AULA TEÓRICA - Taxas de Juro

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RASCUNHO DE APONTAMENTOS DE MATEMATICA FINANCEIRA / Imelde Jauane 
Fonte: Rogério Matias (2004) Cálculo Financeiro, Teoria e Prática, Escolar Editora 
 Rogério Matias (2006) Cálculo Financeiro, Teoria e Prática, Escolar Editora 
 Alves Mateus (2006), Calculo Financeiro, 5ª Ed., Edições Silabo 
 
AULA TEÓRICA 
(TAXAS DE JURO) 
 
3 TAXAS DE JURO - CONCEITOS E CARACTERIZAÇÃO 
 
Quando se fala de taxas de juro temos que saber a que tipo de taxas se refere, sobretudo no R. J. 
C. 
Dizer apenas que a taxa é de 10% ao ano pode ser insuficiente. Uma taxa pode ser – Nominal e 
Efectiva . 
 
Isto acontece porque vigora o R. J. C em que o período da taxa era diferente da periodicidade a 
que eram efectuadas as capitalizações – havia mais do que uma capitalização no período ao qual 
estava reportada a i - a i era anual e as capitalizações eram semestrais. 
 
 
3.1. TAXAS NOMINAIS E TAXAS EFECTIVAS 
 
Em R.J.C, quando a i é anual e as capitalizações são feitas em sub-períodos do ano, o Jt obtido 
após 1 ano dessas capitalizações é superior ao que seria obtido se houvesse apenas uma 
capitalização no ano. 
 
No ex: com 100 Mt e a i = 20% ao ano (a.a.), obtém-se, após um ano, Jt = 20 Mt a i = 10% ao 
semestre obtém-se, após um ano, um Jt = 21 Mt. 
 
No 1
o
 caso como a i é anual e as capitalizações são anuais, à i = 20% a.a é simultaneamente 
nominal e efectiva (não a verdadeira distinção, uma vez que, só há uma capitalização, nunca 
chega a haver juros de juros). 
 
No 2
o
 caso a i = 20% a.a é capitalizada 2 vezes no ano, à i semestral de 10% o que conduz a uma 
taxa anual efectiva de 21%. Diz-se que a i = 20% é nominal – não leva em conta o efeito de 
capitalizações, enquanto a i = 21% é efectiva já leva em consideração o efeito das capitalizações 
sucessivas. 
Deste modo, diz-se que a taxa anual nominal de 20% com capitalizações semestrais corresponde 
(está subjacente) a taxa anual efectiva de 21%. 
 
A diferença reside no facto de reflectirem ou não as capitalizações sucessivas. 
 
RASCUNHO DE APONTAMENTOS DE MATEMATICA FINANCEIRA / Imelde Jauane 
Fonte: Rogério Matias (2004) Cálculo Financeiro, Teoria e Prática, Escolar Editora 
 Rogério Matias (2006) Cálculo Financeiro, Teoria e Prática, Escolar Editora 
 Alves Mateus (2006), Calculo Financeiro, 5ª Ed., Edições Silabo 
Esta distinção existe em R.J.C., quando simultaneamente o período a que esta reportada a taxa 
não coincide com o período a que são efectuadas as capitalizações. Quando tal ocorre é 
fundamental saber desde logo se a taxa anunciada é efectiva ou nominal. 
Sendo efectiva, significa que já leva em conta o efeito das sucessivas capitalizações, pelo que a 
taxa periódica é calculada segundo uma relação de equivalência; sendo nominal, significa que 
não leva em conta as sucessivas capitalizações, pelo que a taxa periódica é calculada segundo 
uma relação de proporcionalidade. 
 
3.1.1 TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES 
 
Quando a razão (quociente) entre duas taxas é a mesma que existe entre os períodos do tempo a 
que elas se referem, essas taxas dizem-se proporcionais. 
Assim, 10% ao ano e 5% ao semestre são taxas proporcionais, já que 2
5,0
1
05,0
10,0
 
 
Duas Taxas dizem-se equivalentes quando, reportando-se a períodos de tempo diferentes, 
fazem com que um mesmo capital produza o mesmo J após um mesmo intervalo de tempo, 
sendo as capitalizações efectuadas de acordo com o período a que cada uma das taxas está 
referida. 
Simples: Duas taxas são ditas equivalentes quando, embora referidas a unidades de tempo 
diferentes, aplicadas sobre o mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo 
valor. 
 
Por ex: 21% ao ano e 10% ao semestre são taxas equivalentes (em R.J.C) já que, como vimos no 
exemplo anterior, o juro produzido por 100 Mt ao fim de um ano, é de 21 Mt, quer em 
capitalização anual a taxa anual de 21%, quer em capitalização semestral a taxa semestral de 
10% (O juro do 1
o
 semestre é de 10 Mt e o J do 2
o
 semestre é de 11mt (10 + 11= 21 a.a). 
 
Simbologia: 
 
i = taxa anual efectiva 
i
(k) 
= taxa anual efectiva composta k vezes por ano; Ex: i
(2) 
= taxa anual efectiva composta 
semestralmente; i
(3) 
= taxa anual efectiva composta quadrimestralmente; 
i(k) = taxa anual nominal composta (capitalizada) k vezes por ano; Ex: i(4) = taxa anual nominal 
capitalizada trimestralmente ( cabem 4 trimestres no ano). 
ik = taxa periódica efectiva, isto é, reportada ao mesmo período a que são efectuadas as 
capitalizações; Ex: i6 = taxa bimestral; i12 = taxa mensal. 
k – número de períodos de capitalização por ano. 
 
 
 
 
 
 
RASCUNHO DE APONTAMENTOS DE MATEMATICA FINANCEIRA / Imelde Jauane 
Fonte: Rogério Matias (2004) Cálculo Financeiro, Teoria e Prática, Escolar Editora 
 Rogério Matias (2006) Cálculo Financeiro, Teoria e Prática, Escolar Editora 
 Alves Mateus (2006), Calculo Financeiro, 5ª Ed., Edições Silabo 
 
3.1.2 CÁLCULO DAS TAXAS 
 
PARTINDO DE UMA TAXA ANUAL EFECTIVA PARA TAXA PERIÓDICA 
EFECTIVA 
 
Usa-se a relação de equivalência 
(1+i)
1
 (uma capitalização anual à taxa anual – horizonte temporal = a um ano) = (1+ik)
k
 (k 
capitalizações durante um ano à taxa periódica ik - horizonte temporal = a um ano) 
      1111
11
 kkkk iiii 
Ex: dada a taxa anual efectiva de 10%, quais as equações que permitem obter as taxas 
equivalentes (ou efectivas) para os seguintes períodos? 
a) Semestre 
      110110)8809,41(100%)101(100048809,011,0111 212
1
2
2
2
1
 iii
 
b) Trimestre 
      110110%)4114,21(100%)101(100024114,011,0111 414
1
4
4
4
1
 iii
c) Bimestre 
      110110%)016012,11(100%)101(100016012,011,0111 6166
6
6
1
 iii
d) Mês 
      110110%)7974,01(100%)101(100007974,011,0111 1211212
12
12
1
 iii
 
Se usássemos 5% ao semestre (metade de 10%) após 2 capitalizações semestrais (um ano), o Cn 
seria: 25,110%)51(100 2  e não 110 Mt. 
5% ao semestre e 10% ao ano são taxas proporcionais, mas não são taxas equivalentes. 
 
PARTINDO DE UMA TAXA ANUAL NOMINAL COM k CAPITALIZAÇÕES 
DURANTE O ANO [ )(ki ] 
 
Como a taxa é anual nominal não reflecte o efeito das capitalizações. É fundamental começar por 
calcular a taxa efectiva periódica reportada ao mesmo período a que são efectuadas as 
capitalizações. Usa-se a relação de proporcionalidade: 
 
k
i
i
k
k  
Por ki estar reportada ao mesmo período a que são efectuadas as capitalizações é para esse 
período, uma taxa efectiva. A obtenção da taxa efectiva reportada a outro período será por 
equivalência. 
 
Ex: Qual é a taxa anual efectiva subjacente à taxa anual nominal de 12%, composta 
semestralmente? 
 
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 Rogério Matias (2006) Cálculo Financeiro, Teoria e Prática, Escolar Editora 
 Alves Mateus (2006), Calculo Financeiro, 5ª Ed., Edições Silabo 
 
1º: 
 
%6
2
12
2  i
k
i
i
k
k e 2º       %36,1216,0111
2
2
2
2
1
 iii 
 
Quando as capitalizações são anuais, a taxa anual nominal e a taxa anual efectiva 
coincidem. 
 
PARTINDO DE UMA TAXA PERIÓDICA EFECTIVA 
 
1º Para obter a taxa anual nominal, multiplicamos aquela pelo número de períodos que 
existem no ano; 
2º Para obter a anual efectiva será por equivalência. 
 
Ex: Dada a taxa trimestral de 3%, qual é: 
a) A taxa anual nominal subjacente? 
i(4) = 4 * 0,03 = 0,12 = 12% 
 
b) A taxa anual efectiva subjacente? 
      %5509,121125509,0103,011 22
41
 ii 
 
Ex1: Dada a taxa trimestral de 3%, qual é: 
a) A taxa mensal proporcional subjacente? 
%1
3
03,0
12 i 
b) A taxa semestral proporcional subjacente? 
i2 = 2 * 0,03 = 0,06 = 6% 
 
c) A taxa mensal equivalente? 
      %9902,0009902,0103,0103,0113
1
12
13
12  ii 
 
d)       %09,6103,0103,011 22
21
2  ii 
 
Ex2: Considere a taxa anual nominal de 9% composta trimestralmente e calcule as seguintes 
taxas efectivas: 
 
a) Mensal = 0,007444 = 0,7444% mas 1º calcular a taxa trimestral proporcional a 9% = 
0,0225 
b) Semestral = 4,5506% 
c) Trimestral = 2,25% 
d) Anual = 9,3083% 
 
 
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 Rogério Matias (2006) Cálculo Financeiro, Teoria e Prática, Escolar Editora 
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Ex3: Considere a taxa anual efectiva de 9%, composta trimestralmente, calcule as seguintes 
taxas: 
a) Mensal efectiva = 0,7207% 
b) Semestral efectiva = 4,4031% 
c) Trimestral efectiva = 2,1778% 
d) Anual nominal = 2,21778%* 4 = 8,7112% 
 
 
 
Aplicação 
 
Um aforrador pretende aplicar determinada quantia. O banco A propõe-lhe remunerá-la à taxa 
anual efectiva bruta de 10%, permitindo-lhe optar por capitalizações semestrais ou mensais 
(juros sujeitos a imposto à taxa liberatória de 20%). O banco B propõe ao aforrador a taxa anual 
efectiva líquida de 8%. Por que hipótese deve optar o aforrador? 
1º Calcular a taxa ilíquida do período de capitalização 
2º Calcular a taxa efectiva líquida, eliminando o imposto. 
 
Elementos Notação 
Taxa que quero calcular .................................................. iq 
Taxa que tenho ............................................................... it 
Unidade da taxa que quero calcular ................................ q 
Unidade da taxa que tenho ............................................. t 
 
 
Cálculo da taxa equivalente: 
 
 
 
 
 
 
3.2 TAXAS ILIQUIDAS E TAXAS LIQUIDAS 
 
Tem a ver com o facto de reflectirem ou não o efeito da fiscalidade sobre os juros produzidos. 
Os J produzidos em qualquer processo de capitalização estão sujeitos a impostos, i.e., sempre 
que há juro, há imposto. Geralmente aplica-se uma taxa de 20% ao montante do juro produzido, 
o que quer dizer que o aforrador fica com apenas 80% do juro produzido em cada período de 
capitalização. É chamada também taxa liberatória (não incluir na declaração de y). 
 
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Chama-se Taxa Ilíquida (ou taxa bruta) a taxa que não leva em consideração o efeito fiscal e 
Taxa Liquida que já se reflecte o efeito fiscal. 
Iliq: taxa de juro líquido 
Iiliq: taxa de juro ilíquido 
Timp: taxa do imposto 
 
Iliq=Iiliq-Timp*iiliq 
 
Ex: Calcule o juro líquido produzido por um capital de 1.000 Mt aplicado durante 1 ano, a taxa 
de juro anual nominal ilíquida de 10% (juros sujeitos a taxa liberatória de 20%), admitindo que 
as capitalizações são: 
a) Anuais b) Semestrais 
a) Só a uma capitalização 
Jiliq=C.n.iliq=1000 * 1*0,10=100 Mt Iliq=(1-timp) iiliq 
Temos retirar o imposto Iliq=(1-0,2) * 0,10 
Imposto=0,20*100=20 iliq=0,08 
Jliq=Jiliq-imposto=100-20=80 Mt Jiliq=C.n.Iliq = 1000*0,08*1 = 80Mt 
 
 
 
b) Capitalizações semestrais 
 Calcula-se o juro 2 vezes ao ano 
R.J.C 1º R.J.C 
J1iliq=1000*6/12*0,10=50 Mt J1liq=1000*6/12*0,10=50Mt 
Imposto= 0,2*50=10 Mt Imposto=0,2*50=10 
J1liq=50-10=40mt J1liq=50-10=40 
J2liq=1000*6/12*0,08=40mt J2iliq=1040*6/12*0,10=52mt 
Jtliq=J1liq=40+40=80mt Imposto=0,2*52=10,4 
 J liq=52-10,4=41,6 
 Jtliq=40+41,6=81,6 
 
2º R.J.C 
isemestraliliq = 10/2 = 5% é porque i = 10% é nominal a.a 
Isem liq = ( 1-0,20) * 0,05 = 0,04 
J1liq = 1000*1*0,04 = 40MT 
J2liq = 1040*1*0,04 = 41,6MT 
 
1º Calcular a ilíquida reportada ao mesmo período a que são efectuadas as capitalizações. 
2º Calcular a ilíquida subjacente. 
 
A Taxa líquida deve ser calculada depois de a taxa ilíquida já estar reportada ao mesmo 
período a que são efectuadas as capitalizações! 
 
 
 
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3.3 TAXAS CORRENTES E TAXAS REAIS 
Taxa corrente é aquela que não reflecte o efeito da inflação. 
Taxa real é aquela que reflecte o efeito da inflação. 
 
Taxa real (ir) = 1
1
1




i
= 




1
i