FUNÇÃO QUADRÁTICA

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FUNÇÃO QUADRÁTICA
DEFINIÇÃO
É uma função da forma f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c ∈  e a ≠ 0.
Observação
a é dito coe� ciente líder da função quadrática.
Exemplo:
f(x) = 4x² + 5x – 8
GRÁFICO
O grá� co de uma função quadrática é uma parábola.
Observação
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para CIMA e 
quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para BAIXO.
a > 0
a < 0
ProBizu
Para memorizar mais facilmente a concavidade da parábola, 
podemos pensar no seguinte “macete”:
Quando a > 0, pensamos que “a parábola está feliz” e assim a 
concavidade é para CIMA.
Quando a < 0, pensamos que “a parábola está triste” e assim a 
concavidade é para BAIXO.
RAÍZES
Para resolver uma equação da forma ax² + bx + c = 0, usaremos a 
técnica de completar quadrados, vista no nosso módulo de fatoração
ax² + bx + c = 0 ⇔ 4a²x² + 4abx + 4ac = 0.
Somando b² - 4ac a ambos lados, temos que (2ax + b)² = b² - 4ac. 
Sendo b² - 4ac = ∆ (discriminante), obtemos a (Fórmula de Bhaskara) 
As raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, são dadas por 
b
2a
− ± ∆ , onde ∆ = b² - 4ac.
Observação
A fórmula de Bhaskara também é verdadeira para equações com 
coe� cientes complexos.
INTERSECÇÃO DA COM EIXO OY
Quando buscamos a intersecção com o eixo Oy

estamos buscando 
o ponto da forma (0, f0), ou seja, o valor da função f para x = 0. Dessa 
forma temos f0 = a⋅02 + 0⋅x + c, sendo f0 = c, portanto o ponto em que 
a parábola corta o eixo das ordenadas é o ponto (0,c).
DISCUSSÃO SOBRE AS RAÍZES REAIS
Dada uma equação do 2º grau com coe� cientes reais, temos:
I. ∆ > 0: a equação possui duas raízes reais distintas.
II. ∆ = 0: a equação possui duas raízes reais iguais (raiz dupla).
III. ∆ < 0: a equação não possui raízes reais.
Cada sinal do determinante irá determinar uma maneira diferente 
que a parábola pode ou não interceptar o eixo Ox

.
I.
II.
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III.
RELAÇÕES ENTRE 
COEFICIENTES E RAÍZES
Dada uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 de raízes x1
e x2, temos que 1 2 1 2
b c
S x x , P x x .
a a
= + = − = =
Para demonstrarmos estas fórmulas, basta usar a fórmula de 
Bhaskara:
1 2
b b
x e x
2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =
Logo, 1 2
b b 2b b
S x x .
2a 2a a
− + ∆ + − − ∆
= + = = − = −
Por � m, 
2
1 2 2 2 2
( b )( b ) b 4ac c
P x x .
4a 4a 4a a
− + ∆ − − ∆ − ∆
= = = = =
ProBizu
Fique atento às seguintes ideias que despencam em prova:
x x x x x x S P1
2
2
2
1 2
2
1 2
22 2� � �� � � � �
x x x x x x x x S SP1
3
2
3
1 2
3
1 2 1 2
33 3� � �� � � �� � � � .
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Muitos problemas que aparecem nas provas militares envolvem 
minimizar ou maximizar uma função quadrática. Vejamos agora como 
calcular os máximos e mínimos de uma função quadrática:
I. Se a > 0, a função quadrática y = ax² + bx + c admite valor 
mínimo Vy 4a
∆
= − (“y do vértice”) e tal valor mínimo ocorre para 
V
b
x x
2a
= = − (“x do vértice”). Neste caso, o “x do vértice” é dito 
minimizante.
II. Se a < 0, a função quadrática y = ax² + bx + c admite valor 
máximo Vy 4a
∆
= − (“y do vértice”) e tal valor máximo ocorre para 
V
b
x x
2a
= = − (“x do vértice”). Neste caso, o “x do vértice” é dito 
maximizante.
Observação
Sabemos que 2m + n = 8, com m e n números reais. Devemos 
determinar o par (m,n) que torna o produto m·n máximo.
Veja que podemos isolar n em função de m.
n = 8 – 2m
Dessa forma vamos chamar o produto de P e assim
P = mn = m(8 – 2m) = -2m2 + 8m
Acabamos de criar uma função a por P, onde m “fará papel de eixo 
Ox

“ e P “fará papel de eixo Oy

”. Como nossa função possui a > 0 
teremos realmente um ponto máximo.
Usando a ideia de x do vértice encontraremos o valor de m que 
torna o produto P máximo.
( )v
b 8
x m 2
2a 2 2
= = − = − =
−
Assim m sendo igual a 2 teremos n = 8 – 2 · 2 = 4.
Assim o produto máximo será P = mn = 2 · 4 = 8.
Note que não calculamos yv pois não era nosso interesse o produto 
máximo mas sim os valores que tornavam máximo esse produto. Se 
precisássemos calcular o produto máximo poderíamos ter utilizado 
( )( )
( )
2
v
8 4. 2 .0 64
y 8
4a 4 2 8
− −∆
= − = − = − =
− −
.
Note que o valor máximo ou mínimo também pode ser encontrando 
fazendo yv = f(x)v. Assim yv = f(2) = -2(2)
2 + 8 · 2 = -2 · 4 + 16 = 8.
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EIXO DE SIMETRIA
O grá� co da função quadrática admite um eixo de simetria perpendicular ao eixo Ox e (paralelo a y) que passa pelo vértice.
x
b
a
e y
av v
�
�
�
�
2 4
�
FORMA FATORADA
Se f(x) = ax² + bx + c possui raízes r1 e r2, podemos fatorar f(x) = a(x – r1) (x – r2).
Exemplo:
Seja f(x) = 6x² – 5x – 1. As raízes desta função quadrática são 1 e 
1
6
− . Assim, podemos fatorar tal função como ( ) ( )( )16 x 1 x x 1 6x 1 .
6
 − + = − + 
 
ESTUDO DO SINAL
Seguem os tipos de grá� cos que podemos obter.
 
Esses foram os grá� cos para a > 0, agora veremos para a < 0.
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Exercício Resolvido
01. Determine o valor de k para que as raízes da equação do 
segundo grau (k – 5)x² – 4kx + k – 2 = 0 sejam o seno e o cosseno 
de um mesmo arco.
Resolução:
Sendo x1 = senα e x2 = cosα as raízes da equação, temos pela 
relação fundamental da trigonometria que 2 21 2x x 1.+ =
Vimos no PROBIZU que ( )22 2 21 2 1 2 1 2x x x x 2x x S 2P.+ = + − = −
Veja agora que 
4k k 2
S e P .
k 5 k 5
−
= =
− −
Logo 
2
4k k 2
2 1.
k 5 k 5
−  − ⋅ = − − 
 Multiplicando tudo por (k – 5)², 
obtemos:
16k² – 2(k – 2)(k – 5) = (k – 5)² ⇔ 13k² + 24k – 45 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos k = -3 ou 
15
k
13
= .
Devemos veri� car ainda se para os valores obtidos para k, as raízes 
encontradas são reais ou não (lembre que seno e cosseno são 
números reais!).
O discriminante da equação original é (4k)² – 4 · (k – 5)(k – 2) = 
12k² + 28k – 40. É fácil ver que para k = -3, o discriminante é 
negativo e para 
15
k
13
= , o discriminante é positivo.
Assim o único valor de k é 15.
13
Exercício Resolvido
02. O conjunto de todos os valores de m para os quais a função 
( )2 2
2 2
x (2m 3)x m 3
f(x)
x (2m 1)x m 2
+ + + +
=
+ + + +
 está de� nida e é não negativa 
para todo x real é:
a) 
1 7
,
4 4
 
  
b) 1 ,
4
 +∞  
c) 
7
0,
4
 
  
d) 
1
,
4
 −∞  
e) 
1 7
,
4 4
 
  
Resolução: D
Para que a função esteja de� nida e seja não negativa para todo x 
real, devemos ter:
I) NUMERADOR não negativo para todo x real
II) RADICANDO DO NUMERADOR positivo para todo x real
Assim, temos:
I) ∆NUMERADOR ≤ 0 :
Logo ( )2 2 1(2m 3) 4 m 3 12m 3 0 m
4
+ − + = − ≤ ⇔ ≤
II) ∆DENOMINADOR < 0:
Logo ( )2 2 7(2m 1) 4 m 2 4m 7 0 m
4
+ − + = − < ⇔ <
Juntando as inequações obtidas, segue que 
1
m .
4
≤
Exercício Resolvido
03. O grá� co de um trinômio do 2º grau y tem concavidade para 
cima e intersecta o eixo das abscissas em dois pontos à direita da 
origem. O trinômio -y tem um valor
a) mínimo e raízes positivas
b) mínimo e raízes negativas
c) máximo e raízes positivas
d) máximo e raízes negativas
e) máximo e raízes de sinais opostos
Resolução: C
Se y possui concavidade para cima, -y possui concavidade para 
baixo e assim admite máximo. Por outro lado, as raízes de –y são as 
mesmas que as raízes de y. Como o enunciado disse que as raízes 
estão à direita da origem, estas são positivas.
Assim, –y admite valor máximo e possui raízes positivas.
Exercício Resolvido
04. O produto de dois números reais x e y é igual a 150. Assim 
sendo, x + y NÃO pode ser igual a
a) 31,71
b) 28,27
c) 25,15
d) 24,35
e) –26,95
Resolução: D
Sendo S a soma dos números x e y, temos que a equação do 
segundo grau t² – St + 150 = 0 admite x e y como raízes.
Como x e y são números reais, o discriminante deve ser não 
negativo:
S² – 4 · 1 · 150 ≥ 0 ⇔ S² ≥ 600
Assim S 600 ou S 600.≤ − ≥ Como 600 24,495,≅ temos que 
x + y NÃO pode ser igual a 24,35.
EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. Determinar os zeros reais das funções.a) f(x) = x² – 3x + 2
b) f(x) = -x² + 7x – 12
c) f(x) = x² + 4x + 4
d) f(x) = -3x² + 6
02. Determinar os valores de m para que a função f(x) = mx² + (m + 1)x
+ (m – 1) tenha um zero real duplo.
03. Na equação do segundo grau 2x² – 5x – 1 = 0 de raízes x1 e x2, 
calcular.
a) x1 + x2
b) x1 · x2
c) 1/x1 + 1/x2
04. (CFT) Uma função real f tem a propriedade f(x + 1) = x² + 2, para 
x ∈ R. O valor de f(3) é
a) 3. b) 4. c) 5. d) 6.
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05. (CFT) Considerando-se a função f(x) = ax² + bx + 1/3, cujos zeros 
são – 1/3 e 1/3, pode-se a� rmar que
a) a ≠ 0 e b ≠ 0.
b) a = 0 e b ≠ 0.
c) a ≠ 0 e b = 0.
d) a = 0 e b = 0.
06. (CFT) Sejam a função f(x) = 2x² – 5x + 2 e o intervalo A = ]0, 2[. 
Se x ∈ A, a função f.
a) é crescente para x < 1/2 e decrescente para x > 1/2.
b) é sempre crescente.
c) tem uma raiz real.
d) tem duas raízes reais.
07. (CFT) Seja a parábola que representa a função y = kx² – x + 1. Os 
valores de k, para os quais essa parábola não intercepta o eixo das 
abscissas, são tais que
a) k > 1/4.
b) k > –4.
c) –4 < k < 1/4.
d) –1/4 < k < 4.
08. A equação do 2º grau, (m + 1)x² – 2mx + (m – 1), de incógnita x, 
possui 
1 2
1 1
3
x x
+ = . Sendo assim o valor de m² é
a) 1
b) 4
c) 16
d) 25
e) 9
09. (EEAR) O vértice da parábola y = -x² + 6x – 5 é o ponto cuja 
ordenada é
a) –2
b) –1
c) 4
d) 6
10. Na parábola descrita pela função de  →  f(x) = x² + bx + 1, 
b ∈ , o vértice tem coordenadas (-0,5; -0,75). Então:
a) b < –1.
b) –1 ≤ b < 0.
c) 0 ≤ b < 1.
d) 1 ≤ b < 2.
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. (EEAR) Resolvendo a inequação (2x - 6)(4x + 8) ≤ 0, para x ∈ , 
obtemos
a) -2 < x < 3
b) -2 ≤ x ≤ 3
c) -6 < x < 1
d) -6 ≤ x ≤ 1
02. (EEAR) A função do 2º grau que descreve o grá� co abaixo é
a) f(x) = x² - x + 6
b) f(x) = x² + 5x - 6
c) f(x) = -x² - 5x + 6
d) f(x) = x² - 5x + 6
03. (EEAR) O menor valor inteiro positivo que pertence ao conjunto-
solução da inequação (-3x² + 12)(x² – 6x + 8) < 0 é o
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
04. (EEAR) Seja a função quadrática f(x) = ax² + bx + 1. Se f(1) = 0 e 
f(-1) = 6, então o valor de a é 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 
05. (EEAR) Seja a função f(x) = 2x² + 8x + 5. Se P(a,b) é o vértice do 
grá� co de f, então |a + b| é igual a
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2
06. (AFA) Para que o valor mínimo da função y = x2 – 4x + k seja igual 
a -1, o valor de k é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
07. (EFOMM) Examine a função real f(x) = 2x – 3x² quanto à existência 
de valores e pontos de máximos e mínimos. Analise o problema e 
assinale a alternativa CORRETA.
a) A função atinge o valor máximo de 2/3, no ponto x = 1/3. 
b) A função atinge o valor mínimo de 1/3, no ponto x = 1/3. 
c) A função atinge o valor máximo de 1/3, no ponto x = 2/3. 
d) A função atinge o valor mínimo de 2/3, no ponto x = 1/3. 
e) A função atinge o valor máximo de 1/3, no ponto x = 1/3. 
08. (EFOMM) Considere a função real f(x) = 1 + 4x + 2x². Determine 
o ponto x* que de� ne o valor mínimo dessa função.
a) x* = -2 
b) x* = -1 
c) x* = -1/2 
d) x* = zero 
e) x* = 1 
09. (EFOMM) Numa equação, encontramos o valor de 884. Para 
chegar a esse resultado, somamos os quadrados de dois números 
pares, consecutivos e positivos. Determine o quociente da divisão do 
maior pelo menor
a) 0,87. 
b) 0,95. 
c) 1,03. 
d) 1,07. 
e) 1,10. 
10. (EFOMM) Seja f(k) = k² + 3k + 2 e seja W o conjunto de inteiros 
{0,1,2,...,25}. O número de elementos de W, tais que f(W) deixa resto 
zero, quando dividido por 6, é:
a) 25 
b) 22 
c) 21 
d) 18 
e) 17 
11. (AFA) Corta-se um pedaço de arame de comprimento 98 cm 
em duas partes. Com uma, faz-se um quadrado, com a outra, um 
retângulo com base e altura na razão de 3 para 2. Se a soma das áreas 
compreendidas pelas duas � guras for mínima, o comprimento, em 
cm, do arame destinado à construção do quadrado será
a) 36
b) 48
c) 50
d) 54
12. (AFA) A função y = ax2 + bx + c assume valor máximo de 8 para 
x = 2 e valor 6 para x = 0. O valor de a + b + c é:
a) 15
2
b) 8 c) 
13
2
d) –8
13. (ESPCEX) Seja a função real f(x) = (m² - 4)x² – (m + 2)x + 1. Das 
a� rmações abaixo:
I. f é função a� m para m = 2.
II. f é função constante para m = -2.
III. f é função quadrática para m ≠ 2 e m ≠ -2.
IV. f tem uma raiz igual a 1 para m = 3.
Estão corretas apenas as a� rmações
a) I, II e IV.
b) I e III.
c) II, III e IV.
d) III e IV.
e) I, II, III.
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14. (AFA) Seja f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) uma função real de� nida 
para todo número real. Sabendo-se que existem dois números x1 e x2, 
distintos, tais que f(x1) · f(x2) < 0, pode-se a� rmar que
a) f passa necessariamente por um máximo
b) f passa necessariamente por um mínimo
c) x1 · x2 é necessariamente negativo
d) b² – 4ac > 0
15. (ESPCEX) O menor valor que a função real 
2x 6x 9
1
y
2
− + −
 =  
 
 pode 
assumir, é 
a) 1
b) 2
c) 1/2
d) 1/4
e) 1/8 
16. (EFOMM) Uma aluna do 3º ano da EFOMM, responsável pelas 
vendas dos produtos da SAMM (Sociedade Acadêmica da Marinha 
Mercante), percebeu que, com a venda de uma caneca a R$ 9,00, 
em média 300 pessoas compravam, quando colocadas as canecas à 
venda em um grande evento. Para cada redução de R$ 1,00 no preço 
da caneca, a venda aumentava em 100 unidades. Assim, o preço da 
caneca, para que a receita seja máxima, será de
a) R$ 8,00. 
b) R$ 7,00. 
c) R$ 6,00. 
d) R$ 5,00. 
e) R$ 4,00. 
17. (EFOMM) De acordo com conceitos administrativos, o lucro de 
uma empresa é dado pela expressão matemática L = R – C, onde 
L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma 
indústria produziu x peças e veri� cou que o custo de produção era 
dado pela função C(x) = x² - 500x + 100 e a receita representada por 
R(x) = 2000x – x². Com base nessas informações, determine o número 
de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo.
a) 625 
b) 781150 
c) 1000 
d) 250 
e) 375 
18. (ESPCEX) O projétil disparado por um canhão, posicionado num 
ponto de altitude igual a 200 metros, atinge um alvo localizado num 
ponto de altitude igual a 1200 metros.
Considerando-se que:
I. A trajetória descrita pelo projétil é dada pela equação 2
8 4
y x x
3 3
= −
com x e y em quilômetros, e referenciada a um sistema cartesiano 
com origem no canhão.
II. O alvo é atingido quando o projétil encontra-se no ramo 
descendente da sua trajetória.
Nas condições acima descritas, pode-se a� rmar que a distância 
horizontal entre as posições do canhão e do alvo é:
a) 0,5 km.
b) 1,0 km.
c) 1,5 km.
d) 2,0 km.
e) 2,5 km.
19. (AFA) O retângulo, com base no eixo das abscissas, está inscrito 
numa parábola, conforme � gura abaixo. O valor de x que faz esse 
retângulo ter perímetro máximo é 
a) 1
b) 0,5
c) 0,25
d) 0,125
20. (AFA) O polinômio do segundo grau ( )2by x 1 ax
2
= + + , com 
coe� cientes reais, não possui raiz real, se e somente se:
a) a – b < 0
b) a² - b² < 0
c) b² - 4a > 0
d) b² - 2ab < 0
21. (ESPCEX) Um curral retangular será construído aproveitando-se 
um muro pré-existente no terreno, por medida de economia. Para 
cercar os outros três lados, serão utilizados 600 metros de tela de 
arame. Para que a área do curral seja a maior possível, a razão entre as 
suas menor e maior dimensões será:
a) 0,25
b) 0,50
c) 0,75
d) 1,00
e) 1,25
22. (ESPCEX) Se um retângulo tem base x e perímetro 100, então a 
área A do retângulo é dada em função de sua base por
a) A(x) = x² - 50x; 0 < x < 50
b) A(x) = -x² + 50x; 0 < x < 50
c) A(x) = -x² + 100x; 0 < x < 100
d) A(x) = 2x(x - 50); 0 < x < 50
e) A(x) = x(x - 100); 0 < x < 100
23. (AFA) Considere o polinômio p(x) = ax2 + bx + c, satisfazendo as 
condições a < 0, c < 0 e p(1) > 0. Se as suas raízes forem reais, então 
elas serão:
a) nulas
b) negativas
c) positivas
d) de sinais contrários
24. (EPCAR 3° ANO) A soma dos quadrados das raízes da equação 
5x² – 2px – p = 0 é 104
25
. Val e então dizer que o valor positivo de p é 
um número
a) par
b) primo maior que 10
c) divisor de 15
d) menorque 1
25. (ESPCEX) Considere m, n e p números reais não nulos e as funções 
f e g de variável real, de� nidas por f(x) = mx² + nx + p, e g(x) = mx + p. 
A alternativa que melhor representa os grá� cos de f e g é
95
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26. (ESPCEX) A temperatura T de aquecimento de um forno, em °C, 
varia com o tempo t, em minutos, segundo a função abaixo:
2
20 28t, se t 10
t 5t 150, se t 10
 + ≤
 + + >
O tempo necessário para que a temperatura do forno passe de 
160 °C para 564 °C é:
a) 5 minutos.
b) 12 minutos.
c) 13 minutos.
d) 18 minutos.
e) 23 minutos.
27. (ESPCEX) O conjunto solução da inequação 
22x 3x 2
0
2 3x
+ −
≤
−
 está 
contido em:
a) 2,
3
 −∞  
b) ] [2,− +∞
c) 
1
,
2
 +∞  
d) ] [3,− +∞
e) ] ], 2−∞ −
28. (AFA) As raízes da equação 2x² – px – 1 = 0 são senθ e cosθ. Sendo 
θ um número real, o valor de p é:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 5
29. (EPCAR 3° ANO) Num terreno em forma de um triângulo 
retângulo com catetos medindo 20 e 30 metros, deseja-se construir 
uma casa retangular de dimensões x e y, conforme � gura abaixo. O 
perímetro da casa, em metros, tendo a mesma ocupado a maior área 
possível, é igual a
a) 100
b) 150
c) 50
d) 25
30. (ESPCEX) Na criação de um determinado animal para abate, o 
criador dispõe de estudos que lhe informam que 
- o custo da criação evolui no tempo segundo a relação 
22PC t 2 2t 200 2
120
= + + ;
- o preço obtido pelo criador ao vender o produto evolui no tempo 
segundo a relação 22PV t 3 2t 200 2
120
= − + +
onde PC e PV são respectivamente os preços de custo e de venda da 
arroba de carne, em reais, e t, o tempo de engorda, em dias. Nestas 
condições pode-se a� rmar que o tempo de engorda que fornece 
maior lucro (PV – PC) é de
a) 20 dias.
b) 30 dias.
c) 90 dias.
d) 60 dias.
e) 45 dias.
31. (AFA) A solução da inequação 
2x x 3
3
x 1
+ +
≤
+
 é dada pelo 
conjunto:
a) {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 2}
b) {x ∈ R / x ≤ -1 ou 0 < x ≤ 2}
c) {x ∈ R / x > -1 ou 0 ≤ x ≤ 2}
d) {x ∈ R / x < -1 ou 0 ≤ x ≤ 2}
32. (AFA) No plano cartesiano abaixo estão representados o grá� co 
da função real f de� nida por f(x) = -x² – x + 2 e o polígono ABCDE.
Considere que:
- o ponto C é vértice da função f. 
- os pontos B e D possuem ordenadas iguais.
- as abscissas dos pontos A e E são raízes da função f.
Pode-se a� rmar que a área do polígono ABCDE, em unidades de área, é 
a) 
1
8
16
b) 14
8
c) 14
4
d) 
1
8
2
33. (ESPCEX) Um portal de igreja tem a forma de um arco de parábola, 
conforme � gura abaixo. A medida da sua base AB é 4 m e da sua 
altura é 5 m. Um vitral foi colocado 3,2 m acima da base. Qual a 
medida CD da base, em metros?
a) 1,44 
b) 1,80 
c) 2,40 
d) 3,00 
e) 3,10 
34. (ESPCEX) Considere as funções reais f e g, tais que f(x) x 4= +
e f(g(x)) = x² – 5, onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a 
alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que 
satisfazem os dados do enunciado.
a)  - ]-3,3[
b) 5, 5 − − 
c) 5, 5 − 
d) ]-,3,3[
e) ] [, 3− −∞
35. (AFA) Considere as funções reais f, g e h tais que f(x) = mx² – 
(m + 2)x + (m + 2), 
1
g(x)
x
= e h(x) x= . Para que a função composta 
h g f(x)  tenha domínio D = , deve-se ter
a) 
2
m
3
>
b) 
2
2 m
3
− < <
c) 
2
0 m
3
< <
d) -2 < m < 0 
36. (AFA) Uma fábrica produz casacos de determinado modelo. O 
preço de venda de um desses casacos é de R$ 200,00, quando são 
vendidos 200 casacos. O gerente da fábrica, a partir de uma pesquisa, 
veri� cou que, para cada desconto de R$ 2,00 no preço de cada casaco, 
o número de casacos vendidos aumenta de 5. A maior arrecadação 
possível com a venda dos casacos acontecerá se a fábrica vender cada 
casaco por um valor, em reais, pertencente ao intervalo 
a) [105,125[ 
b) [125,145[ 
c) [145,165[ 
d) [165,185[ 
96
FUNÇÃO QUADRÁTICA
PROMILITARES.COM.BR
37. (AFA) Dada a função real f(x) = x², considere a função real 
g(x) = f(x + m) + k, sendo m, k reais. É INCORRETO a� rmar que:
a) o grá� co da função g em relação ao grá� co da função f é 
deslocado k unidades para cima, se k > 0, e m unidades para a 
direita, se m < 0.
b) a equação do eixo de simetria da parábola que representa g é 
dada por x = m.
c) se m = 0 e k = 1, então o conjunto imagem de g é dado por 
Im = {y ∈  | y ≥ 1}.
d) se m = -2 e k = -3, então as coordenadas do vértice da parábola 
que representa g são (-m,k).
38. (AFA) As funções f:  →  do primeiro grau e g:  → [b,+∞[ do 
segundo grau estão representadas no grá� co abaixo.
Com base nas informações acima, é correto a� rmar que
a) o menor valor de b que torna a função g sobrejetora é um número 
inteiro.
b) ( )1 5g g f 0
2
−   > 
 
 
c) 
( )
( ) { }
2
f x
0 x | x 1 x 4
g x
   > ⇔ ∈ < ∨ >
d) ( ) ( ) { }f x g x 0 x | x 0 x 6− ≤ ⇔ ∈ ≤ ∨ ≥
39. (EPCAR) Seja y = (3x + 2)(ax + b) onde a > 0 e b < 0. O conjunto 
de todos os valores reais de x, para os quais y é positivo é
a) 
b
x 0 ou x
a
< > −
b) 
b 2
x ou x
a 3
< − > −
c) 
2 b
x
3 a
− < < −
d) 
2 b
x ou x
3 a
< − > −
40. (EPCAR 3° ANO) Considere as funções de� nidas por f(x) = ax + b 
e g(x) = cx + d e os respectivos grá� cos.
Sabendo-se que h é a função de� nida por h(x) = (ax + b)(cx + d), 
pode-se dizer que
a) o grá� co de h é uma parábola com a concavidade voltada para 
cima.
b) h não tem raízes reais.
c) h intercepta o eixo de Oy num ponto de ordenada negativa.
d) a abscissa do vértice do grá� co que representa a função h é um 
número real negativo se |ad| > |bc|.
41. (EPCAR 3° ANO) Num laboratório, a temperatura obtida em 
determinada experiência, em graus centígrados, é dada pela função 
2t
f(t) t 20
8
= − + + , onde t é o tempo em segundos (t ≥ 0). 
É correto a� rmar que a temperatura
a) é sempre positiva.
b) máxima é 20 graus.
c) máxima ocorre para t = 4 segundos.
d) nunca será igual a zero.
42. (EPCAR 3° ANO) Alguns alunos do 3° ano da EPCAR desejam 
fazer uma viagem durante um recesso e para isso precisam fretar um 
ônibus. Duas empresas, α e β, candidatam-se para fazer a viagem. 
Sabendo-se que as duas empresas possuem ônibus de 50 lugares e 
que: se for contratada a empresa α, o custo da viagem terá uma parte 
� xa de R$ 300,00, mais um custo por passageiro de R$ 15,00; se for 
contratada a empresa β, o custo terá um valor � xo de R$ 250,00, mais 
um custo(C), por passageiro, dado por C(n) = 35 – 0,5n, onde n é o 
número de passageiros que fará a viagem. Com base nisso, é correto 
a� rmar que
a) se todos os lugares forem ocupados, será menos vantajoso 
contratar a empresa β.
b) existe um determinado número n de passageiros para o qual o 
custo na empresa α é o mesmo da empresa β.
c) o custo máximo da viagem na empresa β é de R$ 862,50.
d) para um custo de R$ 750,00, a empresa β levará um número de 
passageiros 50% maior que a empresa α.
43. (AFA) Considere que g: → B, de� nida por g(x) = -bx² + cx – a é 
função par e possui como grá� co o esboço abaixo.
Marque a alternativa INCORRETA.
a) A função dada por t(x) = g(x) + a é positiva ∀x ∈ . 
b) Se B = [-a,+∞[, então a função g é sobrejetora.
c) b < c < a
d) A função h:  →  dada por h(x) = -g(x) – a possui um zero real 
duplo.
44. (AFA) Alguns cadetes da AFA decidiram programar uma viagem 
de férias à cidade de Natal para janeiro de 2009. Fizeram pesquisa de 
preços das diárias de alguns hotéis e veri� caram que as duas melhores 
propostas seriam as dos hotéis Araújo’s e Fabiano’s, que foram as 
seguintes:
97
FUNÇÃO QUADRÁTICA
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Hotel Araújo’s: possui 40 quartos disponíveis, todos individuais, sem 
direito a cama extra. A diária de cada quarto é dada por uma taxa 
� xa de R$ 200,00 mais R$ 10,00 por quarto não ocupado.
Hotel Fabiano’s: possui 50 quartos disponíveis, todos individuais, 
sem direito a cama extra. O valor da diária de cada quarto é 0, 6 de 
6 décimos de 125 milésimos de R$ 6000,00
A viagem citada foi programada para x cadetes (x ≤ 40) e, no período 
em que eles estiverem hospedados, os hotéissó receberão como 
hóspedes esses x cadetes.
Com base nisso, marque a alternativa INCORRETA.
a) Se forem viajar menos de 30 cadetes, então é mais vantajoso para 
os cadetes optarem pelo Hotel Fabiano’s.
b) O faturamento diário do Hotel Araújo’s será de R$ 8000,00 se, 
e somente se, o número de cadetes que forem à viagem for 20
c) Se 15 cadetes forem viajar, então o valor da diária do Hotel 
Fabiano’s é 0,6 do valor da diária do Hotel Araújo’s.
d) O maior faturamento diário que o Hotel Araújo’s poderá ter, caso 
os cadetes optem por hospedarem nele, acontecerá quando 10 
quartos não forem ocupados.
45. (AFA) Para angariar fundos para a formatura, os alunos do 3º 
ano do CPCAR vendem bombons no horário do intervalo das aulas. 
Inicialmente, começaram vendendo cada bombom por R$ 4,00. Assim, 
perceberam que vendiam, em média, 50 bombons por dia. A partir 
dos conhecimentos que os alunos tinham sobre função, estimaram 
que para cada 5 centavos de desconto no preço de cada bombom 
(não podendo conceder mais que 70 descontos), seria possível vender 
5 bombons a mais por dia.
Considere:
- p o preço de cada bombom;
- n o número de bombons vendidos, em média, por dia;
- x ∈  o número de reduções de 5 centavos concedidas no preço 
unitário de cada bombom;
- y a arrecadação diária com a venda dos bombons.
Com base nessas informações, analise as proposições abaixo.
(02) O grá� co que expressa n em função de p está contido no 
segmento AB do grá� co abaixo.
(04) A maior arrecadação diária possível com a venda dos bombons, 
considerando os descontos de 5 centavos, ocorre quando concederem 
35 descontos de 5 centavos.
(08) Se forem concedidos 20 descontos de 5 centavos, serão vendidos 
mais de 100 bombons por dia.
A soma das proposições verdadeiras é igual a 
a) 6 
b) 10 
c) 12 
d) 14 
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. (AFA 2013) O grá� co de uma função polinomial do segundo grau 
y = f(x), que tem como coordenadas do vértice (5,2) e passa pelo 
ponto (4,3), também passará pelo ponto de coordenadas
a) (1,18)
b) (0,26)
c) (6,4)
d) (–1,36)
02. (EFOMM 2012) O lucro obtido pela venda de cada peça de roupa é 
x – 10, sendo x o preço da venda e 10 o preço do custo. A quantidade 
vendida por mês é igual a 70 – x. O lucro mensal máximo obtido com 
a venda do produto é:
a) 1200 reais.
b) 1000 reais.
c) 900 reais.
d) 800 reais.
e) 600 reais.
03. (EFOMM 2012) Um professor escreveu no quadro-negro uma 
equação do segundo grau e pediu que os alunos a resolvessem. Um 
aluno copiou errado o termo constante da equação e achou as raízes 
–3 e –2. Outro aluno copiou errado o coe� ciente do termo do primeiro 
grau e achou as raízes 1 e 4. A diferença positiva entre as raízes da 
equação correta é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
04. (EN 1994) O conjunto solução da inequação é:
x
x x x
4
4 3 2
1
3 2
0
�
� � �
�
a) (-∞,-1] ∪ (2,+∞)
b) (-∞,-1] ∪ (1,2)
c) (-∞,-1) ∪ (0,2)
d) (-∞,-1] ∪ [1,2]
e) (-∞,-1) ∪ (-1,0)
05. (CN 2005) As raízes do trinômio do 2º grau y = ax² + bx + c são 
1000 e 3000. Se quando x vale 2010, o valor numérico de y é 16, qual 
é o valor numérico de y quando x vale 1990?
a) 64
b) 32
c) 16
d) 8
e) 4
06. (ESPCEX) Dada a função f:  → , tal que f(x) = x² – 7x + 10, a 
única a� rmação verdadeira a respeito de f(x) é 
a) f(–2) = –28.
b) a menor ordenada que f atinge é 2,25.
c) a função se anula para x = –2 ou para x = –5.
d) para x > 5, enquanto x cresce, f(x) também cresce.
e) dobrando x, f(x) também dobra.
07. (ESPCEX) Em uma determinada função quadrática, – 2 e 3 são 
suas raízes. Dado que o ponto (–3,12) pertence ao grá� co dessa 
função, pode-se concluir que
a) o seu valor máximo é –12,50.
b) o seu valor mínimo é 0,50.
c) o seu valor máximo é 6,25.
d) o seu valor mínimo é –12,50.
e) o seu valor máximo é 0,50.
98
FUNÇÃO QUADRÁTICA
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08. (ESPCEX) Na � gura abaixo, estão representados um sistema de 
eixos coordenados com origem O, o grá� co de uma função real do 
tipo f(x) = ax2 + bx + c e o quadrado OMNP, com 16 unidades de área. 
Sabe-se que o grá� co de f(x) passa pelos pontos P e N, vértices do 
quadrado, e pelo ponto de encontro das diagonais desse quadrado. 
Assim, o valor de a + b + c é
P
y
O M
x
N
a) 
b) 
c) 
d) 2
2
e) 5 2
2
09. (EFOMM 2010) O grá� co das três funções polinomiais do 1º 
grau a, b e c de� nidas, respectivamente, por a(x), b(x) e c(x) estão 
representadas abaixo.
Nestas condições, o conjunto solução da inequação é:
a x b x
c x
� �� � � � �� �
� �� �
�
5 6
3 0
a) (-4,-1) ∪ [3,+∞)
b) (-4,-1] ∪ [3,+∞)
c) (-∞,-4) ∪ [-1,+∞)
d) [4,+∞)
e)  – {4}
10. (ESPCEX) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça 
ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este 
fabricante venderá por mês (600 – x) unidades, em que 0 ≤ x ≤ 600. 
Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas 
mensalmente que corresponde ao lucro máximo.
a) 150
b) 250
c) 350
d) 450
e) 550
DESAFIO PRO
1 (ITA) O conjunto de todos os valores de m para os quais 
a função 
+ + + +
=
+ + + +
2 2
2 2
x (2m 3)x (m 3)
f(x)
x (2m 1)x (m 2)
 está de� nida e é 
não-negativa para todo x real é: 
a)    
1 7
, 
4 4
b)  ∞  
1
, 
4
c)    
7
0, 
4
d)  −∞  
1
, 
4
e) 
 
  
1 7
, 
4 4
2 (IME) Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simpli� car a função real, de variável real, 
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
− − − − − −
= + +
− − − − − −
2 2 2x b x c x c x a x a x bf x a b c ,
a b a c b c b a c a c b
obtém-se f(x) igual a:
a) x² – (a + b + c)x + abc
b) x² + x – abc
c) x²
d) -x²
e) x² – x + abc
3 (ITA) Considere a equação − =− −2
a b
5,
1 x x 1/ 2
 com a e b 
números inteiros positivos. Das a� rmações:
I. Se a = 1 e b = 2, então x = 0 é uma solução da equação.
II. Se x é solução da equação, então ≠
1
x ,
2
 x ≠ 1 e x ≠ 1.
III. =
2
x
3
 não pode ser solução da equação.
É (são) verdadeira(s)
a) apenas II.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
4 (ITA) Considere um número real a ≠ 1 positivo, � xado, e a equação em x a2x + 2βax – β = 0,β ∈ . Das a� rmações:
I. Se β < 0, então existem duas soluções reais distintas;
II. Se β = -1, então existe apenas uma solução real;
III. Se β = 0, então não existem soluções reais;
IV. Se β > 0, então existem duas soluções reais distintas,
é (são) sempre verdadeira(s) apenas
a) I.
b) I e III.
c) II e III.
d) II e IV.
e) I, III e IV.
99
FUNÇÃO QUADRÁTICA
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GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. a) x1 = 1; x2 = 2
b) x1 = -4; x2 = -3
c) x1 = x2 = -2
d) x1 = √2; x2 = -√2
02. m � �1
2 3
3
03. a) 1 2
5
x x
2
+ =
b) 1 2
1
x x
2
− = −
c) 
1 2
1 1
10
x x
+ = −
04. D
05. C
06. D
07. A
08. E
09. C
10. D
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. B
02. D
03. B
04. D
05. A
06. C
07. E
08. B
09. E
10. E
11. B
12. A
13. E
14. D
15. A
16. C
17. A
18. C
19. B
20. B
21. B
22. B
23. C
24. A
25. E
26. C
27. D
28. A
29. C
30. B
31. C
32. B
33. C
34. A
35. A
36. B
37. B
38. B
39. D
40. D
41. C
42. C
43. A
44. B
45. D
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. A
02. C
03. C
04. A
05. C
06. D
07. D
08. C
09. C
10. D
DESAFIO PRO
01. D
02. C
03. E
04. C
ANOTAÇÕES
100
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ANOTAÇÕES