1ª prova 2012/1 - Prof Lúcio Fassarella (com resolução).pdf

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Universidade Federal do Espírito Santo
Prova de Cálculo 1 –Data: 17/04/2012
Prof. Lúcio Fassarella
DMA/CEUNES/UFES
Aluno:_________________________Matrícula_______Nota:
:
:
________
1. (2 pontos) Considere a função f de…nida pelo grá…co e obtenha os limites:
i) limx!0+ f (x) = ___
ii) limx!0� f2f (x)g = ___
iii) limx!1=2� ff (x) + 2g = ___
iv) limx!1+ f2xf (x)g = ___
2. (3 pontos) Calcule os limites:
i) lim
x!1�
2
x3 � 1 = ___ ii) limx!9
9� x
3�px = ___ iii) limx!1
sin (3x) + 4
5x
= ___
3. (2 pontos) Determine as assíntotas da função, se existirem:
g (x) =
2x+ 1
x� 1
4. (2 pontos) Analise a continuidade da seguinte função:
h (x) =
8<:
1
2
p
x2 + 1 ; jxj � 1
1
2
p
x2 � 1 ; jxj > 1
5. (2 pontos) Suponha que certo gás mantido a volume constante possui pressão P e temperatura T
satisfazendo a relação
P =
p
T
10
sendo a pressão medida em Pascal (Pa) e a temperatura em Kelvin (K). Dermine a variação máxima
de temperatura em torno de T0 = 400K para a qual a variação da pressão em torno de 2Pa seja inferior
a 0:25Pa.
Boa Prova!
1
RESOLUÇÕES
.Questão 1. Os valores dos limites são obtidos pela simples inspeção do grá…co da função f , combinada
com as propriedades algébricas dos limites:
i) limx!0+ f (x) = 0
ii) limx!0� f2f (x)g = 2 flimx!0� f (x)g = 2� 3 = 6
iii) limx!1=2� ff (x) + 2g =
�
limx!1=2� f (x)
	
+ 2 = 0 + 2 = 2
iv) limx!1+ f2xf (x)g = 2 flimx!1+ xg flimx!1+ f (x)g = 2� 1� 3 = 6
.Questão 2. (i) Para x < 1 temos x3 � 1 < 0 e 2= �x3 � 1� < 0, portanto
i) lim
x!1�
2
x3 � 1 = �1
(ii) Para efetuar este cálculo, usamos a técnica de “multiplicar pelo conjugado”:
ii) lim
x!9
9� x
3�px = limx!9
�
9� x
3�px �
3 +
p
x
3 +
p
x
�
= lim
x!9
�
(9� x) (3 +px)
9� x
�
= lim
x!9
�
3 +
p
x
�
= 3 +
p
9
= 6
(iii) Para efeturar o cálculo desse limite, vamos utilizar o Teorema do Confronto.
Como �1 � sin (3x) � 1 (8x 2 R), segue que 3 � sin (3x) + 4 � 5 (8x 2 R). Portanto, vale a comparação:
3
5x
� sin (3x) + 4
5x
� 5
5x
; 8x > 0
Como
lim
x!1
3
5x
= 0 = lim
x!1
5
5x
Pelo Teorema do Confronto combinado com a comparação acima, concluimos:
lim
x!1
sin (3x) + 4
5x
= 0
2
.Questão 3. Vamos determinar as assíntotas da função
g (x) =
2x+ 1
x� 1
Como x = 1 é raiz do denominador de g, começamos pelo cálculo dos limites laterais em torno do ponto
x = 1:
lim
x!1�
g (x) = lim
x!1�
!3z }| {
2x+ 1
x� 1| {z }
!0�
= �1
lim
x!1+
g (x) = lim
x!1�
!3z }| {
2x+ 1
x� 1| {z }
!0+
= +1
Agora, analisamos os limites no in…nito dessa função (o cálculo é idêntico para x! �1 e x! +1):
lim
x!�1 g (x) = limx!�1
2x+ 1
x� 1 = limx!�1
2 + 1=x
1� 1=x =
2 + 0
1� 0 = 2
Resposta: Esses resultados indicam que g possui uma assíntota vertical em x = 1 e uma assíntota horizontal
y = 2 em +1 e �1.
Um esboço do grá…co de g corrobora essas conclusões:
52.50-2.5-5
25
12.5
0
-12.5
-25
x
y
x
y
3
.Questão 4. A função
h (x) =
8<:
1
2
p
x2 + 1 ; jxj � 1
1
2
p
x2 � 1 ; jxj > 1
é contínua nos intervalos (�1; 1), (�1; 1) e (1;+1) porque coincide com funções contínuas nesses intervalos.
Então, h (x) pode ser descontínua apenas nos pontos x = �1 ou x = 1; para veri…car isso, calculamos os
limites laterais de h nesses pontos:
lim
x!�1�
h (x) = lim
x!�1�
1
2
p
x2 � 1 = 1
2
p
1� 1 = 0
lim
x!�1+
h (x) = lim
x!�1+
1
2
p
x2 + 1 =
1
2
p
1 + 1 =
p
2
2
lim
x!+1�
h (x) = lim
x!�1�
1
2
p
x2 + 1 =
1
2
p
1 + 1 =
p
2
2
lim
x!+1+
h (x) = lim
x!�1+
1
2
p
x2 � 1 = 1
2
p
1� 1 = 0
Os dois primeiros limites signi…cam que h é descontínua em x = �1; os dois últimos limites signi…cam que
h é descontínua em x = 1.
.Questão 5. Consideramos a pressão P em função da temperatura T ,
P =
p
T
10
Temos que determinar a variação máxima de temperatura em torno de T0 = 400K para a qual a variação
da pressão em torno de 2Pa seja inferior a 0:25Pa. Para tanto, vamos determinar os valores da temperatura
que satisfazem as condições impostas, i.e.,
1:75 <
p
T
10
< 2:25
Resolvendo o sistema de inequações, obtemos:
(17:5)
2
< T < (22:5)
2
Portanto, a variação máxima da temperatura em torno de T0 = 400K deve ser o menor valor do módulo da
diferença entre T0 e as temperaturas máxima e mínima obtidas:
� := min
n
(22:5)
2 � 400 ; 400� (17:5)2
o
Efetuando os cálulos, obtemos:
� = 93:75K
4