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Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 1 de 96 QUESTÕES DE FUNÇÕES DO ITA DE 1971 A 2021 ENUNCIADOS 1) (ITA 1971) Se f é uma função real de variável real dada por 2f x x , então 2 2f x y é igual a: a) f f x f y 2f x f y para todo x e y. b) 2f x 2f f x f x f y para todo x e y. c) 2 2f x f y f x f y para todo x e y. d) f f x f f y 2f x f y para todo x e y. e) 2f f x 2f y 2f x f y para todo x e y. 2) (ITA 1972) Seja 2f x x px p uma função real de variável real. Os valores de p para os quais f x 0 possua raiz dupla positiva são: a) 0 p 4. b) p 4 c) p 0. d) f x 0 não pode ter raiz dupla positiva. e) nenhuma das respostas anteriores. 3) (ITA 1973) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função ktX t C e , onde X t é um número de bactérias no tempo t 0; C e k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número inicial de bactérias X 0 , duplica em 4 horas, quantas bactérias se pode esperar no fim de 6 horas? a) 3 vezes o número inicial. b) 2,5 vezes o número inicial. c) 2 2 vezes o número inicial. d) 32 2 vezes o número inicial. e) n.d.a. 4) (ITA 1973) A lei de decomposição do radium no tempo t 0, é dada por ktM t C e , onde M t é a quantidade de radium no tempo t, C e k são constantes positivas e e é a base do logaritmo neperiano. Se a metade da quantidade primitiva M 0 , desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos? a) 11 100 da quantidade inicial. b) 61 2 da quantidade inicial. c) 161 2 da quantidade inicial. d) 1 161 2 da quantidade inicial. e) n.d.a. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 2 de 96 5) (ITA 1974) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Sejam as funções f : A B y f x , g : D B x g t , e a função composta f g : E K (e, portanto, z f g t f g t . Então, os conjuntos E e K são tais que: a) E A e K D b) E B e K A c) E D, D E e K B d) E D e K B e) n.d.a. 6) (ITA 1974) O conjunto de todos os valores de x para os quais existe um y real de modo que 2 10 10 2 7 2x x y log log 3 4x é dado por: a) intervalo aberto A, de extremos 2 e 2. b) intervalo aberto A, de extremos 3 e 3. c) intervalo aberto A, de extremos 3 2 e 3 . 2 d) intervalo aberto A, de extremos 3 2 e 1. e) n.d.a. 7) (ITA 1975) Seja x x x x e e f x e e definida em . Se g for a função inversa de f, o valor de 7 g 25e será: a) 4 3 b) 7e 25 c) e 25 log 7 d) 2 7 25e e) NDA 8) (ITA 1976) Considere g : a,b,c a,b,c uma função tal que g a b e g b a. Então, temos: a) a equação g x x tem solução se, e somente se, g é injetora. b) g é injetora, mas não é sobrejetora. c) g é sobrejetora, mas não é injetora. d) se g não é sobrejetora, então g g x x para todo x em a,b,c . e) n.d.r.a. 9) (ITA 1976) Seja A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se f : A B e g : B A são funções tais que f g x x, para todo x em B e g f x x, para todo x em A, então, temos: a) existe ox em B, tal que of y x , para todo y em A. b) existe a função inversa de f. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 3 de 96 c) existe ox e 1x em A, tais que o 1x x e o 1f x f x . d) existe a em B, tal que g f g a g a . e) n.d.r.a. 10) (ITA 1976) Seja A uma função real de variável real x, tal que: 2x xe 2e A x 1 0, para todo número real x. Nestas condições, temos: a) A 0 1, A x A x , para todo número real x e não existe um número real x 0, satisfazendo a relação A x 1. b) A 0 1 e A x 0, para algum número real x. c) A 1 0 e A x A x , para todo número real x. d) não existe um número real x, não nulo, satisfazendo a relação A x 1 e não existe um número real x, satisfazendo A x A x . e) n.d.r.a. 11) (ITA 1976) Considere a seguinte função real de variável real x x x x e e M x . e e Então a) Para todo x 1, ocorre M x 1. b) Para todo número real x ocorrem, simultaneamente, M x M x e 0 M x 1. c) Existem um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que M a M b . d) M x 0, somente quando x 0 e M x 0 apenas quando x 0. e) n.d.r.a. 12) (ITA 1977) Considere a função 2F x x 1 definida em . Se F F representa a função composta de F com F, analise as afirmações abaixo: (1) 2F F x x x 1 , para todo x real. (2) Não existe número real y, tal que F F y y. (3) FoF é uma função injetora. (4) F F x 0, apenas para dois valores reais de x. O número de afirmativas VERDADEIRAS é: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 13) (ITA 1977) Supondo que a b, onde a e b são constantes reais, considere a função H x a b a x definida no intervalo fechado 0,1 . Podemos assegurar que: a) H não é uma função injetora. b) Dado qualquer y, sempre existe um x em 0,1 satisfazendo H x y. c) Para cada y, com a y b, corresponde um único real x, com 0 x 1, tal que H x y. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 4 de 96 d) Não existe uma função real G, definida no intervalo fechado a,b , satisfazendo a relação G H x x para cada x em 0,1 . e) n.d.a. 14) (ITA 1978) Sejam o conjunto dos números reais e f uma função de em . Sejam B e o conjunto 1f B x ; f x B , então: a) 1f f B B b) 1f f B B se f é injetora. c) 1f f B B d) 1f f B B se f é sobrejetora e) n.d.a. 15) (ITA 1978) Seja f x uma função real de variável real. Se para todo x no domínio de f temos f x f x , dizemos que a função é par; se, no entanto, temos f x f x , dizemos que a função é ímpar. Com respeito à função 2 eg x log sen x 1 sen x , podemos afirmar que: a) está definida apenas para x 0. b) é uma função que não é par nem ímpar. c) é uma função par. d) é uma função ímpar. e) n.d.a. 16) (ITA 1978) Qual das funções definidas abaixo é bijetora? Obs. x ; x 0 e a,b é o intervalo fechado de extremos a e b. a) f : tal que 2f x x . b) f : tal que f x x 1. c) f : 1,3 2,4 tal que f x x 1. d) f : 0,2 tal que f x sen x. e) n.d.a. 17) (ITA 1979) Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é ímpar; f x y f x f y ; e f x 0, se x 0. Definindo f x f 1 g x , x se x 0. Sendo n um número natural, podemos afirmar que: a) f é não-decrescente e g é uma função ímpar. b) f é não-decrescente e g é uma função par. c) f é não-decrescente e 0 g n f 1 . d) f não é monótona e 0 g n f 1 . e) não é possível garantir que 0 g n f 1 . Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 5 de 96 18) (ITA 1980) Sejam A e B subconjuntos não vazios de e f A B, g B A duas funções tais que Bfog I , onde BI é a função identidade em B. Então podemos afirmar que: a) f é sobrejetora. b) f é injetora. c) f é bijetora. d) g é injetora e par. e) g é bijetora e ímpar. 19) (ITA 1980) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva2y ax bx c passa pelos pontos 1,1 , 2,m e m,2 , onde m é um número real diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que: a) Ela admite um mínimo para todo m tal que 1 3 m 2 2 . b) Ela admite um mínimo para todo m tal que 0 m 1 . c) Ela admite um máximo para todo m tal que 1 1 m 2 2 . d) Ela admite um máximo para todo m tal que 1 3 m 2 2 . e) Ela admite um máximo para todo m tal que 0 m 1 . 20) (ITA 1982) Seja f : definida por x a , se x b f x .x b b, se x b Se f f x x para todo x real e f 0 2, então a) ab 2 b) ab 1 c) ab 0 d) ab 1 e) ab 2 21) (ITA 1983) Dadas as funções 2 2xf x log x e 2g x 2sen x 3sen x 1 definidas para x 0 e 1 x , 2 o conjunto *A x : g f x 0 f x 0,2 é dado por a) 5 2 6 6 5A 4 , 4 , 4 b) 5 2 6 6 5A 2 , 2 , 2 c) 2 6 6 5A 4 , 4 , 4 d) 2 2 5 2 6 6 5A 4 , 4 , 4 e) 5 2 6 6 5A 2 , 4 , 2 Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 6 de 96 22) (ITA 1983) Sejam três funções f ,u, v : tais que 1 1 f x f x x f x para todo x não nulo e 2 2 u x v x 1 para todo x real. Sabendo-se que 0x é um número real tal que 0 0u x v x 0 e o o 1 1 f 2, u(x ) v(x ) o valor de o o u(x ) f v(x ) é: a) 1 b) 1 c) 2 d) 1 2 e) 2 23) (ITA 1984) Seja 2x 4f x e , onde x e é o conjunto dos números reais. Um subconjunto D de tal que f : D é uma função injetora é: a) D x : x 2 ou x 0 b) D x : x 2 ou x 2 c) D d) D x : 2 x 2 e) D x : x 2 24) (ITA 1985) Considere as seguintes funções: 7 f x x 2 e 2 1 g x x 4 definidas para todo x real. Então, a respeito da solução da inequação g f x g f x , podemos afirmar que: a) Nenhum valor de x real é solução. b) Se x 3 então x é solução. c) Se 7 x 2 então x é solução. d) Se x 4 então x é solução. e) Se 3 x 4 então x é solução. 25) (ITA 1985) Dadas as sentenças: I – Sejam f : X Y e g : Y X duas funções satisfazendo g f x x, para todo x X. Então, f é injetiva, mas g não é necessariamente sobrejetiva. II – Seja f : X Y uma função injetiva. Então, f A f B f A B , onde A e B são dois subconjuntos de X. III – Seja f : X Y uma função injetiva. Então, para cada subconjunto A de X, CCf A f A onde CA x X | x A e C f A x Y | x f A . podemos afirmar que está (estão) correta(s): a) As sentenças I e II. b) As sentenças II e III. c) Apenas a sentença I. d) As sentenças I e III. e) Todas as sentenças. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 7 de 96 26) (ITA 1986) Sejam a, b, c números reais dados com a 0. Suponha que 1x e 2x sejam as raízes da função 2y ax bx c e 1 2x x . Sejam 3 b x 2a e 2 4 2b b 4ac x . 4a Sobre o sinal de y podemos afirmar que: a) y 0, x , 1 3x x x b) y 0, x , 4 2x x x c) y 0, x , 1 4x x x d) y 0, x , 4x x e) y 0, x , 3x x 27) (ITA 1986) Seja f : uma função que satisfaz à seguinte propriedade: f x y f x f y , x, y . Se 2210g x f log x 1 então podemos afirmar que a) O domínio de g é e g 0 f 1 . b) g não está definida para os reais negativos e 210g x 2f log x 1 , para x 0. c) g 0 0 e 210g x 2f log x 1 , x . d) g 0 f 0 e g é injetora. e) g 0 1 e 2 1 2 10g x f log x 1 , x . 28) (ITA 1986) Seja a , 0 a 1 e f a função real de variável real definida por 2 1 2x 2a a f x . cos 2 x 4cos x 3 Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que: a) , 2 A b) A 2, 2 c) 2, 2 A d) x | x e x 2 A e) A 2, 2 29) (ITA 1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função f : . 1. Se existe x tal que f x f x então f não é par. 2. Se existe x tal que f x f x então f é ímpar. 3. Se f é par e ímpar então existe x tal que f x 1. 4. Se f é ímpar então f f (f composta com f) é ímpar. Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números a) 1 e 4 b) 1, 2 e 4 c) 1 e 3 d) 3 e 4 e) 1, 2 e 3 Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 8 de 96 30) (ITA 1987) Considere x g y a função inversa da seguinte função: 2y f x x x 1, para cada número real 1 x . 2 Nestas condições, a função g é assim definida: a) 1 3 g(y) y , 2 4 para cada 3 y . 4 b) 1 1 g(y) y , 2 4 para cada 1 y . 4 c) 3 g(y) y , 4 para cada 3 y . 4 d) 1 g(y) y , 4 para cada 1 y . 4 e) 3 1 g(y) y , 4 2 para cada 1 y . 2 31) (ITA 1987) Considere a função y f x definida por 3 2f x x 2x 5x, para cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) y f x é uma função par. b) y f x é uma função ímpar. c) f x 0 para todo real x. d) f x 0 para todo real x. e) f x tem o mesmo sinal de x, para todo real x 0. 32) (ITA 1988) Seja 22f x log x 1 , x , x 1. A lei que define a inversa de f é: a) y1 2 , y . b) y1 2 , y . c) y1 1 2 , y . d) y1 2 , y , y 0. e) y1 1 2 , y , y 0. 33) (ITA 1988) Considere 21 2 A x log 2x 4x 3 , x . Então temos: a) A x 1, para algum x , x 1. b) A x 1, para algum x . c) A x 1, apenas para x tal que 0 x 1. d) A x 1, para cada x tal que 0 x 1. e) A x 1, para cada x . Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 9 de 96 34) (ITA 1988) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por 2f x ln x x e 1 g x . 1 x Então, o domínio de f g é: a) 0,e b) 0,1 c) e,e 1 d) 1,1 e) 1, Nota: f g é a lei definida por f g x f g x para cada x de seu domínio. 35) (ITA 1988) Seja f : uma função estritamente decrescente, isto é, quaisquer x e y reais com x y tem-se f x f y . Dadas as afirmações: I. f é injetora. II. f pode ser uma função par. III. Se f possui inversa então sua inversa também é estritamente decrescente. Podemos assegurar que: a) apenas as afirmações I e III são verdadeiras. b) apenas as afirmações II e III são falsas. c) apenas a afirmação I é falsa. d) todas as afirmações são verdadeiras. e) apenas a afirmação II é verdadeira. 36) (ITA 1989) Os valores de , 0 e , 2 para os quais a função f : dada por 2 2f x 4x 4x tg assume seu valor mínimo igual a 4, são a) 4 e 3 4 b) 5 e 2 5 c) 3 e 2 3 d) 7 e 2 7 e) 2 5 e 3 5 37) (ITA 1989) Sejam A e B subconjuntos de , não vazios, possuindo B mais de um elemento. Dada uma função f : A B, definimos L: A A B por L a a,f a , para todo a A. Podemos afirmar que a) A função L sempre será injetora. b) A função L sempre será sobrejetora. c) Se f for sobrejetora, então L também o será. d) Se f não for injetora, então L também não o será. e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora. 38) (ITA 1989) Sejam f ,g : duas funções tais que a) g f : é injetora. Verifique se f é injetora e justifique suaresposta. b) g f : é sobrejetora. Verifique se g é sobrejetora e justifique sua resposta. 39) (ITA 1990) Dadas as funções x x 1 e f x , 1 e x 0 e g x x sen x, x , podemos afirmar que: a) ambas são pares. b) f é par e g é ímpar c) f é ímpar e g é par. d) f não é par e nem ímpar e g é par. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 10 de 96 e) ambas são ímpares. 40) (ITA 1990) Seja f : a função definida por 2 x 2, se x 1 f x x , se 1 x 1. 4, se x 1 Lembrando que se A então 1f A x : f x A , considere as afirmações: (I) f não é injetora e 1f 3,5 4 . (II) f não é sobrejetora e 1 1f 3,5 f 2,6 . (III) f é injetora e 1f 0, 4 2, . Então podemos garantir que: a) apenas as afirmações II e III são falsas. b) as afirmações I e III são verdadeiras. c) apenas a afirmação II é verdadeira. d) apenas a afirmação III é verdadeira. e) todas as afirmações são falsas. 41) (ITA 1990) Seja a função f : 2 3 definida por 2x 3 f x 1. x 2 Sobre sua inversa podemos garantir que: a) não está definida pois f não é injetora. b) não está definida pois f não é sobrejetora. c) está definida por 1 y 2 f y , y 3. y 3 d) está definida por 1 y 5 f y 1, y 3. y 3 e) está definida por 1 2y 5 f y 1, y 3. y 3 42) (ITA 1990) Sejam as funções f e g dadas por: 1, se x 1 f : , f x 0, se x 1 2x 3 g : 1 , g x x 1 Sobre a composta f g x f g x podemos garantir que: a) se 3 x , 2 f g x 0 b) se 3 1 x , 2 f g x 1 c) se 4 x 2, 3 f g x 1 d) se 4 1 x , 3 f g x 1 e) n.d.a. 43) (ITA 1991) Considere as afirmações: I- Se f : é uma função par e g : uma função qualquer, então a composição g f é uma função par. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 11 de 96 II- Se f : é uma função par e g : uma função ímpar, então a composição f g é uma função par. III- Se f : é uma função ímpar e inversível então 1f : é uma função ímpar. Então: a) Apenas a afirmação I é falsa; b) Apenas as afirmações I e II são falsas; c) Apenas a afirmação III é verdadeira; d) Todas as afirmações são falsas; e) Todas as afirmações são verdadeiras. 44) (ITA 1991) Sejam a , a 1 e f : definida por x xa a f x . 2 A função inversa de f é dada por: a) 2alog x x 1 , para x 1 . b) 2alog x x 1 , para x . c) 2alog x x 1 , para x . d) 2alog x x 1 , para x 1 . e) n.d.a. 45) (ITA 1991) Seja f : definida por: x 2 e , se x 0 f x x 1, se 0 x 1 ln x, se x 1 Se D é um subconjunto não vazio de tal que f : D é injetora, então: a) D e f D 1, . b) D ,1 e, e f D 1, . c) D 0, e f D 1, . d) D 0,e e f D 1,1 . e) n.d.a. Notação: f D y : y f x , x D e ln x denota o logaritmo neperiano de x . Observação: esta questão pode ser resolvida graficamente. 46) (ITA 1992) Considere as funções *f : , g : e *h : definidas por: 1 x xf x 3 ; 2g x x ; 81 h x x . O conjunto dos valores de x em * tais que f g x h f x , é subconjunto de: a) 0,3 Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 12 de 96 b) 3,7 c) 6,1 d) 2,2 e) n.d.a. 47) (ITA 1992) O domínio da função 2 2 2x 3x 1 f x log 3x 5x 2 é: a) 1 3 3 ,0 0, 1, , 2 2 2 b) 1 5 5 , 1, , 2 2 2 c) 1 1 2 3 3 , , 1, , 2 2 3 2 2 d) ,0 1, e) n.d.a. 48) (ITA 1992) Dadas as funções f : e g : ambas estritamente decrescentes e sobrejetoras, considere h f g . Então podemos afirmar que: a) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. b) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. c) h é estritamente crescente, mas não é necessariamente inversível. d) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente. e) n.d.a. 49) (ITA 1993) Seja f : uma função não nula, ímpar e periódica de período p. Considere as seguintes afirmações: I. f p 0 II. f x f x p , x III. f x f x p , x IV. f x f x , x Podemos concluir que: a) I e II são falsas. b) I e III são falsas. c) II e III são falsas. d) I e IV são falsas. e) II e IV são falsas. 50) (ITA 1993) Um acidente de carro foi presenciado por 1 65 da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é dado por: kt B f t 1 Ce onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1 9 da população soube do acidente 3 horas após então o tempo que passou até que 1 5 da população soubesse da notícia foi de: a) 4 horas. b) 5 horas. c) 6 horas. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 13 de 96 d) 5 horas e 24 min. e) 5 horas e 30 min. 51) (ITA 1994) Dadas as funções reais de variável real f x mx 1 e g x x m, onde m é uma constante real com 0 m 1 , considere as afirmações: I. f g x g f x , para algum x . II. f m g m . III. Existe a tal que f g a f a . IV. Existe b tal que g f b mb. V. 0 g g m 3 . Podemos concluir que: a) todas são verdadeiras. b) apenas quatro são verdadeiras. c) apenas três são verdadeiras. d) apenas duas são verdadeiras. e) apenas uma é verdadeira. 52) (ITA 1995) Seja a função f : definida por a x se x 2 2 f (x) a sen x se x 2 x 2 onde a 0 é uma constante. Considere K y ; f y 0 . Qual o valor de a , sabendo-se que f K 2 ? a) 2 4 b) 2 c) d) 2 2 e) 2 53) (ITA 1996) Seja f : definida por 2 3x 3, x 0 f x x 4x 3, x 0 . Então: a) f é bijetora e 1 2 f f f 21 3 . b) f é bijetora e 1 2 f f f 99 3 . c) f é sobrejetora, mas não é injetora. d) f é injetora, mas não é sobrejetora. e) f é bijetora e 1 2 f f f 3 3 . Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 14 de 96 54) (ITA 1996) Considere as funções reais f e g definidas por 2 1 2x f x , 1 x x 1,1 e x g x , 1 2x 1x . 2 O maior subconjunto de onde pode ser definida a composta f g, tal que f g x 0, é: a) 1 1 1 1, , 2 3 4 b) 1 1 , 1 , 3 4 c) 1 , 1 ,1 2 d) 1, e) 1 1 , 2 3 55) (ITA 1996) Seja *f : uma função injetora tal que f 1 0 e f x y f x f y para todo x 0 e y 0. Se 1x , 2x , 3x , 4x e 5x formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde ix 0 para i 1,2,3,4,5 e sabendo que 5 i 1 i 1 f x 13f 2 2f x e 4 i 1 i 1 i 1 x f 2f 2x , x então o valor de 1x é: a) 2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 56) (ITA 1997) Sejam f ,g : funções tais que g x 1 x e 3f x 2f 2 x x 1 , para todo x . Então, f g x é igual a a) 3 x1 b) 3 1 x c) 3x d) x e) 2 x 57) (ITA 1997) O domínio D da função 2 2 2 x 1 x f x ln 2x 3 x é o conjunto a) D x :0 x 3 2 b) D x : x 1 ou x c) D x :0 x 1 ou x d) D x : x 0 e) D x : 0 x 1 ou x 3 2 58) (ITA 1997) Se e representam, respectivamente, o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, considere as funções f ,g : definidas por 0, se x f (x) 1, se x 1, se x g(x) 0, se x Seja J a imagem da função composta f g : . Podemos afirmar que: Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 15 de 96 a) J b) J c) J 0 d) J 1 e) J 0,1 59) (ITA 1998) Sejam as funções f : e g : A , tais que 2f x x 9 e f g x x 6 , em seus respectivos domínios. Então, o domínio A da função g é: a) 3, b) c) 5, d) , 1 3, e) , 6 60) (ITA 1998) Seja f : a função definida por xf x 3a , onde a é um número real, 0 a 1 . Sobre as afirmações: (I) f x y f x f y , para todo x, y . (II) f é bijetora. (III) f é crescente e f 0, 3,0 . Podemos concluir que: a) Todas as afirmações são falsas. b) Todas as afirmações são verdadeiras. c) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. d) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. e) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 61) (ITA 1998) Seja f : a função definida por f x 2sen 2x cos2x . Então: a) f é ímpar e periódica de período . b) f é par e periódica de período 2 . c) f não é par nem ímpar e é periódica de período . d) f não é par e é periódica de período 4 e) f não é ímpar e não é periódica. 62) (ITA 1999) Considere as funções f e g definidas por 2 f x x x , para x 0 e x g x x 1 , para x 1 . O conjunto de todas as soluções da inequação g f x g x é: a) 1, b) , 2 c) 2, 1 d) 1,1 e) 2, 1 1, 63) (ITA 1999) Sejam f ,g,h : funções tais que a função composta h g f : é a função identidade. Considere as afirmações: I. A função h é sobrejetora. II. Se 0x é tal que 0f x 0 , então f x 0 para todo x com 0x x . III. A equação h x 0 tem solução em . Então: a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 16 de 96 b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. c) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. d) Todas as afirmações são verdadeiras. e) Todas as afirmações são falsas. 64) (ITA 1999) Sejam f ,g : funções definidas por x 3 f x 2 e x 1 g x . 3 Considere as afirmações: I. Os gráficos de f e g não se interceptam. II. As funções f e g são crescentes. III. f 2 g 1 f 1 g 2 Então: a) Apenas a afirmação (I) é falsa. b) Apenas a afirmação (III) é falsa. c) Apenas as afirmações (I) e (II) são falsas. d) Apenas as afirmações (II) e (III) são falsas. e) Todas as afirmações são falsas. 65) (ITA 2000) Considere f : definida por x f x 2sen3x cos . 2 Sobre f podemos afirmar que: a) é uma função par. b) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4 . c) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4 3 . d) é uma função periódica de período fundamental 2 . e) não é par, não é ímpar e não é periódica. 66) (ITA 2000) Sejam f ,g : definidas por 3f x x e 3cos5xg x 10 . Podemos afirmar que a) f é injetora e par e g é ímpar. b) g é sobrejetora e g f é par. c) f é bijetora e g f é ímpar. d) g é par e g f é ímpar. e) f é ímpar e g f é par. 67) (ITA 2001) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função 2 2 2 2 x 2m 3 x m 3 f x x 2m 1 x m 2 está definida e é não negativa para todo x real é: a) 1 7 , 4 4 b) 1 , 4 c) 7 0, 4 d) 1 , 4 e) 1 7 , 4 4 Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 17 de 96 68) (ITA 2001) Considere as funções x5 7 f x 4 , x5 7 g x 4 e h(x) arc tg(x). Se a é tal que h f a h g a 4 , então f a g a vale: a) 0 b) 1 c) 7 4 d) 7 2 e) 7 69) (ITA 2001) Se f : 0,1 é tal que, x 0,1 , 1 f x 2 e 1 x x 1 f x f f 4 2 2 então a desigualdade válida para qualquer n 1,2,3, e 0 x 1 é: a) n 1 1 f x 22 b) n 1 1 f x 22 c) n 1 1 1 f x 22 d) n 1 f x 2 e) n 1 f x 2 70) (ITA 2002) Seja f : P dada por f x y ; sen y x . Se A é tal que f x , x A , então a) A 1,1 . b) A a, , a 1 . c) A a, , a 1 . d) A ,a , a 1 . e) A ,a , a 1 . Nota: Se X é um conjunto, P X denota o conjunto de todos os subconjuntos de X . 71) (ITA 2002) Sendo par a função dada por ax b f x x c , c x c , então f x , para c x c , é constante e igual a a) a b b) a c c) c d) b e) a 72) (ITA 2003) Mostre que toda função f : \ 0 , satisfazendo f xy f x f y em todo seu domínio, é par. 73) (ITA 2003) Considere uma função f : não constante e tal que f x y f x f y , x, y . Das afirmações: I. f x 0 , x . II. n f nx f x , x , *n . III. f é par. é (são) verdadeira(s): a) apenas I e II. b) apenas II e III. c) apenas I e III. d) todas. e) nenhuma. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 18 de 96 74) (ITA 2004) Sejam as funções f e g definidas em por 2f x x x e 2g x x x em que e são números reais. Considere que estas funções são tais que f g valor mínimo ponto de mínimo valor máximo ponto de máximo 1 0 9 4 0 Então a soma dos valores de x para os quais f g x 0 é igual a: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 75) (ITA 2004) Considere a função f : , f x 2cos x 2isen x . Então, x, y , o valor do produto f x f y é igual a a) f x y b) 2f x y c) 4i f x y d) f xy e) 2f x 2i f y 76) (ITA 2005) Seja D / 1 e f : D D uma função dada por x 1 f x x 1 . Considere as afirmações: I f é injetiva e sobrejetiva. II f é injetiva, mas não sobrejetiva. III 1 f x f 0 x , para todo x D , x 0 . IV f x f x 1 , para todo x D . Então, são verdadeiras: a) apenas I e III b) apenas I e IV c) apenas II e III d) apenas I, III e IV e) apenas II, III e IV 77) (ITA 2006) Seja f : 0,1 definida por 2x, 0 x 1 2 f x 2x 1, 1 2 x 1 . Seja g : 1 2,1 2 dada por f x 1 2 , 1 2 x 0 g x 1 f x 1 2 , 0 x 1 2 , com f definida acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. 78) (ITA 2008) Seja 2f x ln x x 1 , x . Determine as funções h,g : tais que f x g x h x , x , sendo h uma função par e g uma função impar. 79) (ITA 2008) Um intervalo real D tal que a função f : D definida por 2f x ln x x 1 é injetora, é dado por a) b) ( ,1] c) 0,1/2 d) 0,1 e) [1/ 2, ) Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 19 de 96 80) (ITA 2009) Seja f : \ 1 definida por 2x 3 f x x 1 . a) Mostre que f é injetora. b) Determine D f x ;x \ 1 e 1f : D \ 1 . 81) (ITA 2009) Seja f : \ 0 uma função satisfazendo às condições: f x y f x f y , para todo x, y e f x 1 , para todo x \ 0 . Das afirmações: I. f pode ser ímpar. II. f 0 1 . III. f é injetiva. IV. f não é sobrejetiva, pois f x 0 para todo x . é (são) falsa(s) apenas a) I e III. b) II e III. c) I e IV. d) IV. e) I. 82) (ITA 2010) Seja f : bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa 1f : também é ímpar: 83) (ITA 2010) Analise se a função f : , x x3 3 f (x) 2 é bijetora e, em caso afirmativo, determine a função inversa 1f . 84) (ITA 2010) Sejam f ,g : tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações: I. f g é ímpar, II. f g é par, III. g f é ímpar, É (são) verdadeiras(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) todas 85) (ITA 2010) Considere conjuntos A,B e C A B . Se A B , A C e B C são domínios das funções reais definidas por ln x , 2x 6x 8 e x 5 x , respectivamente, pode-se afirmar que a) C ,5 b) C 2, c) C [2,5[ . d) C [ ,4] e) C não é intervalo. 86) (ITA 2012) Analise se f : , 2 2 3 x , x 0 f x 3 x , x 0 é bijetora e, em caso afirmativo, encontre 1f : . 87) (ITA 2012) Considere um número real a 1 positivo, fixado, e a equação em x Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 20 de 96 2x xa 2 a 0 , . Das afirmações: I. Se 0 , então existem duas soluções reais distintas; II. Se 1 , então existe apenas uma solução real; III. Se 0 , então não existem soluções reais; IV. Se 0 , então existem duas soluções reais distintas, é (são) sempre verdadeira(s) apenas a) I. b) I e III. c) II e III. d) II e IV. e) I, III e IV. 88) (ITA 2013) Determine o maior domínio D da função f : D , x x 4 f x log 4sen x cos x 1 . 89) (ITA 2013) Considere funções f ,g,f g : . Das afirmações: I. Se f e g são injetoras, f g é injetora; II. Se f e g são sobrejetoras, f g é sobrejetora; III. Se f e g não são injetoras, f g não é injetora; IV. Se f e g não são sobrejetoras, f g não é sobrejetora, é (são) verdadeira(s) a) nenhuma. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas III e IV. e) todas. 90) (ITA 2013) Considere as funções f e g , da variável real x , definidas, respectivamente, por 2x ax bf x e e ax g x ln 3b , em que a e b são números reais. Se f 1 1 f 2 , então pode-se afirmar sobre a função composta g f que a) g f 1 ln 3 b) g f 0 c) g f nunca se anula. d) g f está definida apenas em x : x 0 e) g f admite dois zeros reais distintos. 91) (ITA 2014) Considere as funções f : , xf x e , em que é uma constante real positiva, e g : 0, , g x x . Determine o conjunto solução da inequação g f x f g x . 92) (ITA 2014) Considere as funções f ,g : , f x ax m , g x bx n , em que a , b , m e n são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g , respectivamente, então, das afirmações abaixo: I. Se A B , então a b e m n ; II. Se A , então a 1 ; Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 21 de 96 III. Se a,b,m,n , com a b e m n , então A B , é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) nenhuma. 93) (ITA 2014) Das afirmações: I. Se x, y \ , com y x , então x y \ ; II. Se x e y \ , então xy \ ; III. Sejam a,b,c , com a b c . Se f : a,c a,b é sobrejetora, então f não é injetora, é (são) verdadeira(s) a) apenas I e II. b) apenas I e III. c) apenas II e III. d) apenas III. e) nenhuma. 94) (ITA 2015) Considere as funções 1 2f , f , f : , sendo 1 1 f x x 3 2 , 2 3 f x x 1 2 e f x igual ao maior valor entre 1f x e 2f x , para cada x . Determine: a) Todos os x tais que 1 2f x f x . b) O menor valor assumido pela função f. c) Todas as soluções da equação f x 5 . 95) (ITA 2016) Seja f a função definida por 2x 1f x log x 2x 8 . Determine: a) O domínio fD da função f. b) O conjunto de todos os valores de fx D tais que f x 2. c) O conjunto de todos os valores de fx D tais que f x 1. 96) (ITA 2016) Considere as seguintes afirmações: I. A função 10 x 1 f x log x é estritamente crescente no intervalo 1, . II. A equação x 2 x 12 3 possui uma única solução real. III. A equação x x 1 x admite pelo menos uma solução real positiva. É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) I, II e III. e) apenas III. 97) (ITA 2017) Esboce o gráfico da função f : dada por x 1 f x 2 . 2 98) (ITA 2018) Considere as funções f ,g : dadas por f x ax b e g x cx d, com a,b,c,d , a 0 e c 0. Se 1 1 1 1f g g f , então uma relação entre as constantes a, b, c e d é dada por a) b ad d bc. b) d ba c db. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 22 de 96 c) a db b cd. d) b ac d ba. e) c da b cd. 99) (ITA 2019) Sabendo que x pertence ao intervalo fechado 1,64 , determine o maior valor da função 4 2 2 2 2 8 f x log x 12 log x log . x 100) (ITA 2020) Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais k para os quais a reta y kx intersecta a parábola 2y x ax b é igual a , 2 6, , determine os números a e b. 101) (ITA 2021) Seja S o conjunto solução da inequação 22x x 1 2x x 1 1. Podemos afirmar que: a) S 1,1 b) 1 S 1, 2 c) S 0,1 d) 1 S 1, 0,1 2 e) S é o conjunto vazio. 102) (ITA 2021) Seja S o subconjunto do plano cartesiano constituído pela união dos gráficos das funções xf x 2 , xg x 2 e 2h x log x, com x 0. Para cada k 0 seja n o número de interseções da reta y kx com S. Podemos afirmar que: a) n 1 para todo k 0. b) n 2 para pelo menos três valores distintos de k. c) n 2 para exatamente dois valores distintos de k. d) n 3 para todo k 0. e) O conjunto dos k 0 para os quais n 3 é a união de dois intervalos disjuntos. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 23 de 96 RESPOSTAS 1) d (Função composta) 2) d (Função quadrática) 3) c (Função exponencial) 4) d (Função exponencial) 5) d (Função composta) 6) c (Função logarítmica) 7) a (Função inversa e função exponencial) 8) a (Tipologia das funções) 9) b (Função composta e inversa) 10) a (Função exponencial) 11) e (Função exponencial) 12) e (Função composta e função modular) 13) c (Função afim e tipologia das funções) 14) a (Função composta, inversa e tipologia das funções) 15) d (Paridade) 16) c (Tipologia das funções) 17) c (Monotonicidade e paridade) 18) a (Função composta e tipologia das funções) 19) b (Função quadrática) 20) a (Função composta) 21) a (Função composta, função logarítmica e exponencial) 22) b (Função composta) 23) e (Tipologia das funções) 24) e (Função composta e módulo) 25) b (Tipologia das funções) 26) c (Função quadrática) 27) c (Função composta e função logarítmica) 28) e (Domínio, função exponencial e função trigonométrica) 29) a (Paridade) 30) a (Função inversa) 31) e (Paridade) 32) b (Função inversa) 33) e (Função logarítmica) 34)b (Função composta e função logarítmica) 35) a (Tipologia das funções, paridade e função inversa) 36) c (Função quadrática) 37) a (Tipologia das funções) 38) a) Sim. b) Sim. (Função composta e tipologia das funções) 39) c (Paridade) 40) d (Função inversa e tipologia das funções) 41) e Função inversa e tipologia das funções) 42) c (Função composta) 43) e (Paridade, função composta e função inversa) 44) c (Função inversa) 45) b (Tipologia das funções) 46) c (Função composta) Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 24 de 96 47) a (Função logarítmica) 48) a (Função composta, função inversa e monotonicidade) 49) b (Função periódica) 50) a (Função exponencial) 51) e (Função composta) 52) d (Função composta) 53) b (Função composta, função inversa e tipologia das funções) 54) a (Função composta) 55) b (Função e progressões) 56) c (Função composta) 57) e (Função logarítmica) 58) c (Função composta) 59) a (Função composta e domínio) 60) e (Função exponencial) 61) c (Função trigonométrica, paridade e periodicidade) 62) e (Função composta) 63) d (Função composta e tipologia das funções) 64) e (Função exponencial) 65) b (Função trigonométrica, paridade e periodicidade) 66) e (Função composta e tipologia das funções) 67) d (Domínio) 68) d (Função exponencial e função composta) 69) e (Equação funcional) 70) b (Domínio) 71) e (Paridade) 72) Demonstração (Paridade) 73) a (Equação funcional e paridade) 74) d (Função quadrática) 75) b (Função e números complexos) 76) a (Tipologia das funções) 77) Par (Paridade) 78) Vide solução. (Paridade) 79) c (Tipologia das funções, função logarítmica e função modular) 80) Vide solução. (Tipologia das funções e função inversa) 81) e (Paridade e tipologia das funções) 82) Demonstração. (Função inversa e paridade) 83) Vide solução. (Função inversa) 84) d (Paridade) 85) c (Domínio) 86) Vide solução. (Função inversa) 87) c (Função exponencial e função quadrática) 88) , 4 2 (Domínio, função logarítmica e função trigonométrica) 89) a (Tipologia das funções) 90) e (Função exponencial, função logarítmica e função composta) 91) 4, (Função composta e função exponencial) 92) e (Função afim) 93) e (Tipologia das funções e conjuntos numéricos) Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 25 de 96 94) a) S 4,5;1,5 ; b) 3; c) 7S 4; 3 (Função modular) 95) Vide solução. (Função logarítmica) 96) b (Função exponencial e função logarítmica) 97) Vide solução (Função exponencial e função modular) 98) a (Função composta e inversa) 99) 81 (Função logarítmica) 100) a 4 e b 1 (Função quadrática) 101) d (Inequação exponencial) 102) b (Função exponencial e função logarítmica) Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 26 de 96 RESOLUÇÕES 1) (ITA 1971) Se f é uma função real de variável real dada por 2f x x , então 2 2f x y é igual a: a) f f x f y 2f x f y para todo x e y. b) 2f x 2f f x f x f y para todo x e y. c) 2 2f x f y f x f y para todo x e y. d) f f x f f y 2f x f y para todo x e y. e) 2f f x 2f y 2f x f y para todo x e y. RESOLUÇÃO: d 2 2 2 2 2 4 4 2 2f x y x y x y 2x y 2 2 2 4f f x f x x x 2 2f x y f f x f f y 2f x f y 2) (ITA 1972) Seja 2f x x px p uma função real de variável real. Os valores de p para os quais f x 0 possua raiz dupla positiva são: a) 0 p 4. b) p 4 c) p 0. d) f x 0 não pode ter raiz dupla positiva. e) nenhuma das respostas anteriores. RESOLUÇÃO: d Para que a função quadrática tenha raiz dupla, seu discriminante deve ser nulo. 2p 4 1 p 0 p 0 p 4 Para que a raiz dupla seja positiva, a soma das raízes deve ser positiva. Assim, temos: 1 p 0 p 0 1 Logo, não há valor de p que satisfaça as duas condições, o que implica que f x 0 não pode ter raiz dupla positiva. 3) (ITA 1973) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função ktX t C e , onde X t é um número de bactérias no tempo t 0; C e k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número inicial de bactérias X 0 , duplica em 4 horas, quantas bactérias se pode esperar no fim de 6 horas? Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 27 de 96 a) 3 vezes o número inicial. b) 2,5 vezes o número inicial. c) 2 2 vezes o número inicial. d) 32 2 vezes o número inicial. e) n.d.a. RESOLUÇÃO: c Sabendo que o número inicial de bactérias X 0 , duplica em 4 horas, então X 4 2 X 0 . Como ktX t C e , então k 0X 0 C e C 1 k 4 4k k 4X 4 C e 2 C e 2 e 2 No fim de 6 horas, teremos: 6 1 3 6 k 6 k 4 2X 6 C e C e C 2 C 2 2 2 C Logo, o número de bactérias após 6 horas é 2 2 vezes o número inicial. 4) (ITA 1973) A lei de decomposição do radium no tempo t 0, é dada por ktM t C e , onde M t é a quantidade de radium no tempo t, C e k são constantes positivas e e é a base do logaritmo neperiano. Se a metade da quantidade primitiva M 0 , desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos? a) 11 100 da quantidade inicial. b) 61 2 da quantidade inicial. c) 161 2 da quantidade inicial. d) 1 161 2 da quantidade inicial. e) n.d.a. RESOLUÇÃO: d Sabendo que a metade da quantidade primitiva M 0 , desaparece em 1600 anos, então M 0 M 0 M 1600 M 0 . 2 2 Como ktM t C e , então k 0M 0 C e C 1 k 1600 1600k 1 100k 16 C M 1600 C e e 2 e 2 2 A quantidade de radium, após 100 anos, é 1 k 100 16M 100 C e C 2 . Logo, a quantidade perdida em 100 anos é Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 28 de 96 1 1 16 16M 0 M 100 C C 2 C 1 2 , ou seja, é 1 161 2 da quantidade inicial. 5) (ITA 1974) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Sejam as funções f : A B y f x , g : D B x g t , e a função composta f g : E K (e, portanto, z f g t f g t . Então, os conjuntos E e K são tais que: a) E A e K D b) E B e K A c) E D, D E e K B d) E D e K B e) n.d.a. RESOLUÇÃO: d Para que a função f g : E K esteja bem definida, devemos ter f g t f g t gt D E D Observe que não é possível aplicar f g em um t que não pertença a D, pois g t não estaria definido. f g fg t D Im D ff g t Im B K Observe que f g fIm Im B, mas, para garantir que a imagem de f g esteja contida no seu contradomínio K, é preciso que K contenha B. 6) (ITA 1974) O conjunto de todos os valores de x para os quais existe um y real de modo que 2 10 10 2 7 2x x y log log 3 4x é dado por: a) intervalo aberto A, de extremos 2 e 2. b) intervalo aberto A, de extremos 3 e 3. c) intervalo aberto A, de extremos 3 2 e 3 . 2 d) intervalo aberto A, de extremos 3 2 e 1. e) n.d.a. RESOLUÇÃO: c Para que um logaritmo esteja bem definido é preciso que sua base seja positiva e diferente de 1, e o logaritmando seja positivo. Assim, para o logaritmando mais interno, temos: Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 29 de 96 2 27 2x x 0 3 4x O numerador tem raízes 1 2 2 e o denominador raízes 3 . 2 Dispondo essas raízes sobre a reta real e aplicando o método dos intervalos, temos: 3 3 x 1 2 2 x x 1 2 2 2 2 (*) Como 2 10 2 7 2x x log 3 4x também é um logaritmando, temos: 2 2 2 0 10 2 2 2 2 2 7 2x x 7 2x x 7 2x x log 0 10 1 1 0 3 4x 3 4x 3 4x 4 2x 3x 0 3 4x O numerador tem discriminante negativo, então o numerador é sempre positivo. Assim, temos: 2 2 2 4 2x 3x 3 3 0 3 4x 0 x 2 23 4x (**) Fazendo a interseção dos intervalos (*) e (**), temos: 3 3 3 3 x | x , . 2 2 2 2 7) (ITA 1975) Seja x x x x e e f x e e definida em . Se g for a função inversa de f, o valor de 7 g 25e será: a) 4 3 b) 7e 25 c) e 25 log 7 d) 2 7 25e e) NDA RESOLUÇÃO: a Se g for a função inversa de f, então f x y g y x. 7 7 g x f x 25 25 Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 30 de 96 x x x 2xx 2x 2x 2x x x 2xx x 1 e e e e 1 7ef x 25e 25 7e 7 18e 32 1 25e e e 1e e 2x e e e e 16 16 1 16 16 4 e 2x log x log log log 9 9 2 9 9 3 e 7 4 g log 25 3 e 7 4 4 g log e e 25 3 3 8) (ITA 1976) Considere g : a,b,c a,b,c uma função tal que g a b e g b a. Então, temos: a) a equação g x x tem solução se, e somente se, g é injetora. b) g é injetora, mas não é sobrejetora. c) g é sobrejetora, mas não é injetora. d) se g não é sobrejetora, então g g x x para todo x em a,b,c . e) n.d.r.a. RESOLUÇÃO: a Como a, b e c são elementos de um conjunto, vamos assumir que eles são distintos dois a dois. O valor de g c pode ser a, b ou c. Vamos analisar as características da função em cada um dos casos. 1º) g c a g b g c a, o que implica que g não é injetora c não é imagem de ninguém, o que implica g não é sobrejetora 2º) g c b g a g c b, o que implica que g não é injetora c não é imagem de ninguém, o que implica g não é sobrejetora 3º) g c c Nesse caso a função é bijetora, pois todos os elementos do contradomínio são imagem de algum elemento do domínio (sobrejetora) e cada elemento é imagem de um único elemento do domínio (injetora). Observe agora que, para que a equação g x x tenha solução, devemos ter g c c, o que implica g é injetora. Por outro lado, se g é injetora, então g c c, o que implica que a equação g x x tem solução. Assim, a equação g x x tem solução se, e somente se, g é injetora. Note ainda que g g a g b a e g g b g a b, mas o valor de g g c g c c somente no 3º caso e g não é sobrejetora nos 1º e 2º casos. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 31 de 96 9) (ITA 1976) Seja A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se f : A B e g : B A são funções tais que f g x x, para todo x em B e g f x x, para todo x em A, então, temos: a) existe ox em B, tal que of y x , para todo y em A. b) existe a função inversa de f. c) existe ox e 1x em A, tais que o 1x x e o 1f x f x . d) existe a em B, tal que g f g a g a . e) n.d.r.a. RESOLUÇÃO: b Seja f x y, com x A e y B, então x A g f x x g y x y B f g y y f x y Observe então que f x y g y x, o que implica que g é a função inversa de f e, consequentemente, f e g são bijetoras. Logo, a alternativa b) é a correta. A alternativa a) é falsa, pois se ox é imagem de todos os elementos do domínio então f não é injetora e, consequentemente, não é bijetora. A alternativa c) é falsa, pois a expressão apresentada implica que f não é injetora e, portanto, não é bijetora. A alternativa d) é falsa, pois, para todo a B, f g a a g f g a g a . 10) (ITA 1976) Seja A uma função real de variável real x, tal que: 2x xe 2e A x 1 0, para todo número real x. Nestas condições, temos: a) A 0 1, A x A x , para todo número real x e não existe um número real x 0, satisfazendo a relação A x 1. b) A 0 1 e A x 0, para algum número real x. c) A 1 0 e A x A x , para todo número real x. d) não existe um número real x, não nulo, satisfazendo a relação A x 1 e não existe um número real x, satisfazendo A x A x . e) n.d.r.a. RESOLUÇÃO: a 2x 2x x x 2x x e 1 e 2e A x 1 0 2e A x e 1 A x 2e 2 0 0 e 1 1 1 A 0 1 2 12e 2x 2 2x x x x x e 1 A x 1 e 2e 1 0 e 1 0 e 1 x 0 2e Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 32 de 96 2x 2x x e 1 e 0, x A x 0, x 2e 2 x 2x x 2x2x x 2x x x 1 1 e 1 1 e e 1 eeA x A x , x 2 22e e 2e e Logo, a alternativa correta é a). 11) (ITA 1976) Considere a seguinte função real de variável real x x x x e e M x . e e Então a) Para todo x 1, ocorre M x 1. b) Para todo número real x ocorrem, simultaneamente, M x M x e 0 M x 1. c) Existem um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que M a M b . d) M x 0, somente quando x 0 e M x 0 apenas quando x 0. e) n.d.r.a. RESOLUÇÃO: e a) INCORRETA, pois M x é sempre menor do que 1. x x x 2x 2xx x x 2x 2x 2xx x 1 e e e e 1 e 1 2 2eM x 1 1, x 1e e e 1 e 1 e 1e e b) INCORRETA, pois M x é negativo sempre que x é negativo. x x x x x xx x e e e e M x M x e ee e Se 2x 2x 0 2x 2x e 1 x 0 2x 0 e e 1 e 1 0 M x 0 e 1 Se 2x 2x 0 2x 2x e 1 x 0 2x 0 e e 1 e 1 0 M x 0 e 1 c) INCORRETA, conforme mostrado a seguir. a 0 b 0 M a 0 M b 0 M b 0 M a d) INCORRETA, pois M x 0 se, e somente se, x 0. 2x 2x 2x 0 2x e 1 M x 0 e 1 0 e 1 e 2x 0 x 0 e 1 Logo, a alternativa correta é e). Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 33 de 96 12) (ITA 1977) Considere a função 2F x x 1 definida em . Se F F representa a função composta de F com F, analise as afirmações abaixo: (1) 2F F x x x 1 , para todo x real. (2) Não existe número real y, tal que F F y y. (3) FoF é uma função injetora. (4) F F x 0, apenas para dois valores reais de x. O número de afirmativas VERDADEIRAS é: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 RESOLUÇÃO: e (1) FALSA 2 2 2 4 2 2 2FoF x F F x F x 1 x 1 1 x 2x 1 1 x x 2 (2) FALSA 2 2FoF y y y 2 y , que é satisfeita, por exemplo, para y = 0. (3) FALSA 2 2 2 2FoF x x x 2 x x 2 FoF x Logo, FoF é par e portanto não é injetora. (4) FALSA 2 2FoF x x x 2 0 x 0 ou x 2 13) (ITA 1977) Supondo que a b, onde a e b são constantes reais, considere a função H x a b a x definida no intervalo fechado 0,1 . Podemos assegurar que: a) H não é uma função injetora. b) Dado qualquer y, sempre existe um x em 0,1 satisfazendo H x y. c) Paracada y, com a y b, corresponde um único real x, com 0 x 1, tal que H x y. d) Não existe uma função real G, definida no intervalo fechado a,b , satisfazendo a relação G H x x para cada x em 0,1 . e) n.d.a. RESOLUÇÃO: c Sabendo que a b b a 0, então H x a b a x é uma função do 1º grau crescente de domínio HD 0,1 e imagem HIm H 0 ,H 1 a,b . Assim, H x é uma bijeção de 0,1 em a,b . a) INCORRETA, pois H x é bijetora e, portanto, injetora. b) INCORRETA, pois a imagem de H x é o intervalor fechado a,b . c) CORRETA, pois H x é uma bijeção de 0,1 em a,b . d) INCORRETA, pois se 1G F , então G F x x e 1F existe pois F é bijetora. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 34 de 96 14) (ITA 1978) Sejam o conjunto dos números reais e f uma função de em . Sejam B e o conjunto 1f B x ; f x B , então: a) 1f f B B b) 1f f B B se f é injetora. c) 1f f B B d) 1f f B B se f é sobrejetora e) n.d.a. RESOLUÇÃO: a Seja 1 1o ox f B f x B f f B B, então a alternativa a) está correta. O diagrama seguinte representa uma situação em que f é injetora e 1f f B B. Logo, as alternativas b) e c) são incorretas. Sejam ox B e 1x B tais que o 1f x f x , então o 1f x f x f B . 1 1o 1f f B x ; f x f B x ,x f f B Como 1x B, então 1f f B B. Logo, a alternativa d) é incorreta. Observe essa situação no diagrama seguinte. Observe que, da forma como 1f está definida ela não é necessariamente uma função, como nos exemplos apresentados nos dois diagramas. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 35 de 96 15) (ITA 1978) Seja f x uma função real de variável real. Se para todo x no domínio de f temos f x f x , dizemos que a função é par; se, no entanto, temos f x f x , dizemos que a função é ímpar. Com respeito à função 2 eg x log sen x 1 sen x , podemos afirmar que: a) está definida apenas para x 0. b) é uma função que não é par nem ímpar. c) é uma função par. d) é uma função ímpar. e) n.d.a. RESOLUÇÃO: d Sabemos que 21 sen x 1 para todo x , então a raiz quadrada 21 sen x está sempre bem definida e 2sen x 1 sen x 0, o que implica que o logaritmando é sempre positivo. Logo, o domínio da função g são todos os números reais e a alternativa a) é incorreta. Vamos agora analisar a paridade da função g. 22 e eg x log sen x 1 sen x log sen x 1 sen x 2 2 2 e e 2 sen x 1 sen x log sen x 1 sen x log sen x 1 sen x sen x 1 sen x 2 2 e e 2 2 1 sen x sen x 1 log log sen x 1 sen x sen x 1 sen x 1 2 2 e elog sen x 1 sen x log sen x 1 sen x g x Logo, g é ímpar, as alternativas b) e c) são incorretas e a d) é correta. 16) (ITA 1978) Qual das funções definidas abaixo é bijetora? Obs. x ; x 0 e a,b é o intervalo fechado de extremos a e b. a) f : tal que 2f x x . b) f : tal que f x x 1. c) f : 1,3 2,4 tal que f x x 1. d) f : 0,2 tal que f x sen x. e) n.d.a. RESOLUÇÃO: c a) f não é bijetora 2f x f x x , então f não é injetora e, portanto, não é sobrejetora; b) f não é bijetora Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 36 de 96 ff f 0, 1, Im 1, Logo, f não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora. c) f é bijetora f é uma função do 1º grau, então é estritamente crescente o que implica que f é injetora. ff 1,3 f 1 ,f 3 2,4 Im 2,4 Logo, f é sobrejetora e, portanto, bijetora. d) f não é bijetora f x sen x 1,1 f não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora 17) (ITA 1979) Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é ímpar; f x y f x f y ; e f x 0, se x 0. Definindo f x f 1 g x , x se x 0. Sendo n um número natural, podemos afirmar que: a) f é não-decrescente e g é uma função ímpar. b) f é não-decrescente e g é uma função par. c) f é não-decrescente e 0 g n f 1 . d) f não é monótona e 0 g n f 1 . e) não é possível garantir que 0 g n f 1 . RESOLUÇÃO: c Como f é impar, então f x f x , x . 1 2 1 2 1 2x x x x 0 f x x 0 1 2 1 2 1 2 1 2f x x f x f x f x f x 0 f x f x Logo, f é não-decrescente. Como f x y f x f y , então, sendo n um número natural, tem-se f n n f (1). Isso pode ser verificado pelo P.I.F., notando que: 1º) f 0 0 f é ímpar f 0 f 0 f 0 0 2º) Hip. de Indução: f k k f 1 , k 3º) f k 1 f k f 1 k f 1 f 1 k 1 f 1 Logo, pelo P.I.F., f n n f (1). f n f 1 n f 1 f 1 n 1 g n f 1 n n n 0 g n f 1 18) (ITA 1980) Sejam A e B subconjuntos não vazios de e f A B, g B A duas funções tais que Bfog I , onde BI é a função identidade em B. Então podemos afirmar que: a) f é sobrejetora. b) f é injetora. Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 37 de 96 c) f é bijetora. d) g é injetora e par. e) g é bijetora e ímpar. RESOLUÇÃO: a Como g B A é uma função, então y B x A tal que x g y . Logo, y B , temos By I y fog y f g y f x , ou seja, todo elemento y B é imagem pela função f de algum x A . Isso significa de f A B é sobrejetora. Isso permite concluir que a alternativa (a) está correta. Vamos agora analisar as outras alternativas. A seguir, vamos apresentar um contraexemplo que mostra que as outras alternativas estão erradas. A 0,1,2 e B 0,1 f 0,1 , 1,0 , 2,1 fog 0 f g 0 f 1 0 g 0,1 , 1,0 fog 1 f g 1 f 0 1 Observe que, nesse contraexemplo, as condições do enunciado são satisfeitas, mas f não é injetora e g não é para nem ímpar, além de não ser sobrejetora. Note que, se f for bijetora, g será a função inversa de f , mas, como mostrado acima, isso não é necessário para que sejam satisfeitas as condições do enunciado. 19) (ITA 1980) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva 2y ax bx c passa pelos pontos 1,1 , 2,m e m,2 , onde m é um número real diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que: a) Ela admite um mínimo para todo m tal que 1 3 m 2 2 . b) Ela admite um mínimo para todo m tal que 0 m 1 . c) Ela admite um máximo para todo m tal que 1 1 m 2 2 . d) Ela admite um máximo para todo m tal que 1 3 m 2 2 . e) Ela admite um máximo para todo m tal que 0 m 1 . RESOLUÇÃO: b Seja 2f x y ax bx c , então 2f 1 a 1 b 1 c 1 a b c 1 2f 2 a 2 b 2 c m 4a 2b c m 2 2f m a m b m c 2 m a mb c 2 4a 2b c a b c m 1 3a b m 1 2 2m a mb c 4a 2b c 2 m m 4 a m 2 b 2 m m 2 m 2 a m 2 b m 2 Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 38 de 96 m 2 m 2 a b 1 mm 2 a b 3a b 1 m 1 m 1 a m a m 1 Observando que a 0 0 m 1 , então a função admite ponto de mínimo para todo m tal que 0 m 1 . 20) (ITA 1982) Seja f : definida por x a , se x b f x .x b b, se x b Se f f x x para todo x real e f 0 2, então a) ab 2 b) ab 1 c) ab 0 d) ab 1 e) ab 2 RESOLUÇÃO: a Sejam x b e x a b, x b então 2 x a a x a a 1 x a b 1x bf f x x f x x x x ax b b 1 x a bb x b 2 2a 1 x a b 1 b 1 x a b x Fazendo identidade de polinômios, temos: 2 2 b 1 0 b 1 a 1 a b b 1 b 1 a b 1 0 Assim, temos: x a , se x 1 f x .x 1 1, se x 1 Note que, temos f f 1 f 1 1. 0 a f 0 2 f 0 2 a 2 0 1 x 2 , se x 1 f x x 1 1, se x 1 ab 2 1 2 21) (ITA 1983) Dadas as funções 2 2xf x log x e 2g x 2sen x 3sen x 1 definidas para x 0 e 1 x , 2 o conjunto *A x : g f x 0 f x 0,2 é dado por Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 39 de 96 a) 5 2 6 6 5A 4 , 4 , 4 b) 5 2 6 6 5A 2 , 2 , 2 c) 2 6 6 5A 4 , 4 , 4 d) 2 2 5 2 6 6 5A 4 , 4 , 4 e) 5 2 6 6 5A 2 , 4 , 2 RESOLUÇÃO: a Seja f x y, então 2g f x 0 g f x g y 0 2sen y 3sen y 1 0 k sen y 1 y 2k , k y 2 2 1 5 sen y y k 1 , k y y 2 6 6 6 1 2 1 22 2 2x 2 x 4x 4x 4x f x log x f x f x log x log x 1 2 log x log x 2 2 12 22 2 2 2 4xf x log x 4x x 4 x 4 x x 4 2 6 16 6 6 6 6 6 4xf x log x 4x x 4 x 4 x x 4 6 5 5 5 6 5 5 15 6 6 6 6 6 6 5 4x 5 f x log x 4x x 4 x 4 x x 4 6 52 6 6 5A 4 , 4 , 4 22) (ITA 1983) Sejam três funções f ,u, v : tais que 1 1 f x f x x f x para todo x não nulo e 2 2 u x v x 1 para todo x real. Sabendo-se que 0x é um número real tal que 0 0u x v x 0 e o o 1 1 f 2, u(x ) v(x ) o valor de o o u(x ) f v(x ) é: a) 1 b) 1 c) 2 d) 1 2 e) 2 Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 40 de 96 RESOLUÇÃO: b 2 2 o o o o o o u x v x1 1 f 2 f 2 u x v x u x v x o o o oo o o o u x v x u x 1 f 2 f 2 u xv x u x v x v x Como 1 1 f x f x x f x , vem: o o o oo o o o u x u x1 1 f f 2 v x v xu x u x f v x v x Fazendo o o u(x ) f y, v(x ) temos: 2 1 y 2 y 2y 1 0 y 1 y Logo, o o u(x ) f 1 v(x ) . 23) (ITA 1984) Seja 2x 4f x e , onde x e é o conjunto dos números reais. Um subconjunto D de tal que f : D é uma função injetora é: a) D x : x 2 ou x 0 b) D x : x 2 ou x 2 c) D d) D x : 2 x 2 e) D x : x 2 RESOLUÇÃO: e Inicialmente, vamos identificar o domínio de validade de 2x 4f x e . 2x 4 0 x 2 ou x 2 As funções xy e e y x, com x 0, são injetoras. A composição de funções injetoras é injetora. Assim, para que 2x 4f x e seja injetora, devemos escolher D de forma que 2y x 4 seja injetora. Os intervalos x 2 e x 2 estão em ramos distintos da parábola, basta escolher um dos dois intervalos. Logo, uma opção de conjunto D para que a função seja injetora é D x : x 2 . Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 41 de 96 24) (ITA 1985) Considere as seguintes funções: 7 f x x 2 e 2 1 g x x 4 definidas para todo x real. Então, a respeito da solução da inequação g f x g f x , podemos afirmar que: a) Nenhum valor de x real é solução. b) Se x 3 então x é solução. c) Se 7 x 2 então x é solução. d) Se x 4 então x é solução. e) Se 3 x 4 então x é solução. RESOLUÇÃO: e g f x g f x g f x 0 Seja f x y, então 2 1 1 1 g f x g f x g y 0 y 0 y 4 2 2 7 1 1 1 7 1 y f x x y x 3 x 4 2 2 2 2 2 2 Logo, se 3 x 4, então x é solução. 25) (ITA 1985) Dadas as sentenças: I – Sejam f : X Y e g : Y X duas funções satisfazendo g f x x, para todo x X. Então, f é injetiva, mas g não é necessariamente sobrejetiva. II – Seja f : X Y uma função injetiva. Então, f A f B f A B , onde A e B são dois subconjuntos de X. III – Seja f : X Y uma função injetiva. Então, para cada subconjunto A de X, CCf A f A onde CA x X | x A e C f A x Y | x f A . podemos afirmar que está (estão) correta(s): a) As sentenças I e II. b) As sentenças II e III. c) Apenas a sentença I. d) As sentenças I e III. e) Todas as sentenças. RESOLUÇÃO: b I – INCORRETA 1 2 1 1 2 2 1 2x x g f x x x g f x f x f x f é injetiva Seja 0 0 0 0x X y f x Y tal que g y g f x x g é sobrejetiva II – CORRETA Sendo f é injetiva, então se 0 fy Im , existe um único 0x X tal que 0 0f x y . 1º) 0 0 0y f A f B y f A y f B 1 2 1 0 2 0x A x B tais que f x y f x y Como f é injetiva, então 1 2 1 2f x f x x x . Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 42 de 96 1 2 0 1 2x x A B y f x f x f A B f A f B f A B 2º) 0 0 0 0y f A B x A B tal que y f x 0 0 0 0 0 0 0x A B x A x B y f x f A y f x f B 0y f A f B f A B f A f B Logo, f A B f A f B . III – CORRETA C C0 0 0 0y f A x A tal que y f x CC 0 0 0 0 0x A x A y f x f A y f A CCf A f A Poderíamos também usar o resultado demonstrado em II. Como f é injetiva, então C Cf A f A f A A f CC0 0 0y f A y f A y f A CCf A f A 26) (ITA 1986) Sejam a, b, c números reais dados com a 0. Suponha que 1x e 2x sejam as raízes da função 2y ax bx c e 1 2x x . Sejam 3 b x 2a e 2 4 2b b 4ac x . 4a Sobre o sinal de y podemos afirmar que: a) y 0, x , 1 3x x x b) y 0, x , 4 2x x x c) y 0, x , 1 4x x x d) y 0, x , 4x x e) y 0, x , 3x x RESOLUÇÃO: c Como a 0, 2b 4ac 0 e 1 2x x , então 2 1 b b 4ac x 2a e 2 2 b b 4ac x 2a . Além disso, temos 1 3 2x x x , pois 3x é a média das raízes. 2 2 4 2b b 4ac b b 4ac x 4a 2a 4a Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 43 de 96 Como 2 2b 4ac b 4ac 0 4a 2a , então 3 4 2x x x . Como a parábola possui concavidadevoltada para baixo, então y 0 quando 1 4x x x . A figura a seguir ilustra a situação do problema. 27) (ITA 1986) Seja f : uma função que satisfaz à seguinte propriedade: f x y f x f y , x, y . Se 2210g x f log x 1 então podemos afirmar que a) O domínio de g é e g 0 f 1 . b) g não está definida para os reais negativos e 210g x 2f log x 1 , para x 0. c) g 0 0 e 210g x 2f log x 1 , x . d) g 0 f 0 e g é injetora. e) g 0 1 e 2 1 2 10g x f log x 1 , x . RESOLUÇÃO: c a) INCORRETA Como 2x 1 0, x , e f está definida para todos os reais, então o logaritmando é sempre positivo e o domínio de g é . 2210 10g 0 f log 0 1 f log 1 f 0 b) INCORRETA, pois gD . c) CORRETA f x y f x f y x y 0 f 0 0 f 0 f 0 f 0 2f 0 f 0 0 Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 44 de 96 2210 10g 0 f log 0 1 f log 1 f 0 0 x y f x x f x f x f 2x 2f x 22 2 210 10 10g x f log x 1 f 2log x 1 2f log x 1 d) INCORRETA g não é injetora, pois é uma função par 2 22 210 10g x f log x 1 f log x 1 g x e) INCORRETA g 0 0, conforme mostrado em c). 2 2 21 2 2 2 10 10 10 22 22 10 g x f log x 1 f log x 1 f log x 1 g x f log x 1 g x 4g x 2 Observe que a expressão acima só é verdadeira para as funções constantes g x 0 ou g x 4, que não atendem as condições do enunciado. f x f x f x x f 0 0 f x f x 28) (ITA 1986) Seja a , 0 a 1 e f a função real de variável real definida por 2 1 2x 2a a f x . cos 2 x 4cos x 3 Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que: a) , 2 A b) A 2, 2 c) 2, 2 A d) x | x e x 2 A e) A 2, 2 RESOLUÇÃO: e 2 2 0 a 1x 2 x 2 2a a 0 a a x 2 2 x 2 2 2 cos 2 x 4cos x 3 0 2cos x 1 4cos x 3 0 cos x 2cos x 1 0 cos x 1 x 2k , k x 1 2k, k A 2, 2 1,1 A 2, 2 Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 45 de 96 29) (ITA 1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função f : . 1. Se existe x tal que f x f x então f não é par. 2. Se existe x tal que f x f x então f é ímpar. 3. Se f é par e ímpar então existe x tal que f x 1. 4. Se f é ímpar então f f (f composta com f) é ímpar. Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números a) 1 e 4 b) 1, 2 e 4 c) 1 e 3 d) 3 e 4 e) 1, 2 e 3 RESOLUÇÃO: a 1. CORRETA f é par f x f x , x A negação dessa proposição é: f não é par x tal que f x f x Logo, se existe x tal que f x f x então f não é par. 2. INCORRETA f é ímpar f x f x , x Não basta existir um x ou alguns x que satisfaçam a propriedade. Tem que ser todos os valores de x do domínio da função. 3. INCORRETA f é par f x f x , x f é ímpar f x f x , x f é par e ímpar f x f x f x , x f x 0, x 4. CORRETA f é ímpar f x f x , x f f x f f x f f x f f x f f x Logo, f f é ímpar. 30) (ITA 1987) Considere x g y a função inversa da seguinte função: 2y f x x x 1, para cada número real 1 x . 2 Nestas condições, a função g é assim definida: a) 1 3 g(y) y , 2 4 para cada 3 y . 4 b) 1 1 g(y) y , 2 4 para cada 1 y . 4 c) 3 g(y) y , 4 para cada 3 y . 4 d) 1 g(y) y , 4 para cada 1 y . 4 e) 3 1 g(y) y , 4 2 para cada 1 y . 2 RESOLUÇÃO: a Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 46 de 96 2 2y f x x x 1 x x 1 y 0 1 1 4 1 y 1 3 x x y 2 2 4 1 1 3 3 x g y x y , y 2 2 4 4 Observe que 1 3 , 2 4 é o vértice da parábola. A condição 1 x 2 define que se busca a função inversa do ramo direito da parábola. A função 1 3 f : , , 2 4 é bijetora e, portanto, possui inversa 3 1 g : , , . 4 2 31) (ITA 1987) Considere a função y f x definida por 3 2f x x 2x 5x, para cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) y f x é uma função par. b) y f x é uma função ímpar. c) f x 0 para todo real x. d) f x 0 para todo real x. e) f x tem o mesmo sinal de x, para todo real x 0. RESOLUÇÃO: e a) FALSA Contraexemplo: Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 47 de 96 3 2 3 3 f 1 1 2 1 5 1 1 2 5 8 f 1 1 2 1 5 1 1 2 5 4 f 1 f 1 f não é par b) FALSA f 1 f 1 f não é ímpar c) FALSA, pois f 1 8. d) FALSA, pois f 1 4. e) VERDADEIRA 3 2 2f x x 2x 5x x x 2x 5 O trinômio do 2º grau 2x 2x 5 tem discriminante 2 2 4 1 5 16 0, então é sempre positivo. Logo, f x 0, se x 0 e f x 0, se x 0. 32) (ITA 1988) Seja 22f x log x 1 , x , x 1. A lei que define a inversa de f é: a) y1 2 , y . b) y1 2 , y . c) y1 1 2 , y . d) y1 2 , y , y 0. e) y1 1 2 , y , y 0. RESOLUÇÃO: b Para os valores x 1, temos 2x 1 0 o que implica que está bem definida. Além disso, com esse domínio, f é bijetora e, portanto, possui inversa. A imagem de 2x 1 para x 1 é e, portanto, a imagem de 22f x log x 1 é . Vamos obter a expressão da inversa de f : , 1 . 1 yx 1 f y x 1 2 , y Note que a inversa de f é 1f : , 1 . 33) (ITA 1988) Considere 21 2 A x log 2x 4x 3 , x . Então temos: a) A x 1, para algum x , x 1. b) A x 1, para algum x . c) A x 1, apenas para x tal que 0 x 1. 2 2f x log x 1 2 2 y 2 y 2y f x log x 1 x 1 2 x 1 2 Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira madematica.blogspot.com Página 48 de 96 d) A x 1, para cada x tal que 0 x 1. e) A x 1, para cada x . RESOLUÇÃO: e Vamos inicialmente identificar o domínio de 21 2 A x log 2x 4x 3 . Como 2y 2x 4x 3 tem discriminante 24 4 2 3 8, então 2y 2x 4x 3 0 para todo x . Logo, o domínio de A x é . O valor mínimo de 2y 2x 4x 3 é Logo, A x 0 1, para cada x . 34) (ITA 1988) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por 2f x ln x x e 1 g x . 1 x Então, o domínio de f g é: a) 0,e b) 0,1 c) e,e 1 d) 1,1 e) 1, Nota: f g é a lei definida por f g x f g x para cada x de seu domínio. RESOLUÇÃO: b f g x f g x O domínio de g x é 1 x 0 x 1. Assim, gD ,1 . O domínio de f x é 2x x 0 x x 1 0 x 0 ou x 1. Assim, fD ,0 1, . Para que f g esteja bem definida, devemos ter x tal que
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