Análise de Sensibilidade

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Análise de Sensibilidade 
APRESENTAÇÃO
A solução ótima de um problema é encontrada com base nos dados do modelo, que são 
passíveis de variações por diversas razões, seja pela estimativa dos dados, seja pela introdução 
de novas informações ou possibilidades. Desse modo, é importante pesquisar a estabilidade da 
solução adotada diante dessas variações. A análise de sensibilidade, ou análise pós-ótima, é um 
conjunto de técnicas relativamente simples, que, quando utilizadas em programação linear (PL), 
fornece informações sobre a sensibilidade da solução ótima a alterações na formulação do 
problema. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai aprender a avaliar quando é conveniente alterar 
dados controláveis (capital, capacidade de produção, matéria-prima) na busca de uma nova 
solução ótima e acompanhar como é feita a análise de sensibilidade na programação linear. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar quando e por que é feita a análise de sensibilidade.•
Reconhecer o processo de análise de sensibilidade.•
Aplicar a análise de sensibilidade.•
DESAFIO
Você trabalha em uma empresa de produção de brinquedos que produz dois tipos de carrinhos 
em miniatura: caminhonete e esportivo. Para fabricar os brinquedos, as principais matérias-
primas empregadas são o plástico e o alumínio:
 
Você faz parte do setor de pesquisa operacional, e seu gestor solicitou um estudo para o 
aumento do preço do modelo esportivo, de modo que o lucro unitário passe para R$ 19,50. Para 
tanto, você deve verificar se a solução original ainda será ótima e o que vai acontecer com o 
lucro após a modificação do valor.
INFOGRÁFICO
O objetivo da programação matemática, mais do que simplesmente determinar valores para 
variáveis de modo a maximizar uma função objetivo e a satisfazer restrições de um modelo 
matemático, é dar ao analista um melhor entendimento do problema em estudo. Em 
programação linear (PL), os parâmetros (dados de entrada) do modelo podem mudar dentro de 
certos limites sem provocar alterações na solução ótima. Isso é chamado de análise de 
sensibilidade, veja mais no infográfico.
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CONTEÚDO DO LIVRO
No capítulo Análise de Sensibilidade, do livro Pesquisa Operacional, você vai entender o 
conceito de análise de sensibilidade e sua aplicação.
Boa leitura!
PESQUISA
OPERACIONAL
Organizador: 
Rodrigo Rodrigues
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
R696p Rodrigues, Rodrigo.
 Pesquisa operacional / Rodrigo Rodrigues. – 
 Porto Alegre : SAGAH, 2017.
 121 p. : il. ; 22,5 cm. 
 ISBN 978-85-9502-004-7
 1. Pesquisa operacional – Engenharia de 
 produção. I. Título. 
CDU 658.5
Análise de sensibilidade
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar quando e por que é feita a análise de sensibilidade.
 � Reconhecer o processo de análise de sensibilidade.
 � Aplicar a análise de sensibilidade.
Introdução
A solução ótima de um problema é encontrada com base nos dados 
do modelo, que são passíveis de variações por diversas razões, seja pela 
estimativa dos dados, seja pela introdução de novas informações ou 
possibilidades. Desse modo, é importante pesquisar a estabilidade da 
solução adotada diante dessas variações. A análise de sensibilidade, ou aná-
lise pós-ótima, é um conjunto de técnicas relativamente simples, que, 
quando utilizadas em programação linear (PL), fornece informações sobre 
a sensibilidade da solução ótima a alterações na formulação do problema.
Neste texto, você vai aprender a avaliar quando é conveniente alterar 
dados controláveis (capital, capacidade de produção, matéria-prima) na 
busca de uma nova solução ótima e acompanhar como é feita a análise 
de sensibilidade na programação linear.
A análise de sensibilidade
A análise de sensibilidade é utilizada para verificar se algumas alterações 
em determinados coeficientes de um problema (restrições ou recursos) de 
otimização – máx. (z) ou min (z) – alteram ou influenciam a solução ótima. A 
intenção é descobrir em qual momento as variáveis analisadas se sensibilizam 
com algumas modificações usadas para levantar a hipótese de certeza de 
confiabilidade nos valores que constam no modelo.
Aplicações da análise de sensibilidade
Após conhecer os valores dos coeficientes da função objetivo ou das restrições 
(recursos), acontecem as modificações acima ou abaixo dos valores. Esse é 
o contexto que trataremos aqui, alterando a modelagem e encontrando nova 
solução a partir de novas otimizações.
A análise de sensibilidade deve responder a três perguntas:
Qual é o efeito de uma mudança em um coeficiente da função objetivo?
Qual é o efeito de uma mudança em uma constante de uma restrição?
Qual é o efeito de uma mudança em um coeficiente de uma restrição?
O que pode ocorrer é que, ao alterarmos os valores ou as quantidades da 
modelagem, nada aconteça, desse modo, não exercerá influência no valor final.
Veremos, agora, de forma prática, esse processo em um problema de uma 
empresa que fabrica dois produtos de higiene pessoal e abastece salões de 
beleza, em que o objetivo é descobrir qual quantidade de produção vai ma-
ximizar o lucro da empresa. Os dois produtos são: xampu e condicionador. 
Veja na Tabela 1 as quantidades dos recursos utilizados:
Recursos \ Produtos Xampu Condicionador
Matéria-prima I 2 un. 4 un.
Matéria-prima II 5 un. 5 un.
Tabela 1. Quantidades dos recursos utilizados para a produção de xampu e condicionador.
O estoque das matérias-primas I e II (recursos utilizados na produção) é 
de exatamente 400 e 600 unidades, respectivamente. O lucro dos produtos é 
de R$ 10,00 para o xampu e de R$ 14,00 para o condicionador.
Pesquisa operacional60
Caso resolvêssemos esse problema pelo método simplex, a última interação 
ficaria assim:
Z = 1560 0 0 3/5 11/5
40 0 1 2/5 -1/5
100 1 0 -1/2 1/2
Nessa iteração, os coeficientes da função objetivo que se referem às variáveis 
de folga x3 = 3/5 (ou 0,6, que é o resultado da divisão de 3 por 5) e x4 = 11/5 
(ou 2,2) são denominados valores duais ou shadow prices.
Shadow prices é a informação “preço sombra”, que é o valor de aumento 
no custo marginal de cada unidade. Não esqueça que, em um processo de 
produção, o custo marginal corresponde ao acréscimo feito no n + 1, isto é, 
no produto fabricado após a produção inicial de n produtos.
Resumimos esse processo da seguinte forma:
 � sempre que se aumenta em uma unidade a matéria-prima I, há o aumento 
de 0,601 (3/5) no lucro;
 � a cada consumo de uma unidade a mais da matéria-prima II, o lucro 
passa a 2,20.
Quando o consumo de matéria-prima é reduzido, o efeito é o contrário. Ao 
reduzir uma unidade de matéria-prima, sem alterar totalmente a qualidade, o 
lucro diminui em 0,6 ou 2,20 por unidade. Então, se, em vez de 400, usássemos 
100 unidades de matéria-prima I, passando a restrição a ≤ 700?
Não se esqueça de que você já está visualizando o problema na forma-padrão:
 � função objetivo:
max z = 10x1 = 14x2
 � restrição:
2x1 + 5x2 ≤ 400
4x1 + 5x2 ≤ 600
X1, x2 ≥ 0
61Análise de sensibilidade
Mudando a primeira restrição, ficaremos com 2x1 + 5x2 ≤ 700. Calculando 
novamente, apresentará o seguinte resultado:
x1 x2 x3 x4
Z = 1680 6/5 0 0 14/15
x1 100 -2 0 1 -1
x2 120 4/5 1 0 1/5
Observe que, nessa tabela, o xampu (x1) deixa de ser fabricado. Caso não 
pudéssemos deixar de fabricar tal produto, o problema ficaria insustentável.
Passamos para o recurso II, isto é, aumentamos a matéria-prima em 700 
unidades e mantivemos a primeira com seu valor original.
A segunda restrição passou de 4x1 + 5x2 ≤ 700.
Se resolvermos pelo método simplex, teremos o seguinte resultado:
x1 x2 x3 x4
Z = 1780 0 0 3/5 11/5
x1 150 1 0 1 1/2
x2 20 0 1 2/5 -1/5
Observe que o lucro aumentou, pois z = 1.780. Comparado à mudança 
inicial, o preço sombra permaneceu comos valores de 0,6 e 2,2.
A análise de sensibilidade apresenta dois tipos fundamentais. O primeiro 
é caracterizado pela avaliação da possibilidade de alterações e influências 
quando ocorre apenas uma alteração por vez na otimização do problema. O 
segundo é a avaliação das alterações e influências na solução ótima de um 
problema quando ocorre mais de uma alteração de forma simultânea.
Nos casos em que a análise de sensibilidade envolve uma alteração por vez, 
são estabelecidos limites superiores e inferiores para todos os coeficientes da 
função objetivo e para as constantes de restrição. Essa análise pode ser realizada 
de forma automática pelo Microsoft Office Excel e também pelo WinQSB.
Nos casos em que envolve alterações simultâneas, a análise não é feita de 
forma automática. É preciso interferir pelo processo de modelagem e, mediante 
alterações no problema, procurar uma nova solução por meio de uma nova 
otimização, como vimos nas tabelas.
Pesquisa operacional62
Como essas análises são realizadas após o processo de otimização inicial, 
elas têm o objetivo, justamente, de avaliar a confiabilidade em relação aos 
coeficientes da função objetivo e às constantes de restrições.
Então, sabemos que precisamos de um embasamento matemático, mas, 
também, não podemos esquecer que nosso foco é a tomada de decisão, ou 
seja, a gestão. Nesse sentido, a análise de sensibilidade é fundamental para 
fazer a análise de tomada de decisão. 
Agora, você vai ver como realizar a análise de sensibilidade em cada um 
dos elementos vistos há pouco: 
1. coeficientes da função objetivo, 
2. constantes das restrições, e;
3. coeficientes das restrições.
Alterações nos coeficientes da função objetivo
Na análise de um problema de programação linear (PL), quando são feitas 
alterações na função objetivo, utilizamos um parâmetro a em cada coeficiente 
da função objetivo, separadamente, para determinar o intervalo dos possíveis 
valores de a, para que as condições de otimalidade sejam satisfeitas. Duas 
abordagens serão empregadas para os seguintes casos:
 � variáveis não básicas;
 � variáveis básicas.
Para ilustrar os procedimentos para realizar a análise de sensibilidade em 
um problema PL, vamos utilizar um problema que foi resolvido pelo método 
simplex, resultando na Tabela 2 reproduzida a seguir:
A empresa fabrica dois modelos de calçados: sandálias e sapatos.
 � As principais matérias-primas empregadas na fabricação dos calçados 
são couro e borracha.
 � O sapato consome 400 g de couro e 300 g de borracha.
 � A sandália consome 700 g de couro e 150 g de borracha.
 � O lucro unitário referente à sandália é de R$ 12,00.
 � O lucro unitário referente ao sapato é de R$ 15,00.
 � A produção de sandálias não pode ultrapassar 700 unidades.
63Análise de sensibilidade
x1 x2 x3 x4 x5
Z = 31.800 0 0 9 38 0
x1 400 1 0 2 -2,66 0
x2 1.800 0 1 -1 4,66 0
x3 300 0 0 -2 2,66 1
Tabela 2. Tabela final do problema da indústria de calçados.
Variáveis básicas: x1, x2 e x5
Variáveis não básicas: x3 e x4
Na Tabela 2, constam todos os valores necessários para determinar as 
desigualdades envolvendo o parâmetro a.
Para a variável não básica x3, basta observar que o custo reduzido é 9 – a, 
porque 9 é o coeficiente da variável x3 na função objetivo. Como 9 – a ≥ 0 
faz com que a solução obtida seja ótima, é fácil, então, perceber que, nesse 
caso, a solução do problema é ótima para qualquer valor de a entre -∞ e 9, ou 
seja, a ≤ 9. Se a for maior do que 9, significa que a solução ótima ainda não 
foi encontrada. Nesse caso, x3 entra na base e será preciso mais iterações para 
encontrar a solução ótima.
Ou seja, se os lucros relacionados à quantidade de couro excedente (a va-
riável x3 está relacionada à folga da restrição referente à quantidade de couro 
disponível) forem maiores que R$ 9,00, é vantajoso para a empresa vender o 
excedente e, consequentemente, maximizar o lucro total.
Com relação à quantidade de borracha excedente, o seu coeficiente na 
função objetivo é igual a 38. Logo, o custo reduzido é 38 – a. Para que a 
solução obtida pelo método simplex seja ótima, a deve estar entre -∞ e 38, 
ou seja, a ≤ 38. Caso a seja maior que 38, x4 entra na base, e a nova solução 
ótima precisa ser encontrada. Isso significa que, se o lucro referente à venda 
da borracha excedente for maior do que R$ 38,00, a empresa poderá aumentar 
seu lucro total.
O mesmo princípio serve para os cálculos referentes à análise de sensibili-
dade das variáveis básicas. Então, as desigualdades em relação ao parâmetro 
a podem ser obtidas diretamente da Tabela 2. Os coeficientes de a são obtidos 
na linha referente à variável básica em questão e nas respectivas colunas 
referentes às variáveis não básicas. 
Pesquisa operacional64
Lembre-se de que, na solução ótima do nosso exemplo, as variáveis básicas 
são x1, x2 e x3. Agora, analisaremos cada variável básica.
Para a variável x1, que representa a quantidade de sandálias a serem pro-
duzidas, temos a seguinte expressão:
(9 38) + a (2 -2,66) ≥ 0
Observe que 9 e 38 se referem aos coeficientes de x3 e x4, respectivamente, 
na função objetivo. Os termos 2 e -2,66 são os coeficientes da linha referente 
à variável básica x1 nas colunas referentes às variáveis não básicas x3 e x4.
Resolvendo a desigualdade mostrada, temos:
(9 38) + a (2 -2,66) ≥ 0
(9 38) + (2 a -2,66 a) ≥ 0
resultando em:
9 + 2 a ≥ 0
38 – 2,66 a ≥ 0
Associando a inequação 9 + 2 a ≥ 0 à variável não básica x3 (pois os termos 
que aparecem nela são da coluna de x3), temos:
2 a ≥ -9
a ≥ -9/2
a ≥ -4,5
Resolvendo a inequação 38 – 2,66 a ≥ 0, associada à variável não básica 
x4, temos:
-2,66 a ≥ -38
2,66 a ≤ 38
a ≤ 38/2,66
a ≤ 14,28
Inicialmente, obtivemos + a condição de que a deve ser maior ou igual 
a - 4,5. Depois, vimos que a também precisa ser menor ou igual a 14,28 para 
que a solução original do problema seja ótima. Juntando as duas informações, 
a deve estar entre - 4,5 e 14,28, ou seja, - 4,5 ≤ a ≤ 14,28.
Como o lucro referente à venda das sandálias é de R$12,00 e - 4,5 ≤ a ≤ 
14,28, a solução original é ótima se o lucro referente à venda das sandálias 
65Análise de sensibilidade
estiver entre 12 – 4,5 e 12 + 14,28, isto é, se o lucro c1 estiver entre R$ 7,5 e 
R$ 26,28 (- 7,50 ≤ c1 ≤ a 6,28).
Isso quer dizer que uma solução ótima poderá ser obtida se o lucro por 
sandálias for menor que R$ 7,5 ou maior que R$ 26,28. Se a for menor que - 
4,5, x3 entra na base. Se a for maior que 14,28, x4 entra na base.
Considerando agora a variável x2, que representa a quantidade de sapatos 
que serão produzidos, temos a seguinte desigualdade:
(9 38) + a (-1 4,66) ≥ 0
Note que 9 e 38 são coeficientes das variáveis x3 e x4, respectivamente, e 
-1 e 4,66 são coeficientes da linha referente à variável básica x2 nas colunas 
referentes às variáveis não básicas x3 e x4.
A solução da desigualdade:
(9 38) + a (-1 4,66) ≥ 0
é dada por:
(9 38) + a (-1 4,66) ≥ 0
(9 38) + (-a 4,66 a) ≥ 0
que resulta nas seguintes desigualdades:
9 – a ≥ 0
38 + 4,66 a ≥ 0
Resolvendo a inequação 9 – a ≥ 0, temos:
9 – a ≥ 0
- a ≥ -9
a ≤ 9 
Da inequação 38 + 4,66 a ≥ 0, segue que:
38 + 4,66 a ≥ 0
4,66 a ≥ -38
a ≥ (-38)/4,66
a ≥ -8,15
Pesquisa operacional66
Como a ≤ 9 e a ≥ -8,15, podemos escrever que -8,15 ≤ a ≤ 9, ou seja, o 
parâmetro a está entre - 8,15 e 9.
Assim, como o lucro referente a cada sapato é de R$ 15,00 e -8,15 ≤ a ≤ 
9, temos que:
 � se o lucro estiver entre 15 - 8,15 = 6,85 e 15 + 9 = 24, ou seja, entre R$ 
6,85 e R$ 24,00 (6,85 ≤ c2 ≤ 24,00), a solução obtida inicialmente para 
o problema de PL é ótima:
 � porém, se o lucro for inferior a R$ 6,85 ou superior a R$ 24,00, a 
solução pode ser melhorada e, certamente, mais iterações do método 
simplex serão necessárias para resolver o problema de otimização da 
fábrica de calçados.
Enfim, a análise de sensibilidade em relação à variável básica x5 será feita 
como segue: (9 38) + a (-2 2,66) ≥ 0. Note que 9 e 38 são coeficientes das 
variáveisx3 e x4, respectivamente, e -2 e 2,66 são coeficientes da linha referente 
à variável básica x5 nas colunas referentes às variáveis não básicas x3 e x4.
A solução da desigualdade é apresentada a seguir:
(9 38) + a (+2 2,66) ≥ 0
(9 38) + (-2 a 2,66 a) ≥ 0
que resulta em:
9 – 2 a ≥ 0
-2 a ≥ -9
- a ≥ (-9)/2
- a ≥ - 4,5
a ≤ 4,5
e 
38 + 2,66 a ≥ 0
2,66 a ≥ -38
a ≥ (-38)/2,66
a ≥ -14,29
67Análise de sensibilidade
Nesse caso, a ≤ 4,5 e a ≥ -14,29. Podemos escrever que -14,29 ≤ a ≤ 4,5, ou 
seja, a está compreendido entre -14,29 e 4,5. Portanto, a solução original é ótima 
se a estiver entre -14,29 e 4,5. Caso contrário, a solução pode ser melhorada.
Mas o que significa isso? Relembrando, a variável x5 refere-se ao número 
de sandálias excedentes. Então, a solução encontrada é ótima para qualquer 
lucro entre R$ -14,29 e R$ 4,50 referente às sandálias não vendidas. Qualquer 
valor abaixo de R$ -14,29 ou acima de R$ 4,50 faz que a solução não seja ótima.
Lembramos que, na análise de sensibilidade, quando a solução original se 
mantém ótima, significa que as variáveis básicas continuam básicas e que as 
variáveis não básicas são exatamente as mesmas. Contudo, percebemos que, 
se o lucro referente a determinado item aumentar e a produção for a mesma, 
o valor da função objetivo também aumentará e, se diminuir o lucro, reduzirá 
também o valor da função objetivo. 
Nos problemas de minimização, se diminuir o custo unitário de um produto, 
o custo total também reduzirá e, se aumentar o custo unitário de um item, o 
custo total também subirá.
A denominação “valor unitário equivalente de um recurso” é adequada para a taxa de 
variação da função objetivo, porém, o nome técnico “preço dual”, ou “preço sombra”, 
agora é um padrão na literatura de PL.
Pesquisa operacional68
1. 1. Com relação à análise 
de sensibilidade, marque a 
alternativa correta: 
a) A análise de sensibilidade 
é utilizada para verificar 
algumas alterações em 
um único coeficiente do 
problema de otimização.
b) A intenção é descobrir quais das 
variáveis analisadas modificam 
os valores no modelo.
c) A análise de sensibilidade 
apresenta um tipo fundamental 
caracterizado pela avaliação 
da possibilidade de alterações 
e influências quando ocorre 
apenas uma alteração por vez 
na otimização do problema.
d) Após conhecidos os valores dos 
coeficientes da função objetivo 
ou das restrições (recursos), 
acontecem as modificações 
acima ou abaixo dos valores.
e) Alterar os valores ou as 
quantidades da modelagem 
sempre influenciará no valor final.
2. 2. Marque a opção que está 
relacionada corretamente à 
análise de sensibilidade: 
a) Na análise de um problema 
de programação linear (PL), 
quando são feitas alterações 
na função objetivo, utilizamos 
um parâmetro a em cada 
coeficiente da função 
objetivo, separadamente, 
para determinar o intervalo 
dos possíveis valores de a.
b) Uma mesma abordagem 
é empregada nos casos 
de variáveis não básicas 
e variáveis básicas.
c) Na análise de sensibilidade, 
quando a solução original se 
mantém ótima, isso significa que 
as variáveis básicas se alteram.
d) Na análise de sensibilidade, se o 
lucro referente a determinado 
item aumentar e a produção 
for a mesma, o valor da 
função objetivo reduzirá.
e) Nos problemas de minimização, 
se diminuir o custo unitário de 
um produto, o custo total subirá.
3. 3. Observe o problema a seguir 
e marque a alternativa correta:
A New Bag produz dois tipos de 
bolsas femininas. Uma bolsa do 
tipo 1 requer duas vezes mais mão 
de obra do que uma do tipo 2. Se 
todas as horas de trabalho forem 
dedicadas apenas ao tipo 2, a 
empresa pode produzir um total 
de 400 bolsas do tipo 2 por dia. Os 
limites de mercado respectivos para 
os dois tipos são 150 e 200 bolsas 
por dia. O lucro é de $ 8 por bolsa do 
tipo 1 e de $ 5 por bolsa do tipo 2. 
Seja: x1 = número de bolsas do tipo 
1 por dia; x2 = número de bolsas do 
tipo 2 por dia; maximizar z = 8x1 + 
5x2 sujeito a 2x1 + x2 ≤ 400 X1 ≤ 150, 
x2 ≤ 200 X1, x2 ≥ 0. 
a) O preço dual da capacidade 
de produção (em termos 
de bolsa do tipo 2) é $ 2.
b) A faixa para a qual é 
aplicada é (100,400).
69Análise de sensibilidade
c) No caso de redução no limite 
diário da demanda do tipo 
1 para 120, usando o preço 
dual, o efeito correspondente 
sobre a receita ótima é 1.
d) O preço dual da participação 
de mercado da bolsa tipo 
2 é equivalente a $ 4.
e) A participação de mercado 
pode ser aumentada para, no 
máximo, 200 para o tipo 2.
4. Com base nas informações e na 
tabela a seguir, marque a alternativa 
que está relacionada corretamente: 
A empresa fabrica dois modelos 
de calçados: sandálias e sapatos.
As principais matérias-primas 
empregadas para a fabricação dos 
calçados são couro e borracha. 
O sapato consome 400 g de 
couro e 300 g de borracha. 
A sandália consome 700 g de 
couro e 150 g de borracha. 
O lucro unitário referente à 
sandália é de R$ 12,00. 
O lucro unitário referente 
ao sapato é de R$ 15,00. 
A produção de sandálias não pode 
ultrapassar 700 unidades. 
a) As variáveis não básicas 
são: X1, X2 e X5.
b) A tabela final não apresenta 
todos os valores necessários para 
determinar as desigualdades 
envolvendo o parâmetro a.
c) Para a variável não básica x3, 
não basta observar que o custo 
reduzido é 9 – a, porque 9 é 
o coeficiente da variável x3 na 
função objetivo. 
d) Como 9 – a ≥ 0 faz com que 
a solução obtida seja ótima, 
é fácil então perceber que, 
nesse caso, a solução do 
problema é ótima para qualquer 
valor de a entre -∞ e 9.
e) Se a for menor do que 9, 
significa que a solução ótima 
ainda não foi encontrada. Nesse 
caso, x3 entra na base e será 
preciso mais interações para 
encontrar a solução ótima.
Pesquisa operacional70
 
5. Observe a planilha e o problema 
resolvido: MAX Z = 3x1 + 5x2 S.A. x1 ≤ 
4 x2 ≤ 6 3x1 + 2x2 ≤ 18 x1, x2 ≥ 0 
Forma Padrão: -Z + 3x1 + 5x2 + 0x3 + 
0x4 + 0x5 (FO Transformada) x1 + x3 = 
4 x2 + x4 = 6 3x1 + 2x2 + x5 = 18 x1, x2, 
x3, x4, x5 ≥ 0 
71Análise de sensibilidade
Marque a alternativa correta: 
a) No exemplo apresentado, o 
quadro 1 é o original final, após 
a aplicação do método simplex.
b) No exemplo, o quadro 2 
é a forma canônica.
c) Tomemos o coeficiente de 
x1 assinalado no quadro 1. Se 
mudássemos o coeficiente 
original (3) do quadro inicial para 
(3+δ), onde δ é uma quantidade 
qualquer, e fizéssemos os 
mesmos pivotamentos que 
fizemos para obter o quadro final, 
obteríamos o mesmo resultado 
final para o coeficiente de x2.
d) O que reduzirmos de um 
coeficiente da FO no quadro 
inicial será o acréscimo que 
obteremos no quadro final 
após os pivotamentos.
e) Como x1 é a variável básica no 
quadro final, e as colunas com 
variáveis básicas deverão ser 
um vetor identidade, devemos 
fazer δ=0 restabelecendo, assim, 
a forma canônica do quadro.
Pesquisa operacional72
BARBOSA, M. A. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de gestão. Curitiba: 
Intersaberes, 2015.
Leitura recomendada
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2013.
73Análise de sensibilidade
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
Nesse vídeo, você vai ver que, nas aplicações reais, os valores da função objetivo podem variar. 
Para verificar o quanto a solução otimizada é eficaz, utilizaremos a análise de sensibilidade, 
aplicando a ferramenta Solver do Excel.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Com relação à análise de sensibilidade, marque a alternativa correta:
A) A análise de sensibilidade é utilizada para verificar algumas alterações em um único 
coeficiente do problema de otimização.
B) A intenção é descobrir quais das variáveis analisadas modificam os valores no modelo.
C) A análise de sensibilidadeapresenta um tipo fundamental caracterizado pela avaliação da 
possibilidade de alterações e influências quando ocorre apenas uma alteração por vez na 
otimização do problema.
D) Após conhecidos os valores dos coeficientes da função objetivo ou das restrições 
(recursos), acontecem as modificações acima ou abaixo dos valores.
E) Alterar os valores ou as quantidades da modelagem sempre influenciará no valor final.
2) Marque a opção que está relacionada corretamente à análise de sensibilidade:
A) Na análise de um problema de programação linear (PL), quando são feitas alterações na 
função objetivo, utilizamos um parâmetro a em cada coeficiente da função objetivo, 
separadamente, para determinar o intervalo dos possíveis valores de a.
B) Uma mesma abordagem é empregada nos casos de variáveis não básicas e variáveis 
básicas.
C) Na análise de sensibilidade, quando a solução original se mantém ótima, isso significa que 
as variáveis básicas se alteram.
D) Na análise de sensibilidade, se o lucro referente a determinado item aumentar e a produção 
for a mesma, o valor da função objetivo reduzirá.
E) Nos problemas de minimização, se diminuir o custo unitário de um produto, o custo total 
subirá.
3) Observe o problema a seguir e marque a alternativa correta: 
 
A New Bag produz dois tipos de bolsas femininas. Uma bolsa do tipo 1 requer duas 
vezes mais mão de obra do que uma do tipo 2. Se todas as horas de trabalho forem 
dedicadas apenas ao tipo 2, a empresa pode produzir um total de 400 bolsas do tipo 2 
por dia. Os limites de mercado respectivos para os dois tipos são 150 e 200 bolsas por 
dia. O lucro é de $ 8 por bolsa do tipo 1 e de $ 5 por bolsa do tipo 2. Seja: X1 = 
número de bolsas do tipo 1 por dia; X2 = número de bolsas do tipo 2 por dia; 
maximizar z = 8x1 + 5x2 sujeito a 2x1 + x2 ≤ 400 X1 ≤ 150, x2 ≤ 200 X1, 
x2 ≥ 0.
A) O preço dual da capacidade de produção (em termos de bolsa do tipo 2) é $ 2.
B) A faixa para a qual é aplicada é (100,400).
C) No caso de redução no limite diário da demanda do tipo 1 para 120, usando o preço dual, o 
efeito correspondente sobre a receita ótima é 1.
D) O preço dual da participação de mercado da bolsa tipo 2 é equivalente a $ 4.
E) A participação de mercado pode ser aumentada para, no máximo, 200 para o tipo 2.
4) Com base nas informações e na tabela a seguir, marque a alternativa que está 
relacionada corretamente: 
• A empresa fabrica dois modelos de calçados: sandálias e sapatos. 
• As principais matérias-primas empregadas para a fabricação dos calçados são 
couro e borracha. 
• O sapato consome 400 g de couro e 300 g de borracha. 
• A sandália consome 700 g de couro e 150 g de borracha. 
• O lucro unitário referente à sandália é de R$ 12,00. 
• O lucro unitário referente ao sapato é de R$ 15,00. 
• A produção de sandálias não pode ultrapassar 700 unidades.
A) As variáveis não básicas são: X1, X2 e X5.
B) A tabela final não apresenta todos os valores necessários para determinar as desigualdades 
envolvendo o parâmetro a.
Para a variável não básica X3, não basta observar que o custo reduzido é 9 – a, porque 9 é C) 
o coeficiente da variável X3 na função objetivo.
D) Como 9 – a ≥ 0 faz com que a solução obtida seja ótima, é fácil 
então perceber que, nesse caso, a solução do problema é 
ótima para qualquer valor de a entre -∞ e 9.
E) Se a for menor do que 9, significa que a solução ótima ainda não foi encontrada. Nesse 
caso, X3 entra na base e será preciso mais interações para encontrar a solução ótima.
Observe a planilha e o problema resolvido:
MAX Z = 3X1 + 5X2 
S.A. 
X1 ≤ 4 X2 ≤ 6 
3X1 + 2X2 ≤ 18 
X1, X2 ≥ 0
Forma Padrão: -Z + 3X1 + 5X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5
(FO Transformada) 
X1 + X3 = 4 
X2 + X4 = 6 
3X1 + 2X2 + X5 = 18 
X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0
Marque a alternativa correta:
5) 
 
A) No exemplo apresentado, o quadro 1 é o original final, após a aplicação do método 
simplex.
B) No exemplo, o quadro 2 é a forma canônica.
C) Tomemos o coeficiente de x1 assinalado no quadro 1. Se mudássemos o coeficiente 
original (3) do quadro inicial para (3+δ), onde δ é uma quantidade qualquer, e fizéssemos 
os mesmos pivotamentos que fizemos para obter o quadro final, obteríamos o mesmo 
resultado final para o coeficiente de x2.
D) O que reduzirmos de um coeficiente da FO no quadro inicial será o acréscimo que 
obteremos no quadro final após os pivotamentos.
E) Como x1 é a variável básica no quadro final, e as colunas com variáveis básicas deverão 
ser um vetor identidade, devemos fazer δ=0 restabelecendo, assim, a forma canônica do 
quadro.
NA PRÁTICA
A análise de sensibilidade visa alterar alguns parâmetros do problema sem alterar a solução 
ótima.
Para as constantes das restrições, a análise de sensibilidade é feita de modo análogo à análise 
feita para os coeficientes da função objetivo.
Veja na prática um exemplo dessa análise. Utilizando como exemplo uma fábrica de calçados, 
considere, por exemplo, a restrição referente ao couro.
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SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Solver Pesquisa Operacional
Neste tutorial é demonstrando como utilizar a ferramenta Solver na planilha eletrônica (Excel)
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Análise de sensibilidade
O presente artigo trata-se de uma pesquisa bibliográfica que aborda questões como: a origem da 
discrepância, análise de risco: a ideia original de Hertz entre outros pontos.
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Introdução à Pesquisa Operacional
O livro traz os fundamentos mais atuais da área e maior cobertura de aplicativos de negócios, 
trazendo um texto com conceitos claros e abrangentes, extenso conjunto de problemas 
interessantes e casos para análise e prática, com uso de softwares de pesquisa operacional.