enegep2003_tr0101_1314

Prévia do material em texto

XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasil, 21 a 24 de out de 2003 
ENEGEP 2003 ABEPRO 1 
 
Controle ótimo de estoques sujeito a picos de demanda do mercado 
 
Eduardo de Oliveira Pacheco (PUC-PR) edupache@terra.com.br 
Gustavo Henrique da Costa Oliveira (PUC-PR) gustavoc@rla01.pucpr.br 
 
Resumo: Este artigo trata o problema de gerenciamento de estoque quando há incerteza na 
demanda futura. O sistema produtivo em questão pode operar em várias estratégias 
conhecidas (ATO, MTO, MTS, entre outras) e é composto pelo estágio de manufatura e/ou 
entrega de componentes e estágio de montagem, com um estoque intermediário entre ambos. 
O sistema considera restrição de capacidade de manufatura (ou de entrega de componentes), 
tempos de atraso (lead times) nos estágios e incertezas na previsão da demanda futura, a 
qual está sujeita a picos de mercado. A estratégia de gerenciamento de estoque proposta, 
possui dois níveis: no inferior, a teoria de controle ótimo, em particular variância mínima é 
utilizada para a reposição do estoque; no superior, uma metodologia para prevenir a falta de 
estoque, quando o sistema produtivo está sujeito a picos na demanda e restrição de 
capacidade é apresentada. 
Palavras Chave: Controle Ótimo; Sistemas Dinâmicos; Gerenciamento de Estoque; Picos de 
Demanda. 
 
1. Introdução 
O gerenciamento da cadeia produtiva tem-se tornado um problema de grande importância na 
obtenção da vantagem competitiva entre as indústrias. Muitos esforços e investimentos em 
pesquisas e tecnologia têm sido feito na procura de um ponto comum que satisfaça as 
necessidades de: redução de custos, atendimento ao cliente e fluxo de produção. Dentro deste 
contexto podemos inserir o controle de estoques como um dos principais fatores para a 
redução dos custos de produção (Ballou, 2001). Por ser um elemento fundamental na cadeia 
de suprimentos, o sistema de estoque atualmente não tem sido visto somente como fonte de 
grandes investimentos ou despesas, mas também possui a função de garantir o fluxo de 
produção ao longo da cadeia produtiva, mesmo quando sujeita a incertezas. Estudos 
científicos utilizando os conceitos de controle, voltados ao problema de gerenciamento de 
estoques em ambientes produtivos, tem-se intensificado ao longo dos anos. Um dos primeiros 
trabalhos neste sentido foi proposto por (Towill, 1982) onde descreve um modelo de sistemas 
de estoques e produção em tempo contínuo. Posteriormente em (Towill & Del Vecchio, 1994) 
um caso de gestão de estoque em uma cadeia logística composta de três estágios e um único 
produto é analisado com base na teoria de sistemas dinâmicos. Em (Brandolese & Cigolini, 
1999) uma revisão dos principais conceitos e técnicas relacionadas com análise dinâmica da 
cadeia de suprimentos, em particular, gestão de estoque é realizada. Propõem o 
dimensionamento do estoque estratégico necessário ao atendimento de um pico de demanda 
neste trabalho citado. A Indústria atende a demanda baseada na estratégia assembly-to-order 
(ATO) e o processo de fabricação é constituído de um estágio de fabricação e/ou entrega de 
componentes e outro de montagem, com o estoque estratégico entre ambos. Em (Khator & 
Deshmukh, 2002) análise do comportamento das cadeias de suprimentos é realizada também 
com base na modelagem da dinâmica do sistema. A implementação computacional é realizada 
usando o software STELLA o modelo obtido é utilizado para medir a agilidade, segundo 
definição em (Khator & Deshmukh, 2002), da cadeia de suprimentos. Em (Pacheco et al, 
2002), modela-se um subproblema da cadeia de suprimentos (sistema produtivo ATO), 
através de equações a diferenças e propõe-se uma estratégia de reposição de estoque baseada 
em conceitos de controle em malha fechada por variância mínima quando o ambiente 
produtivo está sujeito a incertezas na demanda futura prevista. Mostra-se o bom desempenho 
da técnica em sistemas produtivos com demanda de mercado tipo sazonal. No presente artigo, 
 
XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasil, 21 a 24 de out de 2003 
ENEGEP 2003 ABEPRO 2 
 
o trabalho (Pacheco et al, 2002) é revisto, em particular no que diz respeito à lei de controle, e 
ampliado conforme descrito a seguir. 
 
O sistema produtivo em questão é composto por dois estágios (ou fases), o primeiro de 
manufatura (fabricação e/ou entrega de componentes) e o segundo de montagem, sendo que 
existe um estoque de componentes a serem montados entre ambos. O problema considera 
restrições de capacidade de manufatura e incertezas na demanda futura prevista que, 
eventualmente, pode conter picos de mercado. Para atender a estes picos de demanda de 
mercado propõe-se a política de reposição composta de dois níveis: o primeiro (superior) 
calcula a quantidade necessária de componentes que deverá ser mantido no estoque, isto é, 
valor de referência, para evitar a sua falta na presença dos citados picos de demanda. No 
segundo (inferior) a reposição ótima de componentes no estoque, baseada em sistemas de 
controle em malha fechada, é calculada, tal que o erro quadrático entre o valor desejado e o 
atual seja mínimo considerando restrições na capacidade de produção. Neste esquema, a 
quantidade de componentes entregues para a montagem é tal que, consegue-se prevenir a falta 
de atendimento ao mercado e o nível ótimo de estoque em relação a uma função de custo 
desejada, mesmo na presença de picos de demanda, restrições de capacidade e erros de 
previsão. 
 
O presente artigo está dividido em 5 Seções: Na Seção 2, as principais características do 
modelo de gestão de estoques são descritas. Na Seção 3, a estratégia proposta para o problema 
descrito na Seção 2 é apresentada. Na Seção 4, exemplos e simulações. Finalmente, na Seção 
5,o artigo é concluído. 
2. Descrição do Problema 
Assume-se um sistema produtivo composto de dois estágios com um estoque intermediário 
entre ambos. O primeiro estágio está relacionado com a manufatura ou entrega de 
componentes para o estoque e, o segundo estágio, com a montagem de produtos finais. 
Considera-se restrição de capacidade e atraso de transporte(lead time) em ambos os estágios. 
A capacidade de montagem é considerada superior à de manufatura ou entrega de produtos e, 
neste caso, consegue-se montar os componentes para atender a demanda prevista. O lead time 
deste estágio é considerado baixo e por isto pode ser desprezado. O sistema produtivo em 
questão pode operar em várias estratégias, como por exemplo, ATO, MTO entre outras. A 
modelagem do comportamento dinâmico do nível de estoque é feita usando a seguinte 
equação a diferenças: 
 )()()()1( kdkpkyky −+=+ (1) 
Onde k é uma variável discreta representada no tempo k (k é inteiro), y(k) é o nível de estoque 
no início do intervalo de tempo k; p(k) é a reposição de produtos ou componentes no estoque 
durante o intervalo de tempo k; d(k) são os produtos ou componentes que saem do estoque 
para a montagem no mesmo intervalo de tempo, é a demanda de produtos do mercado. Esta 
estrutura está ilustrada pela figura 1. Nesta figura, u(k) representa a ordem para a manufatura 
de produtos no intervalo de tempo k. 
 
 
XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasil, 21 a 24 de out de 2003 
ENEGEP 2003 ABEPRO 3 
 
 
Figura 1: Sistema produtivo 
 Nesta figura o primeiro estágio pode ser modelado como um atraso puro d, então a equação 
(1) pode ser reescrita como : 
 
)()(
)1()(ˆ)()()1(
dkukp
kkdkpkyky
−=
+ζ+−+=+ (2) 
Nesta equação, portanto, d é o atraso entre o pedido de produção e a reposição no estoque; e 
)(ˆ kd é a demanda de mercado prevista no intervalo de tempo k. Seja e(k) igual ao erro de 
previsão de demanda em k e pode-se assim definir ζ(k) como uma variável aleatória 
relacionada ao erro de previsão em k como abaixo : 
 


−=
=+−
)(ˆ)()(
)()1(
kdkdke
kekζ
 
(3) 
A modelagem desta estrutura usa o operador atraso, isto é, qx(k) = x(k+1) e q-1 x(k) = x(k-1) é 
apresentada naFigura 2. 
 
 
Figura 2: Modelagem do sistema produtivo usando diagrama de blocos e operador atraso. 
Em sistemas produtivos reais são encontrados restrições de capacidade na montagem e/ou 
manufatura (entrega de componentes). Neste trabalho, assume-se que a capacidade de 
montagem é suficiente para atender a demanda e é superior à capacidade de manufatura que é 
definida por: [ ]maxmin ,)( uuku ∈ onde, umin e umax representam os valores mínimos e máximos 
para os pedidos de reposição. Usualmente umin é igual a zero, mas pode assumir um valor 
negativo quando uma quantidade extra de produtos é retirado do estoque. 
3. A teoria de controle básica aplicada na gestão de estoque 
3.1 A idéia básica 
Os componentes dentro do estoque devem ser mantidos em um determinado nível de tal 
forma que a demanda de mercado (após o estágio de montagem) possa ser atendida. A 
estratégia de gestão de estoque proposta neste trabalho é caracterizada por duas fases (ou 
níveis). O nível inferior calcula a reposição ótima de produtos no estoque, para satisfazer a 
demanda de mercado. Isto é feito de tal modo que o erro quadrático entre a referência e o 
valor do nível de estoque seja mínimo, considerando a incerteza na previsão de demanda 
futura e a restrição de capacidade na manufatura. Neste nível utiliza-se a análise de sistemas 
 
XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasil, 21 a 24 de out de 2003 
ENEGEP 2003 ABEPRO 4 
 
dinâmicos em malha fechada, a reposição de componentes é feita através de um esquema de 
controle ótimo. Este esquema necessita dos seguintes dados de entrada: um valor de 
referência para o nível de estoque, da demanda de mercado futura e o valor atual para o nível 
de estoque. O nível superior está relacionado com a possibilidade de falta de produtos no 
estoque quando da presença de picos de demanda e de restrições rígidas de capacidade de 
manufatura. Assim, este nível calcula modificar no valor de referência para de forma prevenir 
a falta de produto quando as situações acima estão presente. A Figura 3 representa estas idéias 
e os dois níveis são descritos. 
 
Figure 3 – Sistema de controle de estoque 
Nesta figura, nota-se que o nível de referência (nível superior) para o estoque é calculado com 
base na demanda prevista e no valor atual de estoque, este valor é modificado quando o 
sistema percebe picos de demanda que não pode ser atendido com a capacidade de 
manufatura instalada. Com base no valor de referência para o estoque, na demanda prevista e 
no nível atual do armazém, o sistema de controle(do nível inferior) calcula um pedido ótimo 
de reposição 
3.2 Nível inferior: Lei de controle ótimo 
O Sistema de estoque sob análise é modelado pela equação (2): A gestão de controle tem 
como meta calcular o pedido de reposição no tempo k, isto é u(k), que minimiza o erro 
quadrático entre o nível de estoque atual y(k) e o de referência w(k). Uma função de custo que 
relaciona o erro entre o nível previsto e o desejado de estoque pode ser definida como: 
 2))()|(ˆ( jkwkjkyJk +−+= (4) 
e )|(ˆ kjky + é a previsão do nível de estoque no intervalo k+j realizada em k onde j=d+1. A 
minimização desta função em relação a u(k) no tempo k garante a reposição ótima dos 
pedidos. Para a solução deste problema é necessário prever o nível de estoque j passos à 
frente, considerando a informação até o tempo k. A equação de previsão é calculada a seguir: 
 )( 1)(ˆ)()()1( ++++−+−=+−++ jkjkdjdkujkyjky ζ (5) 
Usando o operador avanço q, e definindo ∆ = q-1, tem-se que: 
 
)( jkeqjkdjkuqjky
d
+++−+=+
−
∆∆∆ )(
ˆ1)()( 
 
(6) 
 
XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasil, 21 a 24 de out de 2003 
ENEGEP 2003 ABEPRO 5 
 
Alguns termos da previsão (5) são desconhecidos no tempo k, por exemplo ζ(k+j). Conforme 
a solução clássica para a previsão j-passos a frente (Favia,1988), defini-se a seguinte equação 
Diofantina : 
 
 )(
1
∆+=∆
−jj qqFq 
(7) 
onde: 1)( 21 ++++= −− Lddd qqqqF . 
Usando as equações (5), (6) e (7) e através de um desenvolvimento similar ao apresentado em 
(Astrom,1995) e (Pacheco,2002), obtém-se a melhor previsão para o nível de estoque no 
tempo k+j usando toda a informação até o tempo k (lembrando que j=d+1). A equação de 
previsão obtida é dada por: 
 )()|(ˆ)()()()|(ˆ kykkdqFkuqFqkjky d +−=+ − (8) 
 
 
)()|(ˆ)1...()()1...()|(ˆ 1
1
kykkdqqku
q
qqkjky ddd
dd
++++−+++=+ −
−
 
(9) 
Que é o mesmo que: 
 )|(ˆ)()|(ˆ kjkykukjky l ++=+ (10) 
Onde: 
 )()|(ˆ)1...()1()...1()|(ˆ 111 kykkdqqkuqqkjky dddl ++++−−+++=+ −−−− (11) 
Nestas equações, )|(ˆ kjkyl + representa todos os termos da previsão de nível do estoque que 
são conhecidos no instante j tempo k. Substituindo a equação de previsão (10) no critério de 
custo(4), obtém-se: 
 2))()|(ˆ)(( jkwkjkykuJ lk +−++= (12) 
Uma vez que o termo independente de u(k) pode ser desprezado na minimização de Jk em 
relação a u(k), obtém-se: 
 ))()|(ˆ)((2)(2 jkwkjkykukuJ lk +−++= (13) 
Portanto, a reposição ótima para o sistema de estoque no instante de tempo k é obtida 
resolvendo o seguinte problema de otimização quadrática de uma variável: 
 
maxmin
2
)(
)(..
))()|(ˆ)((2)(min
ukuuas
jkwkjkykuku lku
≤≤
+−++
 
(14) 
3.3 Nível superior: Procedimento para falta de estoque 
Geralmente o sistema de controle do nível de estoque não pode atender a chegada de picos de 
demanda de longa duração, devido as restrições de capacidade da manufatura ou entrega de 
componentes. É comum utilizar um estoque de segurança para prevenir a falta de 
componentes (Tubino, 1997); (Slack et al,1999) e (Gianesi et al,1997). Devido à presença, de 
restrições de capacidade na produção, o sistema pode não ser capaz de atender a picos de 
demanda de mercado. Assim, uma estratégia que incremente a quantidade de componentes no 
estoque antes da chegada de tais picos evitando a falta de componentes no estoque é 
 
XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasil, 21 a 24 de out de 2003 
ENEGEP 2003 ABEPRO 6 
 
necessária. Nesta seção propõe-se uma metodologia para solucionar este tipo de problema. 
Isto é feito alterando a referência para o nível de estoque antecipando a chegada do pico, de 
tal modo que, mesmo com a capacidade limitada, o sistema de gestão é capaz de atender a 
demanda. O método é o seguinte: Suponha que um pico de demanda é previsto “p” unidades 
de tempo no futuro. Uma taxa Tx(k) constante incrementa a taxa de subida Pd(k) conforme é 
apresentada na equação (15), a partir de um determinado valor definido a priori, a referência 
de estoque w(k) é incrementada pelo valor de Pd(k) conforme a equação (16) até o horizonte 
“p”. 
 
 
)()1()(
)(
kTxkPdkPd
p
Dp(k)kTx
+−=
= 
 
 
(15) 
 
 )()()1( kPdkwkw +=+ (16) 
4. Simulações 
Nesta seção um exemplo ilustra as propriedades do controle ótimo de estoque, em particular 
variância mínima é utilizada para a reposição de estoque, quando o sistema produtivo está 
sujeito a demanda incerta e restrição de capacidade. 
O sistema produtivo em questão (ver Seção 2) considera somente no estágio de manufatura, 
restrições de capacidade como sendo de: umin = 0 e umax = 40000 componentes e atraso de 
transporte (lead time) como: d = 1. O erro de previsão inerente aos modelos (2) e (3) 
representado por ζ(k+1) retrata a incerteza na demanda prevista ilustrada na figura 4. 
 
Figura 4 - Demanda real e Demanda prevista. 
Na estratégia de previsão de falta de componentes no estoque (ver Seção 3.3) é considerado 
pico, todo valor de demanda prevista superior ao valor máximo(umax) de capacidade de 
manufatura, então nesta simulação existem dois picos bem definidos ilustrada na figura 4. 
Neste caso o pico de demanda é previsto p = 4 unidade de tempo antes de sua chegada e valor 
de referência para o nível de estoque (ou estoque de segurança) é de: w(k) = 35000 
componentes, conforme ilustrada na figura 5. 
Na estratégia de controle (ver Seção 3.2) a lei de controle ótimo é implementada utilizando asseguintes informações: restrição de capacidade de manufatura, atraso de transporte(lead time), 
referência para nível de estoque e demanda futura prevista. 
 
XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasil, 21 a 24 de out de 2003 
ENEGEP 2003 ABEPRO 7 
 
 
Figura 5 – Referência de estoque para evitar a falta de componentes. 
Na figura 6 apresenta o comportamento do nível de estoque e dos pedidos ótimos de reposição 
quando a estratégia de gerenciamento proposta em dois níveis atua. 
Nota-se, pela figura 6 que a estratégia de prevenção de falta de estoque, permitiu incrementar 
gradualmente o nível estoque, tal que, as incertezas na demanda prevista sujeita a picos de 
mercado fosse suprida, com isto pode-se evitar a falta de componentes no estoque e cumprir 
as restrições de capacidade de manufatura proposta na estratégia de controle ótimo. Assim 
pode-se observar que as estratégias propostas são eficientes, quando o ambiente produtivo 
está sujeito a incertezas de demanda prevista e restrições de capacidade. 
 
 
Figura 6 – Comportamento do nível de estoque e dos pedidos de reposição ótima. 
5. Conclusões 
Este artigo abordou o problema de reposição de componentes em um sistema produtivo, 
caracterizado por dois estágios, através da análise e modelagem do sistema dinâmico de 
estoque. O modelo considerou a dinâmica do estágio de manufatura e/ou entrega de 
componentes como atrasos ou lead times, a presença de incertezas na demanda prevista e de 
restrições de capacidade nos estágios produtivos. O sistema também está sujeito a picos de 
demanda de produtos no mercado. A estratégia de gerenciamento proposta é formada por dois 
níveis estruturais: no superior, gerencia-se a prevenção de falta de estoque através da 
modificação on-line do estoque de segurança e, no inferior, a reposição ótima dos 
componentes é feita utilizando-se a teoria de controle ótimo. Nesta metodologia, o objetivo do 
 
XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasil, 21 a 24 de out de 2003 
ENEGEP 2003 ABEPRO 8 
 
sistema de controle é minimizar o nível de componentes mantido no armazém entre os 
estágios e não permitir a falta de produtos, mesmo quando há incertezas e/ou picos na 
demanda. Exemplos de simulação ilustraram o desempenho desta estratégia de gestão de 
estoques. 
Referências 
ASTROM, K.(1995) - Adaptive Control. Addison Wesley. 
BALLOU, R. H.(2001) - Gerenciamento da Cadeia de Suprimentos. Editora Bookman. 
BRANDOLESE, A. & R. CIGOLINI (1999) - A new model for strategic management of inventories subject to 
peaks in market demand. International Journal of Production Research; 37; n° 8; pp 1859-1880. 
CORRÊA, H.L, GIANESI, I. G .N. & CAON, M.(2001) - Planejamento, Programação e Controle da Produção. 
Editora Atlas. 
FAVIER, G. & DUBOIS, D.(1990) - A review of k-step-ahead predictors. Automática. Vol. 26 n° 1 pp 75-84. 
KHATOR, S. K & DESHMUKH M. (2002) - System Dynamics Modeling of Agility in a supply Chain. 
Techincal and Organizational Integration of Supply Chains part one Operations Managements, pp 17-23. XII - 
Encontro Nacional de Engenharia de Produção 
PACHECO, E. O., OLIVEIRA, G. H. C. & PACHECO, R. F. (2002) - Utilização de Conceitos de Variância 
Mínima na Gestão de Estoques. XII - Encontro Nacional de Engenharia de Produção. 
SLACK, N.,CHAMBERS, S., HARLAND, C., HARRISON, A. & JOHNSTON, R. (1999) - Administração da 
Produção. Editora Atlas. 
TOWILL, D. R. (1982) Dynamic analysis of an inventory and order based production control system. 
International Journal of Production Research; 20; pp 671-678. 
TOWILL, D. R. & DELVECCHIO, A.L. (1994) - The application of filter theory to the study of supply chain 
dynamics. Production Planning and Control, pp 82-96; 5. 
TUBINO, D. F. (1997) - Manual de Planejamento e Controle da Produção. Editora Atlas.