Dualidade e Análise de Sensibilidade

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DESCRIÇÃO
O problema dual, o método dual-simplex e a relevância da análise de sensibilidade.
PROPÓSITO
Dominar a técnica da dualidade facilitará solução de problemas complexos de programação linear. Por
sua vez, a análise de sensibilidade o ajudará a responder a diversas questões gerenciais, relacionadas a
solução de problemas de programação linear, incerteza ou erros de estimativa quanto aos coeficientes
do modelo.
PREPARAÇÃO
Para o estudo deste conteúdo, são necessários uma calculadora e um software editor de planilhas
eletrônicas com o add in do Solver habilitado. Conhecimento sobre o método simplex e modelos de
programação linear
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a dualidade para solução de problemas de programação linear
MÓDULO 2
Avaliar a sensibilidade da solução obtida para problemas de programação linear em relação à incerteza
ou erros de estimativa quanto aos coeficientes do modelo
INTRODUÇÃO
Você já deve saber como desenvolver modelos matemáticos que representem, de forma simplificada,
um problema complexo para o qual desejamos encontrar a solução ótima, utilizando equações lineares. 
Esses modelos nos auxiliam no processo de tomada de decisão, na medida em que nos permitem
minimizar custos, maximizar resultados e aprimorar as configurações operacionais em diversos
problemas práticos importantes.
 
Problemas de programação linear tratam de alguns problemas representativos que você poderia
enfrentar no ambiente empresarial, tais como: o problema da mistura; a decisão entre fabricar ou
comprar; o problema do planejamento de produção e de estoques; o problema de transporte e de
transbordo; e problemas de alocação. É possível solucioná-los por meio do método gráfico, do método
simplex ou com o auxílio de ferramentas computacionais, que facilitam bastante o nosso trabalho!
 
Entretanto, é importante compreender que encontrar a solução ótima para um problema nem sempre
significa que ele esteja resolvido! No processo de modelagem, assumimos premissas e fazemos
estimativas (às vezes incertas) com relação aos custos ou mesmo quanto à demanda ou à
disponibilidade de recursos em determinada situação ou em um período. A análise de sensibilidade trata
exatamente de avaliar o impacto dessas incertezas na solução ótima, avaliando os erros de estimativa
quanto aos coeficientes do modelo ou quanto a mudanças que possam ocorrer.
 
Lachtermacher (2009) reforça a importância de realizar essa análise pós-otimização, verificando as
possíveis variações dos valores dos coeficientes da função objetivo, dos coeficientes e das constantes
das restrições, sem que a solução ótima seja alterada. Destaca-se que a análise de sensibilidade está
relacionada ao problema dual associado ao primal. A dualidade nos permite – além de análises
econômicas, como variações marginais – resolver o problema, dependendo do número de restrições e
de variáveis, de forma mais eficiente computacionalmente.
MÓDULO 1
 Aplicar a dualidade para solução de problemas de programação linear
APRESENTAÇÃO DO TEMA
O vídeo aborda a importância da análise de sensibilidade e da dualidade.
O PROBLEMA DUAL E O MÉTODO DUAL-
SIMPLEX
O conceito de dualidade está relacionado à possibilidade do tratamento de duas naturezas distintas em
uma mesma entidade. Arenales et al. (2007) destacam que diversos fenômenos físicos e químicos
podem ser representados por modelos com estruturas e comportamentos iguais, porém interpretados de
formas distintas.
Especificamente em programação matemática, podemos afirmar que todo problema de programação
linear tem um dual correspondente, sendo o problema original denominado primal.
Entender o conceito de dualidade é importante para interpretar a solução de problemas de otimização,
bem como para o aprendizado de tópicos mais avançados em programação matemática. Métodos de
decomposição, por exemplo, têm base na teoria primal-dual. Além disso, podemos obter melhorias em
termos de algoritmos ao levar em conta a contraparte dual, tal como no método dual-simplex.
Existe uma série de relações e teoremas entre o primal e o dual, na qual se destacam:
O dual do dual é o primal.
Se um dos dois problemas apresenta uma solução ótima, o outro necessariamente também, sendo que
o valor de ambas as soluções coincide (teorema da dualidade forte).
Uma solução viável do problema dual representa um limite superior para o problema primal (teorema da
dualidade fraca).
Se o primal é um problema inviável, o seu dual é ilimitado.
Se o primal é um problema ilimitado, o seu dual é inviável.
O número de variáveis do dual é igual ao número de restrições do primal.
O número de restrições do dual é igual ao número de variáveis do primal.
O sentido da otimização é sempre inverso entre o primal e o dual, ou seja, se o primal é um problema de
maximização, o dual é de minimização. Por sua vez, se o primal for um problema de minimização, seu
dual é de maximização.
Os termos independentes do primal surgem como coeficientes na função objetivo no dual e vice-versa.
Os termos constantes das restrições do dual são os coeficientes das variáveis da função objetivo do
primal, enquanto os coeficientes das variáveis da função objetivo do dual são os termos constantes das
restrições do primal.
A matriz dos coeficientes do dual é a transposta da matriz dos coeficientes do primal.
Complementaridade das folgas: Seja fi a variável de folga associada à restrição i. Seja yi a variável dual
associada à restrição i. Assim, yifi = 0, para todo i. O yi representa o preço-sombra (valor marginal) de
um recurso. Logo, quando fi ≥ 0, yi = 0. Quando si = 0, yi ≥ 0.
Em suma, existe um conjunto de regras para se obter o dual de um problema de programação linear,
sintetizado na tabela a seguir.
Par assimétrico
Problema primal (dual) Problema dual (primal)
Maximizar Minimizar
Termos independentes Coeficientes da Função Objetivo (FO)
Coeficientes da Função Objetivo (FO) Termos independentes
i-ésima linha de coeficientes tecnológicos i-ésima coluna de coeficientes tecnológicos
j-ésima coluna de coeficientes tecnológicos j-ésima linha de coeficientes tecnológicos
Restrição com relação tipo: Variável tipo:
≤ Não negativa
≥ Não positiva
= Sem restrição de sinal
Variável tipo: Restrição com relação tipo:
Não negativa ≥
Não positiva ≤
Sem restrição de sinal =
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Conversão de problemas em geral
Com base nas regras apresentadas na tabela, conseguimos achar o dual de qualquer problema de
programação linear. Vamos treinar, determinando o dual para o seguinte problema de programação
linear primal:
Max ZP = 6X1 + 4X 2+ 10X3
 X1+ 3X2 + 2X3 ≤ 15
 2X2-X3 ≥ 5
 2X1 + X2 - 5X3 = 10
 X1, X2, X3 ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o primal é um problema de maximização, sabemos que o dual é um problema de minimização.
Sabemos, também, que os termos independentes do primal são os coeficientes da função objetivo do
dual. Desse modo, a função objetivo do dual é :
Min ZD = 15Y1 + 5Y2 + 10Y3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabemos ainda que os coeficientes da função objetivo do primal são os termos independentes do dual.
A matriz dos coeficientes do dual é a transposta da matriz dos coeficientes do primal. Além disso,
variáveis não negativas no primal implicam restrições do tipo ≥ no dual. Assim, conseguimos determinar
as restrições para o dual, que são:
Y1 + Y3 ≥6
3Y1 + 2Y2 + Y3 ≥ 4
2Y1 - Y2 - 5Y3 ≥ 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ainda é preciso determinar os tipos de variáveis. Como a restrição 1 do primal é ≤, temos que y1 ≥0. A
restrição 2 do primal é ≥, logo, y2 é não positiva (y2 ≤ 0). A restrição 3 é uma equação, logo y3 é irrestrita
(y3 € IR). Assim, chegamos à conclusão de que o dual para o problemaapresentado é:
Min ZD = 15Y1 + 5Y2 + 10Y3
s.a Y1 + Y3 ≥ 6
 3Y1 + 2Y2 + Y3 ≥ 4
 2Y1 - Y2 - 5Y3 ≥ 10
 Y1 ≥ 0
 Y2 ≤ 0
 Y3 € IR
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para fixar a aprendizagem, veja agora como determinar o dual do problema a seguir:
Min W = 50Y1 + 20 Y2 + 30Y3 + 80Y4
 s.a (Abreviatura de “sujeito a” ) 400Y1 + 200Y2 + 150Y3 + 500Y4 > 500
 3Y1 + 2Y2 > 6 
 2Y1 + 2Y2 + 4Y3 + 4Y4 > 10 
 2Y1 + 4Y2 + Y3 + 5Y4 > 8 
 Y1, Y2, Y3,Y4 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o primal é um problema de minimização, sabemos que o dual é um problema de maximização. Os
termos independentes do primal são os coeficientes da função objetivo do dual. Desse modo, a função
objetivo do dual é :
Max Z = 500X1 + 6X2 + 10X3 + 8X4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os coeficientes da função objetivo do primal são os termos independentes do dual, e a matriz dos
coeficientes do dual é a transposta da matriz dos coeficientes do primal. Além disso, variáveis não
negativas no primal implicam restrições do tipo ≥ no dual. Logo, as restrições para o dual são:
400X1 + 3X2 + 2X3 + 2X4 ≥ 50
200X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 ≥ 20
150X1 + 4X3 + X4 ≥ 30
500X1 + 4X3 + 5X4 ≥ 80
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, deve-se determinar os tipos de variáveis. Como as restrições do primal são ≥, as variáveis X
são não positivas (X ≤ 0). Assim, chegamos à conclusão de que o dual para o problema apresentado é:
Max Z = 500X1 + 6X2 + 10X3 + 8X4
s.a 400X1 + 3X2 + 2X3 + 2X4 ≥ 50
 200X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 ≥ 20
 150X1 + 4X3 + X4 ≥ 30
 500X1 + 4X3 + 5X4 ≥ 80
 X1, X2, X3 X4 ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA DO PROBLEMA
DUAL
O número de variáveis do problema dual é igual ao número de restrições do problema primal. Vale notar
que as variáveis originais do problema dual estão associadas às variáveis de folga/excesso do problema
primal. De fato, as variáveis originais do problema dual (yi) representam economicamente o valor
marginal do recurso da restrição i em relação ao valor da função objetivo, ou seja, o preço-sombra.
Trata-se do valor pelo qual a função objetivo seria melhorada caso a quantidade do recurso i fosse
aumentada em uma unidade.
Como foi apresentado, há o teorema da complementaridade das folgas, em que yifi = 0 para todo i. Esse
teorema pode ser interpretado em função do preço-sombra, como descrito a seguir:
Quando a variável de folga (fi) para a restrição i é não negativa, há sobra do recurso i. Assim, não faz
sentido ter um valor marginal para o recurso, de modo que o preço-sombra (yi) deve ser zero.
Quando a variável de folga (fi) para a restrição i é nula, todo o recurso i está sendo consumido, não
havendo assim sobra dele. Logo, o preço-sombra deve ser maior que zero.
O conceito de preço-sombra pode parecer um pouco abstrato, então, vamos trabalhar um exemplo para
ajudar na compreensão desse conceito e na interpretação econômica do problema dual.
Caso Fitwear S.A.
A Fitwear S.A. é uma confecção de roupas esportivas, tendo uma linha fitness feminina que produz
roupas de ginástica exclusivas para mulheres, como tops e calças de lycra.
Cada top de ginástica, vendido por $80,00, gasta $20,00 de matéria-prima, como tecido e alinhamentos,
e $32,00 de mão de obra. Trinta minutos de corte e 15 minutos de costura são demandados para a
confecção de uma unidade desse produto.
Cada calça de ginástica, vendida por $120,00, utiliza $35,00 de matéria-prima, como tecido e
alinhamentos, e $40,00 de mão de obra. Quinze minutos de corte e 30 minutos de costura são
demandados para a confecção de uma unidade desse produto.
Por semana, a Fitwear só pode contar com 100 horas de corte e 160 horas de costura. Qual deve ser o
plano de produção (quantos tops e quantas calças de ginástica devem ser produzidas) para maximizar
os lucros da empresa?
Consideramos as seguintes variáveis:
X1
Número de tops de ginástica confeccionados a cada semana.
X2
Número de calças de ginástica confeccionadas a cada semana.
Temos a seguinte formulação matemática:
Max Z = 28X1 + 40X2
s.a
 0,5X1 + 0,25X2 ≤ 100 → restrição de horas de corte
 0,25X1 + 0, 5X2 ≤ 160 → restrição de horas de costura
 X1, X2 ≥ 0 → restrição de não negatividade das variáveis de decisão
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Agora imagine que uma grande indústria têxtil estivesse disposta a comprar todos os recursos
da Fitwear (sua capacidade de corte e de costura). Qual seria o preço de equilíbrio mínimo a
partir do qual a Fitwear poderia abrir mão da fabricação?
RESOLUÇÃO
Sejam y1 e y2 os preços de equilíbrio referentes à capacidade da Fitwear em horas de corte e de
costura, respectivamente. A grande indústria têxtil deseja então minimizar o total a ser pago pela
capacidade de corte e de costura da Fitwear, ou seja, a função objetivo do dual está relacionada ao
ponto de vista do comprador:
 
Imagem: Heloise Godinho
 Função objetivo
O comprador deseja o menor preço, mas este deve ser atraente o suficiente para que a Fitwear
considere a venda. Assim sendo, para comprar toda a capacidade (horas) de corte e de costura
necessária para confeccionar um top de ginástica, o ágio a ser pago deve ser, no mínimo, o que a
Fitwear lucraria com a venda do produto. O mesmo se passa com a calça de ginástica. Logo, as
condições para realizar o negócio seriam:
 
Imagem: Heloise Godinho
 Condições do negócio
Portanto, o problema dual da Fitwear pode ser formulado assim:
Min W = 100Y1 + 160Y2
s.a 0,5Y1 + 0,25Y2 ≥ 28
 0,25Y1 + 0,5Y2 ≥ 40
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução ótima é dada por: y1 = 0, y2 = 80, w = 12.800. Observe que, na conjuntura do problema,
assumindo a indiferença entre produzir ou vender para a indústria têxtil, a capacidade de corte (horas
de corte) excedente não tem preço para a Fitwear. Por sua vez, o ágio a ser cobrado por 1 hora de
costura é de $80,00.
DUALIDADE NA EFICIÊNCIA COMPUTACIONAL
PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR
Como você viu, uma das razões para o estudo dos problemas duais está relacionada ao número de
restrições. Algumas vezes, em termos computacionais, é mais eficiente resolver o problema dual do que
o seu primal, em função de número de restrições e variáveis, uma vez que a solução ótima do dual é
sempre igual à de seu primal. Para facilitar o entendimento desse conceito, considere o problema primal
a seguir:
 Max Z = 10X1 - 4X2 + 7X3,
 s.a 3X1 - X2 + 2X3 < 25
 X1 - 2X2 + 2X3 < 40
 X1 + X2 + X3 < 90
 2X1 - X2 + X3 < 20
 X1, X2, X3 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ATIVIDADE DISCURSIVA
PARA ESSE MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR,
DE QUE FORMA VOCÊ ACREDITA QUE SERIA MAIS
EFICIENTE OBTER UMA SOLUÇÃO ÓTIMA:
APLICANDO O MÉTODO SIMPLEX DIRETAMENTE A
ESSE PROBLEMA PRIMAL OU APLICANDO O
SIMPLEX AO PROBLEMA DUAL?
RESPOSTA
Observe que, no problema primal, temos três variáveis e quatro restrições. Assim, o dual desse problema
teria três restrições e quatro variáveis de decisão. Por isso, acredita-se que seria mais eficiente, em termos
computacionais, aplicar o método simplex ao dual do problema, uma vez que este possui menos restrições,
devendo assim ter menos iterações no desenvolvimento de sua resolução diretamente pelo método simplex.
REGRAS PARA IDENTIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO
ÓTIMA NA TABELA SIMPLEX ÓTIMA DO PRIMAL
Sabemosque a solução ótima do dual é sempre igual à solução ótima do primal. Porém, como ler a
solução ótima do dual a partir da Tabela Simplex ótima do problema primal?
Fogliatto (2004) sistematizou as regras para identificação da solução ótima do dual na linha z da Tabela
Simplex ótima do primal. Essas regras são apresentadas a seguir:
 
Problema primal de maximização
Valor ótimo da var. dual quando a restrição é do tipo ≤

Coeficiente de na linha do tableau ótimo
Valor ótimo da var. dual quando a restrição é do tipo ≥

-(Coeficiente de ) na linha do tableau ótimo
Valor ótimo da var. dual quando a restrição é do tipo =

(Coeficiente de ai na linha do tableau ótimo) - 
 yi i
fi z
 yi i
ei z
 yi i
z M
javascript:void(0)
Problema primal de minimização
Valor ótimo da var. dual quando a restrição é do tipo ≤

Coeficiente de na linha do tableau ótimo
Valor ótimo da var. dual quando a restrição é do tipo ≥

-(Coeficiente de ) na linha do tableau ótimo
Valor ótimo da var. dual quando a restrição é do tipo =

(Coeficiente de na linha do tableau ótimo) + 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR A SEGUIR: 
 
MAX Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
S.A 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤ 8 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
EM RELAÇÃO AO DUAL PARA ESSE PROBLEMA, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) As variáveis de decisão para o dual são não positivas.
B) As variáveis de decisão para o dual não têm restrição de sinal.
C) As variáveis de decisão para o dual são não negativas.
 yi i
fi z
 yi i
ei z
 yi i
fi z M
D) As restrições para o dual são do tipo ≤.
E) As restrições para o dual são do tipo =.
2. CONSIDERE O MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR A SEGUIR: 
 
MAX Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 + 4X4 + X5, 
S.A. X1 + 3X2 + 2X3 + 3X4 + X5 ≤ 6 
 4X1 + 6X2 + 5X3 + 7X4 + X5 ≤ 15 
 X1, X2, X3 , X4, X5 > 0 
 
EM RELAÇÃO AO DUAL PARA ESSE PROBLEMA, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) As variáveis de decisão do dual são não positivas.
B) As variáveis de decisão do dual não têm restrição de sinal.
C) O dual do problema tem cinco restrições.
D) As restrições do dual são do tipo ≤.
E) As restrições do dual são do tipo =.
GABARITO
1. Considere o modelo de programação linear a seguir: 
 
Max z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
s.a 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤ 8 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
Em relação ao dual para esse problema, é correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
O dual para o problema é:
Min W = 48Y1 + 20Y2 + 8Y3
s.a 8Y1 + 4Y2 + 2Y3 ≥ 60
 6Y1 + 2Y2 + 1,5Y3 ≥ 30
 Y1 + 1,5Y2 + 0,5Y3 ≥ 20
 Y1, Y2, Y3 ≥ 0
Logo, verifica-se que as variáveis de decisão para o dual são não negativas.
2. Considere o modelo de programação linear a seguir: 
 
Max Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 + 4X4 + X5, 
s.a. X1 + 3X2 + 2X3 + 3X4 + X5 ≤ 6 
 4X1 + 6X2 + 5X3 + 7X4 + X5 ≤ 15 
 X1, X2, X3 , X4, X5 > 0 
 
Em relação ao dual para esse problema, é correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
O problema primal apresenta cinco variáveis de decisão e duas restrições, de modo que o dual tem
cinco restrições e duas variáveis de decisão.
MÓDULO 2
 Avaliar a sensibilidade da solução obtida para problemas de programação linear em relação à
incerteza ou erros de estimativa quanto aos coeficientes do modelo
O QUE É A ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
A análise de sensibilidade, também chamada de análise pós-otimalidade, consiste em avaliar os
impactos que variações nos parâmetros podem provocar na solução ótima do problema em estudo. A
partir dessa análise, é possível verificar como alterações nos parâmetros iniciais de um problema de
programação linear afetam a sua solução ótima e identificar os valores alternativos dos parâmetros que
levariam a uma nova solução para o problema.
Em outras palavras, a análise de sensibilidade permite avaliar como variações na disponibilidade de
recursos ou variações nos coeficientes da função objetivo (custos, preço etc.) afetam a solução ótima,
sem ser necessária a resolução do problema novamente.
Como alguns problemas envolvem um grande número de variáveis e restrições, exigindo muito tempo
computacional para a sua solução, essa é uma grande vantagem!
É importante ressaltar que, ao construirmos um modelo matemático para um problema de programação
linear, assumimos valores exatos para os coeficientes desse modelo. No entanto, na realidade, eles
podem sofrer alterações constantemente. Os preços que uma empresa cobra por seus produtos podem
mudar, ou um fornecedor pode ter uma redução na sua capacidade de produção e, com isso, diminuir a
disponibilidade de oferta de determinado produto. Um funcionário, por exemplo, pode ficar doente e
faltar, alterando assim a produtividade da fábrica.
 ATENÇÃO
São diversas as situações que podem nos levar a incertezas com relação aos valores dos coeficientes.
Por isso, torna-se fundamental compreender o quão sensível é a solução de um modelo de
programação linear a essas possíveis alterações.
Por meio da análise de sensibilidade, é possível identificar em quantas unidades a disponibilidade de
um dado recurso pode variar ou qual é a maior variação admissível nos coeficientes da função objetivo
sem que seja alterada a base ótima. Assim, esse tipo de avaliação faz com que a análise de
sensibilidade seja um dos tópicos mais importantes em programação linear.
A análise de sensibilidade estuda como um modelo de programação matemática se comporta quando
submetido a mudanças em suas condições iniciais, tais como:
Mudança no vetor de custos (das variáveis básicas e não básicas).
Mudança no vetor de termos independentes.
Mudanças nos coeficientes das variáveis.
Acréscimo de restrições.
Acréscimo de novas variáveis.
É preciso destacar que conseguimos analisar todas essas mudanças por meio do Solver. Após resolver
um problema de programação linear, o Solver fornece uma análise de sensibilidade, informando sobre
diversas situações, como: a faixa de valores que os coeficientes da função objetivo podem assumir sem
alterar a solução ótima; o impacto provocado por alterações na disponibilidade dos diversos recursos
limitados sobre o valor ótimo da função objetivo; o impacto que alterações nos coeficientes das
restrições terão sobre a solução ótima do problema etc.
PROBLEMA GLASS CO.
Como ilustração das mudanças abordadas no tópico anterior, examine cada um dos casos no exemplo
da Glass Co.
Glass Co.
A empresa Glass Co., que possui três fábricas, produz janelas e portas de vidro. As esquadrias e
ferragens em aço são feitas na fábrica 1, as esquadrias de madeira são produzidas na fábrica 2, e a
fábrica 3 produz o vidro e monta os produtos.
 A direção da empresa decidiu modernizar a linha de produtos e propôs o lançamento de duas
novidades:
Produto 1: porta de vidro de 2,5m com esquadria de alumínio.
Produto 2: janela adornada com esquadria de madeira 1,2m x 1,8m.
O produto 1 requer capacidade produtiva das fábricas 1 e 3. O produto 2 precisa das fábricas 2 e 3. A
divisão de marketing concluiu que a empresa poderia vender tanto quanto fosse possível produzir
desses produtos por essas fábricas. Porém, ambos os produtos competem por capacidade produtiva da
fábrica 3, não estando claro qual mix dos dois produtos seria mais lucrativo. É preciso então determinar
quais devem ser as taxas de produção para maximizar o lucro total sujeitas às restrições impostas pela
capacidade produtiva:
Fábrica
Tempo de produção por lote (em horas)
Tempo de
produção 
disponível por
semana (horas)
Produtos
1 2
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
Lucro por lote $3.000,00 $5.000,00 
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Produção empresa Glass Co. extraída de Hillier e Lieberman, 2013, pág. 21
 
No caso da Glass Co., a empresadeve decidir os produtos a serem fabricados. Logo, a definição da
variável de decisão é:
X1
Quantidade de lotes produtos 1 fabricados.
X2
Quantidade de lotes produtos 2 fabricados.
Para cada lote de portas de vidro de 2,5m com esquadria de alumínio (produto 1) vendido, a empresa
lucra $3.000,000, enquanto o lucro de venda de cada lote de janela adornada com esquadria de madeira
1,2m x 1,8m (produto 2) equivale a $5.000,00. Logo, o lucro total é igual a 3000X1 + 5000X2, de modo
que a função objetivo para o problema é 
Max Z = 3X1 + 5X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso do problema da Glass Co., foi considerada ilimitada a demanda por seus produtos e a oferta de
matéria-prima, de modo que não entram como restrições no modelo matemático. Porém, há restrições
relacionadas ao tempo de produção disponível por semana em cada fábrica. Logo, temos as seguintes
restrições:
X1 ≤ 4
2X2 ≤ 12 à X2 ≤6
3X1 + 2X2 ≤ 18
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Há ainda a restrição de não negatividade das variáveis de decisão, uma vez que não se pode produzir
um número negativo de portas ou janelas. Assim, a restrição 4 é dada por: X1, X2≥0. Portanto, o modelo
para o problema é:
Max Z = 3X1 + 5X2
s.a
 X1 ≤ 4
 2X2 ≤ 12
 3X1 + 2X2 ≤ 18
 X1, X2 ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
IMPLANTAÇÃO DO PROBLEMA GLASS CO. NO
SOLVER
Antes de analisar a sensibilidade do problema pelo Solver, é preciso implementar seu modelo
matemático no Excel. Para isso, veremos a implantação de um modelo no software Excel. A implantação
do modelo matemático para o problema da Glass Co. servirá para encontrar a sua solução, com vistas à
posterior análise do Relatório de Sensibilidade, fornecido pelo Solver do Excel.
O passo inicial para a solução do problema é a organização dos dados, como veremos a seguir:
Começamos representando as variáveis de decisão(X1 e X2) na planilha, bem como seus coeficientes
na função objetivo. Em amarelo estão destacadas as células variáveis/ajustáveis, reservadas na planilha
para representar as variáveis de decisão do modelo.
Em seguida, é preciso criar uma fórmula que represente a função objetivo, usando a função
“SOMARPRODUTO” do Excel para os coeficientes da função objetivo e as células destinadas a receber
o valor das variáveis de decisão. Com isso, a célula destacada em amarelo para a função objetivo
recebeu a fórmula 3*X1+5*X2.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
O passo seguinte se dá com a inserção das duas restrições para o problema da Glass Co.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
• Observe a função SOMARPRODUTO entre os vetores que indicam os coeficientes das restrições e as
células destinadas para receber o valor das variáveis de decisão, além da inserção das constantes b de
cada restrição (lado direito da restrição).
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
Após a inserção da restrição 3 (3X1 + 2X2 ≤ 18) está finalizada a implementação do modelo do problema
de programação linear da Glass Co. no Excel.
Terminamos a implementação do modelo. Agora, vamos resolvê-lo.
Para tanto, é necessário indicar para o Solver o que cada célula da planilha representa:
A função objetivo
As variáveis de decisão
As restrições
Então, define-se a célula de destino (aquela que representa a função objetivo na caixa de diálogo
Parâmetros do Solver). Observe que a célula E11 contém a fórmula que representa a função objetivo
para o problema, como havia sido preparado. Neste momento, instrui-se também o Solver para tentar
maximizar seu valor, especificando o botão Max.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Definindo a função objetivo na célula de destino. Captura de tela do Excel.
Em seguida, é preciso indicar as células que representam as variáveis de decisão no modelo. Observe
que as células C10 e D10 na planilha representam as variáveis de decisão para o modelo. O Solver
determinará os valores ótimos para essas células.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Definindo as variáveis de decisão. Captura de tela do Excel.
É o momento, então, de definir as células de restrição na planilha e as restrições que se aplicam a essas
células. As células de restrição são aquelas em que foram implementadas as fórmulas para cada
restrição. Para definir as células de restrição, clique no botão Adicionar na janela Parâmetros do Solver
e, em seguida, preencha a caixa de diálogo Incluir Restrições, apresentada na figura a seguir. Observe
que as células E15, E16 e E17 representam as células de restrição cujos valores devem ser menores ou
iguais aos indicados nas células G15, G16 e G17, respectivamente.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Especificando as células de restrição. Captura de tela do Excel.
Ainda é necessário especificar que as variáveis de decisão devem ser iguais ou maiores do que zero.
Para isso, basta clicar em Tornar Variáveis Irrestritas Não Negativas na caixa de diálogo Parâmetros
do Solver, conforme indicado na figura a seguir. Por fim, para encontrar a solução ótima para o
problema, basta clicar no botão Resolver, também indicado na figura a seguir.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Condições de não negatividade. Captura de tela do Excel.
A próxima figura apresenta a tela de saída do Excel com a solução ótima para o problema da Glass Co.,
sendo X1 igual a dois, X2 igual a três e o valor ótimo de z igual a 36.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Solução ótima para o problema da Glass Co. Captura de tela do Excel.
Após resolver o modelo de programação linear, o Solver exibe a caixa de diálogo Resultados do Solver,
por meio da qual é possível solicitar três tipos de Relatório, a saber:
Relatório de Resposta
Relatório de Sensibilidade
Relatório de Limites
A caixa de resultados do Solver está ilustrada a seguir.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Caixa de diálogo Resultados do Solver. Captura de tela do Excel.
O Relatório de Resposta traz a solução do problema. Esse relatório é praticamente autoexplicativo.
Observa-se na tabela Célula do Objetivo, na coluna Valor Final, a solução ótima para o problema. Na
tabela Células Variáveis, na coluna Valor Final, estão os valores que as variáveis X1 e X2 recebem na
solução ótima do problema. A tabela final do relatório traz as informações sobre as restrições. A coluna
Valor da Célula indica os valores finais assumidos por cada restrição com os valores ótimos das
variáveis de decisão. Por sua vez, a coluna Margem de Atraso indica a diferença entre o valor do lado
direito de cada restrição (o valor b) e os valores finais assumidos por cada restrição com os valores
ótimos das variáveis de decisão. Assim sendo, por meio da figura a seguir, pode-se observar que se
essa solução for implementada, todo o tempo de produção disponível nas fábricas 2 e 3 estão sendo
utilizados, havendo uma “sobra” de capacidade de duas horas na fábrica 1.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Relatório de Resposta para o problema da Glass Co. Captura de tela do Excel.
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DO PROBLEMA
DA GLASS CO. NO SOLVER
O Relatório de Sensibilidade, apresentado a seguir, permite analisar o impacto das alterações nos
coeficientes, na solução ótima para o problema da Glass Co.
 
Imagem: Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Relatório de Resposta para o problema da Glass Co. Captura de tela do Excel.
MUDANÇA NO COEFICIENTE DA FUNÇÃO OBJETIVO DE
UMA VARIÁVEL BÁSICA
Essa análise serve para você compreender o quanto os coeficientes da função objetivo das variáveis
básicas podem variar, de forma que a base permaneça sendo a ótima.
No problema da Glass Co., os coeficientes da funçãoobjetivo representam o lucro da empresa com a
venda de cada tipo de produto. Não é difícil imaginar situações reais que levassem a alterações na
matriz de custos da empresa e que, consequentemente, impactassem o lucro com a venda de seus
diferentes produtos.
 EXEMPLO
O componente de um produto pode ser importado, de modo que variações cambiais levariam a
alterações no seu custo e no lucro obtido com a sua venda.
Na coluna Objetivo Coeficiente da tabela Células Variáveis do Relatório de Sensibilidade, observam-se
os valores originais atribuídos aos coeficientes de cada variável de decisão na função objetivo. As duas
colunas seguintes, Permitido Aumentar e Permitido Reduzir, indicam os aumentos e as reduções
permitidos nos valores dos coeficientes de cada variável de decisão na função objetivo sem que haja
alterações na base da solução ótima do problema. Dessa forma:
X1
O coeficiente de X1 pode reduzir em 3 unidades ou aumentar em 4,5 unidades sem alterar a solução
ótima, assumindo que todos os demais coeficientes se mantenham constantes).
X2
O coeficiente de X2, ou seja, o lucro da venda do produto 2, pode reduzir em 2 unidades, sem que a
solução ótima seja alterada. Porém, perceba que, mesmo que esse coeficiente aumente
indefinidamente, não teremos alterações na solução ótima para o problema da Glass Co. 
MUDANÇAS SIMULTÂNEAS NOS COEFICIENTES DA
FUNÇÃO OBJETIVO
Você acabou de ver que as colunas Permitido Aumentar e Permitido Reduzir indicam os aumentos e as
reduções permitidos nos valores dos coeficientes de cada variável de decisão na função objetivo, sem
que haja alterações na base da solução ótima do problema, assumindo que todos os demais
coeficientes do modelo permaneçam constantes.
Mas e se ocorressem alterações simultâneas em mais de um coeficiente da função objetivo? Será
que a solução atual permaneceria ótima?
 
Para esta análise, utiliza-se a técnica conhecida como “Regra dos 100%”. Ao aplicar essa regra, duas
situações diferentes podem ocorrer (RAGSDALE, 2009):
SITUAÇÃO 1
Todas as variáveis, cujos coeficientes da função objetivo se alteram, têm custos reduzidos diferentes de
zero.
 
Nesse caso, não há alteração na solução ótima atual desde que o coeficiente de cada variável
modificada permaneça dentro dos limites estabelecidos nas colunas “Permitido Aumentar” e “Permitido
Reduzir” do Relatório de Sensibilidade.
SITUAÇÃO 2
Pelo menos uma variável, cujo coeficiente da função objetivo se altere, tem um custo reduzido igual a
zero.
Nesse caso, é preciso analisar a proporção de alteração planejada em cj para a máxima alteração
permissível para a qual a solução atual permanece ótima (rj):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
Cj = coeficiente da função objetivo para a variável xj
Ij = o aumento permissível em cj dado pelo Relatório de Sensibilidade (coluna “Permitido Aumentar”)
Dj = a redução permissível em cj dada pelo Relatório de Sensibilidade (coluna “Permitido Reduzir”)
Se apenas um coeficiente da função objetivo se alterar, a solução atual permanece ótima desde que rj ≤
1 (caso rj seja expresso como porcentagem, deve ser menor ou igual a 100%). De forma semelhante, se
mais de um coeficiente da função objetivo se alterar, a solução atual permanecerá ótima desde que . É
importante ressaltar que, se , a solução atual pode permanecer ótima, mas não há garantias.
MUDANÇA NO COEFICIENTE DA FUNÇÃO OBJETIVO DE
UMA VARIÁVEL NÃO BÁSICA
No problema da Glass Co., as duas variáveis de decisão, cujos coeficientes na função objetivo são
diferentes de zero, são variáveis básicas. Na tabela “Células Variáveis” do Relatório de Sensibilidade,
observa-se que os valores da coluna “Reduzido Custo” são nulos, tanto para X1 quanto para X2.
Os valores “Reduzido Custo” indicam o quanto o coeficiente da função objetivo de uma variável não
básica pode variar sem que a solução ótima para o problema se altere.
 EXEMPLO
Caso houvesse um produto 3, cuja quantidade de itens vendidos fosse representada pela variável x3, e
este tivesse o valor de 10 unidades na coluna “Reduzido Custo”, tal fato implicaria um aumento
permissível de 10 unidades no coeficiente da função objetivo para o produto 3.
 rj= ,  se  Δ cj ≥ 0
Δcj
Ij
rj= ,  se  Δ cj ≤ 0
−Δcj
Dj
Isso significa que a solução atual permaneceria como ótima desde que alterações no lucro marginal do
produto 3 resultassem em um número menor ou igual a 10.
Conforme reforçado por Ragsdale (2009), o aumento no valor da função objetivo será identificado de
maneiras distintas de acordo com o tipo de problema:
Problema de maximização
O custo reduzido de uma variável deve ser não negativo para indicar que um aumento no valor da
variável implica um aumento no valor da função objetivo.

Problema de minimização
O custo reduzido deve ser não positivo para indicar melhorias na função objetivo.
MUDANÇA NO VETOR DE DEMANDAS OU TERMO
INDEPENDENTE
Nessa análise, o que se deseja é compreender como mudanças nos termos independentes das
restrições (vetor de demandas) afetam a solução ótima para o problema de programação linear em
análise. Em outras palavras, por meio dessa análise, é possível determinar o quão melhor (ou pior) a
solução seria se houvesse mais ou menos de determinado recurso. Entretanto, essa análise é distinta
para restrições agrupadas e restrições não agrupadas.
As restrições que tenham folga igual a zero na solução ótima para um problema de programação linear
são chamadas de restrições agrupadas. Esse tipo de restrição impede que aperfeiçoemos mais a função
objetivo. Por exemplo, como observado no Relatório de Resposta para o problema da Glass Co., as
restrições relativas à capacidade das fábricas 2 e 3 limitam a maximização do lucro da empresa, sendo,
assim, restrições agrupadas, enquanto a restrição quanto à capacidade da fábrica 1 é não agrupada.
 ATENÇÃO
Apesar de os preços-sombra indicarem que o valor da função objetivo se modifica caso o valor do termo
independente da restrição seja alterado, eles não indicam os valores que as variáveis de decisão vão
assumir. A determinação dos novos valores ótimos para as variáveis de decisão exige a realização das
devidas alterações no modelo implementado no Excel e que este seja resolvido outra vez.
MUDANÇA NO VETOR DE DEMANDAS OU TERMO
INDEPENDENTE EM RESTRIÇÕES AGRUPADAS
A análise de sensibilidade em relação a mudanças no vetor de demandas em restrições agrupadas é
fornecida na coluna Sombra Preço da tabela Restrições do Relatório de Sensibilidade.
O preço-sombra de uma restrição indica o impacto que o aumento de uma unidade no valor do RHS (b)
da restrição tem sobre o valor da função objetivo, dado que todos os demais coeficientes permaneçam
constantes. Assim:
Preço-sombra positivo
Indica o aumento do valor de z obtido para a solução ótima.

Preço-sombra negativo
Implica uma redução no valor de z obtido para a solução ótima.
No entanto, os valores do preço-sombra se aplicam somente se o aumento ou redução no valor do
termo independente da restrição se mantém dentro dos limites permitidos de aumento e redução de
cada restrição, indicados no Relatório de Sensibilidade.
 EXEMPLO
O Relatório de Sensibilidade do problema da Glass Co. indica que o preço-sombra para a restrição
associada à disponibilidade de horas na fábrica 2 é igual 3. Dessa forma, se o número de horas
disponíveis na fábrica 2 aumentar na faixa de 0 a 3, o valor ótimo da função objetivo muda (aumenta)
em 3 unidades para cada hora adicional. Se o número de horas disponíveis se reduzir para uma quantia
na faixa de 0 a 3, o valor ótimo da função objetivo muda (reduz) em -3 unidades.
MUDANÇA NO VETOR DE DEMANDAS OU TERMO
INDEPENDENTE EM RESTRIÇÕES NÃO AGRUPADAS
A restrição para a fábrica 1 tem preço-sombra igual a zero com um aumento permissível igual a infinito e
uma redução permissível igual a 2. Desse modo, a disponibilidade de horas para a fábrica 1 pode
aumentar para qualquer valor, que afunção objetivo não se altera. Esse resultado já era esperado, uma
vez que, atualmente, a capacidade da fábrica 1 já está sendo subutilizada, ou seja, há disponibilidade de
horas na fábrica 1 (horas não utilizadas). Além disso, o valor do termo independente dessa restrição
pode se reduzir em até duas horas, sem afetar a solução ótima.
MUDANÇA NO COEFICIENTE DE RESTRIÇÃO DE UMA
VARIÁVEL BÁSICA
Neste tópico, você verá como alterações em coeficientes de restrição afetam a solução ótima em um
problema de programação linear. Por exemplo, caso houvesse uma alteração na produtividade da
fábrica 3, sendo agora necessárias oito horas para se produzir um lote do produto 1, ainda seria
lucrativo para a Glass Co. continuar a produzir lotes desses produtos?
No exemplo, a quantidade de lotes de produtos 1 fabricados (variável X1) é uma variável básica. Logo,
mudanças em um coeficiente de suas restrições implicariam alterações em B e em quase toda a Tabela
Simplex, conforme pode ser verificado na figura a seguir. 
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Tabela Simplex.
Assim, a solução ótima permaneceria a mesma apenas se as duas situações a seguir ocorressem:
O lado direito da Tabela Simplex ótima (o vetor B-1.b) permanecesse positivo.
Todos os valores zj-cj fossem maiores que zero.
 DICA
Mudanças no coeficiente de restrição de uma variável básica implicam tantas alterações na Tabela
Simplex final que se torna mais fácil resolver novamente o problema.
RELATÓRIO DE LIMITES
A próxima figura apresenta o Relatório de Limites para o problema da Glass Co.
 
 Relatório de Limites para o problema da Glass Co. Captura de tela do Excel
O Relatório de Limites apresenta o valor ótimo para cada célula variável, além de indicar quais valores a
célula de destino assume se cada célula variável for ajustada para seu limite superior ou inferior. A
coluna “Inferior Limite” apresenta o menor valor que cada variável pode assumir, enquanto os valores de
todas as outras células variáveis permanecerem constantes e todas as restrições forem satisfeitas. Por
sua vez, a coluna “Superior Limite” apresenta o maior valor que cada variável pode assumir, enquanto
os valores de todas as outras células variáveis permanecerem constantes e todas as restrições forem
satisfeitas.
Para você reforçar o aprendizado dos conceitos apresentados referentes à análise de sensibilidade e,
consequentemente, para facilitar a sua compreensão, veja a seguir um exemplo de aplicação para a
análise de sensibilidade em problemas de programação linear.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO PARA ANÁLISE DE
SENSIBILIDADE
Uma confeitaria produz três tipos de doces, compostos por açúcar e chocolate. A empresa tem
disponibilidade de 50kg de açúcar e 100kg de chocolate por semana e deseja maximizar seu lucro
semanal.
A tabela a seguir apresenta as restrições de composição e lucro por produto da confeitaria.
Doce Açúcar Chocolate Lucro
1 1 2 3
2 1 3 7
3 1 1 5
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Restrições de composição e lucro por produto.
Questões:
1
Ache a solução ótima para o problema.
2
Para quais valores de lucro do doce 1 a base atual permanece ótima? Se o lucro do doce 1 fosse $7,00,
a solução ótima sofreria alterações?
3
Para quais valores de lucro do doce 2 a base atual permanece ótima? Se o lucro do doce 2 fosse
$13,00, haveria uma nova solução ótima?
4
Para quais valores de açúcar disponível a base permaneceria a mesma?
5
Se 60kg de açúcar estivessem disponíveis, qual seria o lucro da empresa?
Primeiramente, encontraremos a solução ótima para o problema.
Para atender à questão 1, o primeiro passo é construir o modelo matemático do problema. Para isso,
adotamos as seguintes variáveis de decisão:
X1
Quantidade de lotes do doce 1 produzida por semana.
X2
Quantidade de lotes do doce 2 produzida por semana.
X3
Quantidade de lotes do doce 3 produzida por semana.
A confeitaria tem como objetivo maximizar seu lucro semanal, sendo: $3,00 o lucro unitário obtido pela
venda de um lote do doce 1; $7,00 o lucro unitário obtido pela venda de um lote do doce 2; e $5,00 o
lucro unitário obtido pela venda de um lote do doce 3. Logo, a função objetivo desse problema é:
Max Z = 3X1 + 7X2 + 5X3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A produção de um lote do doce 1 requer 1kg de açúcar e 2kg de chocolate. Um lote do doce 2 demanda
1kg de açúcar e 3kg de chocolate, enquanto a produção de um lote do doce 3 requer 1kg de açúcar e
1kg de chocolate. Como a confeitaria tem disponibilidade de 50kg de açúcar e 100kg de chocolate por
semana, são as seguintes as restrições que limitam a função objetivo do problema, além da condição de
não negatividade das variáveis de decisão (X1, X2, X3 ≥ 0):
DISPONIBILIDADE DE AÇÚCAR
X1 + X2 + X3 ≤ 50 →
DISPONIBILIDADE DE CHOCOLATE
2X1 + 3X2 + X3 ≤ 100
Dessa forma, o modelo matemático para esse problema de programação linear é:
 Max Z = 3X1 + 7X2 + 5X3
s.a.:
 X1 + X2 + X3 ≤ 50
 2X1 + 3X2 + X3 ≤ 100
 X1, X2, X3 ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em seguida, implementa-se o modelo no Solver do Excel, de modo a encontrar a solução ótima. A figura
a seguir apresenta a tela do Excel com a implantação do modelo no Solver após a sua solução.
 
 Implantação do modelo no Solver e sua solução. Captura de tela do Excel.
A próxima figura apresenta o Relatório de Resposta desse problema.
 
 Relatório de Resposta. Captura de tela do Excel.
Nessas figuras é possível observar que a solução ótima para o problema é produzir 25 lotes do doce 2 e
25 lotes do doce 3, de modo a obter um lucro semanal de $300,00 com a venda dos três tipos de
produto.
Para atender às demais solicitações do problema, torna-se necessário obter o Relatório de Sensibilidade
por meio do Solver. Esse relatório é apresentado na figura a seguir.
 
 Relatório de Sensibilidade. Captura de tela do Excel.
Agora, podemos resolver as outras questões:
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 2
É possível responder à questão 2 do problema por meio da análise das colunas Permitido Aumentar e
Permitido Reduzir da tabela Células Variáveis do Relatório de Sensibilidade. O valor de “Permitido
aumentar” mostra que o coeficiente da função objetivo pode aumentar em até 3 unidades, sendo que a
solução ótima permaneceria a mesma. Aumentos superiores a 3 unidades implicam alterações na
solução ótima. Assim, pode-se afirmar que a base permanece a mesma para valores de c1 ≤ 6. Portanto,
se o lucro do doce 1 for de $7,00, haverá uma nova solução ótima.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 3
A questão 3 trata do intervalo de valores de c2 para os quais a base atual permanece ótima. Para
respondê-la, é necessário verificar as colunas Permitido Aumentar e Permitido Reduzir para a variável
X2, na tabela Células Variáveis. Desse modo, pode-se concluir que, para 5 ≤ c2 ≤ 15, a solução ótima se
mantém. Logo, se o lucro do doce 2 fosse $13,00, a solução ótima seria a mesma.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 4
A questão 4 é sobre os valores de disponibilidade de açúcar para os quais a base permaneceria a
mesma. A resposta pode ser obtida por meio da análise das colunas Permitido Aumentar e Permitido
Reduzir da tabela Restrições, do Relatório de Sensibilidade. A conclusão é que a base permanece a
mesma para o intervalo 33,33 ≤ b2 ≤100.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 5
Com a resolução da questão 4 também é possível responder à questão 5, pois, se a disponibilidade de
açúcar for igual a 60kg, o valor ainda estará dentro do intervalo para b2, de modo que não haverá
alteração nas variáveis base. Porém, a solução ótima se altera para 340 (300+4*10).
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
O vídeo aborda a importância da análise de sensibilidade para a solução de problemas reais de
Programação Linear.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR A SEGUIR:MAX Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
S.A 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤8 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
NA SOLUÇÃO ÓTIMA PARA ESSE PROBLEMA, O VALOR DE X1 É 2, X2 É NULO
E X3 É IGUAL A 8, SENDO Z IGUAL A 280. SOBRE OS COEFICIENTES DAS
VARIÁVEIS DE DECISÃO, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) O coeficiente da variável X1 na função objetivo (c1) pode variar entre 56 e 80 sem que a solução
ótima para o problema seja alterada.
B) O coeficiente da variável X1 na função objetivo (c1) pode variar entre 0 e 80 sem que a solução ótima
para o problema seja alterada.
C) O coeficiente da variável X2 na função objetivo (c2) pode variar entre 0 e 80 sem que a solução ótima
para o problema seja alterada.
D) O coeficiente da variável X2 na função objetivo (c2) pode variar entre 25 e 80 sem que a solução
ótima para o problema seja alterada.
E) O coeficiente da variável X3 na função objetivo (c3) pode variar entre 10 e 22,5 sem que a solução
ótima para o problema seja alterada.
2. CONSIDERE O MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR A SEGUIR: 
 
MAX Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
S.A 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤ 8 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
NA SOLUÇÃO ÓTIMA PARA ESSE PROBLEMA, O VALOR DE X1 É 2, X2 É NULO
E X3 É IGUAL A 8, SENDO Z IGUAL A 280. EM RELAÇÃO ÀS RESTRIÇÕES DO
PROBLEMA, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) O termo independente da restrição 1 (b1, ou seja, a constante do lado direito da inequação dessa
restrição) aumenta indefinidamente sem que a solução ótima para o problema seja alterada.
B) Se termo independente da restrição 2 (b2, ou seja, a constante do lado direito da inequação dessa
restrição) aumentar de 20 para 24, o valor de z para a solução ótima do problema passa a 320.
C) Se termo independente da restrição 2 (b2, ou seja, a constante do lado direito da inequação dessa
restrição) aumentar de 20 para 24, o valor de z para a solução ótima do problema passa a 286.
D) Se termo independente da restrição 2 (b2, ou seja, a constante do lado direito da inequação dessa
restrição) aumentar de 20 para 24, o valor de z para a solução ótima do problema não se altera.
E) Se termo independente da restrição 2 (b2, ou seja, a constante do lado direito da inequação dessa
restrição) passar de 20 para 18, o valor de z para a solução ótima do problema passa a 240.
GABARITO
1. Considere o modelo de programação linear a seguir: 
 
Max Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
s.a 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤8 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
Na solução ótima para esse problema, o valor de X1 é 2, X2 é nulo e x3 é igual a 8, sendo z igual a
280. Sobre os coeficientes das variáveis de decisão, é correto afirmar que:
A alternativa "A " está correta.
 
Para solucionar esse problema, é necessário implementá-lo no Excel e resolvê-lo a partir do Solver. A
figura a seguir apresenta a tela do Excel com a implantação do modelo no Solver após a sua solução.
 Solução do problema da atividade 1 após implementação no Excel.
A próxima figura apresenta o Relatório de Sensibilidade do problema.
 Relatório de Sensibilidade para o problema da atividade 1. Captura de tela do Excel.
Esse problema pode ser resolvido por meio da análise das colunas Permitido Aumentar e Permitido
Reduzir da tabela Células Variáveis, do Relatório de Sensibilidade. Pelo valor de Permitido Aumentar,
observa-se que o coeficiente da função objetivo c1 pode aumentar em até 20 unidades, sendo que a
solução ótima permaneceria a mesma. Aumentos superiores a 20 unidades implicam alterações na
solução ótima. Da mesma forma, o valor de Permitido Reduzir indica que o coeficiente c1 da variável X1
pode reduzir em até 4 unidades, sem alterações na solução ótima. Assim, o coeficiente c1 da variável
X1 pode variar entre 56 e 80, sem alterações na solução ótima.
2. Considere o modelo de programação linear a seguir: 
 
Max Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 
s.a 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 
 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20 
 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤ 8 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
Na solução ótima para esse problema, o valor de X1 é 2, X2 é nulo e x3 é igual a 8, sendo z igual a
280. Em relação às restrições do problema, é correto afirmar que:
A alternativa "B " está correta.
 
Para solucionar esse problema, é necessário implementá-lo no Excel e resolvê-lo a partir do Solver. A
figura a seguir apresenta a tela do Excel com a implantação do modelo no Solver após a sua solução.
 Solução do problema da atividade 2 após implementação no Excel.
A próxima figura apresenta o Relatório de Sensibilidade do problema.
 Relatório de Sensibilidade para o problema da atividade 2. Captura de tela do Excel.
Esse problema pode ser resolvido por meio da análise das colunas Permitido Aumentar e Permitido
Reduzir da tabela Restrições, do Relatório de Sensibilidade. O valor de Permitido Aumentar mostra que
o termo independente b2 pode aumentar em até 4 unidades sem que haja alteração na base da solução
ótima. Porém, como o preço-sombra é igual a 10, se o valor de b2 aumentar em 4 unidades, o valor de Z
passa de 280 para 280+4*10=320. O valor de Permitido Reduzir indica que o termo independente b2
pode reduzir em até 4 unidades sem alterações na base da solução ótima. Porém, se o termo
independente b2 passar de 20 para 16, o valor de z para a solução ótima passa a ser 280-4*10=240.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A aprendizagem de técnicas de pesquisa operacional nos habilita a representar situações complexas por
meio de modelos matemáticos, permitindo a análise de diferentes cenários, de forma mais rápida e
barata. Aplicar tais técnicas no processo de tomada de decisão para a solução desses problemas é de
grande auxílio.
Entretanto, encontrar a solução ótima nem sempre é simples, exigindo grande número de cálculos.
Visando a facilitar o trabalho, foram desenvolvidos diferentes softwares computacionais que permitem a
solução de problemas de programação matemática, desde o Solver de pacotes de planilhas eletrônicas,
como o Excel, até programas mais robustos dedicados exclusivamente à otimização, como o CPLEX.
Além disso, encontrar a solução ótima para um problema nem sempre significa que ele esteja resolvido!
É importante conhecer o grau de liberdade na tomada de decisão, ou seja, saber quais as margens de
manobra necessárias para alterar determinados aspectos na construção do modelo sem que a solução
ótima seja modificada (RODRIGUES et al., 2014). A análise pós-otimalidade, conhecida como análise de
sensibilidade, permite esse tipo de avaliação.
No desenvolvimento do modelo, premissas são assumidas e estimativas são feitas em relação a
parâmetros e coeficientes, que, na realidade, podem sofrer alterações ao longo do tempo. Por exemplo,
o custo de um produto pode aumentar, alterando então sua margem de lucro. Um fornecedor pode
enfrentar problemas na produção de um componente, o que influenciará a disponibilidade desse
produto. A análise pós-otimalidade permite avaliar a sensibilidade da solução em relação à incerteza ou
a erros de estimativa quanto aos coeficientes do modelo, ou quanto a mudanças que possam ocorrer.
A análise de sensibilidade está relacionada ao problema dual associado ao primal. A teoria da dualidade
pode ser aplicada em análises econômicas, como variações marginais. Em algumas situações,
dependendo do número de restrições e de variáveis, a dualidade também pode ser aplicada para que o
problema seja resolvido de modo mais eficiente, computacionalmente.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ARENALES, M. et al. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007. 
FOGLIATO, F. Pesquisa operacional. Porto Alegre: Deprot/ UFRGS, 2006.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. Brasil: McGraw Hill, 2013.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. Rio de Janeiro: Campus,
2009.
RAGSDALE, C. T. Modelagem e análise de decisão. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
RODRIGUES, L. H. et al. Pesquisaoperacional – programação linear passo a passo: do
entendimento do problema à interpretação da solução. São Leopoldo: Unisinos, 2014.
EXPLORE+
Sobre os conceitos de análise de sensibilidade e dualidade, leia:
Operations Research: Applications and Algorithms (2004), de Winston, W. L. e Goldberg, J. B.,
capítulos 5 e 6;
Pesquisa operacional na tomada de decisões (2009), de Lachtermacher, G., capítulo 5;
Pesquisa operacional (2007), de Arenales, M. et al., seção 2.10 do capítulo 2.
Sobre a utilização do Solver, leia o capítulo 4 de Modelagem e análise de decisão (2009), de Ragsdale
C. T.
CONTEUDISTA
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 CURRÍCULO LATTES
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