Slides de Aula - Unidade I 2

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Unidade I
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Prof. Clóvis Ferraro
Princípio Fundamental da Contagem
 Permite determinar o número total de possibilidade de um 
evento ocorrer, pelo produto de m x n. Sendo n e m resultados 
distintos de um evento experimental.
Exemplo de aplicação: 
 Sonia tem em seu guarda-roupa duas saias (azul, vermelha) 
e quatro blusas (branca, verde, preta, amarela). Quantas 
maneiras diferentes de se vestir são possíveis utilizando 
as blusas e saias?
Princípio Fundamental da Contagem
Saia 
Azul
Saia 
Vermelha
Branca
Verde
Preta
Amarela
Branca
Verde
Preta
Amarela
Princípio Fundamental da Contagem
Utilizando princípio fundamental da contagem, temos:
 m = 2 (Modelos de saia), n = 4 (Modelos de blusas)
 m x n = 2 x 4 = 8
 Sonia possui 8 possibilidades diferentes de se vestir.
Fatorial
Anagramas
 O anagrama é o resultado da combinação das letras que 
compõe uma palavra. Por exemplo: Amor – Roma, Oram. 
As novas palavras formadas não precisam necessariamente 
terem significado.
 Quantos anagramas podem ser formados utilizando 
a palavra GARFO? 
Sendo:
 n= números de letras que compõe a palavra, logo n=5, 
teremos:
 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Permutação Simples
 Três pessoas concorrem a eleição para síndico de um prédio, 
sendo: Júlia, Ricardo e Antonio. Quantos são os resultados 
possíveis deste evento?
 Para calcularmos os resultados possíveis será necessário 
determinar “n”, sendo:
 n = 3 (Quantidade de candidatos concorrendo a representante)
 Pn = n!
 Pn = 3 . 2 . 1!
 Pn = 6
Permutações com Repetição
Arranjos Simples
Permutações Simples
 Utilizando o princípio fundamental da contagem podemos 
calcular de quantas maneiras distintas podemos colocar quatro 
livros diferentes (português, matemática, história e geografia) 
em uma prateleira. 
Temos: n = 4 (quantidade de livros)
 Pn = n!
 P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 maneiras
Permutações com Repetição
 Em uma caixa temos 3 bolas brancas, 2 bolas vermelhas, 1 
bola azul e 1 bola verde. Retirando uma a uma, de quantas 
maneiras distintas podemos alocá-las lado a lado?
Temos: 
 n=8 (número total de bolas). Porém, temos as bolas repetidas, 
para a resolução utilizaremos: 𝑃𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐, … =
𝑛!
𝑎!𝑏!𝑐!…
Logo: 𝑃𝟕 3,2 =
𝟕!
3!𝑥2!
=
7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3!
3!𝑥2!
= 𝟒𝟐𝟎
Permutações Circulares
Interatividade
Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar 
com os dígitos: 1, 3, 5 e 7?
a) 15
b) 10
c) 12
d) 16
e) 18
Resposta
Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar 
com os dígitos: 1, 3, 5 e 7?
a) 15
b) 10
c) 12
d) 16
e) 18
Combinações Simples

28
Combinação Simples
 𝑪𝒏𝒑 =
𝒏!
𝒑! 𝒏−𝒑 !
Podemos utilizar a notação a seguir:
 C n,p =
𝒏
𝒑 ; 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒏, 𝒑 ∈ 𝑵 𝒑 ≤ 𝒏}
Números binomiais Complementares
𝒏
𝒑
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓𝒆𝒔 𝒏
𝒏 − 𝒑 ; 𝒏, 𝒑 ∈ 𝑵 | 𝒑 ≤ 𝒏
Exemplo de aplicação:
𝟓
𝟑
=
𝟓!
𝟑! 𝒙 𝟐!
=
𝟓 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑!
𝟑! 𝒙 𝟐!
= 𝟏𝟎
𝟓
𝟐
=
𝟓!
𝟐! 𝒙 𝟑!
=
𝟓 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑!
𝟐! 𝒙 𝟑!
= 𝟏𝟎
𝒏
𝒑 =
𝒏
𝒏 − 𝒑
Relação de Stifel
𝒏
𝒑 +
𝒏
𝒑 + 𝟏 =
𝒏 + 𝟏
𝒑 + 𝟏
Exemplo de aplicação:
𝟒
𝟐
+
𝟒
𝟑
=
𝟓
𝟑
𝟒
𝟐
=
𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐!
𝟐! 𝒙 𝟐!
= 𝟔
𝟒
𝟑
=
𝟒𝒙𝟑!
𝟑!
= 𝟒
𝟓
𝟑
=
𝟓𝒙𝟒𝒙𝟑!
𝟑! 𝒙 𝟐!
= 𝟏𝟎
Triângulo de Pascal
Coluna 0 Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 Coluna n
1 Linha 0
1 1 Linha 1
1 2 1 Linha 2
1 3 3 1 Linha 3
1 4 6 4 1 Linha 4
1 5 10 10 5 1 Linha 5
Exemplo de aplicação:
𝟓
𝟐
= 𝟏𝟎
Teorema do Binômio
 𝒙 + 𝒚 𝒏 =
𝒏
𝟎
𝒙𝟎𝒚𝒏 +
𝒏
𝟏
𝒙𝟏𝒚𝒏_𝟏 +
𝒏
𝟐
𝒙𝟐𝒚𝒏_𝟐 +⋯+
𝒏
𝒏
𝐱𝐧𝐲𝟎
Exemplo de aplicação:
 Calculando (x+y)4
Seja: (x+y) (x+y) (x+y) (x+y), teremos:
 (x+y)4 = 
4
0
y4 + 
4
1
xy3 + 
4
2
x2y2 + 
4
3
x3y + 
4
4
x4
 As combinações podemos resolver utilizando o triângulo 
de pascal.
Triângulo de Pascal
Coluna 0 Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 Coluna n
1 Linha 0
1 1 Linha 1
1 2 1 Linha 2
1 3 3 1 Linha 3
1 4 6 4 1 Linha 4
Resolvendo a equação
𝟒
𝟎
= 𝟏
𝟒
𝟏
= 𝟒
𝟒
𝟑
= 𝟒
𝟒
𝟒
= 𝟏
(x+y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Interatividade
Uma loja de ponta de estoque possui 10 produtos em 
liquidação. Cada cliente pode comprar apenas 3 dos 10 
produtos. Quantas são as combinações possíveis de compra 
que um cliente dispõe?
a) 240
b) 180
c) 120
d) 90
e) 60
Resposta
Uma loja de ponta de estoque possui 10 produtos em 
liquidação. Cada cliente pode comprar apenas 3 dos 10 
produtos. Quantas são as combinações possíveis de compra 
que um cliente dispõe?
a) 240
b) 180
c) 120
d) 90
e) 60
Probabilidade
 Experimento aleatório
 Espaço Amostral ou Universo
 S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}
 n=10 (número de elementos 
que compõe o conjunto
Evento Por exemplo o número 
 múltiplos de 3.
 E={3,6,9}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
3
6
9
Probabilidade
 Uma moeda (não viciada) é lançada uma vez. Qual 
probabilidade do seu resultado seja Cara?
 Evento a ser verificado: que o resultado lançamento da moeda 
seja Cara (C).
 Espaço amostral: C (cara), K (coroa).
𝑃(𝐸) =
𝑛(𝐸)
𝑛(𝐴)
=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
=
1
2
= 0,5 = 50%
0 ≤ 𝑃(𝐸) ≤ 1
Exemplo de aplicação
 Uma moeda honesta é lançada três vezes consecutivamente, 
determine o espaço amostral. Considere C = cara e K = coroa.
 S={CCC,CCK,CKC,CKK,KCC,KCK,KKC,KKK}
C
K
C
K
C
K
C
K
K
K
K
C
C
C
Exemplo de aplicação
 Uma moeda honesta é lançada três vezes consecutivamente, 
determine a probabilidade de ocorrer ao menos uma cara. 
Considere C = cara e K = coroa.
 S={CCC,CCK,CKC,CKK,KCC,KCK,KKC,KKK}
 E={CCC,CCK,CKC,CKK,KCC,KCK,KKC}
 𝑃 =
𝑛(𝐸)
𝑛(𝑆)
=
7
8
= 0,875 = 87,50%
Exemplo de aplicação
 Colocados em uma urna a combinação dos números 1, 2, 3, 4, 
5 e 6 dois a dois (sem repetição), calcule a probabilidade do 
evento “de ser retirado da urna um número ímpar).
 Total de combinações = 6 x 5 = 30
 Total de números ímpares = 5 x 3 = 15
 𝑃 =
𝑛(𝐸)
𝑛(𝑆)
=
15
30
= 0,5 = 50,00%
Probabilidade
Um dado (não viciado) é lançado uma vez. Qual probabilidade 
de que o seu resultado seja um número múltiplo de 2 ou 3?
 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
 A = { 2, 4, 6} (ser múltiplo de 2)
 B = { 3, 6}
 𝐴 ∩ 𝐵 = 6
 P = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) =
3
6
+
2
6
−
1
6
=
4
6
=
2
3
= 0,66 = 66,67%
2
4
6 3
Interatividade
(ENEM 2013 – 150 – prova azul) Numa escola com 1200 alunos 
foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em 
duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa 
constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 
300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um 
aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala 
inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
a) ½
b) 5/8
c) ¼
d) 5/6
e) 5/14
Resposta
(ENEM 2013 – 150 – prova azul) Numa escola com 1200 alunos 
foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em 
duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa 
constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 
300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um 
aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala 
inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
a) ½
b) 5/8
c) ¼
d) 5/6
e) 5/14
Eventos Complementares
Sendo “p” a probabilidade de ocorrer um evento qualquer e 
“q” de não ocorrer, temos a relação: 
𝑝 + 𝑞 = 1 → 𝑞 = 1 − 𝑝
Exemplo de aplicação
 No lançamento simultâneo de dois dados honestos, calcule a 
probabilidade de não ocorrer a soma das faces iguais a 4.
 n(S) = 6 x 6 = 36
Evento “p”: soma das faces seja igual a 4, temos: {(1, 3), (3, 1), 
(2, 2)}, logo: 
𝑝 + 𝑞 = 1 → 𝑞 = 1 − 𝑝
𝑞 = 1 −
3
36
=
11
12
Eventos mutuamente exclusivos
 Uma urna contendo os números
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 e 10. Qual a 
probabilidade de ser sorteado um
número que seja par e ímpar
simultaneamente?
Evento A (números pares)
 A = { 2, 4, 6, 8, 10}
 Evento B (números ímpares)
 B = { 1, 3, 5, 7, 9}
 𝐴 ∪ 𝐵 = ∅ P = P(A) + P(B)
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
?
Exemplo de aplicação
Em um lançamento de um dado honesto, qual a probabilidade 
de ocorrer os números 2 ou 5 na face superior?
 Evento A = { ocorrer o número 2}
 Evento B = { ocorrer o número 5}
 n(A) = 1
 n(B) = 1
𝑷 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 =
𝟏
𝟔
+
𝟏
𝟔
=
𝟐
𝟔
=
𝟏
𝟑
= 𝟎, 𝟑𝟑 = 𝟑𝟑, 𝟑𝟑%
Eventos independentes
 Dois eventos são independentes quando a realização ou não 
de um dos eventos não impede que o outro aconteça.
𝑃 = 𝑃 𝐴 𝑥 𝑃(𝐵)
Exemplo de aplicação
Lançando dois dados honestos simultaneamente, qual
a probabilidade de obtermos 1 no primeiro e 5
no segundo dado?
 Evento A: ocorrer 1 no lançamento do dado.
 Evento B: ocorrer 5 no lançamento do dado.
𝑃 = 𝑃 𝐴 𝑥 𝑃 𝐵 =
1
6
𝑥
1
6
=
1
36
= 0,027 = 2,78%
Probabilidade condicional 
 Qual a probabilidade de ocorrer um evento A, após ter 
ocorrido um evento B, sendo ambos do espaço amostral S?
𝑃
𝐴
𝐵
=
𝑛 ( 𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛 (𝐵)
Exemplo de aplicação
Uma escola de idiomas realizou uma pesquisa com 1000 alunos, 
sendo que 500 fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de 
espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um 
estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também 
estar cursando o curso de espanhol?
Evento B: alunos que estudam inglês. n(A)=500
Evento A: alunos que estudam espanhol. n(B)=300
n A ∩ B = 200, então:
𝑃
𝐴
𝐵
=
𝑛 ( 𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛 (𝐵)
=
200
500
=
1
4
= 25%
Interatividade
(CESGRANRIO – BB 2012) Uma moeda não tendenciosa é 
lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos 
iguais. Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente 
três vezes?
a) 1/8
b) 1/4
c) 1/3
d) 1/2
e) 3/4
Resposta
(CESGRANRIO – BB 2012) Uma moeda não tendenciosa é 
lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos 
iguais. Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente 
três vezes?
a) 1/8
b) 1/4
c) 1/3
d) 1/2
e) 3/4
ATÉ A PRÓXIMA!