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ESCOLA 
SUPERIOR 
DE TECNOLOGIA 
E GESTÃO 
POLITÉCNICO 
DO PORTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 
 
LICENCIATURA - Ciências Empresariais 
Métodos Quantitativos II 
 
 Problema Linear – Empresa Calçado 
Nuno Miguel Martins Barros Costa Leite 
Joana Catarina Oliveira Vieira 
Eduardo Lage Barbosa 
André Gomes 
 
 
 
 
2018/2019 
 
 
 
 
 
2 
 
Escola Superior de Tecnologia e Gestão 
Licenciatura em Ciências Empresariais 
Métodos quantitativos II 
2º ano 
 
Problema de Programação Linear 
Empresa de calçado 
 
Discentes: 
Eduardo Barbosa(8170153) 
Joana Vieira(8150300) 
Nuno Leite (8150476) 
André Gomes(8170091) 
 
Docentes: 
Teófilo Melo 
2018/2019 
 
 
 
 
 
3 
 
Resumo 
 Este trabalho tem como objetivo a resolução de um problema de 
otimização de produção por parte de uma empresa calçado através de um 
software o Solver. 
 Deste modo, foram utilizados os conhecimentos adquiridos nas aulas. 
 Assim, o objetivo é maximizar a função produção definida por Z de forma 
a que a empresa utilizada consiga saber quais as melhores opções, ou seja, com 
os recursos que a empresa tem disponíveis, saber quais os produtos e as 
quantidades que deve produzir para maximizar o seu lucro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Índice 
Introdução ..................................................................................................................................................... 5 
Desenvolvimento .......................................................................................................................................... 6 
Problema de produção .......................................................................................................................... 6 
Modelo Matemático ................................................................................................................................... 7 
Método das duas fases e sua análise ............................................................................................................. 8 
Com subcontratação: .............................................................................................................................. 16 
Introdução de uma secção .......................................................................................................................... 17 
Aumento do lucro de uma variável............................................................................................................. 18 
Compensa a subcontratação ....................................................................................................................... 19 
Conclusão ................................................................................................................................................... 20 
Anexos ........................................................................................................................................................ 21 
Anexo 1 ................................................................................................................................................... 21 
Anexo 2 ................................................................................................................................................... 22 
Anexo 3 ................................................................................................................................................... 23 
Anexo 4 ................................................................................................................................................... 24 
Anexo 5 ................................................................................................................................................... 25 
Anexo 6 ................................................................................................................................................... 26 
Anexo 7- subcontratação dos recursos corte e mão de obra compensa ............................................... 27 
Bibliografia.................................................................................................................................................. 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Introdução 
 
Este trabalho foi-nos proposto no âmbito da unidade curricular de Métodos 
Quantitativos II, com o objetivo de realizar um trabalho prático onde se aplique a 
construção e resolução de um problema linear da vida real, através da utilização 
do método simplex, da técnica do método das duas fases e posteriormente 
através da execução da análise de pós–otimização. 
 Deste modo, podemos observar que a programação linear é uma técnica 
de otimização utilizada frequentemente na resolução de problemas, cujos 
modelos matemáticos são representados por expressões lineares. O método 
simplex é assim um sistema que permite maximizar ou minimizar a solução de 
uma função objetiva, concluindo-se após encontrar uma solução ótima. 
 Por outro lado, é utilizado o método das duas fases quando é necessário 
no problema linear introduzir variáveis artificiais e variáveis de excesso, numa 
primeira fase este processo é idêntico ao método simplex, alterando apenas a 
construção da primeira tabela, sendo esta fundamental para a resolução das 
tabelas seguintes, pois passamos para a segunda fase quando o Z = 0, ou seja, 
o resultado da primeira for 0 e os valores da equação (0) ter zeros ou positivos. 
Se obtivermos assim no resultado 0 significa que existe uma solução e o seu 
cálculo é possível, caso contrário o problema não é viável e não tem solução, 
posteriormente temos assim a preparação para a segunda fase. Na segunda 
fase, o método de resolução é igual ao método simplex, terminando apenas 
quando encontramos a solução ótima, ou seja, terminamos este método quando 
maximizamos a função z. 
Para finalizar o trabalho, iremos analisar os três tipos de relatórios 
nomeadamente: de sensibilidade, limites e resposta, bem como a análise pós-
otimização, na qual são retratadas as alterações dos coeficientes da FO, dos 
termos independentes e dos coeficientes da matriz e por fim a introdução de 
novas variáveis e de novas restrições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Desenvolvimento 
Problema de produção 
 
 A empresa «Só pé» encomendou um estudo a uma consultoria de modo 
a saber, como podia maximizar os lucros com os recursos que detém. 
Esta empresa produz 3 tipos de calçado diferentes mais propriamente: 
sapatilhas, botas e sandálias. O lucro obtido difere de produto para produto 
sendo que as sapatilhas remuneram a empresa em 35 euros/par, as botas 60 
euros/par e as sandálias 20 euros/par, pretendendo a empresa maximizar o 
lucro. 
Sabemos que as peças produzidas pela empresa passam por todas as máquinas 
(corte, costura, montagem) e necessitam de mão de obra sem exceção. 
 Na reunião mensal da empresa, o gestor responsável pela produção 
afirma que a produção de sapatilhas demora 60 minutos na máquina montagem; 
20minutos na máquina de corte; 45 minutos na máquina costura e necessita de 
mão de obra 20 minutos. Na produção das botas demora-se 60 minutos na 
máquina de montagem; 30 minutos na máquina de corte; 60 minutos na máquina 
costura e necessita de 60 minutos de mão de obra. Já a produção de sandálias 
demora 40 minutos na máquina de montagem; 15 minutos na máquina de corte; 
60 minutos na máquina costura; necessitando de 5 minutos. (Bom relembrar que 
esses valores mencionados acima são por par de calçado). 
 A empresa apenas concede 9000 minutos semanais de corte, 24000 de 
costura, 21600 de montagem e 7200 de mão de obra, sendo que a empresa tem 
a exigência que a mão de obra seja toda gasta no processo produtivo. 
 A organização impõe ainda que pelo menos sejam cobertos os custos 
fixos semanais, que são 1500 euros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Modelo Matemático 
 
Variáveisde decisão: 
 X1 – pares de botas 
 X2- pares de sapatilhas 
 X3– pares de sandálias 
Função objetivo: maximizar Z= 60x1 + 35x2 + 20x3 
 Sujeito a: 
 30x1 + 20x2 + 15x3 ≤ 9000 
 60x1 + 45x2 + 60x3 ≤ 24000 
 60x1 + 60x2 + 40x3 ≤ 21600 
 30x1 + 20x2 + 5x3 = 7200 
 60x1 + 35x2 + 20x3 ≥ 1500 
 
 Vamos utilizar o método das duas fases uma vez que temos de utilizar 
variáveis artificiais e excesso para resolvermos o problema. 
Forma aumentada: maximizar Z= 60x1 + 35x2 + 20x3 
 Sujeito a: 
 30x1 + 20x2 + 15x3 + x4 = 9000 
 60x1 + 45x2 + 60x3 + x5 = 24000 
 60x1 + 60x2 + 40x3 + x6 = 21600 
 30x1 + 20x2 + 5x3 + xa7 = 7200 
 60x1 + 35x2 + 20x3 - x8 + xa9 = 1500 
 x1,x2 ,x3 ,x4 ,x5,x6,xa ,≥0 
 
Função objetivo auxiliar: Z= xa7 + xa9 
– Z – 60x1 – 35x2 – 20x3 – 30x1 - 20x2 - 5x3 
– Z – 90x1 - 55x2 – 25x3 = -8700 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Método das duas fases e sua análise 
1ª Fase: 
 Na primeira fase o objetivo é anular as variáveis artificiais, o que se traduz 
na maximização de uma função objetiva auxiliar que representa o somatório de 
todas as variáveis artificias do problema. 
IT VB EQ X1 X2 X3 X
4 
X5 X6 X7 X8 X9 2ºM 
 -z (0) -90 -55 -25 0 0 0 1 0 0 -7200 
 X4 (1) 60 40 60 1 0 0 0 0 0 24000 
 X5 (2) 30 20 15 0 1 0 0 0 0 9000 
0 X6 (3) 60 60 40 0 0 1 0 0 0 21600 
 X7 (4) 30 20 5 0 0 0 1 0 0 7200 
 X9 (5) 60 35 20 0 0 0 0 -1 1 1500 
Cálculos auxiliares para saber o mínimo: 
 24000/60 = 400; 9000/30= 300; 21600/60= 360; 7200/30=240; 
1500/60=25 
A variável x1 entra para a base devido a ter um valor negativo maior e a variável 
x9 sai da base devido a ser a que tem a divisão de quociente mínimo positivo. 
Dividindo a equação (5) por 60; Multiplicando a equação (5) por -30 e somando 
com a equação (4); Multiplicando a equação (5) por -60 e somando com a 
equação (3); Multiplicando a equação (5) por -30 e somando com a equação (2); 
Multiplicando a equação (5) por -60 e somando com a equação (1); Multiplicando 
a equação (5) por 90 e somando com a equação (0) obtém-se: 
 
 
IT VB EQ X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 2ºM 
 -z (0) 0 -5/2 5 0 0 0 0 -3/2 1/2 -6450 
 X4 (1) 0 5 40 1 0 0 0 1 -1 2250
0 
 X5 (2) 0 5/2 5 0 1 0 0 1/2 -1/2 8250 
0 X6 (3) 0 25 20 0 0 1 0 1 -1 2010
0 
 X7 (4) 0 5/2 -5 0 0 0 1 1/2 -1/2 6450 
 X1 (5) 1 7/12 1/3 0 0 0 0 -
1/60 
1/60 25 
 
 
9 
 
Cálculos auxiliares para saber o mínimo: 
 22500/ 5= 4500 
 8250 / 5/2 = 3300 
 20100/25= 804 
 6450 / 5/2 = 2580 
 25 / 7/12 = 42,857 
A variável x2 entra para a base devido a ser a que tem um valor negativo maior 
e a variável x1 sai da base devido a ser a que tem o mínimo positivo. Dividindo 
a equação (5) por 7/12; Multiplicando a equação (5) por -5/2 e somando com a 
equação (4); Multiplicando a equação (5) por -25 e somando com a equação (3); 
Multiplicando a equação (5) por -5/2 e somando com a equação (2); Multiplicando 
a equação (5) por -5 e somando com a equação (1); Multiplicando a equação (5) 
por 5/2 e somando com a equação (0) obtém-se: 
 
IT VB EQ X1 X2 X3 X
4 
X5 X6 X7 X8 X9 2ºM 
 -z (0) 30/7 0 45/7 0 0 0 0 -4/7 11/
7 
-7200 
 X4 (1) 60/7 0 260/7 1 0 0 0 8/7 -8/7 156000/
7 
 X5 (2) -30/7 0 25/7 0 1 0 0 4/7 -4/7 57000/7 
0 X6 (3) -
300/7 
0 40/7 0 0 1 0 12/7 -
12/
7 
133200/
7 
 Xa7 (4) -30/7 0 -45/7 0 0 0 1 4/7 -4/7 44400/7 
 X2 (5) 12/7 1 4/7 0 0 0 0 -1/35 1/3
5 
300/7 
 
Cálculos auxiliares para saber o mínimo: 
 -7200 / -4/7= 12600 
 156000/7 / 8/7 = 19500 
 57000/7 / 4/7 = 99750 
 44400/7 / 4/7 = 11100 
 
 
 
10 
 
A variável x8 entra para a base devido a ser a única com um valor negativo e 
a variável ͞x7 sai da base devido a ser a que tem o mínimo positivo. Dividindo a 
equação (4) por 4/7; Multiplicando a equação (4) por 1/35 e somando com a 
equação (5); Multiplicando a equação (4) por 12/7 e somando com a equação 
(3); Multiplicando a equação (4) por -4/7 e somando com a equação (2); 
Multiplicando a equação (4) por -8/7 e somando com a equação (1); Multiplicando 
a equação (4) por 4/7 e somando com a equação (0); obtém-se: 
IT VB EQ X1 X2 X3 X
4 
X5 X6 X7 X8 X9 2ºM 
 -z (0) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 
 X4 (1) 0 0 50 1 0 0 -2 0 0 9600 
 X5 (2) 0 0 10 0 1 0 -1 0 0 1800 
0 X6 (3) -30 0 25 0 0 1 -2 0 0 0 
 X8 (4) -15/2 0 -45/4 0 0 0 7/9 1 -1 1110
0 
 X2 (5) 3/2 1 1/4 0 0 0 1/2
0 
0 0 360 
 
Preparação para a segunda fase 
 Nesta segunda fase o primeiro passo a fazer é eliminar a coluna da 
variável artificial (…) e substituindo a equação (0) pela função objetiva original 
do problema linear o que se obtém a seguinte tabela: 
IT VB EQ X1 X2 X3 X
4 
X5 X6 X8 X9 2ºM 
 -z (0) -60 -35 -20 0 0 0 0 0 
 X4 (1) 0 0 50 1 0 0 0 9600 
 X5 (2) 0 0 10 0 1 0 0 1800 
0 X6 (3) -30 0 25 0 0 1 0 0 
 X8 (4) -15/2 0 -45/4 0 0 0 1 1110
0 
 X2 (5) 3/2 1 1/4 0 0 0 0 360 
 
 
 
11 
 
Segunda fase: 
A segunda fase do método consiste na exclusão da função objetivo 
auxiliar que já cumpriu a sua função. Continuamos a resolução do problema, 
utilizando a função objetivo inicial e seguindo o critério de decisão definido 
inicialmente. 
IT VB EQ X1 X2 X3 X
4 
X5 X6 X8 X9 2ºM 
 -z (0) -60 -35 -20 0 0 0 0 0 
 X4 (1) 0 0 50 1 0 0 0 9600 
 X5 (2) 0 0 10 0 1 0 0 1800 
0 X6 (3) -30 0 25 0 0 1 0 0 
 X8 (4) -15/2 0 -45/4 0 0 0 1 1110
0 
 X2 (5) 3/2 1 1/4 0 0 0 0 360 
Cálculos auxiliares para saber o mínimo: 
 360 / 3/2 = 240 
A variável x1 entra para a base devido a ser a variável com um valor 
negativo maior e a variável x2, sai da base devido a ser a que tem o mínimo 
positivo. Divide se a equação (5) por 3/2; Multiplicando a equação (5) por 15/2 e 
somando com a equação (4); Multiplicando a equação (5) por 30 e somando com 
a equação (3) e multiplicando a equação (5) por 60 e somando com a equação 
(0) obtém-se: 
IT VB EQ X1 X2 X3 X
4 
X5 X6 X8 X9 2ºM 
 -z (0) 0 5 -10 0 0 0 0 1440
0 
 X4 (1) 0 0 50 1 0 0 0 9600 
 X5 (2) 0 0 10 0 1 0 0 1800 
0 X6 (3) 0 20 30 0 0 1 0 7200 
 X8 (4) 0 5 -10 0 0 0 1 1290
0 
 X1 (5) 1 2/3 1/6 0 0 0 0 240 
 
 
 
12 
 
Cálculos auxiliares para saber o mínimo: 
 9600/50= 192 
 1800/10= 180 
 7200/30=240 
 240 / 1/6 = 1440 
A variável x3 entra para a base devido a única variável com um valor 
negativo e a variável x5 sai da base devido a ser a que tem o mínimo positivo. 
Divide se a equação (2) por 10; Multiplicando a equação (5) por -1/6 e somando 
com a equação (2); Multiplicando a equação (2) por 10 e somando com a 
equação (4); Multiplicando a equação (2) por -30 e somando com a equação (3); 
Multiplicando a equação (2) por -50 e somando com a equação (1); Somando a 
equação (0) com a equação (2) e obtém-se: 
 
IT VB EQ X1 X2 X3 X
4 
X5 X
6 
 X8 2ºM 
 -z (0) 0 5 0 0 1 0 0 1620
0 
 X4 (1) 0 0 0 1 -5 0 0 600 
 X3 (2) 0 0 1 0 1/10 0 0 180 
0 X6 (3) 0 20 0 0 -3 1 0 1800 
 X8 (4) 0 5 0 0 1 0 1 1470
0 
 X1 (5) 1 2/3 0 0 -1/60 0 0 210 
 
Desta forma, podemos observar que já encontramos a solução ótima uma 
vez que na equação (0) todos os valores são positivos ou nulos. Assim a solução 
ótima é S= (210;0;180;0;0) e Z= 16200, solução igual aos valores do solver do 
Excel. 
A solução ótima do primal (x1; x2; x3) = (210; 0; 180) 
A solução do dual (y1; y2; y3; y4; y5; y6; y7) = (0; 1; 0; 0; 0; 5; 0) 
A solução ótima que maximiza o lucro da empresa para as suas limitações 
é uma produção de 210 pares de botas, 180 sandálias e a não produção de 
sapatilhas, semanalmente. 
Produzindo aempresa em tais condições fará um lucro de 16200 euros 
semanais. 
 
 
13 
 
Pelos resultados obtidos através do método das duas fazes, verificou-se 
que: 
Existiam vários recursos abundantes como: 
-costura (x4=400;y1=0) 
-montagem (x6=1800; y3=0) 
-custos fixos (x8=14700; y4=0) 
Existe recursos abundantes que continuaram abundantes como podemos 
ver: 
-corte (x5=0; y2=0) 
A solução ótima como se verificou acima não contempla a produção de 
sapatilhas, se a empresa pretendesse mesmo produzir teria um impacto de -5 
(custo reduzido) por cada unidade produzida no lucro. 
Desta forma, vemos ainda que tem um preço sombra, obviamente variável 
que é escasso, e esse preço sombra é de 1 euro, quer isso dizer que o 
incremento de uma unidade desse recurso (neste caso de 1 minuto semanal no 
corte) teria como consequência o aumento do lucro em 1 euro permanecendo 
tudo o resto constante; 
Acerca dos 3 relatórios fornecidos pelo Excel, resposta sensibilidade e 
limites, podemos tirar mais algumas conclusões. 
Análise do relatório de resposta 
 
 
Quanto ao relatório de resposta apercebemo-nos que vai de encontro com 
as conclusões tiradas após a conclusão do método das duas fases, ou seja, que 
o corte é um recurso escasso e os recursos montagem, costura e custo fixo são 
abundantes. 
Deste modo, visualizou-se ainda que a mão de obra também é um recurso 
escasso, mas esta por imposição nossa ao colocar a restrição 
30x1+20x2+5x3=7200, ou seja, a empresa impôs a total utilização dos recursos 
Células de Variável
Célula Nome Valor Original Valor Final Número inteiro
$A$4 x1 210 210 Contin
$B$4 x2 0 0 Contin
$C$4 X3 180 180 Contin
Restrições
Célula Nome Valor da Célula Fórmula Estado Margem
$E$12 Corte 1ºM 9000 $E$12<=$F$12 Enlace 0
$E$13 Costura 1ºM 23400 $E$13<=$F$13 Sem Enlace 600
$E$14 Montagem 1ºM 19800 $E$14<=$F$14 Sem Enlace 1800
$E$15 Mão de obra 1ºM 7200 $E$15=$F$15 Enlace 0
$E$16 Custos fixos 1ºM 16200 $E$16>=$F$16 Sem Enlace 14700
 
 
14 
 
de mão de obra, não podendo gastar nem mais nem menos tempo do 
preconizado inicialmente. 
Assim verificou-se ainda que a costura fica com 600 minutos a menos, e 
a montagem menos 1800 minutos do que a capacidade da empresa permite. 
Os recursos fixos são ultrapassados em 14700, ou seja, 16200 (lucro da 
solução ótima) -1500 (Valor estipulado pela empresa como o valor mínimo a 
fazer semanalmente de modo a cobrir os custos fixos que a empresa incorre 
semanalmente). 
 
Análise do relatório de sensibilidade 
 
O relatório de sensibilidade dá-nos a conhecer o custo reduzido, já falado 
anteriormente após a conclusão do método das 2 fases. 
Ainda acerca da variável x2 (sapatilhas) observou-se no quadro das 
células variáveis que o coeficiente de x2 (ou seja, o lucro que as sapatilhas 
geram) pode sofrer um aumento de até 5 ou até um qualquer decréscimo, sem 
que para isso se altere o valor do lucro obtido. Este qualquer decréscimo sem a 
alteração no lucro da empresa é perfeitamente compreensível uma vez que, se 
não produzimos o lucro obtido por essa variável é indiferente. 
Em relação à variável x1 apercebemo-nos que o seu coeficiente pode 
aumentar em até 60 euros (excluindo) ou poder diminuir até 7,5 euros (excluindo) 
sem que para isso exista uma alteração nas quantidades produzidas na solução 
ótima. 
A variável x3 pode também diminuir, passando o seu lucro para até 10 
euros (excluindo) ou que tenha um qualquer aumento e para estas condições 
não existirá uma mudança nas quantidades produzidas de cada modelo de 
calçado. 
Células de Variável
Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Aumentar Diminuir
$A$4 x1 210 0 60 60 7,5
$B$4 x2 0 -5 35 5 1E+30
$C$4 X3 180 0 20 1E+30 10
Restrições
Final Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Valor Preço Lado Direito Aumentar Diminuir
$E$12 Corte 1ºM 9000 1 9000 120 1800
$E$13 Costura 1ºM 23400 0 24000 1E+30 600
$E$14 Montagem 1ºM 19800 0 21600 1E+30 1800
$E$15 Mão de obra 1ºM 7200 1 7200 1800 200
$E$16 Custos fixos 1ºM 16200 0 1500 14700 1E+30
 
 
15 
 
Interessante perceber desta ultima análise que para qualquer lucro superior as 
20 euros, na variável x3, a solução ótima não muda as quantidades produzidas, 
mesmo alterando para um valor completamente absurdo (como 1.000.000), isto 
leva-nos a crer que terá de haver uma restrição da mão de obra que obriga o 
total uso do recurso, pois em caso de ser 1.000.000 euros o lucro de um par de 
sandálias bastaria a produção de 1 par para suplantar o lucro semanal obtido 
pela solução ótima, e obedeceria a todas as restrições, exceto o aproveitamento 
total da mão de obra. 
No quadro das restrições, verifica-se que: o recurso costura pode variar 
entre ]23400; +∞[ sem que o preço sombra se altere, o recurso corte entre 
]19800; +∞[ sem alteração do preço sombra, a mão de obra pode variar entre 
]8800;9000[ sem alteração do preço sombra. 
 
análise do relatório de limites 
 
Assim, no último dos 3 relatórios, relatório de limites, vê-se que não existe 
alteração do limite inferior e respetivo resultado obtido e no limite superior e 
respetivo resultado obtido. Quer isto dizer que com apenas alteração na 
produção de uma variável não é possível cumprir todas as restrições, o que nos 
leva a crer mais uma vez que advém da restrição da mão de obra. 
Surgiram algumas questões ao longo da análise, entre elas a interferência 
da mão de obra no lucro da empresa deste modo decidimos mudar essa restrição 
para esta: 
(mão de obra) 30x1+20x2+5x3≤7200 
Assumindo como mão de obra máxima semanal 7200 minutos, mas que 
podia ser menos que esse valor com o intuito de perceber se o lucro aumenta 
podendo a empresa com a mão de obra que potencialmente excedentária faça 
outro tipo de serviços. 
(A análise que efetuaremos abaixo tem como base o anexo 2) 
No final, apercebemo-nos que a restrição anteriormente referida não tem 
qualquer interferência na solução ótima, como nos é dada a perceber pelo Excel, 
a solução mantém-se. 
 
 
16 
 
Deste modo, a interferência é sentida apenas na variável x3 (quantidade 
de sandálias produzidas), facto que tínhamos mencionada como potencial ao 
analisar a sensibilidade acima, mais propriamente no valor em que esta pode 
variar contudo não alterando as quantidades produzidas da solução ótima. Teve 
também implicações na análise de limites podendo agora a empresa produzir 
apenas a variável x3 (fazendo 3600 lucro semanal) ou x1 fazendo 12600. 
Assim, verifica-se que a empresa possui recursos abundantes, 
nomeadamente a costura, montagem e custos fixos (esquecendo agora os 
custos fixos que já foram cumpridos pelas quantidades produzidas 
anteriormente). Existem 600 minutos e 1800 minutos semanais, não 
aproveitados pela costura e montagem respetivamente e como a empresa tinha 
pressuposto o maior lucro possível, com os recursos que tem seria vantajoso. 
A subcontratação de empresas que poderiam fornecer os recursos 
escassos que a empresa necessita, claro mediante o pagamento de uma verba, 
valor que estaria repercutido numa diminuição do lucro. 
Com subcontratação: 
 
Max Z=27x1+20x2+18x3 
Sujeito a: 
(costura) 60x1+40x2+60x3≤600 
(montagem) 60x1+60x2+40x3≤1800 
(a análise que se fará tem como base o anexo 3) 
Desta forma, produzindo mais 10 pares de botas, tem um lucro de 270 
euros semanais sobrando ainda assim 1200 minutos semanais de montagem. 
Assim, concluímos que com essa subcontratação a empresa ficaria com 
um lucro total de 16470 euros. Mas como se falou em cima restavam ainda 1200 
minutos de montagem daí um novo problema: 
Max Z=21x1+15x2+12x3 
Sujeito a: 
(montagem) 60x1+60x2+40x3≤1200 
(Análise baseada no anexo 4) 
Pode-se ver nesta análise, que agora existe a total aproveitação dos 
recursos, sendo agora todos os recursos escassos exceto os custos fixos 
(explicação feita acima) . 
Com a total aproveitação dos recursos advém um lucro de 
16470+420=16890, quer isto dizer que a empresa ganha 690 euros com o 
aproveitamentodos recursos que anteriormente denominamos como 
abundantes. 
 
 
17 
 
Para atingir esse lucro produzimos 240 pares de botas (210+10+20), 180 
de sandálias e 0 sapatilhas, dessa produção 30 botas advém da subcontratação 
de costura, corte e mão de obra. 
Introdução de uma secção 
 
Com vista à produção de sapatilhas a empresa mostra interesse em 
colocar mais uma secção no processo produtivo, será isto vantajoso? 
Maximizar Z= 60x1 + 35x2 + 20x3 
 Sujeito a: 
30x1 + 20x2 + 15x3 ≤ 9000 
60x1 + 45x2 + 60x3≤ 24000 
60x1 + 60x2 + 40x3 ≤ 21600 
30x1 + 20x2 + 5x3=7200 
60x1 + 35x2 + 20x3 ≥ 1500 
45x1+10x2+30x3≤12700 
 
 
Desta forma, como se pode visualizar pela imagem anterior o incremento 
de uma secção teve como consequência o aumento de produção de sapatilhas 
face à anterior solução, mas um decréscimo de pares de botas produzidos 
semanalmente e um decréscimo de pares de sandálias. Esta solução não parece 
de todo a mais viável quando analisamos o lucro, perdendo a empresa cerca de 
566 euros semanais face à primeira encontrada que contemplava 16200 euros 
de lucro semanal, contudo sem produção de sapatilhas. 
Também na imagem podemos observar que comtempla a produção de 
144.4 pares de botas, 100 pares de sapatilhas e 173.33 sandálias. 
Variáveis de decisão
x1 x2 X3 x1 sapatos
144,444444 100 173,3333333 x2 sapatilhas
x3 sandálias
Coeficientes da função objetivo
x1 x2 X3 Valor Função Objetivo
60 35 20 15633,33333
Coeficientes das restrições
x Y Z 1ºM 2º M
Corte 30 20 15 8933,333333 9000
Costura 60 45 60 23566,66667 24000
Montagem 60 60 40 21600 21600
Mão de obra 30 20 5 7200 7200
Custos fixos 60 35 20 15633,33333 1500
tintura 45 10 30 12700 12700
 
 
18 
 
Verifica-se pela análise das tabelas do anexo 5 que recursos como o 
corte, e costura e custos fixos são abundantes. 
Verifica-se ainda que os as botas podem variar o lucro entre ]39;64.77[ 
sem que para isso exista diferenças nas quantidades produzidas, já as sapatilhas 
podem variar entre ]31.2;46.6[ e as sandálias entre ] 15.625;+infinito[. 
Por outro lado, quanto ás variáveis escassas como: montagem, mão de 
obra e tintura, possuem preços sombra de 0.083; 1.33 e a 0.33 respetivamente, 
permitindo à empresa apenas o incremento de um recurso optar-se-ia pela mão 
de obra pois esta representaria um aumento de 1.33 no lucro por cada unidade 
incrementada no processo produtivo, valor superior a qualquer outro 
Aumento do lucro de uma variável 
 
Deste modo, outra das hipóteses da empresa produzir sapatilhas será o 
aumento do preço de venda e assim o consequente aumento do lucro, passando 
dos 35 euros iniciais para 41, testamos o valor 41 porque o «permissível de 
aumentar» era 5, sem que houvesse alteração nas quantidades produzidas, logo 
não faria sentido colocar um valor abaixo de 5. 
 
 
Neste sentido, percebemos por aqui que o lucro em relação à primeira 
solução ótima melhora em 90 euros, passando para 16290. 
Desta forma, podemos observar, pelo anexo 6 que existe agora apenas 2 
variáveis abundantes sendo elas os custos fixos e a costura, pelo relatório de 
respostas. 
Variáveis de decisão
x1 x2 X3 x1 sapatos
150 90 180 x2 sapatilhas
x3 sandálias
Coeficientes da função objetivo
x1 x2 X3 Valor Função Objetivo
60 41 20 16290
Coeficientes das restrições
x Y Z 1ºM 2º M
Corte 30 20 15 9000 9000
Costura 60 45 60 23850 24000
Montagem 60 60 40 21600 21600
Mão de obra 30 20 5 7200 7200
Custos fixos 60 35 20 15750 1500
 
 
19 
 
Quanto ao relatório de sensibilidade dá a entender que o lucro das botas 
pode aumentar em até 1,5 e reduzir em 10.2 sem que para isso exista uma 
alteração nas quantidades. 
O lucro das sapatilhas pode variar entre ]40 e 46.(6)[ sem haver alteração 
das quantidades produzidas e o lucro das sandálias pode variar entre ]11,5 e 
30.5[. Importante realçar que estes factos são verdadeiros mantendo-se as 
restantes variáveis sem qualquer alteração, verificamos que dos recursos 
escassos o corte tem um preço sombra de 0.85, a montagem de 0.05 e a mão 
de obra de 1.05, quer isto dizer que o acréscimo de uma unidade destes recursos 
terá como consequência o aumento do lucro do preço sombra. A variável 
abundante, costura, tem 150 minutos a mais do que seria preciso para produzir 
essa solução. 
Pelo relatório de limites, apercebemo-nos que é possível a não produção 
de qualquer uma das variáveis, claro decaindo o lucro. 
Compensa a subcontratação 
 
Uma das questões que ficou por responder é se compensaria a 
subcontratação total dos recursos escassos, neste sentido essa questão poderá 
ser respondida colocando as seguintes restrições no Excel. 
Max Z=27x1+20x2+18x3 
Sujeito a: 
(costura) 60x1+40x2+60x3≤24000 
(montagem) 60x1+60x2+40x3≤21600 
 
Desta forma, apercebemo-nos pela tabela acima que não será a solução 
mais viável a subcontratação total dos recursos mão de obra e corte, uma vez 
Variáveis de decisão
x1 x2 X3 x1 sapatos
360 0 0 x2 sapatilhas
x3 sandálias
Coeficientes da função objetivo
x1 x2 X3 Valor Função Objetivo
27 20 18 9720
Coeficientes das restrições
x Y Z 1ºM 2º M
Costura 60 45 60 21600 24000
Montagem 60 60 40 21600 21600
 
 
20 
 
que o lucro diminui de 16200 para 9720, decréscimo absurdo e ainda com a 
agravante de só se produzir botas, mais propriamente 360 pares. 
Pela análise dos relatórios, verifica-se que o recurso costura não era 
totalmente aproveitado ficando 2400 minutos semanais em abundância, sendo 
assim este recurso considerado abundante. 
Pelo relatório de sensibilidade, visualiza-se que o preço das botas pode 
ser qualquer valor superior a 27 não podendo ele diminuir. O aumento para 
qualquer valor é facilmente explicável pela não produção das outras variáveis. 
As sapatilhas tendo um aumento do lucro superior a 7, terão o «condão» 
de mudar as quantidades produzidas, podendo estas diminuir o lucro para 
qualquer preço sem que para isso exista mudança nas quantidades, importante 
referir ainda que existe um custo reduzido na produção de sapatilhas sendo ele 
de 5, o que significa que pretendendo a empresa produzir sapatilhas com estas 
restrições terão uma diminuição do lucro em 5 euros. O recurso montagem é 
escasso, tendo um preço sombra de 0.45 euros. 
Por fim, pelo relatório de limites percebe-se que é permitida a não 
produção da variável botas tendo como consequência lógica um lucro zero, uma 
vez que só é produzida essa mesma variável. 
Conclusão 
Após o término da análise verificamos que a solução mais vantajosa para a 
empresa, será a produção de 210 pares de botas, 0 pares de sapatilhas e 180 
pares de sandálias, contudo verifica-se que subcontratando uma empresa este 
ponto ótimo passaria para 340 pares de botas, 0 sapatilhas e 180 pares de 
sandálias. 
Durante a análise comparou-se esse valor que se falou em cima , com um 
possível incremento de uma secção e um aumento de lucro da variável 
sapatilhas mas verificou-se que esta continuava a ser a mais vantajosa pois 
apresentava um lucro superior às demais mencionadas. 
No final do trabalho tentou-se perceber se haveria vantagem em subcontratar o 
total dos recursos de mão de obra e corte, e chegou-se à conclusão que tal não 
seria o mais viável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Anexos 
Anexo 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Células de Variável
Célula Nome Valor Original Valor Final Número inteiro
$A$4 x1 210 210 Contin
$B$4 x2 0 0 Contin
$C$4 X3 180 180 Contin
Restrições
Célula Nome Valor da Célula Fórmula Estado Margem
$E$12 Corte 1ºM 9000 $E$12<=$F$12 Enlace 0
$E$13 Costura 1ºM 23400 $E$13<=$F$13 Sem Enlace 600
$E$14 Montagem 1ºM 19800 $E$14<=$F$14 Sem Enlace 1800
$E$15 Mão de obra 1ºM 7200 $E$15=$F$15 Enlace 0
$E$16 Custos fixos 1ºM 16200 $E$16>=$F$16 Sem Enlace 14700
Células de Variável
Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Aumentar Diminuir
$A$4 x1 210 0 60 60 7,5
$B$4 x2 0 -5 35 5 1E+30
$C$4 X3 180 0 20 1E+30 10
Restrições
Final Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Valor PreçoLado Direito Aumentar Diminuir
$E$12 Corte 1ºM 9000 1 9000 120 1800
$E$13 Costura 1ºM 23400 0 24000 1E+30 600
$E$14 Montagem 1ºM 19800 0 21600 1E+30 1800
$E$15 Mão de obra 1ºM 7200 1 7200 1800 200
$E$16 Custos fixos 1ºM 16200 0 1500 14700 1E+30
 
 
22 
 
Anexo 2 
Experiência da mudança de restrição 
Análise de relatório de sensibilidade 
 
Análise de relatório de limites 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Células de Variável
Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Aumentar Diminuir
$A$4 x1 210 0 60 60 7,5
$B$4 x2 0 -5 35 5 1E+30
$C$4 X3 180 0 20 10 10
Variável Inferior Objetivo Superior Objetivo
Célula Nome Valor Limite Resultado Limite Resultado
$A$4 x1 210 0 3600 210 16200
$B$4 x2 0 0 16200 0 16200
$C$4 X3 180 0 12600 180 16200
 
 
23 
 
Anexo 3 
Utilização das variáveis abundantes: subcontratação de corte e mão de obra. 
Relatório de resposta 
 
 
 
 
Células de Variável
Célula Nome Valor Original Valor Final Número inteiro
$A$4 x1 0 10 Contin
$B$4 x2 0 0 Contin
$C$4 X3 0 0 Contin
Restrições
Célula Nome Valor da Célula Fórmula Estado Margem
$E$13 Costura 1ºM 600 $E$13<=$F$13 Enlace 0
$E$14 Montagem 1ºM 600 $E$14<=$F$14 Sem Enlace 1200
Células de Variável
Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Aumentar Diminuir
$A$4 x1 10 0 27 1E+30 0,333333333
$B$4 x2 0 -0,25 20 0,25 1E+30
$C$4 X3 0 -9 18 9 1E+30
Restrições
Final Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Valor Preço Lado Direito Aumentar Diminuir
$E$13 Costura 1ºM 600 0,45 600 1200 600
$E$14 Montagem 1ºM 600 0 1800 1E+30 1200
Objetivo
Célula Nome Valor
$E$8 Valor Função Objetivo270
Variável Inferior Objetivo Superior Objetivo
Célula Nome Valor Limite Resultado Limite Resultado
$A$4 x1 10 0 0 10 270
$B$4 x2 0 0 270 0 270
$C$4 X3 0 0 270 0 270
 
 
24 
 
Anexo 4 
Subcontratação de corte, costura e mão de obra. 
 
 
 
 
 
 
 
Célula de Objetivo (Máximo)
Célula Nome Valor Original Valor Final
$E$8 Valor Função Objetivo 0 420
Células de Variável
Célula Nome Valor Original Valor Final Número inteiro
$A$4:$C$4
Restrições
Célula Nome Valor da Célula Fórmula Estado Margem
$E$14 Montagem 1ºM 1200 $E$14<=$F$14 Enlace 0
Células de Variável
Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Aumentar Diminuir
$A$4:$C$4
Restrições
Final Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Valor Preço Lado Direito Aumentar Diminuir
$E$14 Montagem 1ºM 1200 0,35 1200 1E+30 1200
Objetivo
Célula Nome Valor
$E$8 Valor Função Objetivo420
Variável Inferior Objetivo Superior Objetivo
Célula Nome Valor Limite Resultado Limite Resultado
$A$4 x1 20 0 0 20 420
$B$4 x2 0 0 420 0 420
$C$4 X3 0 0 420 0 420
 
 
25 
 
Anexo 5 
 
 
 
 
Célula de Objetivo (Máximo)
Célula Nome Valor Original Valor Final
$E$8 Valor Função Objetivo 15633,33333 15633,33333
Células de Variável
Célula Nome Valor Original Valor Final Número inteiro
$A$4 x1 144,4444444 144,4444444 Contin
$B$4 x2 100 100 Contin
$C$4 X3 173,3333333 173,3333333 Contin
Restrições
Célula Nome Valor da Célula Fórmula Estado Margem
$E$12 Corte 1ºM 8933,333333 $E$12<=$F$12 Sem Enlace 66,66666667
$E$13 Costura 1ºM 23566,66667 $E$13<=$F$13 Sem Enlace 433,3333333
$E$14 Montagem 1ºM 21600 $E$14<=$F$14 Enlace 0
$E$15 Mão de obra 1ºM 7200 $E$15=$F$15 Enlace 0
$E$16 Custos fixos 1ºM 15633,33333 $E$16>=$F$16 Sem Enlace 14133,33333
$E$17 tintura 1ºM 12700 $E$17<=$F$17 Enlace 0
Células de Variável
Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Aumentar Diminuir
$A$4 x1 144,4444444 0 60 4,772727273 21
$B$4 x2 100 0 35 11,66666667 3,888888889
$C$4 X3 173,3333333 0 20 1E+30 4,375
Restrições
Final Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Valor Preço Lado Direito Aumentar Diminuir
$E$12 Corte 1ºM 8933,333333 0 9000 1E+30 66,66666667
$E$13 Costura 1ºM 23566,66667 0 24000 1E+30 433,3333333
$E$14 Montagem 1ºM 21600 0,083333333 21600 350 4666,666667
$E$15 Mão de obra 1ºM 7200 1,333333333 7200 200 325
$E$16 Custos fixos 1ºM 15633,33333 0 1500 14133,33333 1E+30
$E$17 tintura 1ºM 12700 0,333333333 12700 350 9100
Objetivo
Célula Nome Valor
$E$8 Valor Função Objetivo15633,3
Variável Inferior Objetivo Superior Objetivo
Célula Nome Valor Limite Resultado Limite Resultado
$A$4 x1 144,444 144,44 15633,33 144,444 15633,33
$B$4 x2 100 100 15633,33 100 15633,33
$C$4 X3 173,333 173,33 15633,33 173,333 15633,33
 
 
26 
 
Anexo 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
Células de Variável
Célula Nome Valor Original Valor Final Número inteiro
$A$4 x1 150 150 Contin
$B$4 x2 90 90 Contin
$C$4 X3 180 180 Contin
Restrições
Célula Nome Valor da Célula Fórmula Estado Margem
$E$12 Corte 1ºM 9000 $E$12<=$F$12 Enlace 0
$E$13 Costura 1ºM 23850 $E$13<=$F$13 Sem Enlace 150
$E$14 Montagem 1ºM 21600 $E$14<=$F$14 Enlace 0
$E$15 Mão de obra 1ºM 7200 $E$15<=$F$15 Enlace 0
$E$16 Custos fixos 1ºM 15750 $E$16>=$F$16 Sem Enlace 14250
Células de Variável
Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Aumentar Diminuir
$A$4 x1 150 0 60 1,5 10,2
$B$4 x2 90 0 41 5,666666667 1
$C$4 X3 180 0 20 10,5 8,5
Restrições
Final Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Valor Preço Lado Direito Aumentar Diminuir
$E$12 Corte 1ºM 9000 0,85 9000 35,29411765 1800
$E$13 Costura 1ºM 23850 0 24000 1E+30 150
$E$14 Montagem 1ºM 21600 0,05 21600 600 1800
$E$15 Mão de obra 1ºM 7200 1,05 7200 1800 54,54545455
$E$16 Custos fixos 1ºM 15750 0 1500 14250 1E+30
Objetivo
Célula Nome Valor
$E$8 Valor Função Objetivo16290
Variável Inferior Objetivo Superior Objetivo
Célula Nome Valor Limite Resultado Limite Resultado
$A$4 x1 150 0 7290 150 16290
$B$4 x2 90 0 12600 90 16290
$C$4 X3 180 0 12690 180 16290
 
 
27 
 
Anexo 7- subcontratação dos recursos corte e mão de obra compensa 
 
 
 
 
 
 
 
Célula de Objetivo (Máximo)
Célula Nome Valor Original Valor Final
$E$8 Valor Função Objetivo 9720 9720
Células de Variável
Célula Nome Valor Original Valor Final Número inteiro
$A$4 x1 360 360 Contin
$B$4 x2 0 0 Contin
$C$4 X3 0 0 Contin
Restrições
Célula Nome Valor da Célula Fórmula Estado Margem
$E$13 Costura 1ºM 21600 $E$13<=$F$13 Sem Enlace 2400
$E$14 Montagem 1ºM 21600 $E$14<=$F$14 Enlace 0
Células de Variável
Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Aumentar Diminuir
$A$4 x1 360 0 27 1E+30 0
$B$4 x2 0 -7 20 7 1E+30
$C$4 X3 0 0 18 0 1E+30
Restrições
Final Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Valor Preço Lado Direito Aumentar Diminuir
$E$13 Costura 1ºM 21600 0 24000 1E+30 2400
$E$14 Montagem 1ºM 21600 0,45 21600 2400 21600
Objetivo
Célula Nome Valor
$E$8 Valor Função Objetivo9720
Variável Inferior Objetivo Superior Objetivo
Célula Nome Valor Limite Resultado Limite Resultado
$A$4 x1 360 0 0 360 9720
$B$4 x2 0 0 9720 0 9720
$C$4 X3 0 0 9720 0 9720
 
 
28 
 
Bibliografia 
 
https://moodle.estg.ipp.pt/pluginfile.php/96500/mod_resource/content/1/cap3.pd
f – capitulo 3 - acedido em 27/05/2019 
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f – capitulo 5 - acedido em 28/05/2019