Aula 5_ HIDRODINAMICA_Escoamento_Eq Continuidade

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Unidade 2: Balanço global de 
massa
Profª. Tarcilene Heleno
Hidrodinâmica
Conhecendo o conceito de hidrodinâmica:
A Hidrodinâmica estuda os fluidos em movimento e neste
caso não serão considerados os casos em que o
escoamento do líquido é turbulento.
Posteriormente, a definição de linha de corrente deve ser
descrita através das trajetórias em escoamento
estacionário, ou seja, regime permanente onde qualquer
partícula do fluido o faz com velocidades iguais de um
ponto ao outro.
Hidrodinâmica
Linhas de corrente são curvas imaginárias tomadas
através do fluido para indicar a direção da velocidade em
diversas seções do escoamento no sistema fluido.
Uma tangente a curva em qualquer ponto representa a
direção instantânea da velocidade das partículas fluidas
naquele ponto.
Um tubo de corrente é um tubo imaginário envolvido
por um conjunto de linhas de corrente, que delimitam o
escoamento.
Classificação dos escoamentos
 Escoamento não-viscoso (invíscido): é considerado
como sendo um fluido ideal cuja viscosidade é
desprezível.
 Escoamento Incompressível: é aquele cuja massa
específica é constante.
 Escoamento Compressível: quando a massa
específica não é considerada constante.
Classificação dos escoamentos
Escoamento unidimensional ou bidimensional
 O escoamento unidimensional de um fluido
incompressível ocorre quando a direção e a intensidade
da velocidade é a mesma para todos os pontos.
 O escoamento bidimensional ocorre quando as
partículas do fluído se movem em planos ou em planos
paralelos e, suas trajetórias são idênticas em cada
plano.
Classificação dos escoamentos
 Escoamento permanente ou estacionário: quando
suas propriedades, (v1, ρ1), em qualquer ponto,
permanecem invariáveis em relação ao tempo.
 Escoamento transitório / transiente ou não-
permanente: Caso ocorra variação das propriedade
em um ponto, em função do tempo.
Escoamento permanente ou não permanente 
Classificação dos escoamentos
Nos escoamentos laminares as linhas de correntes
são estáveis, enquanto que nos escoamentos turbulentos as
linhas de corrente se alteram aleatoriamente, conforme
mostram as figuras
Escoamento laminar ou turbulento
 Escoamento Laminar: Ocorre quando as partículas de
um fluido movem-se ao longo de trajetórias bem
definidas, apresentando lâminas ou camadas (daí o
nome laminar) cada uma delas preservando sua
característica no meio.
 No escoamento laminar a viscosidade age no fluido no
sentido de amortecer a tendência de surgimento da
turbulência. Este escoamento ocorre geralmente a
baixas velocidades e em fluídos que apresentem grande
viscosidade.
 Escoamento Turbulento: Ocorre quando as partículas de
um fluido não movem-se ao longo de trajetórias bem
definidas, ou seja as partículas descrevem trajetórias
irregulares, com movimento aleatório, produzindo uma
transferência de quantidade de movimento entre regiões
de massa líquida.
 Este escoamento é comum na água, cuja a viscosidade
é relativamente baixa.
Visualização de Escoamentos Laminar e Turbulento em
Tubos Fechados – Experimento de Reynolds
Vejam o vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=Kgbo8Eah2QI
Número de Reynolds
O número de Reynolds (abreviado como Re) é um número
adimensional usado em mecânica dos fluídos para o cálculo do
regime de escoamento de determinado fluido dentro de um tubo
ou sobre uma superfície. É utilizado, por exemplo, em projetos de
tubulações industriais e asas de aviões. O seu nome vem de
Osborne Reynolds, um físico e engenheiro irlandês. O seu
significado físico é um quociente entre as forças de inércia e as
forças de viscosidade.
𝑹𝒆 =
𝝆𝑽𝑫
𝝁
=
𝑽𝑫
𝝂
Na qual:
ρ = massa específica do fluido ;
µ = viscosidade dinâmica do fluido ;
ν = velocidade do escoamento 
D = diâmetro da tubulação
𝝂 = viscosidade cinemática
 Re < 2000 – Escoamento Laminar.
 2000 < Re < 2400 – Escoamento de transição
 Re > 2400 – Escoamento Turbulento.
Portanto, na maioria das situações de Engenharia, o
escoamento não é controlado com tanto cuidado, de
forma que Re: VAMOS ADOTAR ESSE!!!
 Re < 2300 – Escoamento Laminar.
 Re > 2300 – Escoamento Turbulento.
Fox, Introdução a Mecânica dos Fluidos
Referência Brunetti, Mecânica dos Fluidos para 
interior de tubos! 
Número de Reynolds
 A importância fundamental do número de Reynolds é a
possibilidade de se avaliar a estabilidade do fluxo podendo
obter uma indicação se o escoamento flui de forma laminar
ou turbulenta.
 O número de Reynolds constitui a base do comportamento
de sistemas reais, pelo uso de modelos reduzidos.
 Um exemplo comum é o túnel aerodinâmico onde se
medem forças desta natureza em modelos de asas de
aviões.
 Estimar fator de atrito do sistema, perda de carga da
tubulação.
 Pode-se dizer que dois sistemas são dinamicamente
semelhantes se o número de Reynolds, for o mesmo para
ambos.
Hidrodinâmica
Exemplo 1) Calcular o número de Reynolds e identificar se
o escoamento é laminar ou turbulento sabendo-se que em
uma tubulação com diâmetro de 4cm escoa água com uma
velocidade de 0,05m/s.
𝑹𝒆 =
𝝆𝝂𝑫
𝝁
𝑹𝒆 =
𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟎𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟒
𝟏, 𝟎𝟎𝟑𝟎 × 𝟏𝟎−𝟑
𝑹𝒆 = 𝟏𝟗𝟗𝟒 o escoamento é laminar!! 
Tabelas de Viscosidade Dinâmica
Hidrodinâmica
Equação para um volume de controle
“A taxa de variação temporal da massa no interior de
controle é igual ao fluxo líquido de massa através da
superfície de controle”.
AdvdV
tdt
dM
SCVCSistema
 





É a taxa de 
variação de massa 
arbitrária do 
sistema;
É a taxa de acumulação 
de massa num dado 
volume de fluido 
considerado (VC= 
volume de controle)
É a taxa líquida de 
massa que atravessa 
uma superfície de 
controle (SC)
Hidrodinâmica
Equação da Continuidade
 A equação da continuidade descreve a variação da
massa de um fluido em função da posição e do tempo.
 Essa equação é obtida aplicando-se o Princípio da
Conservação da Massa em um elemento de volume de
fluido arbitrário. A massa de um sistema permanece
constante.
0** 





 AdvdVtdt
dM
SCVCSistema

Hidrodinâmica
Casos especiais:
 Transiente e compressível 
0** 


 AdvdVt
SCVC

 Transiente e incompressível
0** 


 AdvdVt
SCVC

Transiente varia em
função do tempo e
compressível: massa
específica variável
Se é Transiente e
incompressível:
massa específica é
constante:
0 Adv
SC
Hidrodinâmica
Casos especiais:
 Permanente e compressível 
0* 


 AdvdVt
SCVC

 Permanente e incompressível
0** 


 AdvdVt
SCVC

Permanente não varia
em função do tempo e
compressível: massa
específica variável
Se é permanente e
incompressível:
massa específica é
constante:
0 Adv
SC
0 Adv
SC

Hidrodinâmica
Equação da Continuidade para um regime permanente
 Consideremos um fluido escoando por uma tubulação
no regime permanente.
Portanto, concluímos que no regime permanente Q(1)m =
Q(2)m , a equação da continuidade é dada por:
𝝆𝟏𝒗𝟏 𝑨𝟏 = 𝝆𝟐𝒗𝟐 𝑨𝟐
0 Adv
SC

𝝆𝟏 Ԧ𝑣1 ∙ Ԧ𝐴1 + 𝝆𝟐 Ԧ𝑣2 ∙ Ԧ𝐴2=0
𝜌1𝑣1 𝐴1𝑐𝑜𝑠 180 + 𝜌2𝑣2 𝐴2cos 0 = 0
−𝜌1𝑣1 𝐴1 + 𝜌2𝑣2 𝐴2 = 0
Hidrodinâmica
Equação da Continuidade para um regime permanente
Então, no regime permanente e compressível, a equação
da continuidade é dada por:
No caso em que o fluido é incompressível, como a sua
massa específica é constante, a equação da continuidade
se resume:
𝝆𝟏𝒗𝟏 𝑨𝟏 = 𝝆𝟐𝒗𝟐 𝑨𝟐
𝒗𝟏 𝑨𝟏 = 𝒗𝟐 𝑨𝟐
Vazão
Vazão volumétrica (Q) é o volume de fluido que escoa
através de uma certa seção em um intervalo de tempo.
Vazão mássica (Qm): é a massa de fluido que escoa
através de uma certa seção em um intervalo de tempo.
Vazão em peso (QP): é o peso de fluido que escoa
através de uma certa seção em um intervalo de tempo.
𝑄𝑚 =
∆𝑚
∆𝑡
= 𝜌𝑣𝐴
𝑄𝑉 =
∆𝑉
∆𝑡
= 𝑣 𝐴
𝑄𝑃 =
∆𝑃
∆𝑡
= 𝜌𝑔𝑣𝐴
Unidade SI 
m3/s 
Unidade SI 
kg /s 
Unidade SI 
N /s 
Exemplo 2: Ar escoa em um tubo divergente, conforme a
figuraabaixo. A área da menor seção do tubo é 50 cm2 e a
da maior seção é 100 cm2. A velocidade do ar na seção (1)
é 18 m/s enquanto que na seção (2) é 5 m/s. Sendo a
massa específica do ar na seção (1) é 0,026 kg/m3,
determine:
a) a massa específica do ar na seção (2);
b) a vazão mássica de ar nas seções (1) e (2);
c) a vazão volumétrica de ar nas seções (1) e (2).
Resposta : 0,0468 kg/m3 ; 0,00234 kg/s e 0,00234 kg/s ; 0,09 m3/s e 0,05 m3/s
Considere regime permanente e lembre-se que o ar é um fluido compressível. 
Considere regime permanente e lembre-se que o ar é um fluido compressível. 
0,026 × 𝟏𝟖 × 𝟓𝟎 × 𝟏𝟎−𝟒 = 𝟓 × 𝟏𝟎𝟎 × 𝟏𝟎−𝟒𝝆𝟐
𝒂) 𝝆𝟏𝒗𝟏 𝑨𝟏 = 𝝆𝟐𝒗𝟐 𝑨𝟐
𝝆𝟐= 𝟎, 𝟎𝟒𝟔𝟖 𝒌𝒈/𝒎
𝟑
𝒃) 𝑸𝒎= 𝝆𝟏𝒗𝟏 𝑨𝟏= 0,026 × 𝟏𝟖 × 𝟓𝟎 × 𝟏𝟎
−𝟒
𝑸𝒎 = 0,00234 kg/s
𝒄)) 𝑸𝑽𝟏 = 𝒗𝟏 𝑨𝟏= 𝟏𝟖 × 𝟓𝟎 × 𝟏𝟎
−𝟒 = 0,09 m3/s 
𝑸𝑽𝟐 = 𝒗𝟐 𝑨𝟐= 𝟓 × 𝟏𝟎𝟎 × 𝟏𝟎
−𝟒= 0,05 m3/s
Hidrodinâmica
Exemplo 3: No tubo da figura, determine a vazão
volumétrica, mássica e em peso e a velocidade na seção 1 ,
sabendo que o fluido é água e que A1= 10 cm2 e A2= 5 cm2.
𝒗𝟏 𝑨𝟏 = 𝒗𝟐 𝑨𝟐
𝟏 × 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎−𝟒 = 𝒗𝟐 × 𝟓 × 𝟏𝟎
−𝟒 𝒗𝟐 = 𝟐𝒎/𝒔
𝑸𝑽𝟏 = 𝒗𝟏 𝑨𝟏= 𝟏 × 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎
−𝟒= 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟑/s
𝑸𝒎𝟏 = 𝝆𝟏𝒗𝟏 𝑨𝟏= 𝟏𝟎
𝟑 × 𝟏 × 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎−𝟒 = 𝟏𝟎−𝟑= 1 kg/s
𝑸𝑷𝟏 = 𝒈 𝝆𝟏𝒗𝟏 𝑨𝟏= 9,8 × 𝟏𝟎
𝟑 × 𝟏 × 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎−𝟒 = 𝟗, 𝟖 𝑵/𝑺
Exemplo 4: Um fluido escoa por um duto que apresenta
dois ramais em derivação. A velocidade do fluido na seção
A1 é 10 m/s e a velocidade do fluido na seção A2 é 8,0
m/s, em ambas as seções, há entrada do fluido. Sabe-se
que a massa específica do fluido é 800 kg/m3. Responda
o que se pede: A vazão mássica na seção A3 e a
velocidade do fluido na seção A3.
𝒗𝟏 𝑨𝟏 + 𝒗𝟐 𝑨𝟐 = 𝒗𝟑 𝑨𝟑
Segundo, vamos determinar a velocidade na seção 3:
𝑨𝟏 = 𝛑𝒓
𝟐 = 𝛑 × 𝟎, 𝟎𝟕𝟓𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝟕𝒎𝟐
𝑨𝟐 = 𝛑𝒓
𝟐 = 𝛑 × 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟗𝟔𝒎𝟐
𝑨𝟑 = 𝛑𝒓
𝟐 = 𝛑 × 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟗𝒎𝟐
𝒂) 𝑸𝒎= 𝝆𝟑𝒗𝟑 𝑨𝟑= 800 × 𝟑𝟗𝟑 × 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟗 = 𝟏𝟓𝟒 𝒌𝒈/𝒔
𝟏𝟎 × 𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝟕 + 𝟖 × 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟗𝟔= 𝒗𝟑 × 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟗
𝟎, 𝟏𝟕𝟕 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟓𝟕= 𝒗𝟑 × 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟗
𝟎, 𝟏𝟗𝟑= 𝒗𝟑 × 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟗 𝒗𝟑 = 𝟑𝟗𝟑𝒎/𝒔
A equação da continuidade fica:
Primeiro, vamos determinar as áreas:
Por fim, vamos determinar a vazão mássica na seção 3: