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PESQUISA OPERACIONAL Organizador: Rodrigo Rodrigues Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094 R696p Rodrigues, Rodrigo. Pesquisa operacional / Rodrigo Rodrigues. – Porto Alegre : SAGAH, 2017. 121 p. : il. ; 22,5 cm. ISBN 978-85-9502-004-7 1. Pesquisa operacional – Engenharia de produção. I. Título. CDU 658.5 Análise de sensibilidade Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: � Identificar quando e por que é feita a análise de sensibilidade. � Reconhecer o processo de análise de sensibilidade. � Aplicar a análise de sensibilidade. Introdução A solução ótima de um problema é encontrada com base nos dados do modelo, que são passíveis de variações por diversas razões, seja pela estimativa dos dados, seja pela introdução de novas informações ou possibilidades. Desse modo, é importante pesquisar a estabilidade da solução adotada diante dessas variações. A análise de sensibilidade, ou aná- lise pós-ótima, é um conjunto de técnicas relativamente simples, que, quando utilizadas em programação linear (PL), fornece informações sobre a sensibilidade da solução ótima a alterações na formulação do problema. Neste texto, você vai aprender a avaliar quando é conveniente alterar dados controláveis (capital, capacidade de produção, matéria-prima) na busca de uma nova solução ótima e acompanhar como é feita a análise de sensibilidade na programação linear. A análise de sensibilidade A análise de sensibilidade é utilizada para verificar se algumas alterações em determinados coeficientes de um problema (restrições ou recursos) de otimização – máx. (z) ou min (z) – alteram ou influenciam a solução ótima. A intenção é descobrir em qual momento as variáveis analisadas se sensibilizam com algumas modificações usadas para levantar a hipótese de certeza de confiabilidade nos valores que constam no modelo. Aplicações da análise de sensibilidade Após conhecer os valores dos coeficientes da função objetivo ou das restrições (recursos), acontecem as modificações acima ou abaixo dos valores. Esse é o contexto que trataremos aqui, alterando a modelagem e encontrando nova solução a partir de novas otimizações. A análise de sensibilidade deve responder a três perguntas: Qual é o efeito de uma mudança em um coeficiente da função objetivo? Qual é o efeito de uma mudança em uma constante de uma restrição? Qual é o efeito de uma mudança em um coeficiente de uma restrição? O que pode ocorrer é que, ao alterarmos os valores ou as quantidades da modelagem, nada aconteça, desse modo, não exercerá influência no valor final. Veremos, agora, de forma prática, esse processo em um problema de uma empresa que fabrica dois produtos de higiene pessoal e abastece salões de beleza, em que o objetivo é descobrir qual quantidade de produção vai ma- ximizar o lucro da empresa. Os dois produtos são: xampu e condicionador. Veja na Tabela 1 as quantidades dos recursos utilizados: Recursos \ Produtos Xampu Condicionador Matéria-prima I 2 un. 4 un. Matéria-prima II 5 un. 5 un. Tabela 1. Quantidades dos recursos utilizados para a produção de xampu e condicionador. O estoque das matérias-primas I e II (recursos utilizados na produção) é de exatamente 400 e 600 unidades, respectivamente. O lucro dos produtos é de R$ 10,00 para o xampu e de R$ 14,00 para o condicionador. Pesquisa operacional60 Caso resolvêssemos esse problema pelo método simplex, a última interação ficaria assim: Z = 1560 0 0 3/5 11/5 40 0 1 2/5 -1/5 100 1 0 -1/2 1/2 Nessa iteração, os coeficientes da função objetivo que se referem às variáveis de folga x3 = 3/5 (ou 0,6, que é o resultado da divisão de 3 por 5) e x4 = 11/5 (ou 2,2) são denominados valores duais ou shadow prices. Shadow prices é a informação “preço sombra”, que é o valor de aumento no custo marginal de cada unidade. Não esqueça que, em um processo de produção, o custo marginal corresponde ao acréscimo feito no n + 1, isto é, no produto fabricado após a produção inicial de n produtos. Resumimos esse processo da seguinte forma: � sempre que se aumenta em uma unidade a matéria-prima I, há o aumento de 0,601 (3/5) no lucro; � a cada consumo de uma unidade a mais da matéria-prima II, o lucro passa a 2,20. Quando o consumo de matéria-prima é reduzido, o efeito é o contrário. Ao reduzir uma unidade de matéria-prima, sem alterar totalmente a qualidade, o lucro diminui em 0,6 ou 2,20 por unidade. Então, se, em vez de 400, usássemos 100 unidades de matéria-prima I, passando a restrição a ≤ 700? Não se esqueça de que você já está visualizando o problema na forma-padrão: � função objetivo: max z = 10x1 = 14x2 � restrição: 2x1 + 5x2 ≤ 400 4x1 + 5x2 ≤ 600 X1, x2 ≥ 0 61Análise de sensibilidade Mudando a primeira restrição, ficaremos com 2x1 + 5x2 ≤ 700. Calculando novamente, apresentará o seguinte resultado: x1 x2 x3 x4 Z = 1680 6/5 0 0 14/15 x1 100 -2 0 1 -1 x2 120 4/5 1 0 1/5 Observe que, nessa tabela, o xampu (x1) deixa de ser fabricado. Caso não pudéssemos deixar de fabricar tal produto, o problema ficaria insustentável. Passamos para o recurso II, isto é, aumentamos a matéria-prima em 700 unidades e mantivemos a primeira com seu valor original. A segunda restrição passou de 4x1 + 5x2 ≤ 700. Se resolvermos pelo método simplex, teremos o seguinte resultado: x1 x2 x3 x4 Z = 1780 0 0 3/5 11/5 x1 150 1 0 1 1/2 x2 20 0 1 2/5 -1/5 Observe que o lucro aumentou, pois z = 1.780. Comparado à mudança inicial, o preço sombra permaneceu com os valores de 0,6 e 2,2. A análise de sensibilidade apresenta dois tipos fundamentais. O primeiro é caracterizado pela avaliação da possibilidade de alterações e influências quando ocorre apenas uma alteração por vez na otimização do problema. O segundo é a avaliação das alterações e influências na solução ótima de um problema quando ocorre mais de uma alteração de forma simultânea. Nos casos em que a análise de sensibilidade envolve uma alteração por vez, são estabelecidos limites superiores e inferiores para todos os coeficientes da função objetivo e para as constantes de restrição. Essa análise pode ser realizada de forma automática pelo Microsoft Office Excel e também pelo WinQSB. Nos casos em que envolve alterações simultâneas, a análise não é feita de forma automática. É preciso interferir pelo processo de modelagem e, mediante alterações no problema, procurar uma nova solução por meio de uma nova otimização, como vimos nas tabelas. Pesquisa operacional62 Como essas análises são realizadas após o processo de otimização inicial, elas têm o objetivo, justamente, de avaliar a confiabilidade em relação aos coeficientes da função objetivo e às constantes de restrições. Então, sabemos que precisamos de um embasamento matemático, mas, também, não podemos esquecer que nosso foco é a tomada de decisão, ou seja, a gestão. Nesse sentido, a análise de sensibilidade é fundamental para fazer a análise de tomada de decisão. Agora, você vai ver como realizar a análise de sensibilidade em cada um dos elementos vistos há pouco: 1. coeficientes da função objetivo, 2. constantes das restrições, e; 3. coeficientes das restrições. Alterações nos coeficientes da função objetivo Na análise de um problema de programação linear (PL), quando são feitas alterações na função objetivo, utilizamos um parâmetro a em cada coeficiente da função objetivo, separadamente, para determinar o intervalo dos possíveis valores de a, para que as condições de otimalidade sejam satisfeitas. Duas abordagens serão empregadas para os seguintes casos: � variáveis não básicas; � variáveis básicas. Para ilustrar os procedimentos para realizar a análise de sensibilidade em um problema PL, vamos utilizar um problema que foi resolvido pelo método simplex, resultando na Tabela 2 reproduzida a seguir: A empresa fabrica dois modelos de calçados: sandálias e sapatos. � As principais matérias-primas empregadas na fabricaçãodos calçados são couro e borracha. � O sapato consome 400 g de couro e 300 g de borracha. � A sandália consome 700 g de couro e 150 g de borracha. � O lucro unitário referente à sandália é de R$ 12,00. � O lucro unitário referente ao sapato é de R$ 15,00. � A produção de sandálias não pode ultrapassar 700 unidades. 63Análise de sensibilidade x1 x2 x3 x4 x5 Z = 31.800 0 0 9 38 0 x1 400 1 0 2 -2,66 0 x2 1.800 0 1 -1 4,66 0 x3 300 0 0 -2 2,66 1 Tabela 2. Tabela final do problema da indústria de calçados. Variáveis básicas: x1, x2 e x5 Variáveis não básicas: x3 e x4 Na Tabela 2, constam todos os valores necessários para determinar as desigualdades envolvendo o parâmetro a. Para a variável não básica x3, basta observar que o custo reduzido é 9 – a, porque 9 é o coeficiente da variável x3 na função objetivo. Como 9 – a ≥ 0 faz com que a solução obtida seja ótima, é fácil, então, perceber que, nesse caso, a solução do problema é ótima para qualquer valor de a entre -∞ e 9, ou seja, a ≤ 9. Se a for maior do que 9, significa que a solução ótima ainda não foi encontrada. Nesse caso, x3 entra na base e será preciso mais iterações para encontrar a solução ótima. Ou seja, se os lucros relacionados à quantidade de couro excedente (a va- riável x3 está relacionada à folga da restrição referente à quantidade de couro disponível) forem maiores que R$ 9,00, é vantajoso para a empresa vender o excedente e, consequentemente, maximizar o lucro total. Com relação à quantidade de borracha excedente, o seu coeficiente na função objetivo é igual a 38. Logo, o custo reduzido é 38 – a. Para que a solução obtida pelo método simplex seja ótima, a deve estar entre -∞ e 38, ou seja, a ≤ 38. Caso a seja maior que 38, x4 entra na base, e a nova solução ótima precisa ser encontrada. Isso significa que, se o lucro referente à venda da borracha excedente for maior do que R$ 38,00, a empresa poderá aumentar seu lucro total. O mesmo princípio serve para os cálculos referentes à análise de sensibili- dade das variáveis básicas. Então, as desigualdades em relação ao parâmetro a podem ser obtidas diretamente da Tabela 2. Os coeficientes de a são obtidos na linha referente à variável básica em questão e nas respectivas colunas referentes às variáveis não básicas. Pesquisa operacional64 Lembre-se de que, na solução ótima do nosso exemplo, as variáveis básicas são x1, x2 e x3. Agora, analisaremos cada variável básica. Para a variável x1, que representa a quantidade de sandálias a serem pro- duzidas, temos a seguinte expressão: (9 38) + a (2 -2,66) ≥ 0 Observe que 9 e 38 se referem aos coeficientes de x3 e x4, respectivamente, na função objetivo. Os termos 2 e -2,66 são os coeficientes da linha referente à variável básica x1 nas colunas referentes às variáveis não básicas x3 e x4. Resolvendo a desigualdade mostrada, temos: (9 38) + a (2 -2,66) ≥ 0 (9 38) + (2 a -2,66 a) ≥ 0 resultando em: 9 + 2 a ≥ 0 38 – 2,66 a ≥ 0 Associando a inequação 9 + 2 a ≥ 0 à variável não básica x3 (pois os termos que aparecem nela são da coluna de x3), temos: 2 a ≥ -9 a ≥ -9/2 a ≥ -4,5 Resolvendo a inequação 38 – 2,66 a ≥ 0, associada à variável não básica x4, temos: -2,66 a ≥ -38 2,66 a ≤ 38 a ≤ 38/2,66 a ≤ 14,28 Inicialmente, obtivemos + a condição de que a deve ser maior ou igual a - 4,5. Depois, vimos que a também precisa ser menor ou igual a 14,28 para que a solução original do problema seja ótima. Juntando as duas informações, a deve estar entre - 4,5 e 14,28, ou seja, - 4,5 ≤ a ≤ 14,28. Como o lucro referente à venda das sandálias é de R$12,00 e - 4,5 ≤ a ≤ 14,28, a solução original é ótima se o lucro referente à venda das sandálias 65Análise de sensibilidade estiver entre 12 – 4,5 e 12 + 14,28, isto é, se o lucro c1 estiver entre R$ 7,5 e R$ 26,28 (- 7,50 ≤ c1 ≤ a 6,28). Isso quer dizer que uma solução ótima poderá ser obtida se o lucro por sandálias for menor que R$ 7,5 ou maior que R$ 26,28. Se a for menor que - 4,5, x3 entra na base. Se a for maior que 14,28, x4 entra na base. Considerando agora a variável x2, que representa a quantidade de sapatos que serão produzidos, temos a seguinte desigualdade: (9 38) + a (-1 4,66) ≥ 0 Note que 9 e 38 são coeficientes das variáveis x3 e x4, respectivamente, e -1 e 4,66 são coeficientes da linha referente à variável básica x2 nas colunas referentes às variáveis não básicas x3 e x4. A solução da desigualdade: (9 38) + a (-1 4,66) ≥ 0 é dada por: (9 38) + a (-1 4,66) ≥ 0 (9 38) + (-a 4,66 a) ≥ 0 que resulta nas seguintes desigualdades: 9 – a ≥ 0 38 + 4,66 a ≥ 0 Resolvendo a inequação 9 – a ≥ 0, temos: 9 – a ≥ 0 - a ≥ -9 a ≤ 9 Da inequação 38 + 4,66 a ≥ 0, segue que: 38 + 4,66 a ≥ 0 4,66 a ≥ -38 a ≥ (-38)/4,66 a ≥ -8,15 Pesquisa operacional66 Como a ≤ 9 e a ≥ -8,15, podemos escrever que -8,15 ≤ a ≤ 9, ou seja, o parâmetro a está entre - 8,15 e 9. Assim, como o lucro referente a cada sapato é de R$ 15,00 e -8,15 ≤ a ≤ 9, temos que: � se o lucro estiver entre 15 - 8,15 = 6,85 e 15 + 9 = 24, ou seja, entre R$ 6,85 e R$ 24,00 (6,85 ≤ c2 ≤ 24,00), a solução obtida inicialmente para o problema de PL é ótima: � porém, se o lucro for inferior a R$ 6,85 ou superior a R$ 24,00, a solução pode ser melhorada e, certamente, mais iterações do método simplex serão necessárias para resolver o problema de otimização da fábrica de calçados. Enfim, a análise de sensibilidade em relação à variável básica x5 será feita como segue: (9 38) + a (-2 2,66) ≥ 0. Note que 9 e 38 são coeficientes das variáveis x3 e x4, respectivamente, e -2 e 2,66 são coeficientes da linha referente à variável básica x5 nas colunas referentes às variáveis não básicas x3 e x4. A solução da desigualdade é apresentada a seguir: (9 38) + a (+2 2,66) ≥ 0 (9 38) + (-2 a 2,66 a) ≥ 0 que resulta em: 9 – 2 a ≥ 0 -2 a ≥ -9 - a ≥ (-9)/2 - a ≥ - 4,5 a ≤ 4,5 e 38 + 2,66 a ≥ 0 2,66 a ≥ -38 a ≥ (-38)/2,66 a ≥ -14,29 67Análise de sensibilidade Nesse caso, a ≤ 4,5 e a ≥ -14,29. Podemos escrever que -14,29 ≤ a ≤ 4,5, ou seja, a está compreendido entre -14,29 e 4,5. Portanto, a solução original é ótima se a estiver entre -14,29 e 4,5. Caso contrário, a solução pode ser melhorada. Mas o que significa isso? Relembrando, a variável x5 refere-se ao número de sandálias excedentes. Então, a solução encontrada é ótima para qualquer lucro entre R$ -14,29 e R$ 4,50 referente às sandálias não vendidas. Qualquer valor abaixo de R$ -14,29 ou acima de R$ 4,50 faz que a solução não seja ótima. Lembramos que, na análise de sensibilidade, quando a solução original se mantém ótima, significa que as variáveis básicas continuam básicas e que as variáveis não básicas são exatamente as mesmas. Contudo, percebemos que, se o lucro referente a determinado item aumentar e a produção for a mesma, o valor da função objetivo também aumentará e, se diminuir o lucro, reduzirá também o valor da função objetivo. Nos problemas de minimização, se diminuir o custo unitário de um produto, o custo total também reduzirá e, se aumentar o custo unitário de um item, o custo total também subirá. A denominação “valor unitário equivalente de um recurso” é adequada para a taxa de variação da função objetivo, porém, o nome técnico “preço dual”, ou “preço sombra”, agora é um padrão na literatura de PL. Pesquisa operacional68 1. 1. Com relação à análise de sensibilidade, marque a alternativa correta: a) A análise de sensibilidade é utilizada para verificar algumas alterações em um único coeficiente do problema de otimização. b) A intenção é descobrir quais das variáveis analisadas modificam os valores no modelo. c) A análise de sensibilidade apresenta um tipo fundamental caracterizado pela avaliação da possibilidade de alterações e influências quando ocorre apenas uma alteração por vez na otimização do problema. d) Após conhecidos os valores dos coeficientes da função objetivo ou das restrições (recursos), acontecem as modificações acima ouabaixo dos valores. e) Alterar os valores ou as quantidades da modelagem sempre influenciará no valor final. 2. 2. Marque a opção que está relacionada corretamente à análise de sensibilidade: a) Na análise de um problema de programação linear (PL), quando são feitas alterações na função objetivo, utilizamos um parâmetro a em cada coeficiente da função objetivo, separadamente, para determinar o intervalo dos possíveis valores de a. b) Uma mesma abordagem é empregada nos casos de variáveis não básicas e variáveis básicas. c) Na análise de sensibilidade, quando a solução original se mantém ótima, isso significa que as variáveis básicas se alteram. d) Na análise de sensibilidade, se o lucro referente a determinado item aumentar e a produção for a mesma, o valor da função objetivo reduzirá. e) Nos problemas de minimização, se diminuir o custo unitário de um produto, o custo total subirá. 3. 3. Observe o problema a seguir e marque a alternativa correta: A New Bag produz dois tipos de bolsas femininas. Uma bolsa do tipo 1 requer duas vezes mais mão de obra do que uma do tipo 2. Se todas as horas de trabalho forem dedicadas apenas ao tipo 2, a empresa pode produzir um total de 400 bolsas do tipo 2 por dia. Os limites de mercado respectivos para os dois tipos são 150 e 200 bolsas por dia. O lucro é de $ 8 por bolsa do tipo 1 e de $ 5 por bolsa do tipo 2. Seja: x1 = número de bolsas do tipo 1 por dia; x2 = número de bolsas do tipo 2 por dia; maximizar z = 8x1 + 5x2 sujeito a 2x1 + x2 ≤ 400 X1 ≤ 150, x2 ≤ 200 X1, x2 ≥ 0. a) O preço dual da capacidade de produção (em termos de bolsa do tipo 2) é $ 2. b) A faixa para a qual é aplicada é (100,400). 69Análise de sensibilidade c) No caso de redução no limite diário da demanda do tipo 1 para 120, usando o preço dual, o efeito correspondente sobre a receita ótima é 1. d) O preço dual da participação de mercado da bolsa tipo 2 é equivalente a $ 4. e) A participação de mercado pode ser aumentada para, no máximo, 200 para o tipo 2. 4. Com base nas informações e na tabela a seguir, marque a alternativa que está relacionada corretamente: A empresa fabrica dois modelos de calçados: sandálias e sapatos. As principais matérias-primas empregadas para a fabricação dos calçados são couro e borracha. O sapato consome 400 g de couro e 300 g de borracha. A sandália consome 700 g de couro e 150 g de borracha. O lucro unitário referente à sandália é de R$ 12,00. O lucro unitário referente ao sapato é de R$ 15,00. A produção de sandálias não pode ultrapassar 700 unidades. a) As variáveis não básicas são: X1, X2 e X5. b) A tabela final não apresenta todos os valores necessários para determinar as desigualdades envolvendo o parâmetro a. c) Para a variável não básica x3, não basta observar que o custo reduzido é 9 – a, porque 9 é o coeficiente da variável x3 na função objetivo. d) Como 9 – a ≥ 0 faz com que a solução obtida seja ótima, é fácil então perceber que, nesse caso, a solução do problema é ótima para qualquer valor de a entre -∞ e 9. e) Se a for menor do que 9, significa que a solução ótima ainda não foi encontrada. Nesse caso, x3 entra na base e será preciso mais interações para encontrar a solução ótima. Pesquisa operacional70 5. Observe a planilha e o problema resolvido: MAX Z = 3x1 + 5x2 S.A. x1 ≤ 4 x2 ≤ 6 3x1 + 2x2 ≤ 18 x1, x2 ≥ 0 Forma Padrão: -Z + 3x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 (FO Transformada) x1 + x3 = 4 x2 + x4 = 6 3x1 + 2x2 + x5 = 18 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0 71Análise de sensibilidade Marque a alternativa correta: a) No exemplo apresentado, o quadro 1 é o original final, após a aplicação do método simplex. b) No exemplo, o quadro 2 é a forma canônica. c) Tomemos o coeficiente de x1 assinalado no quadro 1. Se mudássemos o coeficiente original (3) do quadro inicial para (3+δ), onde δ é uma quantidade qualquer, e fizéssemos os mesmos pivotamentos que fizemos para obter o quadro final, obteríamos o mesmo resultado final para o coeficiente de x2. d) O que reduzirmos de um coeficiente da FO no quadro inicial será o acréscimo que obteremos no quadro final após os pivotamentos. e) Como x1 é a variável básica no quadro final, e as colunas com variáveis básicas deverão ser um vetor identidade, devemos fazer δ=0 restabelecendo, assim, a forma canônica do quadro. Pesquisa operacional72 BARBOSA, M. A. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de gestão. Curitiba: Intersaberes, 2015. Leitura recomendada HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 73Análise de sensibilidade Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual da Instituição, você encontra a obra na íntegra. Conteúdo:
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