2ª prova 2012/1 - Prof Lúcio Fassarella (com resolução)

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Universidade Federal do Espírito Santo
Segunda Prova de Cálculo I –Data: 04/10/2012
Prof. Lúcio Fassarella
DMA/CEUNES/UFES
Aluno:_________________________Matrícula_______Nota:
:
:
________
1. (3 pontos) Calcule os limites
(i) lim
x!1
2x
x+ 2012
= ___________
(ii) lim
x!0
cos (x)� 1
x2
= ___________
(iii) lim
x!0+
ln
�
1 + x2
�
x
= ___________
2. (2 pontos) Considere a função
f (x) := x lnx (x > 0)
Determine a reta tangente ao grá…co de f cuja inclinação é 450: _______________
3. (2 pontos) Considere a seguinte função e determine
g (x) = 2x3 � 3x2 � 12x+ 6
(a) O(s) ponto(s) de mínimo local e máximo local de g.
(b) O(s) intervalo(s) onde g é crescente.
(c) O(s) intervalo(s) onde g é decrescente.
(d) O(s) ponto(s) de in‡exão de g.
4. (2 pontos) Um cilindro circular reto tem volume constante 5000 cm3, mas sua altura aumenta à taxa
de 2 cm= s. Determine a taxa de variação do raio do cilindro no instante em que a altura mede 50 cm.
5. (2 pontos) Um radar foi instalado num trecho retilíneo de uma rodovia para medir a velocidade dos
automóveis. O radar está oculto numa posição a 25m das margens da pista. Se um veículo trafega
pela rodovia com velocidade v medida em metros por segundo, determine a velocidade com que ele se
afasta do radar no momento em que passa pelo ponto mais próximo deste.
Boa Prova!
1
RESOLUÇÃO
Questão (1)
Item i) Como 2x=x!1=1 quando x!1, podemos calcular o limite usando o teorema de L’Hôpital
(e a identidade 2x = ex ln 2):
lim
x!1
2x
x+ 2012
= lim
x!1
d
dx (2
x)
d
dx (x+ 2012)
= lim
x!1
(ln 2) 2x
1
= (ln 2)| {z }
>0
lim
x!1 2
x =1
Item ii) Como (cos (x)� 1) =x2 ! 0=0 quando x ! 0, podemos calcular o limite usando o teorema de
L’Hôpital (duas vezes):
lim
x!0
cos (x)� 1
x2
= lim
x!0
d
dx (cos (x)� 1)
d
dx (x
2)
= lim
x!0
� sin (x)
2x
=
�1
2
lim
x!0
d
dx sin (x)
d
dxx
=
�1
2
lim
x!0
cos (x)
1
=
�1
2
cos (0) = �1
2
Item iii) Como ln
�
1 + x2
�
=x ! 0=0 quando x ! 0, podemos calcular o limite usando o teorema de
L’Hôpital:
lim
x!0+
ln
�
1 + x2
�
x
= lim
x!0+
d
dx ln
�
1 + x2
�
d
dxx
= lim
x!0+
2x
1+x2
1
= lim
x!0+
2x
1 + x2
=
2�0
1 + 02
= 0
2
Questão 2) A reta tangente ao grá…co de f no ponto (x0; f (x0)) é dada pela seguinte equação cartesiana
y = f 0 (x0) (x� x0) + f (x0) (Eq:)
A condição (necessária e su…ciente) para que a inclinação dessa reta tangente seja 450 é
f 0 (x0) = 1
Como
f 0 (x) =
d
dx
(x lnx) = lnx+ 1
temos
f 0 (x) = 1 () lnx+ 1 = 1 () lnx = 0 () x = 1
Como f (1) = ln 1 = 0, substituindo x0 = 1 na expressão (Eq.), concluimos que a reta tangente procurada é
dada por
y = x� 1 (RESPOSTA)
> Adendum à resolução <
A seguinte plotagem em escala 1�1 indica que a reta tangente ao grá…co de f no ponto (1; 0)
tem inclinação 450 e que não há outros pontos do grá…co com essa propriedade, con…rmando a
resposta:
21.510.50-0.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
y = x lnx (em azul) ; y = x� 1 (em vermelho)
3
Questão 3) A função g e suas derivadas:
g (x) = 2x3 � 3x2 � 12x+ 6
g0 (x) = 6x2 � 6x� 12
g00 (x) = 12x� 6
Pontos críticos (raízes da derivada):
g0 (x) = 0 () 6x2 � 6x� 12 = 0 () x = �1 ou x = 2
Analisamos o sinal da derivada em torno dos seus pontos críticos:
g0 (x) = (x+ 1) (x� 2)
8<: > 0 ; x < �1< 0 ; �1 < x < 2
> 0 ; x > 2
As informações sobre o sinal da derivada de g são su…cientes para respondermos os ítens a, b e c:
Item a) Ponto de máximo local de g: x = �1 ; ponto de mínimo local de g: x = 2 ;
Item b) g é crescente onde sua derivada é positiva: (�1;�1) e (2;+1);
Item c) g é decrescente onde sua derivada é negativa: (�1; 2).
Item d) Sendo g duas vezes derivável, um ponto de in‡exão de g é um ponto onde sua segunda derivada
muda de sinal; como g00 (x) = 12x� 6, concluimos que g possui um único ponto de in‡exão: x = 0:5 .
> Adendum à resolução <
A seguinte plotagem con…rma as respostas obtidas:
3.752.51.250-1.25-2.5
15
10
5
0
-5
-10
-15
x
y
x
y
y = 2x3 � 3x2 � 12x+ 6
4
Questão 4) Denote o raio do cilindro por r e sua altura por h, medidos em centímetros. Como o volume
é constante igual a 5000 cm3, segue
�r2h = 5000
Diferenciando essa identidade em relação ao tempo, encontramos a relação entre as taxas de variação do raio
e da altura em relação ao tempo:
d
dt
�
�r2h
�
= 0 2�rhdr
dt
+ �r2
dh
dt
= 0 dr
dt
= � r
2h
dh
dt
No instante em que a altura mede 50 cm, o raio do cilindro mede r =
p
5000=50� = 10=
p
�. Como a taxa de
variação da altura é de 2 cm= s, substituindo esse valor na relação obtida concluimos que no instante em
que a altura mede 50 cm, a taxa de variação do raio é igual
dr
dt
= �10=
p
�
2�50
� 2
ou seja
dr
dt
=
1
5
p
�
(RESPOSTA)
Questão 5) Denote o tempo por t e denote por x a posição do veículo medida em metros a partir do
ponto da rodovia mais próximo do radar. Se a velocidade do veículo é v, então
dx
dt
= v
Supondo que a região em torno do radar e da pista seja plana e desprezando a largura da pista, temos que
distância z entre o veículo e o radar em função da posição x do veículo é dada por
z =
p
x2 + 252
Portanto, a velocidade com que o veículo se aproxima/afasta do radar é dada por
dz
dt
=
d
dt
p
x2 + 252 =
1p
x2 + 252
dx
dt
=
vp
x2 + 252
No momento em que o veículo passa pelo ponto da rodovia mais próximo do radar tem-se x = 0; portanto,
velocidade com que o veículo se afasta do radar nesse momento é dada por
dz
dt
����
x=0
=
v
25
(m= s) (RESPOSTA)
5