3ª prova 2012/1 - Prof Lúcio Fassarella (com resolução).pdf

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Universidade Federal do Espírito Santo
Terceira Prova de Cálculo I –Data: 06/11/2012
Prof. Lúcio Fassarella
DMA/CEUNES/UFES
Aluno:_________________________Matrícula_______Nota:
:
:
________
1. (3 pontos) Calcule as integrais inde…nidas
(i)
Z
x
x2 + 10
dx (ii)
Z
1
x2 + 10
dx (iii)
Z
x cos (3x) dx
2. (1; 5 ponto) Calcule a integral de…nida (sugestão: utilize a identidade 2z = e(ln 2)z)Z 9
0
2
p
x
p
x
dx
3. (1; 5 ponto) Calcule a área da região limitada pelas curvas
y = 5 ; x = 2 ; y = 5x3
4. (2 pontos) Calcule a área da região limitada pelas curvas
y2 = x ; 2x� y = 4
5. (2 pontos) Calcule o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo-y da região entre o eixo-x
e o grá…co da função
y = ln (x=k) ; k � x � R
onde R > k > 0.
Formulário
- O volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo-y da região entre o eixo-x e o grá…co da função
f : [a; b]! R (0 � a < b) é dado por
V =
Z b
a
2�xf (x) dx
Boa Prova!
1
CHAVE DE RESPOSTAS
Serão penalizados com redução de pontos (variando de 0:1 a 0:3) as seguintes situações:
- Desorganização;
- Notação/terminologia incorreta ou inadequada;
- Introdução de variáveis ou símbolos sem de…nição explícita;
- Respostas ou expressões intermediárias sem as devidas justi…cativas.
Resoluções diferentes são admissíveis e serão pontuadas de acordo com o que estiver correto.
Questão 1
(i) Integral por substituição. Mudança de variáveis = 0; 3.
Cálculos intermediários e integral na nova variável = 0; 5.
Retorno à variável original = 0; 2.
(ii) Integral por substituição. Mudança de variáveis) = 0; 3.
Cálculos intermediários e integral na nova variável = 0; 5
Retorno à variável original = 0; 2.
(iii) Integral por partes. De…nição das variáveis auxiliares = 0; 5.
Cálculos intermediários e integral remanescente = 0; 5.
Questão 2
Mudança de variáveis = 0; 5
Cálculos intermediários e integral inde…nida na nova variável = 0; 5
Retorno à variável original ou mudança nos limites de integração = 0; 3
Avaliação da primitiva nos limites de integração = 0; 2
Questão 3
Esboço da região e/ou de…nição dos limites de integração = 0; 5
Montagem da integral que de…ne a área da região = 0; 5
Cálculo da integral de…nida = 0; 5
Questão 4
Esboço da região e/ou determinação dos pontos de interseção = 0; 5
Montagem da integral que de…ne a área da regiao:
- Integrando correto = 0; 5
- Limites de integração corretos = 0; 5
Cálculo da integral de…nida = 0; 5
Questão 5
Aplicação correta da fórmula = 0; 5
Integral por partes.
De…nição das variáveis auxiliares = 0; 5
Cálculos intermediários = 0; 5
Cálculo da integral remanescente = 0; 5
2
RESOLUÇÃO
Questão (1)
Item i) A integral pode ser resolvida com a substituição:
u := x2 + 10 du = 2xdxZ
x
x2 + 10
dx =
Z
du=2
u
=
1
2
ln juj+ c
Retornando à variável original:Z
x
x2 + 10
dx =
1
2
ln
��x2 + 10��+ c (Resposta)
Item ii) A integral pode ser resolvida com a substituição:
x =
p
10 tan (u) dx =
p
10 sec2 (u) du
Assim,
x2 + 10 = 10 + 10 tan2 (u) = 10 sec2 (u)
e Z
1
x2 + 10
dx =
Z p
10 sec2 (u)
10 sec2 (u)
du =
1p
10
Z
du =
up
10
+ c
Retornando à variável original:Z
1
x2 + 10
dx =
1p
10
arctan
�
xp
10
�
+ c (Resposta)
Item iii) A ingegral pode ser resolvida por partes:�
u = x
dv = cos (3x) dx
 
�
du = dx
v =
R
cos (3x) dx = 13 sin (3x)
Assim: Z
x cos (3x) dx =
Z
udv = uv �
Z
vdu
=
1
3
x sin (3x)� 1
3
Z
sin (3x) dx
=
1
3
x sin (3x) +
1
9
cos (3x) + c
Portanto, Z
x cos (3x) dx =
1
3
x sin (3x) +
1
9
cos (3x) + c (Resposta)
3
Questão 2) Para calcular a integral de…nida da questão, obtemos primeiro a integral inde…nida:Z
2
p
x
p
x
dx
Calculamos essa integral com a substituição
u = (ln 2)
p
x = (ln 2)x1=2 du = ln 2
2
dx
x1=2
Assim: Z
2
p
x
p
x
dx =
Z
e(ln 2)x
1=2 dx
x1=2
=
Z
eu
2du
ln 2
=
2
ln 2
eu + c
Retornando à variável original
eu = e(ln 2)
p
x = 2
p
x
obtemos Z
2
p
x
p
x
dx =
2
ln 2
2
p
x + c
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:Z 9
0
2
p
x
p
x
dx =
�
2
ln 2
2
p
x
�9
0
=
2
ln 2
2
p
9 � 2
ln 2
2
p
0 =
2
ln 2
� 8� 2
ln 2
� 1 = 14
ln 2
Finalmente: Z 9
0
2
p
x
p
x
dx =
14
ln 2
(Resposta)
4
Questão 3) Para visualizar a região em questão, fazemos um esboço das curvas envolvidas:
21.510.50-0.5-1
37.5
25
12.5
0
x
y
x
y
y = 5 (azul), x = 2 (verde), y = 5x3 (vermelho)
O ponto na extrema esquerda da região em questão é de…nido pela interseção das curvas y = 5 e y = 5x3:�
y = 5
y = 5x3
 (x = 1; y = 5)
Assim, a área da região limitada pelas curvas em questão está acima de y = 5 e abaixo de y = 5x3, portanto
sua área é dada pela integral de…nida
A =
Z 2
1
�
5x3 � 5� dx
Calculando a integralZ 2
1
�
5x3 � 5� dx = �5x4
4
� 5x
�����2
1
=
�
5
4
24 � 5:2
�
�
�
5
4
:14 � 5:1
�
=
55
4
Portanto,
A =
55
4
(Resposta)
5
Questão 4) Para visualizar a região em questão, fazemos um esboço das curvas envolvidas e denotamos
por (x1; y1) e (x2; y2) seus pontos de interseção:
53.752.51.250
2.5
1.25
0
-1.25
-2.5
x
y
x
y
y2 = x (vermelho), 2x� y = 3 (azul)
Para determinar os pontos de inteseção das curvas, temos que resolver o seguinte sistema:�
y2 = x
2x� y = 4
Substituindo x por y2 na segunda equação obtemos uma equação do segundo grau em y, cuja solução é
determinada pela fórmula de Báskara:
2y2 � y � 4 = 0 y = 1�
p
33
4
Substituindo as raízes na segunda equação do sistema, obtemos os pontos de interseção: 
x1 =
17�p33
8
; y1 =
1�p33
4
!
e
 
x2 =
17 +
p
33
8
; y2 =
1 +
p
33
4
!
Retornando à …gura, vemos que a área da região limitada pelas duas curvas pode ser calculada de dois
modos: por uma integral na variável x ou por uma integral na variável y.
Integral na variável x. Para cada segmento de curva que delimita a região de integração, precisamos
exprimir a variável y como função de x:�
y = +
p
x
y = �px ; 0 � x � x1 e
�
y = +
p
x
y = 2x� 4 ; x1 � x � x2
Assim:
A =
Z x1
0
�p
x� ��px�� dx+ Z x2
x1
�p
x� (2x� 4)� dx
= 2
Z x1
0
x1=2dx+
Z x2
x1
�
x1=2 � 2x+ 4
�
dx
= 2
x3=2
3=2
����x1
0
+
�
x3=2
3=2
� 2x
2
2
+ 4x
�����x2
x1
Em síntese:
A = 2
x3=2
3=2
����x1
0
+
�
x3=2
3=2
� 2x
2
2
+ 4x
�����x2
x1
(Resposta)
6
lucio
Text Box
(x1,y1)
lucio
Text Box
(x2,y2)
Resolução alternativa da Questão 4
Integral na variável y. Para cada segmento de curva que delimita a região de integração, precisamos
exprimir a variável x como função de y:�
x = y2
x = y=2 + 2
; y1 � y � y2
Assim:
A =
Z y2
y1
�y
2
+ 2� y2
�
dy =
�
y2
4
+ 2y � y
3
3
�y2
y1
Em síntese:
A =
�
y2
4
+ 2y � y
3
3
�y2
y1
(Resposta)
7
Questão 5
Aplicando a fórmula, temos:
V = 2�
Z R
k
x ln (x=k) dx
Calculamos essa integral por partes:�
u = ln (x=k)
dv = xdx
 
�
du = dx=x
v = x2=2
Assim:
V = 2�
Z R
k
udv
= 2�
 
uvjRk �
Z R
k
vdu
!
= 2�
 
1
2
x2 ln (x=k)
����R
k
�
Z R
k
xdx
2
!
= 2�
 
1
2
x2 ln (x=k)
����R
k
� x
2
4
����R
k
!
= �
�
R2 ln (R=k)� R
2
2
+
k2
2
�
Explicitamente:
V = �
�
R2 ln (R=k)� R
2
2
+
k2
2
�
(Resposta)
8