Gabarito de Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

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GEOMETRIA ANALÍTICA E 
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Leonardo Garcia dos Santos
Grazielle Jenske
Luiz Carlos Pitzer
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA VETORIAL
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Matrizes são tabelas que respeitam uma ordem de formação, possuem 
respectivamente linhas e colunas. A denominação “Matrizes” surgiu 
no século XIII com James Joseph Sylvester, e foi apenas no século 
XIX que o matemático inglês Arthur Cayley sistematizou a teoria das 
matrizes a partir da Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, contudo, 
o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria 
das Matrizes. Esse tipo especial de tabela possui propriedades e 
definições. Sobre elas, leia atentamente as sentenças a seguir:
I - O produto de uma matriz por outra é determinado por meio do produto 
dos seus respectivos elementos.
II - Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem mxn, vale a igualdade 
(A + B) + C = A + (B + C).
III - Em geral, A·B ≠ B·A, para A e B duas matrizes quaisquer, isto é, não é 
válida a propriedade comutativa da multiplicação para matrizes.
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Apenas a sentença II é verdadeira.
b) ( ) As sentenças I e II são verdadeiras. 
c) ( ) As sentenças I e III são verdadeiras.
d) (x) As sentenças II e III são verdadeiras.
2 A história da matemática retrata que os estudos das matrizes tiveram 
seu início por volta do século II a.C., presentes em textos chineses 
sobre aplicação de sistemas lineares. Porém, o nome matriz veio 
somente no século XIII, com James Joseph Sylvester. Matrizes 
são tabelas que respeitam uma ordem de formação, possuem 
respectivamente linhas e colunas. Esse tipo especial de tabela possui 
propriedades e definições. Entre as propriedades mais importantes 
está a multiplicação de matrizes. Sobre a multiplicação de matrizes, 
leia atentamente as sentenças a seguir:
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I - O produto das matrizes X, de ordem 2x5, e Z, de ordem 5x5, é uma matriz 
de ordem 2x5.
II - O produto das matrizes X de ordem 1x6 e Z de ordem 6x2 é uma matriz 
coluna de ordem 1x2.
III - O produto das matrizes X de ordem 3x7 e Z de ordem 7x4 é uma matriz 
quadrada de ordem 3x4.
A alternativa VERDADEIRA é:
a) ( ) As sentenças I e III estão corretas.
b) ( ) Apenas III está correta.
c) ( ) Apenas II está correta.
d) (x) Apenas I está correta.
3 Uma forma bastante interessante de ensinar matrizes inversas e 
multiplicação de matrizes é utilizando a criptografia. A criptografia é 
o estudo dos princípios e técnicas pelas quais a informação pode ser 
codificada, de forma que possa ser conhecida apenas pelas pessoas 
detentoras do código. Um professor de matemática resolveu codificar 
suas mensagens através da multiplicação de matrizes, para isso, 
ele associou as letras do alfabeto aos números, conforme a tabela a 
seguir:
Desta forma, supondo que o professor deseja enviar a mensagem "AMOR", 
pode-se tomar uma matriz M2x2, da forma: a qual, usando-se da 
tabela acima, será dado por:
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Tomando-se a matriz-chave C para o código: transmite-se a mensagem 
“AMOR” através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja:
Ou através da cadeia de números 14 27 45 76. Desta forma, utilizando-se 
a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 52 85 22 40 será 
compreendida como a transmissão da palavra:
.
a) ( ) LOGO
b) ( ) PARA
c) ( ) VIDA
d) (x) TODO
4 (FUNIVERSA) Duas empresas — 1 e 2 — são investigadas em três 
crimes fiscais — I, II e III. As evidências que relacionam as duas 
empresas aos crimes são tais que:
A evidência Relaciona a(s) empresa(s) Ao(s) crime(s)
A 1 I e III
B 1 e 2 I e II
C 2 II e III
D 1 I e II
E 1 e 2 I, II e III
F 2 III
G 1 I e II
H 1 e 2 II e III
I 2 I e III
Para tratar as informações necessárias à investigação desses crimes, 
um perito montou uma matriz M na qual cada elemento aij corresponde à 
quantidade de evidências que relacionam a empresa i ao crime j.
 
Com base nessas informações, a matriz M é:
a) ( ) 
b) (x) 
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c) ( ) 
d) ( ) 
e) ( ) 
5 (UFMT) Sejam as matrizes A = (aij)2x3 tal que aij = j – 3i; B = (bij)3x2 
tal que bij = 2i + j2; e C = (cij)2x2 tal que cij = ij. O elemento de maior 
módulo dentre os que formam a diagonal principal da matriz P, em 
que P = AB + 20C, é: 
a) ( ) 20 
b) ( ) 9 
c) ( ) -16 
d) (x) -12 
e) ( ) 0
6 (UEL-PR) Dadas as matrizes A = , definida por ; B = 
, definida por , C = , definida por C = A.B, é correto 
afirmar que o elemento é:
a) Igual ao elemento 
b) Igual ao produto de 
c) O inverso do elemento 
d) Igual à soma de 
e) Igual ao produto de 
7 Assinale V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa.
(V) Toda matriz diagonal é triangular.
(V) A matriz identidade é uma matriz diagonal.
(V) A matriz identidade é uma matriz triangular.
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, cujos elementos são dados por . 
A soma dos elementos da diagonal secundária é igual a 128.
TÓPICO 2
1 Matrizes são representadas por letras maiúsculas e têm como objetivo 
organizar números, símbolos ou expressões, de forma retangular em 
linhas e colunas, possibilitando realizar operações. As matrizes são 
muito utilizadas nos campos da economia, engenharia, matemática, 
física, informática, dentre outros, para a resolução de sistemas de 
equações lineares e transformações lineares. Deste modo, acerca da 
classificação das matrizes quanto às suas propriedades e operações, 
têm-se as seguintes afirmações:
I- Ao permutar duas linhas de uma matriz, o determinante dessa matriz 
permanece inalterado.
II- O produto de uma matriz por outra é determinado por meio do produto 
dos seus respectivos elementos.
III- Uma matriz A é dita simétrica se A = . Isso só ocorre com matrizes 
quadradas.
IV - Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz 
forem iguais a 1, então o determinante dessa matriz será igual a zero.
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) (x) As sentenças I, III e IV estão corretas.
b) ( ) As sentenças I, II e IV estão corretas.
c) ( ) As sentenças I e III estão corretas.
d) ( ) Apenas a sentença III está correta.
2 (UFBA-90) Calcule o determinante da matriz: 
Resposta: 1
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3 Seja a matriz quadrada . Calcule x de modo que 
det A = 0
Resposta: x = - 7/3.
4 (Esam-RN) Assinale a proposição verdadeira:
a) (x) Se M e N são matrizes quadradas de mesma ordem, então 
det(M·N)= det M·det N.
b) ( ) Se A é uma matriz quadrada de 2ª ordem e k *, então det (kA) = 
k·det A.
c) ( ) Se det A = 0, então a matriz A é nula.
d) ( ) Se det A = 0, então qualquer que seja a matriz X, de mesma ordem 
que A, tem-se AX = 0.
e) ( ) O determinante da matriz resultante da soma de duas matrizes de 
mesma ordem é igual à soma dos determinantes dessas matrizes.
5 Dadas as matrizes 





=
01
21
A e 




 −
=
10
13
B , calcule BdetAdet + 
e )BAdet( + .
Resposta: 
Det(A) + det(B)= -2+3= 1 
det(A + B)=3
6 Sejam as matrizes:
Calcule o det (A B).
Resposta: det (A B) = 36.
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TÓPICO3
1 Resolva o sistema linear do exemplo 28, determinando os 
comprimentos de deformação e um diagrama representativo com 
m1=2kg, m2=3kg, m3=5kg de uma mola com constante elástica de 
12N/m.
R.: (10, 85/6 , 20)
2 Determine m para que o sistema 





=++
=−+
=+−
023
054
032
zmyx
zyx
zyx
 tenha única 
solução.
R.: M ≠ 3/13
3 Escalone e resolva os sistemas lineares a seguir:
my
a) 





=+
=+−
=++
02
833
132
zy
zyx
zyx
 R.: (1,-1,2)
b) 





=++
=−+
=++
1323
524
6
zyx
zyx
zyx
 R.: (1,2,3)
c) 





−=+−−
=++
=++
8253
2172
72
zyx
zyx
zyx
R.: (-11,-11,8)
4 (UERJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana.
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Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além 
do maior número possível de lapiseiras, o número de corretores comprados 
foi igual a:
a) ( ) 11 
b) (x) 12 
c) ( ) 13 
d) ( ) 14
5 (UERJ) Observe os quadros I, II e III anunciados em uma livraria.
I) Considere os quadros I e II. Supondo que todos os livros A foram 
vendidos ao preço regular e todos os livros B foram vendidos ao 
preço de oferta, a quantia total arrecadada pela livraria na venda 
desses livros foi:
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a) ( ) R$ 1658,00 
b) (x) R$ 1568,00 
c) ( ) R$ 2340,00 
d) ( ) R$ 1348,00
II) Considere agora o quadro III, que indica a quantia arrecadada na venda 
de certa quantidade dos livros A e B (valores em reais). Utilizando 
esses dados e os apresentados no quadro II, a quantidade vendida do 
livro A (ao preço regular, edição de luxo) e a quantidade vendida do 
livro B (ao preço de oferta, edição de bolso) foram, respectivamente.
a) ( ) 100 e 200 
b) ( ) 45 e 100 
c) ( ) 50 e 160 
d) (x) 40 e 160 
6 (UFF – 2000) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa 
rodoviário conforme ilustrado. Seguindo esse mapa, uma pessoa que 
se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 450 km. Caso 
a pessoa se desloque de A para B, passando por C, o percurso será 
de 600 km. Para se deslocar de B para C, passando por A, a pessoa 
vai percorrer 800 km. Determine quantos quilômetros esta pessoa 
percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C. 
R.: 325 km
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7 (UNESP) Numa determinada empresa vigora a seguinte regra baseada 
em acúmulo de pontos. No final de cada mês, o funcionário recebe: 
3 pontos positivos, se em todos os dias do mês ele foi pontual no 
trabalho, ou 5 pontos negativos, se durante o mês ele chegou pelo 
menos um dia atrasado. Os pontos recebidos vão sendo acumulados 
mês a mês, até que a soma atinja, pela primeira vez, 50 ou mais pontos, 
positivos ou negativos. Quando isso ocorre, há duas possibilidades: 
se o número de pontos acumulados for positivo, o funcionário recebe 
uma gratificação e, se for negativo, há um desconto em seu salário. 
Qual a quantidade de meses em que um funcionário foi pontual, no 
período, se ele acumulou exatamente 50 pontos positivos em 30 
meses? 
R.: 25
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no 
espaço, considere os pontos A = (−1, 1, 2), B = (2, 1, −2), C = (3, 4, −3), 
D = (1, −2, 0), E = (2, −2, −4) e F = (−3, −4, 3). Trace o sistema ortogonal 
de coordenadas cartesianas e localize os pontos dados.
R: Esta resposta é dada em um gráfico, será incluída no gabarito detalhado.
2 Sobre que eixo está cada um dos pontos A = (0,3,0), B = (-1,0,0) e C 
= (0,0,4)?
R.: Eixo Y, Eixo X, Eixo Z
3 Sobre qual plano se encontram os pontos A = (3,0,-2), B = (1,1,0) e C 
(0,2,3)?
R.: Plano XOZ, Plano XOY, Plano YOZ
4 Qual a distância do ponto (3,2,-2) ao plano xy? E ao plano xz? E ao 
plano yz?
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R.: 2 unidades, 2 unidades, 3 unidades de comprimento.
5 A figura a seguir representa um paralelepípedo retângulo de arestas 
paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2, 1 e 3. Determine 
as coordenadas dos vértices deste sólido sabendo que A (2, –1,2).
R.: B = (2, -3, 2)
C = (3,-3,2)
D = (3,-1,2)
E = (3,-1,5)
F = (2,-1,5)
G = (2,-3,5)
H = (3,-3,5)
6 Considere os vetores u = (1, -3, 6) e v = (7, 2, 4). Calcule os vetores r 
= u + 2v e s = v – u.
R.: r = (15,1,14), s = (6,5,-2)
7 Sejam os pontos A (2, 4 , 7), B (0, 1, 5) e C ( -2, 4, 8). 
a) Determine os vetores u = AB, v = AC e w = BC.
R.: u = (-2,-3,-2), v = (-4,0,1), w = (-2,3,3)
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b) Trace estes vetores no espaço cartesiano.
R.: Gráfico será incluso no gabarito detalhado.
c) É possível afirmar que estes vetores formam um triângulo no espaço? 
Explique?
R.: Sim, pois os vetores não são colineares.
8 Sendo u = (2,-1,c), v = (a,b-2,3) e w = (4,-1,0), determine os valores de 
a, b e c de modo que 3u – 4v = 2w.
R.: a = -1/2, b = -7/4 e c = 4.
9 Dado o vetor u = (2,-1,-3), determine o vetor v paralelo a u, que tenha 
sentido contrário ao de u e três vezes o módulo de u.
R.: v = (-6,3,9)
TÓPICO 2
1 Sabendo que o vetor forma um ângulo de 60 com o 
vetor determinado pelos pontos A (3, 1, -2) e B (4, 0, m), calcule 
m. Use . 
Resposta: m = - 4.
2 Dados os vetores = (1, x, -2x - 1), = (x, x – 1, 1) e = (x, -1, 1), 
determine “x” de modo que 
Resposta: x = 0.
3 Calcule a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos 
vetores , sendo 
Resposta: A área do paralelogramo é de 10 u.a.
 
4 (Adaptado de SANTOS; FERREIRA, 2009) No Brasil, cada pessoa 
física possui um único e definitivo número de inscrição no CPF 
(Cadastro de Pessoa Física), que o identifica perante a Secretaria 
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da Receita Federal. Tal número de inscrição é constituído de nove 
dígitos, agrupados de três em três, mais dois dígitos verificadores. Por 
exemplo, 313.402.809-30. Os dígitos verificadores têm por finalidade 
comprovar a validade do número do CPF informado. Tais dígitos são 
obtidos por meio das seguintes operações envolvendo produtos 
escalares.
Cálculo do primeiro dígito verificador: tomamos um vetor cujos 
componentes são os dígitos que compõem o número do CPF na ordem dada. 
Para o CPF anterior temos o vetor:
Determinamos o produto escalar desse vetor com o vetor (padrão) 
isto é, 
A seguir, tomamos o resto da divisão inteira desse produto escalar por 11. 
Se o resto da divisão inteira é 0 ou 1, então o primeiro dígito verificador é 0. 
Caso contrário (resto entre 2 e 10), o primeiro dígito verificador é dado por 
11 – resto.
Para o exemplo em questão, a divisão inteira de 151 por 11 resulta em 
quociente 13 e resto 8. Assim, o primeiro dígito verificador é 11 – 8 = 3.
Cálculo do segundo dígito verificador: tomamos um vetor cujos nove 
primeiros componentes são os dígitos que compõem o número do CPF na 
ordem dada, e o último componente é o primeiro dígito verificador encontrado. 
Para o exemplo em questão temos:
Determinamos o produto escalar desse vetor com o vetor (padrão) 
isto é, 
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A seguir, tomamos o resto da divisão inteira desse produto escalar por 11. 
Se o resto da divisão inteira é 0 ou 1, então o segundo dígito verificador é 
0. Caso contrário (resto entre 2 e 10), o segundo dígito verificador é dado 
por 11 – resto.
Para o exemplo em questão, a divisão inteira de 187 por 11 resulta em 
quociente 17 e resto 0. Assim, o segundo dígito verificador é 0.
Nesta questão,a resposta é dada pela soma dos números que identificam 
as alternativas corretas.
(1) O número de CPF 300.001.201 possui como dígito verificador o número 03.
(2) O número de CPF 005.211.271 possui como dígito verificador o número 80.
(3) O número de CPF 411.567.913 possui como dígito verificador o número 16.
(4) O número de CPF 050.126.349 possui como dígito verificador o número 00.
O somatório das alternativas corretas é:
a) ( ) 3 
b) ( ) 4 
c) (x) 5 
d) ( ) 6 
5 Quando falamos sobre a posição relativa de dois vetores e 
analisamos o ângulo formado entre eles, há duas operações 
vetoriais que possibilitam determinar exatamente o ângulo formado 
ou simplesmente fazer uma analogia com relação a estes ângulos e 
determinar uma denominação apropriada àquela posição. Pensando 
nisso, determine qual alternativa apresenta a classificação relativa 
ao ângulo formado pelos vetores u = (-2, 4, -1) e v = (4, 3, -3). 
Analise as sentenças a seguir:
I- Os vetores são perpendiculares.
II- Os vetores formam um ângulo agudo.
III- Os vetores formam um ângulo obtuso.
IV- Os vetores são complementares.
Assinale a alternativa correta:
a) ( ) Somente a sentença I está correta.
b) (x) Somente a sentença II está correta.
c) ( ) Somente a sentença III está correta.
d) ( ) Somente a sentença IV está correta.
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6 O triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado 
por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos 
diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 
180 graus. Os triângulos são classificados de acordo com os limites 
das proporções relativas de seus lados e de seus ângulos internos:
• Triângulo equilátero: possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais.
• Triângulo isósceles: possui dois lados de mesma medida e dois ângulos 
congruentes.
• Triângulo escaleno: as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos 
internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.
A partir disto, leia com atenção as alternativas.
I - Os pontos A(3, 8), B(-11, 3) e C(-8, -2) são vértices de um triângulo 
isósceles.
II - Os pontos A(-1, 2), B(2, 5) e C(2, 2) são vértices de um triângulo escaleno.
III - Os pontos A(3, 8), B(-11, 3) e C(-8, -2) são vértices de um triângulo 
equilátero.
Assinale a opção correta:
a) (x) Apenas a alternativa I está correta.
b) ( ) Apenas a alternativa III está correta.
c) ( ) As alternativas I e II estão corretas.
d) ( ) As alternativas II e III estão corretas.
TÓPICO 3
1 S e j a m e . Quais dos vetores 
 e são combinações de u e v?
R.: Nenhum vetor.
2 Escreva o vetor (1,-7) como combinação linear dos vetores (2,3) e 
(5,-1).
R.: (1,-7) = (5,-1) – 2.(2,3)
3 Determine (se existir!) todas as combinações lineares possíveis entre 
os vetores (1, -2, 3) e (-2, 4, -6).
18 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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R.: Não existem combinações lineares entre estes dois vetores, pois (-2,4,-6) 
= -2.(1,-2,3).
4 Determine se os conjuntos de vetores a seguir são L.D. ou L.I.
a) (LD) {(1, 1, 2), (1, 0, 0), (4, 6,12)} 
b) (LD) {(1, -2, 3), (-2, 4, -6)} 
c) (LI) {(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} 
d) (LI) {(4, 2, -1), (6, 5, -5), (2, -1, 3)} 
e) (LD) {(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (0, 0, 1)} 
5 Considere os vetores: 
1v

. Mostre que x1 e x2 
formam uma base para R².
R.: Sim, pode-se criar a = -3x+8y e b = (-x + 2y)/2 de modo a gerar R², além 
disto, os vetores formam um conjunto LI.
6 Determine se (1,4) e (2,8) é uma base de R².
R.: Não é uma base, pois os vetores são combinações lineares mutuamente.
7 Determine se (1,1,1), (1,0,1) e (1,2,1) formam uma base de R³.
R.: Não, pois os vetores deste conjunto são LD.
8 Dados os vetores 1v

=(3,2,2) e 2v

=(18,–22,–5) e v

3 =(–8,–12,24), 
verifique se eles formam uma base ortogonal ou ortonormal?
R.: Formam uma base ortogonal, mas não ortonormal, pois os vetores não 
estão normalizados.
)3,4(,)1,2( 21 == xx
TÓPICO 4
1 A transformação 32: RRT → , definida por 
)2,(),(,: 22 yxyxyxTRRT −+=→ é linear:
R.: Sim.
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2 O núcleo da transformação linear 
)2,(),(,: 22 yxyxyxTRRT −+=→ é o conjunto:
R.: x = 0 e y = 0. Logo, N(T) = {(0, 0)} 
3 Seja a transformação linear. Neste caso, o núcleo é dado por:
R.: }|),,3{()( RzzzzTN ∈−= ou 
4 Determine o núcleo e a imagem do operador linear: 
)3,2,2(),,(,: 33 zyxzyzyxzyxTRRT +++−+=→
R.: )]1,2,5[(}|)1,2,5({}|),2,5{()( −=∈−=∈−= RzzRzzzzTN
}0|),,{()Im( 3 =−+∈= cbaRcbaT
5 Obtenha a imagem do vetor )2,4(=v pela rotação 2/πθ = .
R.:
6 Determine os autovalores e autovetores do operador linear:
T: R3 → R3, T(x,y,z) = (3x – y + z, -x + 5y + z, x – y + 3z)
R.: Os autovalores são 1 = 2, 2 = 6 e 3 = 3
Autovetores
v1 = (1,0,-1) ou seus múltiplos.
v2 = (1,1,1) ou seus múltiplos.
v3 = (1,-2,1) ou seus múltiplos.
7 Com base equação característica: det(A – I) = 0.
R.: Os valores não serão reais
)83,4(),,(,: 23 zyxzyxzyxTRRT +++−=→
[ ] 




−
=










 −
=










 −
=
4
2
2
4
01
10
2
4
2/cos2/
2/2/cos
)2,4(
ππ
ππ
sen
sen
T
)3,2,2(),,(,: 33 zyxzyzyxzyxTRRT +++−+=→
20 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Assinale a alternativa que traz as equações reduzidas da reta que 
passa pelo ponto A (4, 0, -3) e tem a direção do vetor .
a) (x)
b) ( )
c) ( )
d) ( )
e) ( )
2 Duas retas são concorrentes se, e somente se, possuírem um ponto 
em comum, ou seja, a intersecção das retas r e s, quando existir, é 
o ponto P(x, y), comum a elas, que é a solução do sistema formado 
pelas equações das duas retas. Determine o ponto de intersecção 
das retas: 





−=
−=
+=
−
==
−
tz
ty
tx
sezyxr
27
2
5
: 
4
5
32
2:
a) ( ) P (4, 2, 7)
b) ( ) P (2, 1, 9)
c) (x) P (4, 3, 9)
d) ( ) P (2, 0, 5)
e) ( ) P (2, 0, 9)
3 Nesta questão a resposta é dada pela soma dos números que 
identificam as alternativas corretas.
(1) a reta que passa por A (1,-2,4) e é paralela ao eixo dos x é, x = 1.
(2) o ângulo formado pelos vetores é de 45 .
(3) a reta que passa pelo ponto B (2,3,4) é ortogonal ao tempo aos eixos dos 
x e dos y é .
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(4) os vetores são coplanares. 
O somatório das alternativas corretas é:
a) ( ) 3 
b) ( ) 4 
c) ( ) 5 
d) (x) 6 
e) ( ) 7
4 Assinale a alternativa que determina corretamente o valor de “n” para 
que seja de 30 o ângulo entre as retas:
a) (x) n = 
b) ( ) n = 5 e n = -5 
c) ( ) n = 1 e n = 7 
d) ( ) n = -1 e n = 2 
e) ( ) n = -1 e n = 1
5 Determine as equações das seguintes retas:
a) Reta que passa por A (1,-2,4) e é paralela ao eixo x.
b) Reta que passa por B (3,2,1) e é perpendicular ao plano x0z.
c) Reta que passa por A (4,-1,2) e tem direção do vetor .
d) Reta que passa pelos pontos M (2,-3,4) e N (2,-1,3).
6 A reta r passa pelo ponto A (1,-2,1) e é paralela à reta . Se 
P (-3,m,n) , determine m e n. 
R.: m = 10 e n = 5
7 Demonstre que o ponto P1 (2,2,3) é equidistante dos pontos P2 (1,4,-2) 
e P3 (3,7,5).
22 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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R.:
 
Como queríamos demonstrar.
8 Calcule a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:
b) r passa pelos pontos A (1,0,1) e B (-1,-1,0) e s pelos pontos C (0,1,-2) 
e D(1,1,1) 
R.:
TÓPICO 2
1 Assinale a opção que apresenta a equação geral do plano π que 
passa pelo ponto A (2,-1,3),sendo n = (3,2,-4) um vetor normal a π. 
a) (x) 3x + 2y – 4z + 8 = 0
b) ( ) x + y – z = 0
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c) ( ) -x – y + z + 8 = 0
d) ( ) -3x + y + z + 8 = 0
e) ( ) -3x - y + z + 8 = 0
2 Observe o gráfico a seguir:
O gráfico é esboço do plano de equação:
a) ( ) 
b) ( )
c) (x) 
d) ( )
e) ( ) 
3 Determine m de modo que os planos 
 sejam perpendiculares. Em seguida, assinale 
a opção que apresenta este valor:
a) ( ) m = 3/2
b) (x) m = 1/2
c) ( ) m = -2
d) ( ) m = -3/2
e) ( ) m = -1/2
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4 Uma vez estabelecido que dois planos são concorrentes, podemos 
determinar a reta de interseção. Sabendo que os planos descritos a 
seguir são concorrentes, a reta de interseção dos planos é:
TÓPICO 3
1 No estudo da Geometria Analítica, deparamo-nos com seções cônicas: 
a hipérbole, a elipse, a circunferência e a parábola, que são curvas 
geradas pela intersecção de um cone circular reto de duas folhas com 
um plano. A parábola é a cônica definida na intersecção de um plano 
que penetra de forma oblíqua a superfície de um cone e também pode 
ser conceituada como a curva plana definida como o conjunto dos 
pontos que são equidistantes do foco e de uma reta diretriz e foi 
fortemente divulgada pelo matemático Pierre de Fermat (1601-1655). 
Desta forma, determine a equação da parábola que apresenta foco 
em F(2, 3) e equação diretriz y = -1.
a) (x) x2 – 4x – 8y + 12 = 0.
b) ( ) y2 – 4y – 8x + 12 = 0.
c) ( ) x2 + 4x + 8y + 12 = 0.
d) ( ) y2 + 4y + 8x + 12 = 0.
2 Uma das aplicações das cônicas é na construção de faróis parabólicos, 
da seguinte maneira: girando-se uma parábola em torno de seu eixo 
obtemos uma superfície denominada paraboloide circular reto. O 
farol parabólico é obtido seccionando-se essa superfície por um 
plano perpendicular ao seu eixo. Quando a fonte de luz é colocada 
sobre o foco do farol parabólico, todos os raios luminosos se refletem 
paralelamente ao seu eixo. Assim, pela propriedade da reflexão, a 
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lâmpada deve ser posicionada sobre o foco. Sabendo que um farol 
parabólico apresenta a equação x2 = 12y, determine a que distância, 
sobre o eixo, a lâmpada deverá ser posicionada.
a) A lâmpada deverá ser posicionada, sobre o eixo, a 3 cm do vértice.
b) A lâmpada deverá ser posicionada, sobre o eixo, a 6 cm do vértice.
c) A lâmpada deverá ser posicionada, sobre o eixo, a 12 cm do vértice.
d) A lâmpada deverá ser posicionada, o vértice da parábola.
3 O raio de uma circunferência com centro no ponto C = (2, 1) e que 
passa pelo ponto P = (6, 4) é:
a) (x) 5
b) ( ) 12,5
c) ( ) 16
d) ( ) 25
4 A parábola é uma seção cônica gerada pela interseção de 
uma superfície cônica e um plano. Uma parábola também pode ser 
definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um 
ponto dado (chamado de foco) e de uma reta diretriz. Desta forma, 
determine as coordenadas de vértice e de foco da equação y2 + 4y + 
16x – 44 = 0.
Assinale a alternativa correta:
a) (x) V(3, -2) e F(-1, -2)
b) ( ) V(-2, 3) e F(-2, -1)
c) ( ) V(2, 3) e F(1, 2)
d) ( ) V(3, 2) e F (2, 1)
5 Cônicas são curvas geradas nas intersecções entre um plano que 
atravessa um cone. Classificam-se em: circunferência, elipse, 
parábola e hipérbole. A hipérbole é definida pelo conjunto de pontos, 
tais que o módulo das distâncias (2a) a dois pontos fixos (F1 e F2) 
seja menor que a distância (2c) entre os pontos (0 < 2a < 2c). A esses 
pontos fixos chamamos de focos e a constante (2c) é o comprimento 
do eixo real, isto é, o eixo que contém os focos. Utilizando os 
conceitos que permeiam este conteúdo, determine os focos e os 
vértices da hipérbole de equação 16x2- 9y2 – 144 = 0.
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a) Focos: F1(5,0) e F2(-5,0). Vértices A1(3,0) e A2(-3,0).
b) Focos: F1(0, 5) e F2(0, -5). Vértices A1(3,0) e A2(-3,0).
c) Focos: F1(5,0) e F2(-5,0). Vértices A1(0, 3) e A2(0, -3).
d) Focos: F1(0, 5) e F2(0, -5). Vértices A1(0, 3) e A2(0, -3).
6 Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os 
nomes das curvas planas descritas na coluna da direita.
Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna.
( ) Elipse
( ) Hipérbole
( ) Reta
( ) Circunferência
( ) Parábola
A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana 
na sequência de cima para baixo, é:
a) (x) I, IV, II, V e III
b) ( ) I, V, III, IV e II
c) ( ) II, III, V, I e IV
e) ( ) IV, II, V, I e III
7 Determine o centro da elipse de equação: 4x2 + 9y2 – 8x – 36y + 4 = 0
a) ( ) C (2,1)
b) ( ) C (9,4)
c) ( ) C (-1, -2)
d) (x) C (1,2)
8 A representação gráfica de uma circunferência é dada por um modelo 
quadrático. Para determiná-lo é necessário conhecer as coordenadas 
do centro da circunferência e o comprimento do seu raio. Neste caso, 
encontre a equação geral da circunferência, cujo centro é (-2, 4) e 
que passa pela origem do sistema cartesiano, e assinale a alternativa 
CORRETA:
 
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a) ( ) Somente a alternativa I está correta.
b) (x) Somente a alternativa II está correta.
c) ( ) Somente a alternativa III está correta.
d) ( ) Somente a alternativa IV está correta.