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APOSTILA-GEOMETRIA-ANALÍTICA-4

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP 
 
2 
 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 6 
2 DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES ......................................................... 7 
2.1 Matriz retangular ......................................................................................................... 8 
2.2 Matriz quadrada .......................................................................................................... 8 
2.3 Matriz coluna .............................................................................................................. 8 
2.4 Matriz linha ................................................................................................................. 9 
2.5 Matriz diagonal ........................................................................................................... 9 
2.6 Matriz triangular ........................................................................................................ 10 
2.7 Matriz escalar ........................................................................................................... 10 
2.8 Matriz identidade ...................................................................................................... 10 
2.9 Matriz transposta ...................................................................................................... 11 
2.10 Matriz simétrica....................................................................................................... 11 
2.11 Matriz nula ..............................................................................................................12 
3 OPERAÇÕES COM MATRIZES ................................................................................. 12 
3.1 Igualdade .................................................................................................................12 
3.2 Adição........................................................................................................................13 
3.2.1 Propriedade comutativa......................................................................................... 13 
3.2.2 Propriedade associativa ........................................................................................ 13 
3.3 Subtração...................................................................................................................14 
3.4 Multiplicação de uma matriz por um escalar ............................................................. 14 
3.5 Multiplicação entre matrizes ..................................................................................... 15 
3.5.1 Propriedade associativa ........................................................................................ 18 
3.5.2 Propriedade distributiva ......................................................................................... 18 
 
3 
 
 
3.6 Equação matricial ..................................................................................................... 19 
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ..................................................................... 21 
4.1 Sistemas homogêneo e não homogêneo ................................................................. 24 
5 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ....................................... 27 
5.1 Método de eliminação de Gauss .............................................................................. 27 
5.2 Método de eliminação de Gauss-Jordan .................................................................. 30 
6 DESCRIÇÃO DE VETORES NO ESPAÇO ................................................................. 31 
7 OPERAÇÕES BÁSICAS COM VETORES .................................................................. 33 
7.1 Vetores no R² ........................................................................................................... 36 
7.2 Vetores no R³ e ℝn ................................................................................................... 37 
7.3 Vetores iguais ........................................................................................................... 37 
7.4 Vetores unitários ....................................................................................................... 38 
8 OPERAÇÕES DE PRODUTOS ENTRE VETORES.................................................... 40 
8.1 Produto escalar ........................................................................................................ 40 
8.2 Produto vetorial ........................................................................................................ 41 
8.3 Produto misto ........................................................................................................... 42 
8.4 Duplo produto vetorial ............................................................................................... 43 
8.5 Operação com vetores: adição e subtração ............................................................. 45 
9 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ........................................................... 45 
10 BASES DO ℝn .......................................................................................................... 49 
10.1 Bases de um subespaço do ℝn .............................................................................. 51 
11 EQUAÇÃO DE RETA NO PLANO ............................................................................. 51 
11.1 Representação de retas no plano cartesiano ......................................................... 53 
11.2 Relações entre retas ............................................................................................... 55 
11.2.1 Retas paralelas aos eixos cartesianos ................................................................ 55 
 
4 
 
 
11.2.2 Avaliação das posições das retas em função do coeficiente angular .................. 56 
12 ESTUDO DA RETA NO ESPAÇO ............................................................................. 57 
12.1 Equações de retas no espaço ................................................................................ 57 
12.1.1 Equação vetorial .................................................................................................. 58 
12.1.2 Equação paramétrica .......................................................................................... 59 
12.1.3 Equação simétrica ............................................................................................... 59 
12.1.4 Equação reduzida ............................................................................................... 60 
12.2 Determinação das equações a partir de pontos ..................................................... 60 
13 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ......................................................................... 60 
14 INTERSEÇÃO ENTRE RETAS ................................................................................. 61 
15 CLASSIFICAÇÃO DE RETAS ................................................................................... 62 
15.1 Paralelismo e coincidentes ..................................................................................... 62 
15.2 Concorrentes e reversas ........................................................................................ 64 
16 ÂNGULOS E INTERSEÇÕES ................................................................................... 66 
16.1 Posição relativa entre duas retas ........................................................................... 66 
16.2 Interseção entre planos .......................................................................................... 70 
16.3 Ângulo entre planos ................................................................................................74 
17 CIRCUNFERÊNCIAS ................................................................................................ 76 
17.1 Posição relativa de um ponto em relação a uma circunferência ............................. 77 
17.2 Posição relativa de uma reta em relação a uma circunferência ............................. 78 
18 COORDENADAS POLARES ..................................................................................... 79 
18.1 Coordenadas polares de um ponto......................................................................... 80 
18.2 Retas e circunferências .......................................................................................... 82 
17.2.1 Retas ................................................................................................................... 82 
17.2.2 Circunferências ................................................................................................... 83 
 
5 
 
 
19 SUPERFÍCIES CÔNICAS, CILÍNDRICAS E QUÁDRICAS ....................................... 84 
19.1 O que são superfícies? ........................................................................................... 84 
19.2 Superfícies cônicas................................................................................................. 86 
19.3 Superfícies cilíndricas ............................................................................................. 88 
19.4 Superfícies quádricas ............................................................................................. 91 
18.4.1 Superfícies Quádricas Centradas Elipsoides ...................................................... 92 
19.5 Superfícies Quádricas Centradas Hiperboloides .................................................... 94 
19.6 Superfícies Quádricas Não Centradas Paraboloides Elípticas ............................... 96 
19.7 Superfícies Quádricas Não Centradas Paraboloides Hiperbólicas ......................... 98 
20 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 99 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
Prezado aluno! O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material é 
semelhante ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase 
improvável - um aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer 
uma pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é 
que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a 
resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas 
poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão respondidas em tempo 
hábil. 
Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa 
disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à execução das 
avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora que 
lhe convier para isso. 
A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser seguida 
e prazos definidos para as atividades. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
2 DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES 
Para que você desenvolva uma intuição inicial sobre matrizes, considere o seguinte 
exemplo hipotético: você e uma amiga são agentes autônomos e atuam em um escritório 
ofertando produtos financeiros a clientes que queiram investir na formação de poupança. 
Os produtos financeiros são: fundos de renda fixa (RF), fundos multimercado (M) e planos 
de previdência (P). Para o mês de janeiro, você e sua amiga elaboraram um quadro com 
o quantitativo (Quadro 1) que cada um ofertou desses produtos (SANTOS; FERREIRA, 
2009). 
 
Quadro 1. Quantidade de cada produto financeiro ofertado 
 
 
 
Os números apresentados nesse quadro podem ser representados como: 
 
 
 
O arranjo acima corresponde a uma matriz, e cada número desse arranjo é 
denominado de elemento da matriz. Cada linha representa o quanto de cada produto 
financeiro você e sua amiga ofertaram — por exemplo, na segunda linha, é visto que sua 
amiga ofertou 20 fundos de renda fixa, 8 fundos multimercado e 16 planos de previdência. 
Já cada coluna representa o quanto você e sua amiga ofertaram de cada tipo de produto 
financeiro — por exemplo, a primeira coluna mostra que você ofertou 14 fundos de renda 
fixa, e sua amiga ofertou 20 fundos desse mesmo tipo. 
Dessa forma, uma matriz é simplesmente um agrupamento retangular de números 
dispostos regularmente em linhas e colunas. O tamanho de uma matriz é definido pelo 
número de linhas e colunas que ela contém. Assim, uma matriz é dita ser do tipo m × n 
(leia-se m por n) quando ela tem m linhas e n colunas. No exemplo anterior, a matriz que 
representa o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga no mês 
 
8 
 
 
de janeiro é do tipo 2 × 3 (m = 2 e n = 3). Consequentemente, pode-se desenvolver uma 
classificação de diferentes tipos de matrizes baseada no tamanho delas. 
2.1 Matriz retangular 
É aquela na qual o número de linhas e colunas é diferente, isto é, m ≠ n. A matriz 
a seguir é retangular, pois é do tipo 2 × 3: 
 
 
Outro exemplo desse tipo de matriz seria o seguinte, que é uma matriz do tipo 3 × 
2: 
 
 
2.2 Matriz quadrada 
É aquela que contém o mesmo número de linhas e colunas, isto é, m = n. Esse é 
o caso de uma matriz do tipo 2 × 2: 
 
 
2.3 Matriz coluna 
É um caso particular de matriz retangular, composta por uma única coluna. Por 
isso, é do tipo m × 1. O exemplo a seguir mostra uma matriz coluna do tipo 3 × 1. Uma 
matriz linha também pode representar as componentes de um vetor e, por isso, é 
conhecida por vetor linha (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
 
 
 
9 
 
 
2.4 Matriz linha 
É outro caso particular de matriz retangular, pois é composta por uma única linha 
e, por isso, do tipo 1 × n. O exemplo a seguir mostra uma matriz linha do tipo 1 × 2. Uma 
matriz linha também pode representar as componentes de um vetor e, por isso, é 
conhecida por vetor linha (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
 
Outra classificação importante de matrizes envolve os elementos da matriz. 
Considere a matriz A dada por: 
 
 
O elemento que aparece na intersecção da primeira linha, i = 1, com a segunda 
coluna, j = 2, é o número 0. Assim, ele pode ser representado de forma mais geral como 
a12 = 0. Dessa maneira, cada elemento da matriz é representado por uma “coordenada 
de localização” na matriz dada por aij, em que o índice i indica a linha, e o índice j indica 
a coluna em que se pode localizar um determinado elemento da matriz. Neste exemplo, 
os elementos da matriz são identificados como: a11 = 1, a12 = 0, a21 = 6 e a22 = 4. Ou seja: 
 
 
Para a matriz do tipo 2 × 3 dada por: 
 
 
os elementos da matriz são identificados como: a11 = –1, a12 = 4, a13 = 0, a21 = 1, 
a22 = –2 e a23 = 3. 
 
2.5 Matriz diagonal 
Os elementos da diagonal principal de uma matriz são aqueles em que i = j, ou 
seja, a11, a22, a33, etc. Uma matriz quadrada em que os elementos fora da diagonal 
 
10 
 
 
principal são todos nulos, isto é, aij = 0 para i ≠ j, é dita ser diagonal. No exemplo a seguir, 
a matriz B é diagonal, pois os elementos b21 e b12 são nulos (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
 
2.6 Matriz triangular 
Há dois tipos de matriz triangular: a superior, em que os elementos abaixo da 
diagonal principal são nulos, ou seja, 
 
 
 
e a inferior, em que os elementos acima da diagonal principal são nulos, ou seja, 
 
 
2.7 Matriz escalar 
É uma matriz diagonal em que todos os elementos são iguais. 
 
2.8 Matriz identidade 
É um caso particular da matriz escalar, pois todos seus elementos da diagonal 
principal são iguais à unidade, isto é, ajj = 1 para i = j. Uma notação convencional para a 
matriz identidade é rotulá-la por I. A matriz identidade do tipo 3 × 3 é:e a matriz identidade do tipo 2 × 2 é: 
 
 
11 
 
 
2.9 Matriz transposta 
Dada uma matriz A: 
 
do tipo 2 × 3, a matriz transposta de A, denotada por , é obtida pela transposição 
entre a primeira linha e a primeira coluna, e entre a segunda linha e a segunda coluna, 
resultando em uma matriz do tipo 3 × 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.10 Matriz simétrica 
Uma matriz quadrada é simétrica quando = A, o que implica na seguinte relação 
entre os elementos da matriz fora da diagonal principal: aij = aji (SANTOS; FERREIRA, 
2009). Por exemplo, a matriz a seguir é simétrica, uma vez que a12 = a21 = 3. 
 
 
Em contrapartida, uma matriz quadrada é antissimétrica se = –A. Por exemplo, 
 é antissimétrica, pois: 
 
 
 
12 
 
 
2.11 Matriz nula 
É aquela matriz em que todos os elementos são nulos, isto é, aij = 0 para qualquer 
valor de i e j. 
 
 
3 OPERAÇÕES COM MATRIZES 
Depois de conhecidos os diferentes tipos de matrizes, você aprenderá como 
efetuar algumas operações importantes com matrizes, tais como: adição, subtração, 
multiplicação por um escalar e, finalmente, multiplicação entre matrizes (WINTERLE, 
2014). 
3.1 Igualdade 
Duas matrizes são iguais quando elas têm o mesmo tamanho, e seus elementos 
são todos iguais. Se as matrizes quadradas A e B do tipo 2 × 2 são iguais, então aij = bij. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
3.2 Adição 
A operação de adição entre duas matrizes A e B de mesmo tamanho é realizada 
por meio da soma direta dos elementos de cada matriz, que estão localizados em uma 
mesma linha e uma mesma coluna, ou seja, aij + bij (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A operação de adição tem duas propriedades importantes, descritas a seguir. 
3.2.1 Propriedade comutativa 
Dadas duas matrizes A e B, o resultado das somas A + B e B + A é igual, 
 
A + B = B + A 
3.2.2 Propriedade associativa 
Dadas três matrizes A, B e C, o resultado da soma (A + B) com C é igual ao da 
soma de A com B + C. 
 
(A + B) + C = A + (B + C) 
 
14 
 
 
3.3 Subtração 
A operação de subtração entre duas matrizes A e B de mesmo tamanho é 
realizada por meio da subtração direta dos elementos de cada matriz, que estão 
localizados em uma mesma linha e uma mesma coluna, ou seja, a ij – bij. A matriz 
resultante de operações de adição ou subtração terá sempre o mesmo tamanho das 
matrizes que foram usadas nessas operações (WINTERLE, 2014). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 Multiplicação de uma matriz por um escalar 
Um escalar é simplesmente um número puro (que também pode ser visto como 
uma matriz 1 × 1). Então, a multiplicação de uma matriz A por um escalar c qualquer 
implica que cada elemento da matriz será multiplicado pelo escalar, c isto é, caij. Por 
exemplo, se c = 2, então: 
 
 
Observe que, nesse processo de multiplicação, a matriz resultante tem o mesmo 
tamanho da matriz original A. A operação de multiplicação de uma matriz por um escalar 
apresenta algumas propriedades, que são descritas a seguir. 
 
 
15 
 
 
• Dadas duas matrizes A e B e um escalar c, o resultado da multiplicação do 
escalar pela soma das matrizes, c(A + B), é igual à soma das matrizes já multiplicadas 
individualmente pelo escalar, cA + cB. 
 
c(A + B) = cA + cB 
 
• Dada uma matriz A e dois escalares c e d, o resultado da soma dos escalares 
multiplicado pela matriz, (c + d)A, é igual à soma da matriz multiplicada individualmente 
por cada um dos escalares, cA + dA. 
 
(c + d)A = cA + dA 
 
• Dada uma matriz A e dois escalares c e d, o resultado da multiplicação de um 
escalar pela matriz já multiplicada pelo outro escalar, c(dA), é igual ao produto dos 
escalares multiplicado pela matriz, (cd)A. 
 
c(dA) = (cd)A 
3.5 Multiplicação entre matrizes 
A multiplicação entre matrizes exigirá de você um pouco mais de atenção. A única 
condição necessária para que se possa multiplicar duas matrizes, A e B, é que o número 
de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B. Assim, se a matriz A 
é do tipo m × n, e a matriz B é do tipo p × q, então o produto AB entre as matrizes somente 
ocorre se n = p. Além disso, o resultado final dessa multiplicação entre as matrizes A e B 
será uma nova matriz do tipo m × q, ou seja, com o mesmo número de linhas da matriz 
A, mas com o mesmo número de colunas da matriz B. Em particular, para o caso de duas 
matrizes quadradas de mesmo tamanho, a matriz resultante do produto entre elas será 
do mesmo tamanho que elas (WINTERLE, 2014). A existência dessa relação entre o 
número de colunas de uma matriz com o número de linhas da outra decorre da 
 
16 
 
 
necessidade de se envolver um mesmo número de elementos para multiplicação entre 
as matrizes. Considere o seguinte exemplo: uma matriz A do tipo 2 × 3, dada por: 
 
 
e uma matriz B do tipo 3 × 1, dada por: 
 
 
 
Como o número de colunas de A, que é 3, é igual ao número de linhas de B, que 
também é 3, essa multiplicação é possível. Observe também que a multiplicação de uma 
matriz do tipo 2 × 3 (A) por uma matriz do tipo 3 × 1 (B) resulta em uma matriz do tipo 2 
× 1 (AB). Operacionalmente, a multiplicação ocorre da seguinte maneira: multiplica- -se 
a primeira linha da matriz A pela coluna da matriz B, elemento por elemento na ordem 
que estão dispostos — primeiro elemento da primeira linha de A, 1, com o primeiro 
elemento da coluna de B, 2, segundo elemento da primeira linha de A, 1, com o segundo 
elemento da coluna de B, 3, e assim por diante — somando-se os produtos individuais 
desses elementos, 1 ∙ 2 + 1 ∙ 3 + 2 ∙ 1 = 7, cujo resultado será o primeiro elemento da 
matriz coluna resultante do produto entre A e B (SANTOS; FERREIRA, 2009). Repete-
se o mesmo procedimento para a segunda linha da matriz A, multiplicando-a com a 
primeira coluna da matriz B, cujo resultado, 2 ∙ 2 + 3 ∙ 3 + 3 ∙ 1 = 13, corresponderá ao 
segundo elemento da matriz coluna resultante do produto entre A e B. Veja: 
 
 
 
Agora, considere uma nova matriz A do tipo 1 × 2, dada por: 
 
 
e uma nova matriz B do tipo 2 × 2, dada por: 
 
 
 
17 
 
 
Nesse caso, o resultado da multiplicação da matriz A pela matriz B será uma matriz 
do tipo 1 × 2. Agora, para você calcular o produto AB, deve multiplicar a linha da matriz 
A pela primeira coluna da matriz B, 1 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 8, cujo resultado fornece o primeiro 
elemento da matriz linha resultante do produto entre A e B (WINTERLE, 2014). O 
segundo elemento dessa matriz é obtido pela multiplicação da linha da matriz A com a 
segunda coluna da matriz B, 1 ∙ 3 + 3 ∙ 1 = 6. Veja: 
 
 
O último tipo de multiplicação de matrizes relevante é a multiplicação entre duas 
matrizes quadradas. Considere duas matrizes do tipo 2 × 2, dadas por: 
 
 
A matriz resultante do produto AB também será uma matriz quadrada do tipo 2 × 
2 e é operacionalmente obtida como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
A operação de multiplicação entre matrizes apresenta algumas propriedades 
importantes. Considere três matrizes A, B e C, cujos tamanhos permitem realizar as 
operações de soma e multiplicação para cada situação de interesse (SANTOS; 
FERREIRA, 2009). 
3.5.1 Propriedade associativa 
O resultado da multiplicação da matriz A pelo produto das matrizes B e C é igual 
ao produto das matrizes A e B multiplicado pela matriz C: 
 
A(BC) = (AB)C 
3.5.2 Propriedade distributiva 
À direita: o resultado da multiplicação da soma das matrizes A e B pela matriz C 
é igual à soma dos produtos das matrizes A com C e B com C: 
 
(A + B)C = AC + BC 
 
À esquerda: o resultado da multiplicação da matriz A pela soma das matrizes B e 
C é igual à soma dos produtos das matrizes A com B e A com C: 
 
A(B + C) = AB + AC 
 
Contudo, vale a pena observar que, em geral, o produto entre duas matrizes não 
é comutativo, isto é, AB ≠ BA (note que o produto entre dois escalaresé sempre 
comutativo, ou seja, 2 ∙ 3 = 3 ∙ 2 = 6). Para que você entenda isso, considere duas 
matrizes quadradas do tipo 2 × 2: 
 
 
O produto AB é dado por: 
 
19 
 
 
 
 
 
O produto BA é dado por: 
 
 
Logo, quando você compara elemento por elemento em cada uma das matrizes 
resultantes de AB e BA (por exemplo, (AB)11 = a11 ∙ b11 + a12 ∙ b21 ≠ a11 ∙ b11 + a21 ∙ b12 = 
(BA)11), você percebe que eles são todos diferentes. No entanto, a partir desse tratamento 
geral para o produto de duas matrizes, é possível extrair algumas condições particulares 
que possibilitam gerar AB = BA (SANTOS; FERREIRA, 2009). Uma primeira condição 
surge quando uma das matrizes é a matriz identidade. Por exemplo, se B = I, então o 
produto entre A e I será comutativo: 
 
 
(Faça b11 = b22 = 1 e b12 = b21 = 0 nos resultados acima de AB e BA.) A segunda 
condição particular é aquela em que as duas matrizes são diagonais, ou seja, 
 
 
Nesse caso, o produto entre as duas matrizes é comutativo, pois: 
 
 
(Faça a12 = a21 = 0 e b12 = b21 = 0 nos resultados acima de AB e BA.) 
3.6 Equação matricial 
Uma equação matricial é uma relação de igualdade entre duas ou mais matrizes, 
assim como ocorre com os escalares — por exemplo, 2x – 4 = 0. Algumas equações 
matriciais típicas são: A + B = C; A – 2B = 3C; AX = B; A² = X; e assim por diante. 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
Talvez a primeira questão que lhe venha à mente ao iniciar o seu estudo sobre o 
conteúdo deste capítulo é: o que é uma equação linear? Então respondemos: uma 
equação linear pode ser uma equação da reta no plano (que tem duas dimensões — 
bidimensional), que pode ser escrita como: 
 
y = ax + b 
 
em que a e b são duas constantes. Por exemplo, y = 2x + 3. Assim, sabendo o 
valor da variável x, é possível determinar o valor de y e, com essas duas informações, 
localizar um ponto qualquer no plano. Nesse exemplo, se x = 1, então y = 5. Se uma reta 
no plano é descrita por uma equação linear, duas retas nesse mesmo plano serão 
descritas por duas equações lineares. Pronto! Agora você tem um sistema de duas 
equações lineares (SANTOS; FERREIRA, 2009). O sistema seguinte exemplifica isso. 
 
 
O esboço do gráfico dessas duas retas aparece na Figura 1a. Observe que essas 
duas retas contêm um ponto P em comum, demarcando o local no plano onde elas se 
encontram. Encontrar os valores das variáveis x e y desse ponto P significa resolver esse 
sistema de duas equações lineares. Essa tarefa é simples nesse exemplo. Igualando as 
duas equações de reta, 3x + 1 = 2x + 5, você encontra o valor de 4 para a variável x. 
Logo, substituindo esse valor de x em qualquer uma das duas equações de reta, você 
obtém o valor de y: 13. Será que sempre é possível resolver um sistema de equações 
lineares? A resposta é dada na Figura 1b. Veja que se trata de duas retas paralelas, ou 
seja, um sistema de duas equações lineares. E, por isso, elas não se encontram para 
nenhum valor de x (ou y). Logo, não há solução para esse sistema. 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Os gráficos representam (a) a intersecção de duas retas em um ponto P e (b) duas 
retas paralelas que não se cruzam. 
De modo geral, uma reta no plano pode ser escrita como: 
 
ax + by = c 
 
em que a, b e c são constantes. Já a equação geral de um plano no espaço 
tridimensional (comprimento × largura × altura) pode ser escrita como: 
 
ax + by + cz = d 
 
em que a, b, c e d são constantes. Com efeito, uma equação linear de n variáveis 
x1, x2, ..., xn é uma equação do tipo: 
 
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b 
 
em que os coeficientes a1, a2, ..., an e b são todos constantes. Para uma reta no 
plano, n = 2 e x1 = x, x2 = y são as variáveis, e a equação linear fica a1x1 + a2x2 = b. Por 
outro lado, equações do tipo: 
 
 
não são lineares, pois, nas equações lineares, as variáveis aparecem apenas na 
potência 1 (lembre-se de que x¹ = x, y¹ = 1 e z¹ = 1) e multiplicadas apenas por 
coeficientes constantes. As variáveis não estão multiplicadas entre si nas equações 
 
23 
 
 
lineares. Dessa maneira, o conjunto de mais de uma equação linear constitui um sistema 
de equações lineares. Um exemplo de sistema de equações lineares do tipo 2 × 2 (são 
duas equações para duas variáveis) é: 
 
 
A solução desse sistema pode ser obtida da seguinte maneira. Resolvendo a 
primeira equação para y, você obtém y = 6 + x. Substituindo esse resultado na segunda 
equação, você terá uma equação apenas para a variável x: 3x + 2(6 + x) = 7, logo x = –
1. Então, y = 6 – 1 = 5. 
Agora, um exemplo de sistema de equações lineares do tipo 3 × 3 (são três 
equações para três variáveis) é: 
 
 
 
A solução desse sistema demanda um pouco mais de trabalho. Resolvendo a 
primeira equação para y, você obtém y = –x. Assim, você pode reescrever a segunda 
equação para z como uma função apenas da variável x: z = x – 2(–x) – 3 = 3x – 3. 
Substituindo esses dois resultados para y e z, como funções de x, na terceira equação, 
você encontra o valor da variável x que satisfaz esse sistema: 2x – (–x) + 3(3x – 3) = 3, 
logo, x = 1. Com efeito, y = –1 e z = 3(1) – 3 = 0. É possível que dois sistemas lineares 
contenham o mesmo conjunto de soluções, e, por isso, eles são denominados de 
sistemas lineares equivalentes (WINTERLE, 2014). Como exemplo, dois sistemas de 
equações lineares equivalentes são: 
 
 
Pois x = 3 e y = 2 é a mesma solução para ambos. Contudo, perceba que é mais 
simples resolver o segundo sistema, que já fornece diretamente o valor de uma das 
variáveis, do que resolver o primeiro. 
Há três tipos de soluções para um sistema de equações lineares: uma única 
solução para as incógnitas; nenhuma solução para as incógnitas; ou infinitas soluções 
para as incógnitas. Um sistema de equações lineares é denominado de possível (ou 
 
24 
 
 
consistente) quando ele tem pelo menos uma solução. Um sistema sem nenhuma 
solução é denominado de impossível (ou inconsistente). 
4.1 Sistemas homogêneo e não homogêneo 
Os sistemas de equações lineares podem ser de dois tipos: não homogêneo e 
homogêneo. Um sistema de equações lineares não homogêneo do tipo 3 × 3 é dado 
por: 
 
 
 
onde os coeficientes aij, i, j = 1,2,3, e bn , n = 1,2,3 são constantes. Um olhar mais 
atento para esse sistema de equações lineares indica que ele apresenta naturalmente 
uma estrutura matricial, ou seja, você pode reescrevê-lo como um produto entre matrizes 
(WINTERLE, 2014). De fato, ele pode ser visto como uma matriz coluna do tipo 3 × 1, 
que resulta do produto entre uma matriz dos coeficientes, do tipo 3 × 3, pela matriz coluna 
das variáveis, do tipo 3 × 1. Veja: 
 
 
 
onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, quando a matriz coluna das constates bn for nula, 
 
 
 
 
 
26 
 
 
o sistema de equações lineares resultante é denominado de homogêneo: 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
E como a matriz dos coeficientes não é nula em geral, então uma possível solução 
é aquela em que: 
 
 
 
Ou seja, x1 = x2 = x3 = 0, que também é conhecida como solução trivial, pois todas 
as variáveis são nulas. Por exemplo, um sistema linear homogêneo do tipo 2 × 2 pode 
ser: 
 
 
cuja representação matricial é: 
 
 
Aqui, x = y = 0 é solução do sistema. Observe atentamente que essas duas 
equações lineares representam retas que passam pela origem; que é exatamente o ponto 
onde elas se cruzam (SANTOS; FERREIRA, 2009). Além da solução trivial, um sistema 
linear homogêneo pode admitir infinitas soluções. Esse é o caso quando o número de 
variáveis é maior que o de equações. Por exemplo, o sistema linear homogêneo: 
 
 
cuja representação matricial é da forma: 
 
 
 
27 
 
 
contémduas equações e três variáveis: x, y e z. Resolvendo a primeira equação 
para z, você obtém: z = 3x + 2y. Substituindo esse resultado na segunda equação: –x + 
y + 3(3x + 2y) = 0, que resulta em . Portanto, uma vez escolhido um valor para 
a variável y, você encontra os valores correspondentes das variáveis x e z. Exatamente 
por haver infinitas possibilidades de escolha de valor para y, que o sistema contém 
infinitas soluções. Por exemplo, se y = 0, então x = z = 0; mas se y = 1, então e 
 . 
5 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
Em situações envolvendo sistemas com apenas duas equações lineares de duas 
variáveis, a solução pode ser obtida de forma direta. A partir de uma das equações, 
escreve-se uma relação que define uma variável em função da outra e, então, substitui-
se essa relação na segunda equação, o que permite determinar uma das variáveis e, 
depois, a outra. Esse método foi empregado na resolução dos sistemas apresentados 
acima. No entanto, já para um sistema do tipo 3 × 3 e sistemas de equações lineares 
maiores, esse método é mais trabalhoso e, por conseguinte, suscetível a erros de cálculo 
nas diversas passagens (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
Com efeito, torna-se necessária a utilização de um método que forneça um 
procedimento operacional bem-definido, a fim de que a obtenção da solução para 
qualquer tipo de sistema seja padronizada. A chave para isso você já viu no final da 
primeira seção deste capítulo: dado um sistema, é interessante encontrar um sistema 
equivalente que forneça a mesma solução para o sistema original, mas que seja mais 
fácil de ser resolvido. Você verá, a seguir, dois métodos importantes para a resolução de 
sistemas de equações lineares. 
5.1 Método de eliminação de Gauss 
O método de eliminação de Gauss consiste em substituir um dado sistema de 
equações lineares por outro equivalente, que seja mais simples de ser solucionado e 
que tenha a mesma solução do sistema original. Isso pode ser feito por meio de três tipos 
 
28 
 
 
de operações matemáticas que visam a eliminar variáveis. Para que você entenda quais 
são essas operações que mantêm inalterada a solução do sistema original, considere 
novamente o sistema do tipo 2 × 2: 
 
 
cuja solução é x = –1 e y = 5. As três operações elementares sobre linhas são 
as seguintes: 
1. Multiplicar uma equação por uma constante 
Se você multiplicar a primeira equação desse sistema por 2, então, o novo sistema 
será: 
 
 
Resolvendo a primeira equação para y, você obtém 2y = 12 + 2x, ou seja, y = 6 + 
x. Substituindo esse resultado na segunda equação: 3x + 2(6 + x) = 7, logo x = –1. Então, 
y = 6 – 1 = 5. A solução original não foi alterada por essa operação elementar (SANTOS; 
FERREIRA, 2009). 
 
2. Trocar de posição duas equações entre si 
Isso significa passar a primeira equação para o lugar da segunda, e vice-versa. O 
novo sistema fica: 
 
 
Daí, resolvendo a segunda equação para y: y = 6 + x. Substituindo esse resultado 
na primeira equação: 3x + 2(6 + x) = 7, logo, x = –1 e y = 6 – 1 = 5. A solução original não 
foi alterada por essa operação elementar. 
 
3. Somar um múltiplo de uma equação a uma outra equação 
Essa operação é menos óbvia. Primeiramente, construa um novo sistema, 
multiplicando a primeira equação por 3 (operação i): 
 
 
 
29 
 
 
Agora, construa outro sistema no qual a segunda equação será igual à soma das 
duas equações do sistema acima; ou seja, soma-se a primeira linha com a segunda do 
sistema: 
 
 
A segunda linha já fornece diretamente o valor da variável y: y = 5. Substituindo 
esse resultado na primeira equação: –3x + 3(5) = 18, então x = –1. Portanto, novamente 
a solução original não foi alterada por essa operação elementar. Note que a aplicação 
das três operações fornece sistemas equivalentes, pois conduz a soluções iguais. 
Contudo, é a operação (iii) que representa a essência do método de eliminação de Gauss, 
pois, a partir dela, é possível obter um sistema equivalente em que uma das equações 
tenha apenas uma variável (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
Como você já deve ter percebido, as três operações acima agem apenas nos 
coeficientes aij e constantes bn. Por isso, é mais conveniente escrever a matriz aumentada 
do sistema para aplicar o método da eliminação de Gauss. Uma vez que a matriz dos 
coeficientes é , e a matriz da constantes é para o exemplo discutido acima, 
então, a matriz aumentada fica sendo: 
 
 
Agora, você executa as mesmas operações elementares sobre as linhas dessa 
matriz aumentada. 
Primeiro passo: multiplique a primeira linha por 3. 
 
3 ∙ (–1 1 6) = (–3 3 18) 
 
A primeira linha da nova matriz aumentada fica: 
 
 
Segundo passo: some essa nova primeira linha com a segunda. 
 
(–3 3 18) + (3 2 7) = (0 5 25) 
 
30 
 
 
A segunda linha da nova matriz aumentada fica: 
 
 
Observe que apareceu um zero no primeiro elemento da segunda linha (destacado 
na cor verde). Se você restabelecer o formato de sistema novamente: 
 
 
Note que, pela segunda linha, 5y = 25, então y = 5. Substituindo esse resultado na 
primeira equação: –3x + 3(5) = 18, logo, x = –1, como você já esperava. Nessa 
configuração, a matriz aumentada está em sua forma escalonada por linhas, ou 
simplesmente forma escalonada, pois a estrutura da matriz assemelha-se à de uma 
escada. 
Portanto, o método de eliminação de Gauss consiste em escalonar a matriz 
aumentada, que essencialmente significa escalonar o sistema de equações lineares, de 
modo a obter um novo sistema equivalente cuja resolução é mais simples e possui a 
mesma solução do sistema original (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
5.2 Método de eliminação de Gauss-Jordan 
Embora, nesse ponto, você já possa resolver o sistema como anteriormente — a 
partir do restabelecimento da forma usual do sistema —, a representação escalonada lhe 
permite avançar um pouco mais em direção à solução direta do sistema, sem a 
necessidade de substituição do valor de uma variável em outra equação para determinar 
mais uma variável, e assim por diante. A ideia básica é continuar a fazer operações 
elementares sobre linhas. 
Terceiro passo: divida a primeira equação por 3, e a segunda por 5. 
 
 
 
 
A primeira e segunda linhas da nova matriz aumentada ficam: 
 
31 
 
 
 
 
Quarto passo: multiplique a primeira equação por –1, e depois some a segunda 
a ela. 
 
–1 ∙ (–1 1 6) + (0 1 5) = (1 0 –1) 
 
A primeira linha da nova matriz aumentada fica: 
 
 
Nessa nova configuração, a matriz aumentada está na forma escalonada 
reduzida por linhas. 
Quinto e último passo: restabeleça a forma usual do sistema. 
 
 
Você já tem a solução diretamente: x = –1 e y = 5. Esse arranjo final do sistema 
(ou da matriz aumentada), em que os valores das variáveis são obtidos diretamente sem 
cálculos adicionais, é conhecido como método de eliminação de Gauss-Jordan. 
6 DESCRIÇÃO DE VETORES NO ESPAÇO 
A descrição de eventos matemáticos ou físicos em grandezas escalares e vetoriais 
já não é novidade em livros de geometria analítica, no entanto é sempre interessante 
apresentar a diferença entre essas grandezas no início do estudo de vetores ou cálculo 
vetorial. De acordo com Santos e Ferreira (2009), uma grandeza é dita escalar quando 
se especifica apenas sua magnitude e uma unidade, como o comprimento, a massa e o 
tempo. Já uma grandeza vetorial é expressa por sua magnitude, direção e sentido de 
atuação e uma unidade, como a força, a velocidade, a aceleração e o torque. 
A representação gráfica de um vetor é dada por uma seta, e possui em suas 
extremidades dois pontos que o determinam (WINTERLE, 2014). Na Figura 2, é 
apresentada a representação geométrica de um vetor. As notações matemáticas para 
 
32 
 
 
um vetor podem ser as mais diversas, há autores que trabalham com chaves ou 
colchetes, lembrando representações matriciais ou então comoapresentado em 
linguagem de programação. As mais usuais, e as que aparecerão neste material, serão 
as seguintes (SANTOS; FERREIRA, 2009): 
 
 — uma letra seguida de uma flecha sobre ela; 
 — uma letra em negrito; 
— os dois pontos que deram origem ao vetor seguido de uma flecha sobre 
eles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Representação gráfica de um vetor. 
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009). 
O módulo de um vetor é considerado o tamanho dele, assim sendo, caso tenhamos 
um vetor v na direção horizontal com origem em (0,0) e final em (2,0), o módulo será a 
distância do ponto de origem até o ponto de destino, sendo, então, um valor de 2. A 
direção e o sentido são mais bem representados quando desenhados em um plano 
cartesiano por exemplo. A Figura 3 apresenta vetores V1 e V2 com direção horizontal e 
sentido da esquerda para a direita no primeiro caso e direita para a esquerda no segundo. 
Vetores orientados que tenham mesma magnitude (ou módulo), mesma direção e 
sentido são ditos equivalentes (SANTOS; FERREIRA, 2009). Vamos a um exemplo físico 
com vetores. Considerando um avião que saiu do aeroporto de São Paulo/Brasil com 
destino ao aeroporto de Toronto/ Canadá, com velocidade constante de 800 km/h, 
 
33 
 
 
deslocando para noroeste (45º em relação ao norte), qual é um possível vetor que um 
controlador de voo poderia desenhar sobre seu mapa (considerando que cada diagonal 
dos quadrados maiores do mapa vale 200 km/h)? Na Figura 4, é apresentado o vetor v 
resultante de o avião estar alinhado para seu destino, e com módulo |v| igual a 800 km/h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Vetores na direção horizontal, sentidos opostos e mesmo módulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Orientação desenhada pelo controlador de voo com notação de vetor. 
7 OPERAÇÕES BÁSICAS COM VETORES 
Assim como fazemos com grandezas escalares, podemos realizar com os vetores 
operações matemáticas (SANTOS; FERREIRA, 2009). A primeira a ser vista é a 
multiplicação de um vetor por um escalar. Um vetor pode ser “esticado” ou “encolhido” 
 
34 
 
 
ou “invertido” quando multiplicado por um escalar, ou seja, se multiplicarmos todas as 
posições de um vetor por um escalar positivo real e maior do que 1, estamos aumentando 
a sua magnitude e, assim, “esticando” esse vetor. Caso a multiplicação seja feita por um 
escalar positivo real menor do que 1, estamos diminuindo sua magnitude e, 
consequentemente, “encurtando” ou “encolhendo” o vetor. Por fim, caso o vetor seja 
multiplicado por um número real negativo, o sentido será trocado e assim o estaremos 
“invertendo”. A Figura 5 apresenta exemplos de multiplicação com escalares diferentes. 
 
 
 
 
Figura 5. Vetor v multiplicado por escalares: (a) escalares de diversos valores; (b) escalar 
unitário negativo. 
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009) 
Veja a seguir propriedades generalizadas para multiplicação de vetores em 
espaços de n-dimensões (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014). 
 
• Distributiva sobre os vetores: α ∙ (u + v) = α ∙ u + α ∙ v 
• Distributiva sobre os escalares: (α + β) ∙ v = α ∙ v + β ∙ v 
• Associativa: α ∙ (β ∙ v) = α ∙ β ∙ v 
• Unitária: 1 ∙ v = v 
 
 
 
 
 
 
 
A adição de vetores (não nulos) é definida como: posicionamento dos vetores com 
suas origens coincidentes e, em seguida, forma-se um paralelogramo com os vetores u 
 
35 
 
 
e v. O vetor soma u + v é o vetor com a mesma origem de u e v, com magnitude, direção 
e sentido dados pela diagonal do paralelogramo (SANTOS E FERREIRA, 2009). Essa 
regra para a adição de vetores, apresentada na Figura 6, é conhecida como regra do 
paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Adição de vetores pela regra do paralelogramo. 
Fonte: Adaptada de Winterle (2014). 
 
 
 
 
 
Figura 7. Soma de mais de dois vetores. 
Fonte: Adaptada de Winterle (2014). 
Para o caso da soma de mais de dois vetores, deve-se utilizar o mesmo método 
da regra do paralelogramo. Também é possível ligar os vetores, a origem de cada vetor 
no final do anterior, ao fechar o polígono, assim, o vetor resultante t será o vetor que, ao 
somar com os outros três, dará valor nulo, por isso, basta inverter seu sentido. A Figura 
7 apresenta uma construção como essa. 
Veja a seguir propriedades generalizadas para adição de vetores em espaços de 
n-dimensões (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014). 
 
 
36 
 
 
• Comutativa: u + v = v + u 
• Associativa: (u + v) + w = u + (v + w) 
• Elemento neutro: v + 0 = v 
• Elemento oposto: v + (–v) = 0 
7.1 Vetores no R² 
Para realizar a operação de adição entre dois vetores u = (x1, y1), v = (x2, y2) e o 
escalar real α, define-se o seguinte (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
 
• Adição: u + v = (x1 + x2, y1 + y2) 
• Multiplicação por escalar: α ∙ u = (α ∙ x1, α ∙ y1) 
 
Ou seja, as operações de adição e multiplicação por escalar são realizadas por 
componente a componente. Lembre-se de que as propriedades de adição são as 
mesmas para esse espaço bidimensional. A operação de módulo é realizada para 
obtenção do valor da magnitude de um vetor v. A notação matemática de um módulo de 
vetor é |v| (SANTOS; FERREIRA, 2009). O módulo é obtido a partir da soma dos 
quadrados de cada componente e, em seguida, retira-se a raiz quadrada. Veja a seguir 
um exemplo. 
 
 
 
 
 
 
Perceba que, caso os vetores sejam equivalentes, ou seja, multiplicados por um 
escalar, o módulo do vetor multiplicado é igual ao módulo do vetor anterior multiplicado 
pelo escalar. Lembre-se de que não há forma de o módulo ficar negativo. Vetores podem 
ser obtidos por dois pontos no plano cartesiano, por exemplo, A (x1,y1) e B (x2,y2). Para 
gerar o vetor, basta realizar uma subtração entre os pontos. 
 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2 Vetores no R³ e ℝn 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8. Vetores em R³. 
O tratamento de vetores em espaços de maiores dimensões acaba sendo apenas 
uma extensão das operações e propriedades apresentadas no espaço bidimensional em 
R², tornando apenas mais complicado nos momentos em que é necessário desenhar, 
exigindo uma visão espacial. A Figura 8 apresenta vetores desenhados no espaço de 
três dimensões. 
7.3 Vetores iguais 
Como dito anteriormente, vetores são representados por sua magnitude (ou 
módulo), direção e sentido (SANTOS; FERREIRA, 2009). Por isso, se desconsiderarmos 
as variações de sentido e/ou de direção, a probabilidade de encontrarmos vetores iguais 
em um mesmo plano ou então em planos diferentes é alta. A Figura 9 apresenta um 
 
38 
 
 
exemplo disso com a presença de vários vetores iguais em módulo, porém posicionados 
em diferentes regiões de um plano. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9. Vetores iguais em um mesmo plano. 
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009). 
7.4 Vetores unitários 
Um vetor é chamado de unitário quando seu módulo é igual a 1, ou seja, a raiz da 
soma dos valores das projeções ao quadrado será igual a 1 (WINTERLE, 2014). Vetores 
unitários são também conhecidos como versores. Todo vetor que não seja unitário pode 
ser transformado em unitário por meio de um processo chamado de normalização. O 
processo de normalização consiste das seguintes etapas. 
 
1. Encontrar o valor do módulo do vetor. 
2. Dividir o valor de cada posição do vetor pelo módulo. 
3. Verificar a transformação realizando o mesmo procedimento de cálculo do 
módulo; caso seja igual a 1, o vetor foi normalizado e é chamado de unitário. 
 
 
 
 
 
Figura 10. Vetores unitários i, j e k. 
 
39 
 
 
Há ainda vetores unitários, chamados de i, j e k (SANTOS; FERREIRA, 2009). A 
Figura 10 apresenta esses vetores no plano tridimensional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
8 OPERAÇÕES DE PRODUTOS ENTRE VETORES 
As operações com grandezas vetoriais são na maioria das vezes parecidas com 
as operações de grandezas escalares. Um exemplode diferentes operadores é o caso 
de produto entre vetores. Este não deve ser tratado como uma operação de multiplicação 
por escalar. Entre os diferentes tipos de produtos estão os produtos: escalar, vetorial, 
misto e duplo vetorial. A seguir, vamos tratar de cada um desses produtos, bem como de 
algumas propriedades e exemplos de aplicação. 
8.1 Produto escalar 
O produto escalar entre dois vetores u (x1,y1,z1) e v (x2,y2,z2) é representado por u 
∙ v, sendo o produto feito por: 
u ∙ v = x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 + z1 ∙ z2 
 
Para quaisquer vetores u, v e w e um escalar real α, as propriedades do produto 
escalar são as seguintes (WINTERLE, 2014). 
 
1. u ∙ v = v ∙ u 
2. u ∙ (v + w) = u ∙ v + u ∙ w e (u + v) ∙ w = u ∙ w + v ∙ w 
3. α (u ∙ v) = (αu) ∙ v = u ∙ (αv) 
4. u ∙ u = |u|² 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11. Representação dos vetores e ângulos entre eles. 
Fonte: Adaptado de Winterle (2014). 
 
41 
 
 
A Figura 11 representa dois vetores u (x1,y1,z1) e v (x2,y2,z2) e o ângulo θ formado 
por eles (WINTERLE, 2014). O produto escalar, representado por u ∙ v, está relacionado 
com o ângulo θ. A expressão que define essa relação será vista mais adiante. 
 
 
 
 
 
 
8.2 Produto vetorial 
O produto vetorial entre dois vetores u (x1,y1,z1) e v (x2,y2,z2) é representado por u 
× v (WINTERLE, 2014), sendo o produto feito por: 
 
 
 
A solução do determinante também pode ser expressa por: 
 
 
Para quaisquer vetores u e v, as propriedades do produto vetorial são as seguintes 
(WINTERLE, 2014). 
 
1. u × v = –(v × u) 
2. u × v = 0, se e somente se os vetores são paralelos 
3. u × v sempre é ortogonal a u e v 
4. O sentido de u × v pode ser determinado pela regra da mão direita 
 
A Figura 12 apresenta o sentido do vetor u × v, segundo a regra da mão direita 
(WINTERLE, 2014). É possível observar também que o resultado do produto vetorial u × 
v é um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u e v. 
 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12. Orientação do vetor u × v, segundo regra da mão direita. 
Fonte: Adaptada de Winterle (2014). 
 
 
 
 
 
 
8.3 Produto misto 
O produto misto é uma combinação entre o produto escalar de um produto vetorial 
feito anteriormente entre dois vetores (SANTOS; FERREIRA, 2009). Dados três vetores 
u (x1,y1,z1), v (x2,y2,z2) e w (x3,y3,z3), o produto misto é definido por: 
 
 
 
A solução do determinante também pode ser expressa por: 
 
 
 
43 
 
 
Para quaisquer vetores u, v, w e x, e o escalar α, as propriedades do produto misto 
são as seguintes (WINTERLE, 2014). 
 
1. O resultado do produto muda de sinal caso alterar a posição entre dois vetores, 
por exemplo: u ∙ (v × w) = –u ∙ (w × v) 
2. (u + x) ∙ (v × w) = u ∙ (v × w) + x ∙ (v × w) 
3. αu ∙ (v × w) = u ∙ (αv × w) + u ∙ (v × αw) 
4. u ∙ (v × w) = 0, se e somente se os três vetores forem coplanares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.4 Duplo produto vetorial 
O duplo produto vetorial é uma operação entre vetores não muito vista ou mesmo 
utilizada em aplicações mais práticas. No entanto, é importante conhecer o procedimento 
de cálculo (WINTERLE, 2014). Dados três vetores u (x1,y1,z1), v (x2,y2,z2) e w (x3,y3,z3), o 
duplo produto vetorial é definido por: 
u × (v × w) 
 
 
44 
 
 
A solução do duplo produto vetorial pode ser com a aplicação sucessiva de um 
produto vetorial entre v e w, como visto anteriormente. E, com o resultado, aplicar um 
novo produto vetorial de u em relação a v × w. Outra alternativa é por meio da relação: 
u × (v × w) = (u ∙ w)v – (u ∙ v)w 
 
Em que são substituídas as operações de produto vetorial por dois produtos 
escalares e, em seguida, multiplica-se o escalar simples pelos vetores indicados. A 
seguir, será apresentado um exemplo dos dois procedimentos de cálculo (SANTOS; 
FERREIRA, 2009). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
8.5 Operação com vetores: adição e subtração 
A partir de dois vetores, defi ne-se uma adição (soma) ou subtração vetorial como 
um vetor cujas componentes serão as somas das componentes dos respectivos vetores 
que originaram a soma (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2014), como é mostrado na 
Equação 4. 
 
Sendo os vetores A e B definidos no referencial cartesiano tridimensional, tem-se 
que: 
 
Na Equação acima, deve-se apenas somar os termos correspondentes a cada eixo de 
referência. Nos casos de adição e subtração, as propriedades associativas, comutativas 
e distributivas são válidas (YOUNG; FREEDMAN; FORD, 2011). 
9 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 
Começamos com o resgate do conceito de combinação linear. Dado um conjunto 
de vetores em ℝn diremos que o vetor é uma combinação linear desses, se 
existirem a1, a2, ..., ak em ℝ, tais que: 
Veja, a seguir, um exemplo de combinação linear. 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
 
Consideremos, agora, um conjunto de vetores { } em ℝn , que diremos 
que é linearmente independente, se os únicos valores de a1, a2, ..., ak em ℝ, que tornam 
a combinação verdadeira, são a1, a2, ..., ak = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em outras palavras, um conjunto de vetores é linearmente independente se, e 
somente se, a única combinação deles, que resulta no vetor nulo, for a que apresenta 
todos os coeficientes iguais a zero. O conjunto apresentado na segunda parte do exemplo 
anterior nos fornece um primeiro exemplo de um conjunto linearmente dependente. 
Diremos que um conjunto { }em ℝ é linearmente dependente se existirem 
coeficientes a1, a2, ..., ak em ℝ, tais que: 
 
 
Isto é, existe uma combinação não nula que resulta no vetor nulo. Uma 
interpretação importante de um conjunto linearmente dependente é que qualquer um dos 
vetores desse conjunto pode ser escrito como combinação linear dos demais 
(WINTERLE, 2014). Veja o exemplo a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um importante teorema sobre esse assunto é apresentado em Nicholson (2006). 
Teorema: se { }em ℝn é um conjunto linearmente independente, então, 
todo vetor em ger{ } tem uma escrita única como combinação linear dos 
vetores . Em palavras, se um conjunto de geradores é linearmente independente, cada 
vetor do espaço gerado é escrito de maneira única, a menos da ordenação, como 
combinação linear dos vetores geradores. Veja o seguinte exemplo sobre conjuntos 
geradores linearmente independentes. 
 
 
 
49 
 
 
 
10 BASES DO ℝN 
Uma base do ℝn é um conjunto: 
 
 
 
50 
 
 
de vetores linearmente independentes, tal que B ⊂ ℝn, e B é gerador de ℝn. Isto é, 
se ∈ ℝn, e B é uma base de ℝn, então podemos escrever, de forma única, como uma 
combinação linear dos vetores em B, a saber: 
 
 
onde α1, ..., αn ∈ ℝ. Adicionalmente, os números α1, ..., αn são chamados de 
coordenadas do vetor na base B. 
A base mais simples que podemos definir no ℝn é o que chamamos de base 
canônica do ℝn. 
Essa base é formada pelos n vetores , que têm 1 na i-ésima componente e 0 
nas demais. Nicholson (2006). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Genericamente falando, usamos bases não canônicas em ℝn, quando queremos 
estudar aspectos do problema que não ocorrem nas direções canônicas desse espaço. 
Pode parecer difícil, mas, de certa forma, já estávamos estudando alguns aspectos desse 
assunto quando trabalhamos a definição de autovetores. 
 
51 
 
 
Uma observação que podemos fazer em relação ao exemplo anterior é que a 
solução calculada (3,–1,0,2) realmente descreve coordenadas do vetor = (11,–3,7,4) 
na base B. Isto é, estamos considerando um sistema de referência diferente do sistema 
de coordenadas definido pela base canônica, e isso está definindo outra maneirade nos 
referirmos a esse vetor. Aproveitando, definimos a notação: 
 
 
se esse é o vetor formado pelos coeficientes de na base B de ℝn. O caso 
particular, onde B é a base canônica, temos que ( ) B = . 
10.1 Bases de um subespaço do ℝn 
De forma similar ao que definimos anteriormente, dado um subespaço vetorial E 
do ℝn, uma base de E é um conjunto B de vetores linearmente independentes, tal que 
B⊂E e B é gerador de E. 
Isto é, se ∈ E e B é uma base de E, então existem , 
tal que: 
 
 
Essa combinação é única em E. Adicionalmente, os números α1, ..., αm são 
chamados de coordenadas do vetor na base B. 
11 EQUAÇÃO DE RETA NO PLANO 
As retas são representadas por meio de equações (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
Essas equações podem ser obtidas por pontos no plano cartesiano e relações com 
vetores (Figura 13). Na construção da equação da reta por meio de vetores, temos as 
chamadas equações vetoriais. Aqui, vamos abordar a construção da equação através de 
pontos, na qual é necessário o uso de no mínimo dois pontos para determinar um 
segmento de reta ou reta completa (Figura 14). 
 
 
52 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13. Reta r orientada pelo vetor v e com pontos A e P. 
Fonte: Adaptada de Winterle (2014) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14. Retas construídas através de dois pontos. 
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009). 
Imagine que uma reta é feita por dois pontos, um ponto localizado na origem e 
outro na coordenada B (5,5). Quais são os pontos que pertencem à reta que tem como 
base esses pontos? Se um ponto de referência da reta está na origem, isso significa que 
a reta passa pelo ponto (0,0). O segundo ponto está em (5,5). Os demais pontos devem 
estar em coordenadas que são iguais nos valores de x e y. Sendo assim, alguns dos 
pontos que pertencem a essa reta são os seguintes. Nicholson (2006). 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Figura 15 apresenta esses pontos no plano cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15. Representação dos pontos de uma reta no plano cartesiano. 
Como os valores de x e y devem ser iguais para pertencer à reta, podemos dizer 
que uma relação/equação que a representa é y = x. Assim, todo valor de y será igual a x. 
Mas o que ocorre se a equação da reta não é tão facilmente previsível? Como determiná-
la? 
11.1 Representação de retas no plano cartesiano 
Retas podem ser construídas a partir de dois pontos no plano cartesiano. A Figura 
15, vista anteriormente, apresenta uma reta r construída a partir de dois pontos A (x0,y0) 
e B (x1,y1). O uso desses pontos também permite o cálculo do coeficiente angular da reta. 
Esse coeficiente representa o valor da tangente referente ao ângulo de inclinação α: 
 
 
54 
 
 
 
De posse do coeficiente angular, é possível gerar a equação da reta (SANTOS e 
FERREIRA, 2009): 
y = a ∙ x + b 
 
O valor de b, chamado de coeficiente linear, representa o valor de translação da 
reta no sentido do eixo y. Caso a reta passe pela origem, esse valor será igual a zero. 
Para encontrar o valor de b, é preciso substituir o valor de y e x por um dos pontos que 
compõem a reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação de reta é: 
 
b = y – ax 
3 – 2 ∙ 1 = 1 
 
y = a ∙ x + b 
y = 2x + 1 
 
Na Figura 16, os pontos A, B e P geraram a reta no plano, e o ângulo α representa 
a inclinação da reta (SANTOS; FERREIRA, 2009). Perceba que, quando o coeficiente 
angular é positivo, a reta é ascendente; quando é negativo, a reta é descendente. 
 
55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16. Retas com coeficientes angulares positivo (reta ascendente) e negativo (reta 
descendente). Fonte: Adaptada de matma/Shutterstock.com. 
11.2 Relações entre retas 
11.2.1 Retas paralelas aos eixos cartesianos 
Quando obtemos equações de retas em que o coeficiente linear é igual a zero, a 
reta passa pela origem do sistema. Quando o coeficiente angular é igual a zero, o valor 
da tangente do ângulo de inclinação é igual a zero, ou seja, o único valor de ângulo que 
satisfaz essa tangente é zero grau. Nicholson (2006). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
Por isso, podemos perceber que há retas sem as variáveis x ou y, sendo x igual a 
uma constante ou y igual a uma constante. Quando isso acontece, dizemos que a reta 
está paralela aos eixos cartesianos (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014). Quando não 
houver x, a reta está paralela ao eixo x; quando não houver y, a reta está paralela ao eixo 
y. Observe na Figura 17 como as retas r e s são paralelas aos eixos x e y, 
respectivamente. 
11.2.2 Avaliação das posições das retas em função do coeficiente angular 
As retas variam suas inclinações em função do coeficiente angular. Quando temos 
coeficientes angulares iguais em retas diferentes, temos retas com o mesmo grau de 
inclinação e, portanto, paralelas (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014). 
Quando temos coeficientes angulares diferentes, temos um ângulo de diferença 
entre as retas comparadas. Como cada reta possui um ângulo correspondente em 
relação ao eixo horizontal, se a diferença entre esses ângulos for igual a 90° (ou igual a 
um múltiplo de 90º), temos, então, um caso de ortogonalidade entre retas. Observe, na 
Figura 18, retas com inclinações diferentes em função de coeficientes angulares diversos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18. Retas r e s são paralelas (coeficiente angular igual a 4). Retas s e u ortogonais entre 
si (coeficientes angulares iguais a 1 e –1). 
 
57 
 
 
12 ESTUDO DA RETA NO ESPAÇO 
Retas no espaço são representadas em três dimensões x, y e z (SANTOS; 
FERREIRA, 2009). O comportamento linear das retas no espaço é o mesmo de quando 
situadas em um plano bidimensional. Uma equação de reta no espaço tem estrutura 
parecida à representada em um plano. Deve ser, no entanto, orientada por vetores e 
alguns pontos de referência. Um exemplo de equação de reta no espaço está 
representado a seguir. 
r: (x,y,z) = (x1, y1, z1) + t(a,b,c) 
 
Os valores dos coeficientes e dos pontos mudam de reta para reta; são obtidas 
soluções, por meio de pontos x, y e z, que satisfaçam a equação. Como se trata de uma 
reta, sabemos que dois pontos a definem. Entretanto, devemos atentar para o fato de 
que a reta contém uma infinidade de pontos (SANTOS; FERREIRA, 2009). Veja, na 
Figura 19, uma reta r no espaço R³ e alguns pontos distribuídos em sua extensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19. Reta r no espaço R³. 
12.1 Equações de retas no espaço 
As retas são representadas por meio de equações. Essas equações podem ser 
obtidas por pontos no plano cartesiano e por relações com vetores (SANTOS; 
FERREIRA, 2009). Dentre as diferentes apresentações de equações, estão a equação 
vetorial, a paramétrica, a simétrica e a reduzida (WINTERLE, 2014). A seguir, 
 
58 
 
 
trataremos de cada um desses equacionamentos, bem como de alguns exemplos de 
construção dessas equações. 
12.1.1 Equação vetorial 
Uma reta r pode ser construída com base na orientação ou referência de um vetor 
(SANTOS; FERREIRA, 2009). Considerando um ponto A (x1, y1,z1) e um vetor diretor v 
(a,b,c), temos que só existe uma reta que passa pelo ponto A e que possui a mesma 
direção do vetor diretor v. Se buscarmos por um ponto P (x,y,z) que pertence à reta, o 
vetor AP formado pelos pontos A e P é paralelo a v (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014). 
A Figura 20 apresenta a reta r paralela ao vetor diretor v. A equação vetorial é descrita 
por: 
AP = t ∙ v 
P – A = t ∙ v 
P = A + t ∙ v 
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t ∙ (a,b,c) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20. Reta r orientada pelo vetor v, com os pontos A e P. 
Fonte: Adaptada de Winterle (2014). 
Perceba que a equação vetorial fica em função do parâmetro t, que é a variável da 
reta. Conforme variamos t, obtemos pontos (x,y,z) que pertencem à reta r. 
 
59 
 
 
12.1.2 Equação paramétrica 
As equações paramétricas são derivadasda equação vetorial anteriormente 
apresentada. A apresentação de uma reta por meio de equações paramétricas é feita 
pela geração de um sistema de equações para cada posição em relação ao espaço 
(SANTOS; FERREIRA, 2009). Observe: 
 
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t ∙ (a,b,c) 
(x,y,z) = (x1 + a ∙ t, y1 + b ∙ t, z1 + c ∙ t) 
 
O sistema de equações que representa as equações paramétricas da reta r é: 
 
 
12.1.3 Equação simétrica 
A apresentação de uma reta r pode ser feita com uma representação chamada de 
simétrica. Esse modelo consiste basicamente em uma manipulação algébrica, onde o 
escalar t é isolado em cada uma das equações paramétricas, posteriormente igualadas 
(WINTERLE, 2014). Veja, a seguir, a sua construção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
12.1.4 Equação reduzida 
Esse último modelo de equação de reta é obtido por meio de mais uma 
simplificação algébrica das equações simétricas. Nesse caso, tomamos uma das 
posições e a transformamos em variável de duas novas equações (SANTOS; 
FERREIRA, 2009). Observe a representação: 
 
 
 
 
 
 
12.2 Determinação das equações a partir de pontos 
13 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
Dois pontos no espaço definem o que é um vetor, assim, se temos dois pontos A 
e B, construímos o vetor AB. Entre suas características, um vetor possui uma chamada 
de módulo, que constitui o comprimento do vetor (SANTOS; FERREIRA, 2009). Com 
isso, quando pensamos em calcular uma distância entre dois pontos, a melhor maneira 
é construir um vetor com esses pontos e extrair o módulo dele, logo o comprimento entre 
dois pontos A e B é dado pelo módulo de AB: 
 
d = |AB| 
 
Por exemplo, qual é a distância entre os pontos A (0,1,2) e o ponto B (–1,2,0)? 
Construímos o vetor AB: 
 
AB = B – A = (–1,2,0) – (0,1,2) = (–1,1,–2) 
 
 
61 
 
 
Com o vetor AB, extraímos o módulo dele e, assim, obtemos o valor da distância 
entre A e B: 
 
 
 
14 INTERSEÇÃO ENTRE RETAS 
As retas são representadas por meio de diversas formas de equações. Essas 
retas, apesar de expressas com equações diferentes, podem ter relações de 
coincidência, paralelismo e concorrência entre elas (WINTERLE, 2014). Como ponto de 
partida para análise das relações entre retas no espaço, vamos observar a presença de 
pontos de interseção entre elas. Quando duas retas r e s estão no espaço, é possível 
haver um ponto de interseção I entre elas, como mostra a Figura 21. Em diversos campos 
de estudos, a busca por esse ponto pode ser um processo de otimização de sistemas ou 
mesmo melhor custo-benefício. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21. Ponto de interseção I entre as retas r e s. 
Fonte: Adaptada de Winterle (2014). 
Sendo assim, qual é o ponto de interseção entre as retas r e s, representadas 
pelas equações a seguir? 
 
 
 
 
62 
 
 
 
Para encontrar o ponto de interseção I entre as retas r e s, substituímos os valores 
de x, y e z dados pelas equações paramétricas da reta s nas mesmas posições do 
sistema de equação reduzida da reta r, obtendo assim: 
 
 
 
 
Da primeira equação obtemos t igual a -7 e da segunda obtemos t igual a -2. Como 
não há equivalência entre os resultados, não há ponto de interseção I entre as retas. 
15 CLASSIFICAÇÃO DE RETAS 
Retas dispostas no espaço podem ter diversas relações entre elas, dentre as quais 
o paralelismo e a coincidência são analisados a partir dos vetores diretores. A 
concorrência e a reversão são analisadas com os vetores diretores e a presença de ponto 
de interseção. Por fim, retas podem pertencer a um mesmo plano, sendo assim 
chamadas de retas coplanares (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
15.1 Paralelismo e coincidentes 
A determinação de paralelismo entre retas no espaço ocorre por meio de uma 
análise dos vetores diretores de cada uma delas (SANTOS; FERREIRA, 2009). Se os 
vetores diretores u e v são múltiplos escalares, consideramos que as retas terão a 
mesma direção e serão paralelas, como mostra a Figura 22. 
 
 
 
 
 
Figura 22. Retas r e s paralelas. Fonte: Adaptada de Winterle (2014). 
 
63 
 
 
É possível ainda existir uma coincidência total entre as retas, chamando assim de 
retas coincidentes. Para verificar isso, é necessário inicialmente que os vetores diretores 
sejam múltiplos escalares e, em seguida, que se teste um ponto de uma reta na outra; 
caso a inserção do ponto seja válida, concluímos que as retas são coincidentes 
(BOULOS; CAMARGO, 1987). Caso os vetores sejam diferentes, é possível a existência 
ou não de concorrência, para verificar isso, basta igualar as duas equações de retas e 
ver se há um ponto de interseção I. Veja nos exemplos a seguir a demonstração dessa 
verificação para paralelismo e coincidência. 
Determine se há paralelismo entre as retas r e s a seguir 
 
 
 
 
 
Inicialmente extraímos os vetores diretores u e v das retas r e s. Caso os vetores 
possuam relação escalar entre eles, as retas são paralelas: 
 
 
 
 
 
O vetor diretor u e v serão: 
u(1,1,–2) 
v(–2,–2,4) 
 
Portanto, analisando os vetores, vemos que o vetor v é igual a u multiplicado pelo 
escalar -2, logo as duas retas r e s são paralelas, ou seja, r // s. Quando temos duas retas 
paralelas, conforme apresentado na Figura 22, podemos ver que não haverá nenhum 
ponto de interseção entre elas. A única maneira de isso acontecer é se os vetores 
diretores u e v forem iguais, assim sendo, toda a reta r será coincidente à reta s, e, 
 
64 
 
 
portanto, todos os pontos serão de interseção. De qualquer maneira, vamos verificar o 
ponto de coincidência substituindo r em s: 
 
 
Se igualarmos dois a dois as partes das equações simétricas, veremos que os 
valores de t encontrados não são iguais e, portanto, não haverá ponto de interseção entre 
as retas, conforme duas retas paralelas devem se comportar. 
Agora verifique a posição relativa entre as retas r e s, dadas pelas equações a 
seguir. 
 
 
 
 
Novamente extraímos os vetores diretores u e v das retas r e s (a reta s foi alterada 
para equações simétricas a fim de facilitar encontrar o vetor diretor): 
 
 
 
 
 
O vetor diretor u e o v serão: 
u(1,–1,–1) 
v(1,–1,–1) 
 
Como os vetores são iguais, podemos concluir que as retas r e s são coincidentes. 
15.2 Concorrentes e reversas 
Quando as retas são previamente determinadas como não paralelas e/ou 
coincidentes, elas podem ser classificadas como concorrentes, quando há um ponto de 
interseção, ou reversas, quando não há interseção alguma (STEINBRUCH; WINTERLE, 
 
65 
 
 
2014). Para a determinação de retas reversas, é necessário provar que não há ponto 
algum de interseção, como mostra a Figura 23. Veja a seguir exemplos de retas reversas 
e concorrentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23. Retas reversas. Fonte: Adaptada de Winterle (2014). 
As retas a seguir são reversas ou concorrentes? 
 
 
 
 
Substituindo r em s: 
 
 
Resolvendo as igualdades, obtemos um valor de t igual para todos, ou seja, t igual 
a 2. Desse modo, concluímos que as retas são concorrentes. Indo além, substituímos t 
na equação de r e obtemos o ponto I: 
 
 
 
O ponto de interseção das retas concorrentes é I (1,2,–2). 
 
66 
 
 
16 ÂNGULOS E INTERSEÇÕES 
Inicialmente será apresentado como obter ângulo entre retas e ortogonalidade, em 
seguida, o procedimento de interseção entre planos, o qual gera uma reta, e, por fim, o 
ângulo entre planos. 
16.1 Posição relativa entre duas retas 
As retas, como os vetores, podem ser comparadas de modo que se obtenham os 
valores de ângulos entre elas. Para analisar o ângulo, uma maneira é por meio dos 
vetores diretores (SANTOS; FERREIRA, 2009), com os quais basta utilizar a relação de 
produto escalar sobre o produto do módulo de cada vetor: 
 
Sendo u e v os vetores diretores de duas retas distintas r e s. Observe a Figura 1 
 
 
 
67 
 
 
Exemplo 1 – Qual é o ângulo entre as retas r e s, dadas pelas equações a seguir? 
 
Solução: Primeiro,é necessário identificar os vetores diretores u e v das retas r e 
s. O vetor diretor da reta r, apresentada na forma de equações paramétricas, é extraído 
pela observação do número que multiplica t em cada equação, ou seja: 
 
O vetor diretor u será: u = (1,1–2) 
O vetor diretor da reta s, apresentada na forma de equações simétricas, é extraído 
pela observação dos números no denominador de cada equação, ou seja: 
 
O vetor diretor v será: v = (–2,1,1) 
O ângulo entre as retas será: 
 
68 
 
 
 
A partir desse exemplo, podemos perceber que, quando tivermos vetores diretores 
que produzam um produto escalar igual a 0, haverá uma condição de ortogonalidade 
entre as retas (ângulo θ igual a 90°). 
Exemplo 2 – Qual é o valor de m para que o ângulo entre as retas r e s seja de 30°? 
 
Solução: Inicialmente obtemos os vetores diretores de r e s: 
 
O ângulo entre as retas é dado por: 
 
 
69 
 
 
Para ter o ângulo de 30°, é necessário um cosseno no valor de , logo: 
 
Elevando ambos os lados ao quadrado: 
 
Como |m| 2 é igual a m2, então retiramos o módulo: 
 
A partir dessa equação, obtemos o valor de m igual a ±√30 para satisfazer o ângulo 
θ entre as retas igual a 30°. 
Exemplo 3 – Sabendo que as retas r e s são ortogonais, qual é o valor de m 
necessário para essa condição? 
 
Solução: Para que as retas sejam ortogonais, o produto escalar entre os seus 
vetores diretores deve ser igual a zero. Logo, iniciamos o cálculo obtendo os vetores 
diretores u e v das retas r e s: 
 
70 
 
 
 
Após uma transformação da equação da reta s de reduzida para simétrica, de 
modo a se obter mais facilmente o vetor v, temos os vetores diretores: 
 
O produto escalar deve ser igual a zero, logo: 
 
16.2 Interseção entre planos 
Quando retas se interceptam, é obtido um único ponto de equivalência. Quando 
uma reta cruza um plano, obtém-se também apenas um ponto de interseção. Já quando 
planos se interceptam, são obtidos vários pontos, ou seja, a interseção entre planos é 
representada por uma reta r, como se vê na Figura 2 (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014). 
 
71 
 
 
 
Veja nos exemplos a seguir casos de interseção entre planos e entre planos e 
retas. 
Exemplo 4 – Qual é o ponto de interseção da reta r no plano π? 
 
Solução: O procedimento de interseção entre reta e plano é similar ao de pontos 
de interseção entre retas concorrentes, ou seja, substituímos os valores da reta r na 
equação do plano π: 
 
Em seguida, substituímos t na equação paramétrica da reta r: 
 
 
72 
 
 
O ponto de interseção entre a reta r e o plano π é em I (–3,2,4). 
Exemplo 5 – Qual é a reta de interseção entre os planos π1 e π2? 
 
Solução: Para se obter a reta que representa a interseção entre planos, iniciamos 
com o agrupamento das equações dos planos em um sistema: 
 
Como temos apenas duas equações e três variáveis, é impossível de se resolver 
o problema, a menos que se coloque uma das variáveis como parte da solução. Mas 
façamos diferente, vamos atribuir uma das posições de cada uma das equações como 
sendo zero. Ou seja, tanto o plano 1 quanto o plano 2 devem ter interseção em algum 
ponto quando x for igual a zero, dessa forma, resta apenas descobrir o valor das variáveis 
y e z que estão nesse local. O sistema fica reduzido como a seguir: 
 
Com esse sistema reduzido, de duas equações e duas variáveis, obtemos os 
valores de y e z quando x for igual a zero. Esse ponto P é dado por: P(0,–1,4). 
Com o ponto obtido, falta determinar o vetor diretor u da reta r que faz interseção 
com os dois planos. Para determinar essa reta, é importante lembrar que a reta deve 
estar ortogonal a ambos os planos, logo o vetor diretor da reta de interseção é resultado 
do produto vetorial entre os dois vetores normais n1 e n2 dos planos π1 e π2: 
 
 
73 
 
 
O produto vetorial é dado por: 
 
A equação vetorial da reta r que faz interseção pelos dois planos é dada por: 
 
Exemplo 6 – Qual é a equação paramétrica da reta de interseção entre os planos 
π1 e π2? 
Solução: 
 
Solução: 
 
O sistema reduzido em x a seguir: 
 
A solução do sistema é dada pelo ponto: P(0,–1,–2) 
Os dois vetores normais n1 e n2 dos planos π1 e π2 são: 
 
O vetor diretor é dado pelo resultado do produto vetorial: 
 
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Como o vetor pode ser múltiplo, dividimos por –4, e o vetor é: u = (1,0,1) 
A equação paramétrica da reta r que faz interseção pelos dois planos é dada por: 
 
16.3 Ângulo entre planos 
Para descobrir o ângulo entre duas retas, realizamos o uso de uma fórmula vista 
no início do material com os vetores diretores de cada reta. Para obter o ângulo entre 
planos, podemos utilizar a mesma fórmula, porém com os vetores normais de cada plano, 
como mostra a Figura 3. Tal uso é permitido, pois ambos os vetores estão rotacionados 
de 90° para serem normais à superfície do plano, e por isso o uso não afetará o resultado 
do ângulo obtido (WINTERLE, 2014). 
 
Sendo n1 e n2 os vetores normais aos planos π1 e π2. 
 
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Exemplo 7 – Determine o ângulo entre os planos a seguir. 
 
Solução: Primeiro, é necessário identificar os vetores normais de cada plano. O 
vetor normal acompanha a variável na equação reduzida: 
 
Os vetores normais serão: 
 
O ângulo entre os planos será: 
 
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A partir desse exemplo, percebemos que, quando tivermos vetores normais dos 
planos que produzam um produto escalar igual a 0, haverá uma condição de 
ortogonalidade entre os planos (ângulo θ igual a 90°). 
17 CIRCUNFERÊNCIAS 
A circunferência pode ser definida como “[…] o lugar geométrico dos pontos de um 
plano cuja distância a um ponto fixo é constante” (SANTOS; FERREIRA, 2012, p. 63). 
Observe os elementos e a equação cartesiana da circunferência na Figura 24. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 24. Circunferência com centro na origem O e raio r. (a) Centro e raio. (b) Centro na origem 
e raio r. Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2012). 
 
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A Figura 24a mostra o ponto fixo, denominado centro da circunferência, e a 
distância de seus pontos ao centro que chamamos de raio da circunferência. Para 
obtermos a equação cartesiana, consideraremos uma circunferência de raio r e centro na 
origem O (0,0), como mostra a Figura 24b. Para que P (x,y) seja um ponto da 
circunferência, devemos ter , e, assim, pela fórmula da distância entre dois pontos: 
17.1 Posição relativa de um ponto em relação a uma circunferência 
Leite e Castanheira (2017) explicam que, para determinar a posição relativa a um 
ponto em relação a uma circunferência de equação (x – h)² + (y – k)² = r², deve-se calcular 
a distância do ponto P(a,b) ao centro C(h,k) da circunferência e comparar-se a distância 
d com o raio R, atentando para o seguinte. 
 
 
•Se P é exterior à circunferência (d > R), temos: 
 
(a – h)² + (b – k)² > R² 
(a – h)² + (b – k)² – R² > 0 
 
• Se P pertence à circunferência (d = R), temos: 
 
(a – h)² + (b – k)² = R² 
(a – h)² + (b – k)² – R² = 0 
 
• Se P é interior à circunferência (d < R), temos: 
 
(a – h)² + (b – k)² < R² 
(a – h)² + (b – k)² – R² <0 
 
 
 
 
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17.2 Posição relativa de uma reta em relação a uma circunferência 
Leite e Castanheira (2017) apontam que, para determinar a posição de uma reta 
r: Ax + By + C = 0 em relação a uma circunferência de equação (x – h)² + (y – k)² = r², 
deve-se calcular a distância da reta ao centro da circunferência e comparar-se a distância 
d com o raio R, observando que: 
• d < R ↔ reta secante à circunferência; 
• d = R ↔ reta tangente à circunferência; 
• d > R ↔ reta externa à circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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18 COORDENADAS POLARES 
Thomas (2009) define as coordenadas polares da seguinte forma: fixamos primeiro 
uma origem O (chamada polo) e uma semirreta orientada (denominada eixo polar) a partir 
de O, como mostra a Figura

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