Cálculo: Derivadas, Integrais e Limites

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1a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
O limte lateral para a função f(x) representado 
por limx→2−2√ x2−4 x−2limx→2−x2−42x−2 é corretamente expresso por: 
 
 +∞+∞ 
 -1 
 −∞−∞ 
 
1 
 00 
Respondido em 30/05/2022 08:00:21 
 
Explicação: 
Como x → 2+, o aluno deve lembrar x - 2 > 0 e x−2=√ (x−2)2 x−2=(x−2)2 
Além disso, (x2 - 4) = (x+2)(x-2) 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Sobre a função f(x)=1√ x2−3x+21x2−3x+2 é possível afirmar que sua continuidade é 
garantida em: 
 
 (−1,−2)(−1,−2) 
 (−∞,−1](−∞,−1] U [2,+∞+∞) 
 (−∞,1)(−∞,1) U (2,+∞)(2,+∞) 
 (−∞,+∞)(−∞,+∞) 
 
A função f não é contínua para qualquer x real 
Respondido em 30/05/2022 08:00:23 
 
Explicação: 
O aluno deve estudar a função quanto ao seu domínio considerando: 
x2−3x+2x2−3x+2 > 0 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Encontre a derivada de y=x2−1x2+1y=x2−1x2+1 
 
 f′(x)=f′(x)=4x(x2+1)24x(x2+1)2 
 f′(x)=f′(x)=x(x2+1)2x(x2+1)2 
 f′(x)=f′(x)=4x(x2−1)24x(x2−1)2 
 f′(x)=f′(x)=3+x(x2+1)23+x(x2+1)2 
 f′(x)=f′(x)=−3+x(x2−1)2−3+x(x2−1)2 
Respondido em 30/05/2022 08:00:24 
 
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra do quociente com u=x2−1u=x2−1 e v=x2+1v=x2+1 
ddxuv=v∗(du/dx)−u∗(dv/dx)v2ddxuv=v∗(du/dx)−u∗(dv/dx)v2 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Derive a função f(x)=1(1+sin(x))2f(x)=1(1+sin(x))2 
 
 f′(x)=cos(x)[1+sec(x)]2f′(x)=cos(x)[1+sec(x)]2 
 f′(x)=cos(x)[1+sin(x)]2f′(x)=cos(x)[1+sin(x)]2 
 f′(x)=2∗cos(x)[1+cos(x)]4f′(x)=2∗cos(x)[1+cos(x)]4 
 f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)]3f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)]3 
 f′(x)=sin(x)[1+sin(x)]3f′(x)=sin(x)[1+sin(x)]3 
Respondido em 30/05/2022 08:00:26 
 
Explicação: 
Faça: u=1+sin(x)u=1+sin(x) 
f(u)=u−2f(u)=u−2 
f′(u)=−2∗1u3f′(u)=−2∗1u3 
dudx=cos(x)dudx=cos(x) 
d(f(u)dx=dfdu∗dudxd(f(u)dx=dfdu∗dudx 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
A função f(x)=x2−2xf(x)=x2−2x apresenta a seguinte característica: 
 
 Apresenta assíntota horizontal definida em y = x 
 
É definida em x = 0 
 
Não cruza o eixo x 
 Apresenta um ponto de máximo global em x = 2 
 
Apresenta um ponto de mínimo global em x = -2 
Respondido em 30/05/2022 08:00:28 
 
Explicação: 
O aluno deve gerar a primeira e a segunda derivada da função e, então, realizar o estudo 
segundo o conteúdo descrito na aula 05. 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
O limite dado por limx→0sin(5x)3xlimx→0sin(5x)3x é dado por: 
 
 
0 
 1313 
 5353 
 -1515 
 -ππ 
Respondido em 30/05/2022 08:00:29 
 
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra de L'Hôpital: 
limx→05∗cos(5x)3=53limx→05∗cos(5x)3=53 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Ache a solução completa da equação diferencial dydx=2x4ydydx=2x4y 
 
 y2=2x55+Cy2=2x55+C 
 y2=x55+Cy2=x55+C 
 y2=2x25+Cy2=2x25+C 
 y22=2x55+Cy22=2x55+C 
 xy22=2xy55+Cxy22=2xy55+C 
Respondido em 30/05/2022 08:00:31 
 
Explicação: 
ydy=2x4dxydy=2x4dx 
∫ydy=∫2x4dx∫ydy=∫2x4dx 
y22=2x55+Cy22=2x55+C 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Encontre a integral indefinida ∫x.sin(4x)dx∫x.sin(4x)dx 
 
 x.cos(4x)+sin(4x)+Cx.cos(4x)+sin(4x)+C 
 −18x.cos(2x)+18.sin(2x)+C−18x.cos(2x)+18.sin(2x)+C 
 14x.cos(x)+118.sin(x)+C14x.cos(x)+118.sin(x)+C 
 18x.cos(4x)−116.sin(4x)+C18x.cos(4x)−116.sin(4x)+C 
 −14x.cos(4x)+116.sin(4x)+C−14x.cos(4x)+116.sin(4x)+C 
Respondido em 30/05/2022 08:00:33 
 
Explicação: 
É necessário aplicar o conceito de integração por partes: 
Faça: u = x e v' = sin(4x) 
∫udv=uv−∫vdu∫udv=uv−∫vdu 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Encontre a integral indefinida ∫x2x+1dx∫x2x+1dx 
 
 (x)22+x+1+ln[x]+C(x)22+x+1+ln[x]+C 
 (x+1)22(x+1)+ln[x]+C(x+1)22(x+1)+ln[x]+C 
 (x+1)2+(x+1)+ln[x]+C(x+1)2+(x+1)+ln[x]+C 
 (x+1)22−2(x+1)+ln[x+1]+C(x+1)22−2(x+1)+ln[x+1]+C 
 (x+1)24−2+ln[3x+1]+C(x+1)24−2+ln[3x+1]+C 
Respondido em 30/05/2022 08:00:34 
 
Explicação: 
A técnica de frações parciais pode ser aplicada. 
No entanto, a resolução fica mais rápida se a substituição abaixo for considerada: 
u=x+1u=x+1 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
O comprimento do arco de parábola y=x2+1y=x2+1, para 0≤x≤20≤x≤2 terá um 
valor de: 
 
 171/2171/2 
 17+ln[4+171/2]17+ln[4+171/2] 
 14∗ln[4+171/2]14∗ln[4+171/2] 
 171/2+14∗ln[4+171/2]171/2+14∗ln[4+171/2] 
 171/2+14171/2+14 
Respondido em 30/05/2022 08:00:36 
 
Explicação: 
Para encontrar o comprimento do arco: 
f′(x)=2xf′(x)=2x 
L=∫ba(1+[f′(x)]2)1/2dxL=∫ab(1+[f′(x)]2)1/2dx 
Onde: a = 0 e b = 2