição, o 
resultado será o mesmo. Basta verificar que [ ]1 2
2 0 1 2 2 4
.
0 2 0 1 0 2
T T     = =     
     
 .
Mas nem sempre isso acontece. Veja no exemplo seguinte.
31
Exemplo 10
Considere as transformações no plano: uma reflexão R (0 ) e um duplo cisalhamento, 
horizontal dx e vertical dy , denotado por S (dx, dy).
Fonte: thoth.cc.e.ipl.pt
Por exemplo, sejam ( )( ) 3 1, , ,2 2x yS d d x y x y y x
 = + −  
 e 
6
R π   
.
As matrizes associadas são: 
( )
31
2,
1 1
2
x yS d d
 
 
  =    − 
  
 e 
3 1
6 6 2 2
6 1 3
6 6 2 2
cos sen
R
sen cos
π π
π
π π
 − −       = =         
     
( )
3 3 1 3 3 1 3 31
2 2 2 2 4 2 4, . .
16 1 3 3 1 1 31
2 2 2 4 2 4 2
x yS d d R
π
   − −  + +            = =     −       −  + +         
( )
3 1 3 3 1 3 3 11
2 2 2 2 4 4 2. , .
16 1 3 1 3 3 31
22 2 2 4 4 2
x yR S d d
π
   −   + −            = =      −        − +        
Logo ( ) ( ), . . ,6 6x y x yS d d R R S d d
π π         ≠               
32
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Exemplo 11
Encontre a transformação linear T : R2 → R2 que reflete uma figura em relação à reta y = x. 
É claro que T deve refletir cada ponto da figura, portanto vejamos como refletir um ponto 
genérico (x0, y0) do R
2.
Na geometria, sabemos que a reflexão em relação a uma reta se dá traçando uma perpendicular 
à reta e marcando um ponto na perpendicular à mesma distância, ou seja, a interseção da reta 
perpendicular com a reta dada é o ponto médio entre o ponto dado e sua reflexão.
Se r é a reta y = x, sua perpendicular passando pelo ponto P (x0, y0) é a reta s dada pela 
equação y = –x + (x0 + y0). O ponto refletido P' (x'0, y'0) é o ponto médio em relação à interseção 
de r e s. O ponto de interseção I de r e s se dá quando igualamos as duas equações:
0 0
y x
y x x y
=
 = − + +
 ⇒ x = –x + x0 + y0 ⇒ 2x = x0 + y0 ⇒ 0 00 0 2
x yx y += =
Logo 0 0 0 0,
2 2
x y x yI + + =   
, que é o ponto médio entre (x0, y0) e (x'0, y'0), ou seja:
0 0 0 0'
2 2
x y x x+ += ⇒ x'0 = y0 e, analogamente, y'0 = x0. Portanto, o ponto refletido do ponto 
P (x0, y0) é o ponto P' (y0, x0).
Assim, a reflexão em torno da reta y = x é a transformação linear T (x, y) = (y, x).
Para pensar
Agora é com você. Repita o processo do exemplo 11 para a 
reflexão em relação à reta y = –x. E em relação a uma reta r 
qualquer, como seria? Pesquise!
33
Exemplo 12
Em Física, estuda-se o espelhamento, que, em alguns casos, pode ser considerado uma 
reflexão no plano; por exemplo, quando o espelho é plano e está colocado na vertical ou 
na horizontal. Dada a seguinte representação de um espelhamento, o que podemos dizer 
sobre ela?
Fonte: infoescola.com
Observando os dados, na figura, relativos ao objeto e sua imagem, vemos que ambos 
mantêm o mesmo tamanho e a mesma distância do espelho, então podemos dizer que 
esse espelhamento se trata de uma reflexão em relação ao eixo vertical, tomado como 
passando pelo espelho. Logo a transformação que representa esse espelhamento é do 
tipo T (x, y) = (x, –y).
34
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Exemplo 13
Relação geometria, arte e transformações.
Na seção contextualização desta unidade vimos diversas figuras que apresentam reflexões, 
rotações e algumas deformações, em particular, em obras de M.C. Escher. Diversas pesquisas 
são feitas em torno de sua obra bem como trabalhos escolares. Assim, este é apenas um 
exemplo ilustrativo, extraído de um arquivo do Portal do Professor do Ministério da Educação, 
que achamos interessante apresentar tanto por ser um curso de licenciatura quanto por articular 
geometria, arte e transformações. Veja a seguir:
Fonte: portaldoprofessor.mec.gov.br
Observe essa pavimentação (recobrimento do plano) ao estilo Escher que envolve escolher 
um padrão a ser reproduzido a partir de um quadrado, que é um dos três únicos polígonos 
regulares que servem para recobrimento de uma superfície plana (os outros dois são o triângulo 
equilátero e o hexágono regular).
A figura do “peixinho voador” é obtida do quadrado, recortando partes que são adicionadas 
em outros lugares no mesmo quadrado, formado a figura-padrão desejada, mantendo a área 
do quadrado original, com possibilidade de encaixe perfeito para o recobrimento pretendido. 
Veja que os movimentos utilizados são de reflexão ou rotação, que são transformações 
lineares, seguida de translação, que é uma transformação afim, esta última sempre necessária 
para obter uma pavimentação ou recobrimento.
35
Exemplo 14
Computação gráfica
Este também é um exemplo apenas ilustrativo, uma vez que exige conhecimentos de 
computação gráfica. Entretanto, como falamos no início da unidade III, transformações 
lineares, bem como toda álgebra linear, são noções requeridas como fundamentos para esse 
campo da computação como também para as engenharias em geral e áreas que envolvem 
tecnologia, entre outras.
Voltando ao exemplo em questão, trata-se de um vídeo curto mostrando o trabalho de 
uma animação em computação gráfica 3D necessário para dar movimento a um boneco ET, 
realizado por uma agência de efeitos visuais.
Acesse o link a seguir e veja que são evidenciados os movimentos realizados em cada ponto 
do ET, por vezes mostrando os vetores ou o sistema de eixos cartesianos de referência e a 
malha de curvas em que são fixados alguns pontos.
Vídeo: Link: http://vimeo.com/47881155 Acesso em 20 nov. 2014
Vimos como determinar a matriz associada a uma transformação linear e também que essa 
matriz depende das bases de saída e de chegada fixadas. Vimos, ainda, tipos especiais de 
transformações no plano e suas respectivas matrizes. Não foi aqui motivo de estudo, mas 
reflexões, rotações, escalamento, cisalhamento e translações podem ser tratados no espaço 
euclidiano R3 com suas respectivas matrizes associadas. 
A representação matricial de transformações lineares possibilita, entre outras aplicações, um 
tratamento computacional, uma vez que, armazenando a matriz, a própria transformação fica 
armazenada, pronta para ser aplicada quantas vezes se fizerem necessárias. 
Daí a importância do domínio desses conceitos tanto em áreas que utilizam tecnologias 
computacionais como nas engenharias, na medicina, na robótica, na computação gráfica, 
entre outras
Assim, chegamos ao fim desta unidade e da disciplina, esperando que tenham aproveitado 
e aprendido bastante sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Tentamos, ao longo 
do desenvolvimento teórico, não só ir mostrando algumas aplicações no contexto da própria 
disciplina, apresentando a resolução de exercícios, como também ir dando uma ideia das outras 
áreas do conhecimento em que esses conceitos são utilizados como fundamentos básicos de 
estudos mais avançados. Por fim, esperamos que tenham gostado! 
Até uma próxima!
http://vimeo.com/47881155
36
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Material Complementar
Contribuindo com temas complementares ao nosso estudo, apresentamos um breve tópico 
sobre mudança de base e indicamos alguns conteúdos digitais cujas abordagens se relacionam 
com conceitos tratados em Álgebra Linear. 
Mudança de Base
Em aplicações, é comum que tenhamos de trabalhar em mais de um sistema de coordenadas 
e, nesse caso, precisamos estabelecer uma relação entre eles. Em espaços vetoriais, issose 
refere a saber como conhecer as coordenadas de um vetor em vários sistemas. Entretanto, como 
uma base define todos os vetores do espaço vetorial, basta que saibamos como transformar 
uma base em outra desse espaço vetorial.
Dado um espaço vetorial V, o operador identidade Id: V → V é tal que Id: (v) = v para todo 
v ∈ V e, portanto, claramente linear. Dessa forma, dadas duas bases de V, a e b a matriz de 
Id em relação a essas bases, denotada por [Id ]b, a, é tal que [Id ]b, a . [v]a = [v]b.
Sabemos que a i-ésima coluna de [Id ]b, a é formada pelas coordenadas do i-ésimo vetor da 
base a em relação à base b. Mas, como o operador identidade leva um vetor v nele mesmo, 
a multiplicação de [Id ]b, a pelo vetor coordenada [v]a apenas nos fornece suas coordenadas na 
base b, ou seja, [v]b .
Por simplicidade vamos mostrar para o R2.
Sejam a = {u1, u2} e b = {v1, v2} duas base do R
2, [ ]1
a
bβ
 
=  
 
u e [ ]2
c
dβ
 
=  
 
u , isto é,
u1 = av1 + bv2 e u2 = cv1 + dv2.
Seja um vetor genérico w do R2 e [ ] r
sα
 
=  
 
w . Logo, w = ru1 + su2 o que implica:
w = r(av1 + bv2) + s(cv1 + dv2) = (ra + sc)v1 + (rb + sd)v2
Portanto, a matriz coordenada [ ] [ ]. .ra sc a c r a c
rb sd b d s b dβ α
+       
= = =       +       
w w .
Então [ ] ,d
a c
I
b dα β
 
=  
 
 é a matriz de mudança de base de a para b e as colunas dessa matriz 
são, respectivamente nessa ordem, os vetores [u1]b e [u2]b .
37
Exemplo: Sejam as bases a = {(1, 2), (0, 1)} e b = {(–1, 1), (1, 0)} do R2.
A matriz [Id]b, a é de ordem 2 e suas colunas são os vetores coordenadas da base a em 
relação à base b nessa ordem, [Id (1, 2)]b e [Id (0, 1)]b . Então, vejamos como um vetor w = (x, y) 
é escrito na base b.
(x, y) = a (–1, 1) + b (1, 0) ⇒ 
a b x
a y
− + =
 =
 ⇒ 
a y
b x y
=
 = +
Dessa forma, ( ) 21,2
3d
I
β
   =     
 e ( ) 10,1
1d
I
β
   =     
. Então, [ ] ,
2 1
3 1d
I
α β
 
=  
 
.
Vamos conferir! Seja w = (3, 4), então [ ] 4
7β
 
=  
 
w
 
e vamos calcular [w]a
(3, 4) = c (1, 2) + d (0, 1) ⇒ 
3
2 4
c
c d
=
 + =
 ⇒ 
3
2
c
d
=
 = −
 ⇒ [ ] 3
2α
 
=  − 
w
[ ] [ ] [ ],
2 1 3 6 2 4
. .
3 1 2 9 1 7d
I
β α α β
−       
= = = =       − −       
w w
Mas, como um operador linear é inversível, existe a matriz inversa [Id]a, b , que transforma 
as coordenadas de um vetor na base b para a base a, e que satisfaz:
[Id]a, b . [Id]b, a = [Id]b, a . [Id]a, b = I
Então, se quisermos encontrar a [Id]a, b , temos dois caminhos: um deles é reproduzir o 
que foi feito anteriormente, mas agora encontrando as coordenadas [Id (–1, 1)]a e [Id (1, 0)]a 
e colocando, nessa ordem, como as colunas da matriz [Id]a, b ; o outro caminho é encontrar 
a matriz inversa de [ ] ,
2 1
3 1d
I
β α
 
=  
 
, que pode ser por qualquer método que você já tenha 
estudado. Aqui optamos por este:
2 1 1 0
.
3 1 0 1
a b
c d
     
=     
     
 ⇒ 
2 2 1 0
3 3 0 1
a c b d
a c b d
+ +   
=   + +   
 o que implica na resolução dos seguintes 
sistemas lineares:
2 1
3 0
a c
a c
+ =
 + =
 ⇒ 
1
3
a
c
= −
 =
 e 
2 0
3 1
b d
b d
+ =
 + =
 ⇒ 
1
2
b
d
=
 = −
Portanto, substituindo os valores encontrados temos: [ ] ,
1 1
3 2d
I
α β
− 
=  − 
38
Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Por precaução, é sempre bom conferir:
2 1 1 1 1 3 2 2 1 0
.
3 1 3 2 3 3 3 2 0 1
− − + −       
= =       − − + −       
1 1 2 1 2 3 1 1 1 0
.
3 2 3 1 6 6 3 2 0 1
− − + − +       
= =       − − −       
Agora, você pode ver se compreendeu utilizando [Id]a, b no exemplo anterior. 
Sugerimos consultar os livros indicados nas Referências para saber mais sobre Mudança 
de Base.
Conteúdos digitais
Seguem, ainda, algumas indicações de conteúdos digitais interessantes por envolverem os 
temas relativos à Álgebra Linear bem como à articulação com outras áreas. Além disso, esses 
conteúdos podem contribuir para sua formação como professor(a). O material é de domínio 
público e faz parte da coleção M3 Matemática Multimídia, que contém recursos educacionais 
multimídia em formatos digitais desenvolvidos pela Unicamp com financiamento do FNDE, 
SED, MCT e MEC para o Ensino Médio de Matemática no Brasil.
1) Vídeo Série: A mancha
Sinopse
Preocupado com uma mancha de poluentes químicos que se aproxima de sua cidade, um agricultor 
procura a ajuda de um amigo para evitar uma catástrofe. O amigo, por sua vez, sugere um modelo 
matemático para analisar o problema
Conteúdos
 • Matrizes
 • Sistemas de equações lineares
 • Multiplicação de matriz por vetor
Objetivos
 1. Dar um exemplo de modelagem matemática.
 2. Iniciar o conceito de matrizes e sistemas com mais de duas variáveis.
 3. Motivar as operações entre matrizes e vetores.
Explore: Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1133 Acesso: 08 nov. 2014
http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1133
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2) Software: Aviões e Matrizes
Sinopse
Você consegue imaginar que relações existem entre matrizes e rotas aéreas? Neste software, seus alunos 
verão que as matrizes podem ser utilizadas na análise e na elaboração de malhas aéreas, aplicação que 
constitui um exemplo prático do produto de matrizes. Além disso, para estabelecer essas relações de 
maneira simplificada, será introduzido o conceito de grafo.
Conteúdos
 • Matrizes
 • Grafos
 • Matriz de adjacência
 • Malhas aéreas
 • Produto de matrizes
Objetivos
 1. Mostrar uma aplicação muito importante de matrizes à análise de grafos.
 2. Reforçar o significado da multiplicação de matrizes.
 3. Introduzir a noção de grafos.
Explore: Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1221 Acesso: 08 nov. 2014
3) Vídeo Série Matemática na Escola: Comendo Números
Sinopse
Um jovem esportista está fazendo o seu treino e sente-se muito cansado. Fala, então, com a nutricionista 
do clube, que lhe sugere uma dieta com quilocalorias, lipídios e proteínas suficientes para as atividades 
esportivas. Para determinar a quantidade por dia de porções de alimentos que contenham cada um dos 
itens acima, ela monta um sistema linear de 3 equações a 3 incógnitas. E, para encontrar a solução, 
eles usam o método de eliminação de Gauss.
Conteúdos
 • Sistemas lineares
 • Eliminação de Gauss
Objetivos
 1. Apresentar um exemplo de um sistema linear de equações por meio de um exemplo de uma 
 dieta alimentar
 2. Apresentar o método de Gauss para resolver sistemas de equações
Explore: Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1073 Acesso em: 08 nov. 2014
http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1221
http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1073
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Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
4) Vídeo Série Matemática na Escola: Oferenda musical de Bach
Sinopse 
Num estúdio de filmagem, a jovem Lúcia está tocando uma música em um cravo: Oferenda Musical, 
de Bach. Ela e o diretor João conversam sobre detalhes da gravação quando as folhas da partitura 
caem e espalham-se no chão. Ao pegar as folhas do chão, ela percebe que as notas do começo ao fim 
são as mesmas do fim para o começo de uma folha. Ela conversa com João, que explica a ela como 
Bach usou, no seu universo, as simetrias.
Conteúdos
 • Geometria
 • Simetria
 • Música
 • Isometrias no plano
 • Arte
Objetivos
 Estudar as isometrias:
 • no plano,
 • na música,
 • nas artes,
 • na computação gráfica e
 • na natureza.
Explore: Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1143 Acesso em: 08 nov. 2014
5) Vídeo Série Matemática na Escola: Que a força esteja com você!
Sinopse 
Dois Trainees têm a missão de mostrar ao chefe que a reabertura de uma usina hidroelétrica é sustentável. 
Para isso, eles criam um modelo matemático que envolve operações entre matrizes e vetores.
Conteúdos
 • Matrizes
 • Sistemas de equações lineares
 • multiplicação de matriz por vetor
Objetivos
 1. Dar um exemplo de modelagemmatemática.
 2. Iniciar o conceito de Cadeias de Markov.
 3. Aprofundar o conceito de matrizes e sistemas lineares.
Explore: Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1166 Acesso em: 08 nov. 2014
http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1143
http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1166
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6) Vídeo Série Matemática na Escola: Você disse Cristalografia?
Sinopse 
Paulo Andrade é jornalista e apresentador de televisão. Em seu programa de entrevistas “Conversas 
Noturnas” ele recebe o professor Henrique Onero para uma conversa sobre cristalografia, o estudo dos 
cristais. Henrique fala sobre as formas geométricas e os eixos de simetrias que constituem características 
básicas para a classificação dos cristais.
Conteúdos
 • Simetrias
 • Formas geométricas
Objetivos
 1. Mostrar a forma geométrica de alguns cristais.
 2. Analisar eixos de simetrias de alguns cristais.
Explore: Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1188 Acesso em: 08 nov. 2014
Espero que essas indicações sejam úteis a você!
http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1188
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Unidade: Aplicações de Transformações Lineares
Referências
ANTON, H. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1986.
EDWARDS JR, C. H., PENNEY, D. E. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro: 
Prentice-Hall do Brasil, 1998.
LAWSON, T. Álgebra linear. São Paulo: Edgard Blücher, 1997. 
LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações. 2 ed. Rio de janeiro: LTC Editora, 1999.
STEINBRUCH, A. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
Referências complementares 
SCHROEDER, Greyce Nogueira. Morphing aplicado ao envelhecimento de imagens 
faciais. (2007). Dissertação de mestrado. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. 
Unicamp, Campinas, 2007. 
STORMOWSKI, V. Estudando matrizes a partir de transformações geométricas. 
Dissertação de Mestrado. Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul-UFRGS. Porto Alegre, 2008. Disponível em: 
http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/14965/000673105.pdf. Acesso em: 
20 nov. 2014.
WOLBERG, G. The Visual Computer. Springer-Verlag, v. 14, 1998, p. 360-372.
http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/14965/000673105.pdf
43
Anotações