[1]matematica-exercicios-[2015]

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CONJUNTOS NUMÉRICOS E TEORIA DOS CONJUNTOS 
01. Considere todos os números naturais de 4 algarismos 
distintos entre si. Se x é o maior desses números e y o menor, a 
diferença (x-y) é igual a: 
 
a)8642 b)8765 c)8853 d)8999 e)9753 
 
02. Se x e y são números inteiros maiores do que 1, tais que x 
é um divisor de 20 e y é um divisor de 35, então o menor valor 
possível para x/y é: 
 
a)4/35 b)4/7 c)2/5 d)5/7 e)2/35 
 
03. O Caixa de um banco trocou a ordem dos dois algarismos 
do valor da conta a ser paga por um cliente, cobrando R$ 27,00 
a mais. Sendo 11 a soma dos algarismos, o valor correto a ser 
pago pelo cliente era de: 
 
a)R$ 29,00 
b)R$ 38,00 
c)R$ 47,00 
d)R$ 74,00 
e)R$ 83,00 
 
04. Apenas uma das sentenças abaixo está correta sobre um 
certo número real. Assinale-a: 
 
a) O número é natural 
b) O número é inteiro 
c) O número é racional 
d) O número é par 
e) O número é primo 
 
05. (OBM) Se p/q é a fração irredutível equivalente ao número 
decimal ilimitado periódico 2,486486486... então o valor de p é 
igual a: 
 
a) 90 b) 91 c) 92 d) 93 e) 94 
 
06. (IME) A soma de todos os números racionais irredutíveis 
menores do que 10 e que possuem denominador igual a 30 é 
igual a: 
 
a)100 b)200 c)300 d)400 e)500 
 
07. (EPCAr) Um torneio de judô é disputado por 10 atletas e 
deve ter apenas um campeão. Em cada luta não pode haver 
empate e aquele que perder três vezes deve ser eliminado da 
competição. O número máximo de lutas necessárias para 
conhecer o campeão é igual a: 
 
a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31 
 
08. (EsPCEx) Em uma empresa, o acesso a uma área restrita é 
feito digitando uma senha que é mudada diariamente. Para a 
obtenção da senha, utiliza-se uma operação matemática “#” definida 
por a#b= 4a (a+2b). A senha a ser digitada é o resultado da 
conversão de um código formado por três algarismo, xyz, através da 
expressão x#(y#z). Sabendo que a senha a ser digitada é 2660, e o 
código correspondente é 52z, então o algarismo z é: 
 
a)1 b)3 c)5 d)7 e)9 
 
09. Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 
de Histórias. O número de alunos desta classe que gostam de 
Matemática e História é: 
 
a) Exatamente 16 
b) Exatamente 10 
c) No máximo 6 
d) No mínimo 6 
e) Exatamente 18 
 
10 (AFA) Assinale a afirmativa correta: 
 
a) A interseção de conjuntos infinitos pode ser finita 
b) A interseção infinita de conjuntos não vazios é vazia 
c) A reunião infinita de conjuntos não vazios tem infinitos elementos. 
d) A interseção dos conjuntos A e B possui sempre menos 
elementos do que o A e do que o B 
 
11 (AMAN) Em N, o conjunto dos números inteiros naturais, 
representa-se por D(x) o conjunto dos divisores de x. O número 
de elementos de D(54)∩ D(120) é: 
 
a)4 b)6 c)8 d)11 e)12 
 
12 (EFOMM) Seja A={1,{2},{1,2}}. Considere as afirmações: 
 
(I) 1 ∈ A 
(II) 2 ∈ A 
(III) ∅ ∈ A 
(IV) {1,2}  A 
Estão corretas as afirmações: 
 
a) I e II b) I e III c) III e IV d) III e) I 
 
13 De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por 
um plano de assistência médica. A firma tem a matriz na Capital 
e somente duas filiais, uma em Santos e outra em Campinas. 
45% dos empregados trabalham na matriz e 20 % dos 
empregados da Capital optaram pelo plano de assistência 
médica e que 35% dos empregados da filial de Santos o 
fizeram, qual a porcentagem dos empregados da filial de 
Campinas que optaram pelo plano: 
 
a) 47% b) 32% c) 38% d) 40% e) 29% 
 
14 Na figura a baixo, estão representados os conjuntos não 
vazios A, B e C. A região sombreada representa o conjunto: 
 
 
a) ABC 
b) (AB) C 
c) (AB) C 
d) (BC) A 
e) (AC) B 
 
15 Numa Universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 
Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 
16 Biologia e Química e 8 estudam nas 3 faculdades. 
Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as 3 
faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade: 
 
a)304 b)162 c)146 d)154 
 
16 Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos 
de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares O 
número de elementos de X é: 
 
a) 32 b) 27 c) 24 d) 22 e) 20 
 
17 Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A)=28, 
n(B)=21, N(C)=20, n(AB)=8, n(BC)=9, n(AC)=4 e n(ABC)=3. 
Assim sendo, o valor de n((AUB)C) é: 
 
a) 3 b) 10 c) 20 d) 21 e) 24 
 
18 (ITA) Se A; B; C forem conjuntos tais que n(A UB) = 23; n(B-A) = 
12; n(C-A) = 10; n(BC) = 6 e n(A BC) = 4; então n(A); n(AU C); n(AUBUC); 
nesta ordem: 
 
a) Formam uma progressão aritmética de razão 6. 
b) Formam uma progressão aritmética de razão 2. 
c) Formam uma progressão aritmética de razão 8. 
d) Formam uma progressão aritmética de razão 10. 
e) Não formam uma progressão aritmética. 
 
19 Sejam M, N e P conjuntos. Se M U N = {1, 2, 3, 5} e M U P 
= {1,3,4}, então M U N U P é: 
 
a) { } 
b) {1, 3} 
c) {1,3,4} 
d) {1,2,3,5} 
e) {1,2,3,4,5} 
 
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20 (EN) Se 70% da população gostam de samba, 75% de 
choro, 80% de bolero e 85% de rock, quantos % da população, 
no mínimo gostam de samba, choro, bolero e rock? 
 
a) 5 b) 10 c) 20 d) 45 e) 70 
 
21 (EsPCEx) Numa cidade, há 1000 famílias: 470 assinam o 
Estado ; 420 a Folha ; 315; a Gazeta ; 140 assinam a Gazeta e 
a Folha ; 220, a Gazeta e o Estado ; 75 assinam os três jornais. 
Pode-se, então, concluir que o número de famílias que não 
assinam jornal é: 
 
a) 150. b) 170. c) 190. d) 210 e) 230 
 
22 (EsPCEx) Numa pesquisa feita junto a 200 universitários 
sobre o hábito de leitura de dois jornais (A e B), chegou-se às 
seguintes conclusões: 
(1) 80 universitários lêem apenas um jornal; (2) o número dos 
que não lêem nenhum dos jornais é o dobro do numero dos que 
lêem ambos os jornais; (3) o número dos que lêem o jornal A é 
o mesmo dos que lêem apenas o jornal B. 
Com base nesses dados, podemos afirmar que o número de 
universitários que lêem o jornal B é: 
 
a) 160 b) 140 c) 120 d) 100 e) 80 
 
23 (IME) Três jogadores, cada um com um dado, fizeram 
lançamentos simultâneos. Essa operação foi repetida cinquenta 
vezes. Os dados contêm três faces brancas e três faces pretas. 
Dessas 50 vezes. 
 
a) em 28 saiu uma face preta para o jogador I; 
b) em 25 saiu uma face branca para o jogador II; 
c) em 27 saiu uma face branca para o jogador III; 
d) em 8 saíram faces pretas para os jogadores I e III e branca 
para o jogador II; 
e) em 7 saíram faces brancas para os jogadores II e III e preta 
para o jogador I; 
f) em 4 saíram faces pretas para os três jogadores; 
g) em 11 saíram faces pretas para os jogadores II e III. 
 
Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos 
um jogador. 
 
24 (MACK) Seja o conjunto A [3, {3}} e as proposições: 
1) 3 ∈ A 2) {3} ⊂ A 3) (3} ∈ A, então: 
 
a) apenas as proposições 1) e 2) são verdadeiras 
b) apenas as proposições 2) e 3) são verdadeiras 
c) apenas as proposições 1) e 3) são verdadeiras 
d) todas as proposições são verdadeiras 
e) nenhuma proposição é verdadeira 
 
25 (CESCEM) Sendo A - {∅; a; {b}}, com {b} ≠ a ≠ b ≠ ∅, então: 
 
a} {∅, {b}} ⊂ A b) {∅, b} ⊂ A 
c) {∅, {a}} ⊂ A d) {a, b} ⊂ A 
e) {{a}, {b}} ⊂ A 
 
26 Sendo dado um conjunto A com n elementos indiquemos 
por a o número de subconjuntos de A. Seja B o conjunto que se 
obtém acrescentando um novo elemento u A e indiquemos por b 
o número de subconjuntos de B. Qual a relação que liga a e b? 
 
a) 2a = b b) a = 2b 
c) b = a + 1 d) a = b 
e) n • a = (n + 1)b 
 
27 (MACK) Dado o conjunto C = [0, 1, 2, 3}, o número de 
subconjuntos próprios de C é: 
 
a) 6 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 
 
28 (CESCEM) Um subconjunto X de números naturais contém 
12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 
números ímpares. O número de elementos de X é: 
 
a) 32 b) 27 c) 24 d) 22 e) 20 
 
29 (CESGRANRIO) A intersecção dos três conjuntos lR ∩ ℂ, 
(ℕ ∩ ℤ) ∪ 𝕆 e ℕ ∪ (ℤ ∩ 𝕆) é: 
 
a) ℕ b) ∅ c) 𝕆 d) lR e) ℤ 
 
30 (FUVEST) Em um teste decinco alternativas, com uma 
única correTA. as alternativas eram: 
 
a) Racional b) Irracional c) Inteiro d) Real e) Complexo 
 
A alternativa correia era: 
 
a) A b) B c) C d) D e) F 
 
31 (CESCEA) Se n e m são números naturais e se n ≤ m ≤ S(n), 
onde S(n) é o sucessor de n, então, é sempre verdade que: 
 
a) m - n ou m - S(n) b) m < n 
c) m > n + 1 d) n < m 
e) m = n e m = S(n) 
 
32 (CESCF) Quaisquer que sejam m, n e p de ℤ têm-se: 
 
a) n ≠ O ⇒ 
𝑚
𝑛
 ∈ ℤ b) p ≠ 0 ⇒ 
𝑝𝑚+𝑝𝑛
𝑝
 ∈ ℤ 
c) p ≠ 0 ⇒ 
𝑝𝑚+𝑚𝑛
𝑝
 ∈ ℤ d) 
𝑚+𝑛
𝑝
 ∈ ℤ se e somente se p ≠ 0 e p = m + n 
e) (m + n)p – mp + np 
 
33 (CESGRANRIO) Seja H o conjunto {n ∈ ℕ | 2 ≤ n ≤ 
40, n múltiplo de 2, n não-múltiplo de 3}. O número de 
elementos de H é: 
 
a) 12 b) 14 c) 7 d) 13 e) 6 
 
GABARITO 
1A 2E 3D 4C 5C 6D 7A 8B 9D 10A 11A 12E 13D 14C 15B 16B 17B 18D 
19E 20B 21C 22D 23 24 24D 24A 26A 27C 28D 29E 30E 31E 32B 33B 
 
FUNÇÃO AFIM 
01 (EsPCEx) Dentre as várias formas de se medir temperatura, 
destacam-se a escala Celsius, adotada no Brasil, e a escala 
Fahrenheit, adotada em outros países. Para a conversão correta 
de valores de temperaturas entre essas escalas, deve-se 
lembrar que 0 grau, na escala Celsius, corresponde a 32 graus 
na escala Fahrenheit e que 100 graus, na escala Celsius, 
correspondem a 212 graus na escala Fahrenheit. Para se obter 
um valor aproximado da temperatura, na escala Celsius, 
correspondente a uma temperatura conhecida na escala 
Fahrenheit, existe ainda uma regra prática definida por: “divida 
o valor da temperatura em Fahrenheit por 2 e subtraia 15 do 
resultado.” A partir dessas informações, pode-se concluir que o 
valor da temperatura, na escala Celsius, para o qual a regra 
prática fornece o valor correto na conversão é 
 
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 
 
02 (EsPCEx) Uma pesquisa sobre produção de biodiesel mostra 
que os lucros obtidos em função da área plantada, para a 
mamona e para a soja, são descritos pelas funções a seguir: 
- para a mamona, f(x)=100x-2000 
- para a soja, g(x)=120x-3000 
Em ambos os casos, x corresponde ao número de hectares 
plantados e f(x) e g(x) aos respectivos lucros obtidos. 
Com base nessas informações, é possível afirmar que: 
 
a) o plantio de soja torna-se lucrativo para todas as áreas 
maiores que 20 ha. 
b) para um agricultor que vá cultivar 40 ha, a opção mais 
lucrativa é a soja. 
c) o plantio de mamona é mais lucrativo que a soja em áreas 
maiores que 50 ha. 
d) para uma área de 50 ha, as duas culturas apresentam a 
mesma lucratividade. 
e) o plantio da mamona dá prejuízo para todas as áreas 
menores que 30 ha. 
 
03 (EsPCEx) A questão da reciclagem do alumínio ganha cada vez 
mais importância nos dias atuais, principalmente pelo fato de que a 
quantidade de energia necessária para se produzir 1 kg de alumínio 
por meio de reciclagem corresponde a apenas 5% da energia 
necessária para obter-se esse mesmo kg de alumínio a partir do 
minério. O gráfico a seguir mostra a quantidade de energia 
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necessária para obter-se certa massa de alumínio em função do 
percentual de alumínio reciclado existente nessa massa. 
 
Identificando a energia consumida por E e a porcentagem de alumínio 
reciclado por P, pode-se afirmar que a função que representa esse 
processo, seu domínio e sua imagem são, respectivamente: 
 
a) E= -19/10P+200 ; [0,100] ; [10, 200] 
b) E= -21/10P+200 ; [0,100] ; [10, 200] 
c) E= -19/10P+200 ; [0,100] ; [10, 210] 
d) E= -21/10P+200 ; [0,100] ; [0, 210] 
e) E= -21/10P+200 ; [10, 210] ; [0, 100] 
 
04 (EsPCEx) Dada uma função do 1º grau f : R → R, tal que 
f(x) = ax + b;a ≠ 0; a,b e R A função f é decrescente e seu 
gráfico corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 4). Sabendo-se 
que a região delimitada pelos eixos coordenados e a 
representação gráfica de f tem área igual a 20 unidades de 
área, a soma de a + b é igual a: 
 
a) -2/5 b) 0 c) 12/5 d) 16/5 e) 18/5 
 
05 (AFA) Uma pequena fábrica de cintos paga a seus 
funcionários o salário, conforme a tabela abaixo 
 
 
Certo mês houve um aumento de 10% sobre os salários da 
tabela acima para todos os cargos. 
Sabendo-se que a nova média salarial passou a R$ 1.650,00, o 
novo salário do gerente é, em reais, igual a 
 
a)5500 b)5000 c)3300 d)3000 e)2500 
 
06 (AFA) Na figura abaixo, tem-se representado as funções f, g 
e h que indicam os valores pagos, respectivamente, às 
locadoras de automóveis alfa, beta e charles para x quilômetros 
rodados por dia. Uma pessoa pretende alugar um carro e analisa 
as três opções 
 
Após a analise, essa pessoa conclui que optar pela locadora alfa 
ao invés das outras duas locadoras, é mais vantajoso quando x
O menor valor possível para m é 
 
a)60 b)70 c)80 d)90 e)100 
 
07 (EsPCEx-) Roberto, dirigindo seu carro a uma velocidade 
média de 40 km/h, de casa até o seu local de trabalho, chegou 
1 minuto atrasado para o início do expediente. No dia seguinte, 
saindo no mesmo horário e percorrendo o mesmo trajeto, a uma 
velocidade média de 45 km/h, chegou 1 minuto adiantado. A 
distância da casa de Roberto até o seu local de trabalho é: 
 
a) 10 Km b) 11 Km c) 12 Km d) 13 Km e) 14 Km 
 
8 (EsPCEx) Sabendo que a função y = ax + b, pode-se afirmar que: 
 
a) O gráfico da função passa sempre pela origem. 
b) O gráfico da função corta sempre o eixo das ordenadas. 
c) O zero da função é b/a 
d) A função é crescente para a < 0. 
e) O gráfico da função nunca passa pela origem 
 
9 (AFA) Uma pessoa caminha, ininterruptamente, a partir de 
um marco inicial, com velocidade constante, em uma pista 
circular. Ela chega _a marca dos 1500 m quando são 
exatamente 5 horas. Se às 5 horas e 25 minutos ela atinge a 
marca dos 4000 m, é INCORRETO afirmar que: 
 
a) a velocidade média da pessoa é 100 m/min. 
b) a pessoa começou a caminhar ás 4 horas e 15 minutos. 
c) para caminhar 2500 m essa pessoa gastou 25 minutos. 
d) se a pessoa deu 4 voltas completas em 1 hora e 20 minutos, 
então a pista tem 2 km de comprimento. 
e) ás 5 horas e 50 minutos esta pessoa chega a marca de 6500 m. 
 
10 (AFA) Apliquei meu capital da seguinte maneira: 30% em 
caderneta de poupança, 40% em letras de câmbio e o restante 
em ações. Na primeira aplicação, lucrei 20%; na segunda, lucrei 
30% e na terceira perdi 25%.Se o resultado final corresponde a 
um lucro de x% sobre o capital aplicado, então x% sobre o 
capital aplicado é igual a: 
 
a) 7,5 b) 10,5 c) 15 d) 16 e) 17 
 
11 (ITA) O menor inteiro positivo n para o qual a diferença 
fica menor que 0,01 é: 
 
a) 2499 b) 2501 c) 2500 d) 3600 e) 4900 
 
12 (IME) Seja f : R R, tal que f(4) = 5 e f(x + 4) = f(x)f(4). 
O valor de f(-4) é: 
 
a) -4/5 b) -1/4 c) -1/5 d) 1/5 e) 4/5 
 
13 Seja f : R R a função tal que f(1) = 4 e f(x + 1) = 4f(x) 
para todo x real. Nestas condições, f(10) é igual a: 
 
a) 2-10 b) 4-10 c) 210 d) 410 e) 4-20 
 
14 (AFA) O domínio da função real expressa pela lei: 
é o conjunto de x R tal que: 
 
a) x < -1 ou 0 ≤ x < 1 
b) -1 < x ≤ 0 ou x > 1 
c) x < -1 ou 0 < x < 1 
d) -1 < x < 0 ou x > 1 
e) -1 < x ou x > 1 
 
15 Para todos os inteiros x, a função f: Z → Q possui a seguinte 
propriedade definida por f(x+1) = 
1+𝑓(𝑥)
1−𝑓(𝑥)
 para todo x € Z. Se f(1) = 
2, o valor de f(2006) é igual a: 
 
a) 2 b) -3 c) -1/2 d) 1/3 e) 1 
 
16 Classificando em Verdadeira ou Falsa cada uma das 
afirmações abaixo: 
1. Toda função sobrejetora é injetora 
2. Toda função bijetora é sobrejetora 
3. Toda função bijetora não pode ser injetora 
4. Uma função injetora não pode ser bijetora 
5. Uma função ou é injetora ou sobrejetora ou bijetora. 
 
a) Somente (1) e (3) são verdadeiras 
b) Somente (2) é verdadeira 
c) Somente (1) e (5) são verdadeiras 
d) Somente (4) é falsa 
e) Todas são falsas 
 
17 Seja f: R* → R uma função definida por f(x) = x + 
1
𝑥
 podemos 
então concluir que: 
 
a) f é injetora, mas não sobrejetora. 
b) f é sobrejetora, mas não injetora. 
c) f é bijetora.d) f não é injetora e nem sobrejetora. 
e) a imagem de f é R. 
 
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4 
18 Seja f uma função N em N que associa a cada natural par a 
sua metade e a cada natural ímpar o seu consecutivo. O valor 
de (fofofofofof) (2006) é: 
 
a) 122 b) 125 c) 251 d) 252 e) 126 
 
19 Se g(x) = 1–3x e f[g(x)]= 9x2-6x+5, o valor de f(1) é igual a: 
 
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 
 
20 O valor de a para o qual as funções f,g : R→R definidas por 
f(x) = 2x-7 e g(x)= 3x+a satisfaçam a (fog)(x) = (gof)(x) é 
igual a: 
 
a) -10 b) -11 c) -12 d) -13 e) -14 
 
21 Se f: R→R é uma função tal que para todo x real, f(2x+3) = 
3x+2 então f(f(x)) é igual a: 
 
a) x 
b) (x+3)/2 
c) (3x-5)/2 
d) (9x-25)/4 
e) 9x+4 
 
22 Seja f: R*→ R é uma função tal que f(x)=x-
1
𝑥
. 
O número de soluções distintas da equação f(f(f(x))) = 1 é igual a: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 8 
 
23 Se f é uma função real tal que f(
𝑥−2
3𝑥
)= 
3𝑥−5
2𝑥+1
 a expressão de 
f(x+1) é dada por: 
 
a)
1+15𝑥
5−3𝑥
 b)
15𝑥−1
5−3𝑥
 c)
15𝑥+16
2−3𝑥
 d)
15𝑥+1
3𝑥+5
 e)
15𝑥+16
3𝑥+2
 
 
24 (EN) Sejam f e g duas funções reais tais que f(g(x))= 
𝑥+1
2𝑥
 e 
f(x)= 
𝑥−1
𝑥+1
 a expressão de g(x) é dada por: 
 
a) 
3𝑥+1
𝑥+1
 b) 
3𝑥−1
𝑥+1
 c) 
3𝑥+1
𝑥−1
 d) 
3𝑥−1
𝑥−1
 e) 
𝑥−3
𝑥+1
 
 
25 Seja f: R→ R uma função definida por f(x)= x5+1. Sua 
inversa f-1: R→ R é dada por: 
 
a) √𝑥 + 1
5
 
b) (x5+1)-1 
c) √𝑥 − 1
5
 
d) x5 – 1 
e) x5 + 1 
 
26 Seja f: R - {2} → R – {4} a função definida por f(x) = 
4𝑥−3
𝑥+2
. 
O valor de f-1(3) é igual a: 
 
a) 9/5 b) 5/9 c) 3 d) 5 e) 9 
 
27 Para produzir um objeto, uma firma gasta R$ 1,20 por 
unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4.000,00, 
independente da quantidade produzida. O preço de venda é de 
R$ 2,00 por unidade. Qual é o número mínimo de unidades, a 
partir do qual a firma começa a ter lucro? 
 
a) 1800 b) 2500 c) 3600 d) 4000 e) 5000 
 
28 Sejam as funções dadas por f(x) = 3x – 2 e g(x) = 2x +3. 
Se b = f(a), então g(b) vale: 
 
a) 6a – 1 b) 5a + 1 c) 3a – 2 d) 6a – 6 e) 5a – 2 
 
29 Seja f uma função definida para todo x ≠ 3 pela fórmula 
f(x)= 
2𝑥+1
𝑥−3
. O valor de k para o qual f-1(x)= 
3𝑥+1
𝑥−𝑘
 é igual a: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -3 
 
30 Se f(x) = 
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
 então f-1(x) = f(x), se e somente se: 
 
a) a = b e c = d 
b) a = c e b = d 
c) a = d 
d) d = -a e b = c 
e) c = -b 
 
31 O valor de k de modo que a função definida por f(x)= 
𝑥+5
𝑥+𝑘
 
seja igual à sua inversa é igual a: 
 
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 
 
32 Dada a função f tal que f(x+1) = 
2𝑥+1
3𝑥
. A expressão de f-1(x) é 
dada por: 
 
a) 
3𝑥−1
2
 b) 
3−3𝑥
3𝑥−2
 c) 
1
3𝑥−2
 d) 
3𝑥−1
3𝑥−2
 e) 
3𝑥+1
2𝑥−3
 
 
33 A função f que satisfaz à equação funcional f( 
𝑥−1
𝑥+1
 ) + f( 
1
𝑥
 ) + 
f( 
1+𝑥
1−𝑥
 ) = x é: 
 
a) 2x4+3x2+1/3x(1-x2) 
b) 2x4+3x2-1/3x(1-x2) 
c) 2x4+3x2+1/3x(1+x2) 
d) 2x4-3x2-1/3x(1-x2) 
e) 2x4+3x2-1/3x(1+x2) 
 
34 (AHSME) A função f(x) satisfaz f(2 + x) = f(2 – x) para 
todo número real x. Se a equação f(x) = 0 em exatamente 
quatro raízes reais e distintas, então a soma dessas raízes é: 
 
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 
 
35 (Hong Kong) A função f definida no conjunto dos pares 
ordenados de números inteiros satisfaz às seguintes condições: 
(1) f(x, x) = x 
(2) f(x, y) = f(y, x) 
(3) (x + y) f(x, y) = yf(x, x + y) 
O valor de f(14, 92) é: 
 
a) 640 b) 641 c) 642 d) 643 e) 644 
 
GABARITO 
1A 2D 3A 4E 5A 6A 7C 8B 9B 10B 11B 12D 13D 14A 15B 16B 17D 18D 19C 20E 
21D 22D 23C 24C 25C 26E 27E 28A 29B 30D 31B 32D 33B 34E 35E 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
01 (EFOMM) O logotipo de uma certa Organização Militar é 
uma pedra semipreciosa, cujo valor é sempre numericamente 
igual ao quadrado de sua massa em gramas. Suponha que a 
pedra de 8 gramas, infelizmente, tenha caído partindo-se em 
dois pedaços. Qual é o prejuízo, em relação ao valor inicial, 
sabendo-se que foi o maior possível? 
 
a) 18% b) 20% c) 50% d) 80% e) 90% 
 
02 (EsPCEx) A represa de uma usina hidroelétrica está situada 
em uma região em que a duração do período chuvoso é 100 
dias. A partir dos dados hidrológicos dessa região, os projetistas 
concluíram que a altura do nível da represa varia, dentro do 
período chuvoso, segundo a função Real 
 
Em que N(t) é a altura do nível da represa, medido em metros, t 
é o número de dias, contados a partir do início do período 
chuvoso. Segundo esse modelo matemático, o número de dias, 
dentro do período chuvoso, em que a altura do nível da represa 
é maior ou igual a 12 metros é: 
 
a) 40 b) 41 c) 53 d) 56 e) 60 
 
03 Para quantos valores do coeficiente a as equações 
x2+ax+1= 0 e x2-x-a = 0 possuem uma solução real comum: 
 
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5 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) infinitos 
 
04 (EsPCEx) Na figura abaixo, estão representados um sistema 
de eixos coordenados com origem O, o gráfico de uma função 
real do tipo f(x)=ax2+bx+c e o quadrado OMNP, com 16 
unidades de área. Sabe-se que o gráfico de f(x) passa pelos 
pontos P e N, vértices do quadrado, e pelo ponto de encontro 
das diagonais desse quadrado. Assim, o valor de a+b+c 
 
 
05 (EsPCEx) Considere a função real g(x) definida por: 
 
O valor de g(g(g(1))) é: 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
06 (EsPCEx) Em uma determinada função quadrática, – 2 e 3 são 
suas raízes. Dado que o ponto (–3, 12) pertence ao gráfico dessa 
função, pode-se concluir que: 
 
a) o seu valor máximo é -12,50 
b) o seu valor mínimo é 0,50 
c) o seu valor máximo é 6,25 
d) o seu valor mínimo é -12,50 
e) o seu valor máximo é 0,50 
 
07 Uma função do segundo grau é tal que f(0)=5, f(1)=3 e f(-
1)=9. Então f(2) é: 
 
a) 0 b) 2 c) 3 d) -3 e) -5 
 
08 O gráfico de f(x)= ax2+bx+c, onde b e c são constantes, 
passa pelos pontos (0,0) e (1,2). Então f(-1/2) vale: 
 
a) -2/9 b) 2/9 c) -1/4 d) ¼ e) 4 
 
09 Se (x2+3x+2)(x2+7x+12) + (x2+5x-6) então, o número de 
raízes positivas da equação é igual a: 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
10 O discriminante de uma equação do segundo grau cujos 
coeficientes são inteiros não pode ser igual a: 
 
a) 23 b) 24 c) 25 d) 28 e) 33 
 
11 O trinômio y= x2-14x+k, onde k é uma constante real 
positiva, tem duas raízes reais distintas. A maior dessas raízes 
pode ser: 
 
a) 4 b) 6 c) 11 d) 14 e) 17 
 
12 Para quantos valores reais do número a a equação 
x2+ax+6a=0 possui somente raízes inteiras? 
 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 
 
13 Um grupo de amigos se reuniu num restaurante e, ao pagar 
a conta, que era de $600 reais dois deles estavam sem dinheiro, 
o que fez com que cada um dos outros contribuísse com mais 
$10. Sendo x o número total de pessoas, o valor de x é: 
 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 
 
14 O custo em reais de 25 laranjas é igual ao número de 
laranjas que podemos comprar com um real. O número de 
laranjas que se pode comprar com três reais é igual a: 
 
a) 15 b) 30 c) 45 d) 75 e) 100 
 
15 Se a média aritmética de a e b é o dobro da sua média 
geométrica, com a> 𝑏 > 0 então, o inteiro mais próximo da razão 
a/b é: 
 
a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 
 
16 Um jóquei vendeu um cavalo por $131250 e ganhou na transação 
tantos por cento quanto o número de reais que ele havia pagado pelo 
cavalo. O preço de custo do cavalo foi igual a: 
 
a) $75000 b) $100000 c) $125000 d) $150000 e) $175000 
 
17 Sabendo que na equação x2+bx-17= 0 onde b é positivo e 
que as raízes são inteiras, achar a soma das raízes: 
 
a) 17 b) 16 c) -17 d) -10 e) -16 
 
18 O valor de k para o qual a soma das raízes da equação 3kx2-
(7+k)x+1= 0 é igual a 1/4 vale: 
 
a) -28 b) -14 c) -7 d) 0 
 
19 A soma da média aritmética com a média geométrica das 
raízes da equação ax2-8x+a3= 0 
é igual a: 
 
a) 4-a2/a b) -4+a2/a c) 8+a2/a d) 4+a2/a e) 5 
 
20 (AFA) Uma malharia familiar fabrica camisetas a um custo 
de R$ 2,00 cada uma e tem uma despesa fixa semanal de R$ 
50,00. Se são vendidas x camisetas por semana, ao preço de (
22
3
 
- 
𝑋
30
 ) reais a unidade, então, o número de camisetas que deve 
ser vendidopor semana para se obter o maior lucro possível é: 
 
a) 60 b) 65 c) 80 d) 90 
 
21 (CN) O valor de k na equação x2+mx+k= 0, para que uma 
de suas raízes seja o dobro da outra e o seu discriminante seja 
igual a 9 é: 
 
a) 20 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18 
 
22 Se r e s são as raízes da equação 2x2-x-16= 0 com r > s, o 
valor da expressão r4-s4/r3+r2s+rs2+s3 é igual a: 
 
a) 129/2 b) √129/2 c) 127/2 d) √127/2 e) 1/8 
 
23 (EN) A raiz da equação 3 + (2x2-4x-9)1/2 = 2x está entre: 
 
a) 1 e 3 b) 2 e 4 c) 3 e 5 d) 4 e 6 e) 5 e 7 
 
24 O número de raízes reais da equação √2 + √2 − √2 + 𝑥 = x é 
igual a: 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
25 (IME) As raízes de uma função quadrática de coeficientes 
inteiros são dois números inteiros distintos. Sabendo que a 
soma dos 3 coeficientes é um número primo e que para algum 
inteiro positivo o valor do trinômio é igual a -55, a diferença 
entre a maior e a menor raiz do trinômio é igual a: 
 
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 
 
26 (CN) Considerando o gráfico abaixo referente da função 
quadrática f(x)= ax2+bx+c, pode-se afirmar que: 
 
a) a > 0; b > 0; c < 0 
b) a > 0; b < 0; c > 0 
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6 
c) a < 0; 𝑏 < 0; c < 0 
d) a < 0; 𝑏 > 0; 𝑐 > 0 
e) a< 0; 𝑏 > 0; 𝑐 > 0 
 
27 (CN) Dado o gráfico da função quadrática f(x)= ax2+bx+c, 
pode-se afirmar que 
 
Conclua que: 
 
a) Todas são verdadeiras 
b) Apenas uma é falsa 
c) Duas são falsas 
d) Apenas uma é verdadeira 
e) Todas são falsas 
 
28 O vértice da parábola f(x)= ax2-10x+c é o ponto de 
coordenadas (5,-9). O valor de a+c é igual a: 
 
a) 17 b) 11 c) -4 d) 9 e) 15 
 
29 Se x é real, o valor máximo inteiro de 3x2+9x+17/3x2+9x+7 
é igual a: 
 
a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 
 
30 (EFOMM) O logotipo de uma certa Organização Militar é 
uma pedra semipreciosa, cujo valor é sempre numericamente 
igual ao quadrado de sua massa em gramas. Suponha que a 
pedra de 8 gramas, infelizmente, tenha caído partindo-se em 
dois pedaços. Qual é o prejuízo, em relação ao valor inicial, 
sabendo-se que foi o maior possível? 
 
a) 18% b) 20% c) 50% d) 80% e) 90% 
 
31 (ITA) Seja S= [ -2,2] e considere as afirmações: 
 
Então podemos dizer que: 
 
a) Apenas I é verdadeira 
b) Apenas III é verdadeira 
c) Somente I e II são verdadeiras 
d) Apenas II é falsa 
e) Todas as afirmativas são falsas 
 
GABARITO 
1C 2D 3B 4C 5C 6D 7C 8A 9E 10A 11B 12E 13C 14A 15E 16A 17E 18A 
19D 20C 21E 22B 23C 24B 25D 26E 27A 28A 29B 30C 31A 
FUNÇÃO MODULAR 
01 O gráfico que representa a função definida por f(x) = |x – 2| é: 
 
 
02 (EsPCEx) O conjunto solução da inequação |x2+x+1| ≤
 |x2+2x-3| é: 
 
a) {x ∈ R | −
1
2
≤ 𝑥 ≤ 2 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4 } 
b) {x ∈ R | -2 ≤ 𝑥 ≤
1
2
 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4 } 
c) {x ∈ R | x < −
1
2
 𝑜𝑢 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 } 
d) {x ∈ R | x ≤ 2 𝑜𝑢 
1
2
 ≤ 𝑥 ≤ 4 } 
e) {x ∈ R | -1/2 ≤ 𝑥 ≤ 4 } 
 
03 (EsPCEx) O domínio e a imagem da função f(x)= |2x2-2x| + 
4 são, respectivamente: 
 
a) R e [4,5 ; +∞[ 
b) R e [4 ; + ∞[ 
c) R+ e ]-∞ ; 4] 
d) R e ]-∞ ; 4,5] 
e) R e [4 ; +∞[ 
 
04 (EsPCEx) O conjunto solução da equação |𝑥 − 3| = |𝑥 − 3|2, 
em R: 
 
a) Possui somente 4 elementos 
b) Possui somente 3 elemento 
c) Possui somente 2 elementos 
d) Possui somente 1 elemento 
e) É vazio 
 
06 O produto de todas as raízes da equação | x2- 8 | - 4 = 0 é: 
 
a) 4 b) -4 c) -8 d) -48 e) 48 
 
07 A soma dos valores reais de x que satisfazem a igualdade 3 | 
x+1 | = | x-1 | é igual a: 
 
a) -5/2 b) -3/2 c) -5 d) -3 e) -2 
 
08 A soma das raízes da equação representada por | x |2 + 2| x 
| - 15 = 0 é: 
 
a) 0 b) -2 c) -4 d) 6 e) 2 
 
09 (EsPCEx) O valor da soma entre o menor e o maior valor 
assumido pela expressão é: 
Sendo que x e y variam no conjunto de todos os números reais 
não nulos 
 
a) -6 b) -2 c) 2 d) 4 e) 6 
 
10 (EsPCEx) Dada a equação | 2x-3 | + | x | - 5 = 0, a soma 
de todas as suas soluções é igual a 
 
a) 3 b) 8/3 c) 2 d) 4/3 e) 2/3 
 
11 (ITA) Sobre a equação na variável real x, ||| x – 1 | – 3 | – 
2 | = 0, podemos afirmar que: 
 
a) ela não admite solução real. 
b) a soma de todas as suas soluções é 6. 
c) ela admite apenas soluções positivas. 
d) a soma de todas as soluções é 4. 
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7 
e) ela admite apenas duas soluções reais. 
 
12 (IME) Resolva, em IR, a equação | 2x – 3 | + | x + 2 | = 4 
 
a) {1, 5/3} b) { } c) {1} d) {1, 3/5) e) {5/3} 
 
13 (EPCAr) O produto das raízes da equação é: 
 
a) -50 b) -10 c) -5 d) 50 
 
14 (EsPCEx) O número de raízes reais distintas da equação x| x| 
− 3x + 2 = 0 é 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
15 (EsPCEx) A soma dos quadrados de todas as raízes da 
equação x2 + 4x – 2.|x + 2| + 4 = 0 é igual a: 
 
a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 36 
 
16 Relativamente à função, de R em R, dada por f(x) = |x| + |x 
+1|, é correto afirmar que: 
 
a) O gráfico de f é a reunião de duas semi-retas 
b) O conjunto de imagem de F é o intervalo [1,+∞[ 
c) f é crescente para todo x ∈ R 
d) f é crescente para todos x ∈ R e x ≥ 0 
e) O valor mínimo de f é 0 
 
17 O número de soluções da equação ||x| - 1| = 1, no universo R, é: 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
18 A solução da equação |3x - 5| = 5x – 1 é: 
 
a) {-2} b) {3/4} c) {1/5} d) {2} e) {3/4,-2} 
 
19 O número de raízes reais da equação |2x - 1| = |1 - x| é: 
 
a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 
 
20 Multiplicando os valores inteiros de x que satisfazem 
simultaneamente as desigualdades |x - 2| ≤ 3 e |3x - 2| > 5, obtemos: 
 
a) 12 b) 60 c) -12 d) -60 e) 0 
 
21 (ITA) Os valores de x ∈ R, para os quais a função real dada 
por f(x) = √5 − ||2𝑥 − 1| − 6| está definida, formam conjunto: 
 
a) [0,1] 
b) [-5.6] 
c) [-5.0] ∪ [1,∞] 
d) [-∞,0] ∪ [1,6] 
e) [-5,0] ∪ [1,6] 
 
22 Qual é a soma das soluções reais da equação |x2+3x+2| - 
|6x| = 0 
 
a) 3 b) -6 c) -3 d) 6 
 
23 (ITA) Sabendo-se que as soluções da equação |x|2 - |x| - 6 
= 0 são raízes da equação x2-ax+b = 0, podemos afirmar que: 
 
a) a=1 e b=6 
b) a=0 e b=-6 
c) a=1 e b=-6 
d) a=0 e b=-9 
e) ∄ 
 
GABARITO: 
1A 2B 3B 4B 6E 7A 8A 9C 10C 11D 12A 13B 14D 15B 16B 17D 18B 19B 
20B 21E 22B 23B 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA 
01 (ITA) A soma das raízes reais e positivas da equação 
 vale: 
 
a) 2 b) 5 c) √2 d) 1 e) √3 
 
02 (AFA) Sabendo-se que b é um número real tal que b > 1 e 
que a função real f: IR→ B é tal que f(x)= 2 -b-|x| , analise as 
alternativas abaixo e marque a falsa. 
 
a) A função f admite valor mínimo. 
b) x ≤ – 1 ⇔ 2 – 1/b ≤ f(x) < 2 
c) A função f é par. 
d) Se B = [0, 2[ então f é sobrejetora. 
 
03 Se x e y são números reais positivos tais que , 
então x é igual a: 
 
a) 4y b) 2y c) √𝑦
4 d) √𝑦
4 /2 e) √𝑦 
 
04 O gráfico que melhor representa a fuinção é: 
 
 
05 (EN) Dadas as funções reais , pode-se 
afirmar que (gof-1)(90) é igual a: 
 
a) 10 
b) 3 
c) 1 
d) 1/3 
e) 1/10 
 
06 Considere: 
 
É correto afirmar que: 
 
a) p < q < r 
b) r < q < p 
c) q < r < p 
d) p < r < q 
e) r < p < q 
 
08 Sabe-se que 𝑙𝑜𝑔𝑚 10 = 1,6600 e que 𝑙𝑜𝑔𝑚 160 = 3,6610, 
m≠1. Assim, o valor correto de m corresponde a: 
 
a) 4 
b) 2 
c) 3 
d) 9 
e) 5 
 
09 A figura representa o gráfico da função f definida por f(x) = 
𝑙𝑜𝑔2x. A medida do segmento PQ é igual a: 
 
a) √6 
b) √5 
c) 𝑙𝑜𝑔25 
d) 2 
e) log2 
 
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8 
10 (AFA) Todo número real positivo pode ser descrito na forma 
10x. Tendo em vista que 2 = 100,30, então o expoente x, tal que 
5 = 10x vale, aproximadamente, 
 
a) 0,15 
b) 0,33 
c) 0,50 
d) 0,70 
 
11 (AFA) Se x ⊂ IR e 75x = 243, então 7-3x é igual a: 
a) 1/3 
b) 1/9 
c) 1/27 
d) 1/81 
 
12 Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o 
risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte 
modo: R = 𝑅0e
-kt, em que R0 é o risco de infecção no início da 
contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. O risco de 
infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, 
com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida 
uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%. Use a 
tabelaabaixo para os cálculos necessários: 
 
O tempo em anos para que o risco de infecção se torne igual a 
0,2%, é de: 
 
a) 21 
b) 22 
c) 23 
d) 24 
 
13 Se log7 875 = a, então log35 245 é igual a: 
 
a) a+2/a+7 
b) a+2/a+5 
c) a+5/a+2 
d) a+7/a+2 
e) a+5/a=7 
 
14 (AFA) A soma das raízes da equação 32-x + 31-x = 28 é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
15 Se log (3x + 23) – log (2x – 3) = log4, encontrar x: 
 
a) 7 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
e) 3 
 
16 Sendo N um número real positivo e b um número real 
positivo diferente de 1, diz-se que x é o logaritmo de N na base 
b se, e somente se, bx = N. Assinale a opção na qual x é o 
logaritmo de N na base b. 
 
a) N = 0,5 b = 2 x = –2 
b) N = 0,5 b = 2 x = 1 
c) N = 0,125 b = 2 x = –4 
d) N = 0,125 b = 2 x = –3 
 
17 (AFA) Se a função real f definida por f(x)= 𝑙𝑜𝑔3(3x-4) - 𝑙𝑜𝑔3(2x-
1), então o conjunto de valores de x para os quais f(x) < 1é 
 
a) {x ∈ IR| x > 7/3} 
b) {x ∈ IR| x < 1/2} 
c) { x ∈ IR| x < 1/2 ou x> 7/3} 
d) {x ∈ IR| 1/2 < x < 7/3} 
 
18 A soma dos n primeiros termos da seqüência (6, 36, 216, …, 
6n, …) é 55986. Nessas condições, considerando log 2 = 0,30 e 
log 3 = 0,48, o valor de log n é: 
 
a) 0,78 
b) 1,08 
c) 1,26 
d) 1,56 
e) 1,68 
 
19 Na figura, os gráficos I, II e III referem-se, respectivamente, 
às funções y = ax, y = bx e y = cx. 
 
a) 0 < a < b < c 
b) 0 < b < c < a 
c) a < 0 < b < c 
d) 0 < a < c < b 
e) a < 0 < c < b 
 
20 (AFA) De acordo com Richter(1935), a energia E(medida 
em joule) liberada por um terremoto de magnitude M, obedece 
à equação: M= 0,67 . log E -3,25 
Baseando-se nisso, é FALSO afirmar que(adotar log 2 = 0,3) 
 
a) Se a energia de 2,0 · 1012 joules equivale à de uma bomba 
atômica como a lançada sobre Hiroshima, então, o valor da 
magnitude de um terremoto cuja energia liberada equivale a 
2000 bombas atômicas como a lançada sobra Hiroshima, é um 
intervalo de ]7; 7, 3] 
b) O acréscimo de 0,67 unidades na magnitude de um 
terremoto na escala Richter corresponde a um terremoto cerca 
de 10 vezes mais intenso em termos de energia liberada 
c) O crescimento na magnitude de terremotos na escala 
Richter, acarreta um aumento exponencial da energia liberada. 
d) A energia de 2,0 · 1012 joules (equivalente à de uma bomba 
atômica como a lançada sobre Hiroshima) corresponde à 
ocorrência de um terremoto de magnitude superior a 5 pontos 
na escala Richter. 
 
21 (AFA) Dada a função real f tal que , 
onde e = 2,71... é a base de logaritmos neperianos, é correto 
afirmar que o conjunto D, domínio de f é igual a 
a) {x ∈ 𝑅+
∗ | x ≤ 1} 
b) {x ∈ R | x ≥ 1 e x ≠ 2} 
c) {x ∈ 𝑅∗| -2 < 𝑥 < 2} 
d) { x ∈ R | x < -2 ou x > 2} 
 
22 (AFA) As funções que melhor descrevem as curvas abaixo 
 
a) y = –𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 e sua inversa, sendo 0 < a < 1 
b) y = 𝑙𝑜𝑔𝑎(2x) e sua inversa, sendo a > 1 
c) y = ax e sua inversa, sendo a > 0 
d) y = 𝑙𝑜𝑔𝑎(x + 1) e sua inversa, sendo a > 1 
 
23 (AFA) O gráfico expressa a variação de log y em função de 
log x, onde é p logaritmo na base decimal. 
 
A relação correta entre x e y é: 
 
a) y= 2 + 2x 
b) y= 3/2 + x 
c) y= 100x2 
d) y= 5/2 + x 
 
24 (AFA) O Conjunto solução da equação 𝑙𝑜𝑔𝑥−2(x + 2)
2 = 2 é: a) { } 
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9 
b) { x ∈ IR | x > 3} 
c) { x ∈ IR | 2 < x < 3 } 
d) { x ∈ IR | x > 2 e x ≠ 3 } 
 
25 (AFA) O valor de 
é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
26 (EFOMM) Em uma certa região, ocorreu uma infecção viral 
que se comportou de acordo com a função: N(t)= a.2b.t, em que 
N(t) são pessoas infectadas em t dias após a realização do 
estudo: a e b são constantes reais. Sabe-se que, ao iniciar o 
estudo, havia 3000 pessoas infectadas e que após 2 dias, esse 
número chegava a 24000 pessoas. Assinale a alternativa que 
representa o número de pessoas infectadas após 16 horas. 
 
a)5.000 b) 6.000 c)7.000 d) 8.000 e) 9.000 
 
27 (AFA) No intervalo [ -1, 100 ], o número de soluções 
inteiras da inequação 3x – 8 > 32-x é: 
 
a) 97’b) 98’c) 99’d) 100 
 
28 (IME) Sejam as funções: 
. 
Se os valores da base e da altura de um triangulo são definidos 
por h(0,5) e h(0,75) respectivamente, a área desse triangulo é 
igual a: 
 
a) e/2 
b) √7/2 
c) √21/2 
d) √10 
e) e 
 
29 (IME) Resolva o sistema abaixo: 
 
 
30 (Olimp. Cingapura) Resolva a equação: 
 
 
 
31 (EN) Sejam n ∈ IN tal que 24 + 25 + ... + 2n = 8176 e m o 
menor m ∈ IN tal que seja verdadeira. 
O produto m.n vale: 
 
a) 120 
b) 124 
c) 130 
d) 132 
e) 143 
 
32 (EN) Consideremos a, x ∈ 𝐼𝑅+
∗ , x ≠ 1 e a ≠ 1. Denotemos por 
logx e 𝑙𝑜𝑔𝑎x, os logaritmos nas bases 10 e a respectivamente. O 
produto das raízes reais da equação: 
 
 
a) 10√10 
b) √10 
c) √10 / 10 
d) √10 / 100 
e) 100 
 
33 (EN) Seja n o menor inteiro pertencente ao domínio da 
função real de variável real 
Podemos afirmar que 𝑙𝑜𝑔𝑛 3√3√3√3 … é raiz da equação 
 
a) x3 – 2x2 – 9 = 0 
b) x3 + x – 1= 0 
c) x4 – 4x2 – x + 2 = 0 
d) x2 – 4x + 3 = 0 
e) x4 – 4x2 + x + 1 = 0 
 
34 (EN) No sistema cartesiano abaixo está esboçado uma 
porção do gráfico de uma função y(x) = 𝑙𝑜𝑔2(x+a) restrita ao 
intervalo [2,8], a ∈ 𝑅+
∗ 
 
Se y(2) = 2, então o valor da área hachurada é: 
 
a) 6 + 3/2𝑙𝑜𝑔43 
b) 12 + 𝑙𝑜𝑔23 
c) 8 + 2 𝑙𝑜𝑔23 
d) 6 + 𝑙𝑜𝑔1/2 3 
e) 12 + 𝑙𝑜𝑔√2 3 
 
35 (EN) Se a, b, m e n são números reais tais que a2 + b2 = 341ab, 
a ≠ 0, b ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔3 2 = m e 𝑙𝑜𝑔3 7 = n então o valor da expressão 
 
a) m2 + 6m – 1 
b) – m2/2 – 7m + 2 
c) 3 n2/2 + 3m - 6n – 2 
d) n2/2 + 6n – 1 
e) –n2 + 6m – 1 
 
36 (ITA) Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus 
logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo 
𝑙𝑜𝑔𝑘(xy) = 49 
𝑙𝑜𝑔𝑘(x/z) = 44 
𝑙𝑜𝑔𝑘(xyz) é igual a: 
 
a) 52 
b) 61 
c) 67 
d) 80 
e) 97 
 
37 (Olimp. Russa) Resolva o sistema 
 
 
38 (IME) Sabendo que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 5 
= 0,6989, o menor número entre as alternativas abaixo é: 
 
a) 430 
b) 924 
c) 2540 
d) 8120 
e) 62515 
 
39 (IME) Seja log 5 = m, log 2 = p e N = 125√
1562,5
√2
5
3
. O valor de 
𝑙𝑜𝑔5 N, em função de m e p, é 
 
a) 75m + 6p / 15m 
b) 70m – 6p / 15m 
c) 75m – 6p / 15m 
d) 70m + 6p / 15m 
e) 70m + 6p / 15p 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1C 2D 3C 4B 5B 6E 8A 9B 10D 11C 12C 13C 14A 15A 16D 17A 18A 19D 
20D 21A 22A 23C 24A 25C 26B 27C 28C 29 S= {(𝑎
1 
𝑎 
−1; 𝑎
1 
𝑎 
−1)} 30 S= {
3
2
} =
{
3
2
} 31D 32C 33C 34E 35B 36A 37 S={
2
3
,
27
8
,
32
3
,} 38A 39B 
 
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10 
TRIGONOMETRIA 
01 Se um ângulo é igual ao seu complemento, então o seno deste 
ângulo é igual a: 
 
a) ½ 
b) √2 /2 
c) √3 / 2 
d) 1 
 
02 Os arcos da forma 72º n + 10º, onde n ∈ Z, definem sobre 
uma circunferência os vértices de: 
a) um triângulo equilátero; 
b) um hexágono irregular; 
c) um pentágono regular; 
d) um triângulo isósceles; 
e) um hexágono regular. 
 
03 Na figura, o círculo é unitário e BC é tangente ao círculo no 
ponto P. Se o arco AP mede 𝛼, BC vale: 
 
a) tan 𝛼 + cotg 𝛼 
b) sen 𝛼 + cos 𝛼 
c) sec 𝛼 + cossec 𝛼 
d) tan 𝛼 + sen 𝛼 
e) cotg 𝛼 + cos 𝛼 
 
04 Para qualquer número real x, 
 é igual a: 
a) – sen x 
 
b) 2 sen x 
c) (sen x)(cos x) 
d) 2 cos x 
e) – cos x 
 
05 Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a 
uma cidade B ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um 
problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao 
oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro 
de 120° à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, 
juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, 
formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, 
como mostra a figura. 
 
Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião 
voou partindo de A até chegar a B é: 
 
a) 30√3 
b) 40√3 
c) 60√3 
d) 80√3 
e) 90√3 
 
06 O número de soluções da equação senθ = 4/5 no intervalo 
[0, 2π] é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 4 
 
07 A expressão é idêntica a: 
 
a) 2 . cos 2α 
b) 2 . sen 2α 
c) cos2α 
d) sen2α 
e) cos2α – sen2α 
 
08 A expressão 
 
para x = 30°, é igual a:a) 1 
b) √2 
c) √3 
d) √2 / 2 
e) √3 / 3 
 
09 Considere os ângulos α, β e γ conforme representados no 
círculo. 
 
Pode-se afirmar que: 
 
a) cos α < cos β 
b) cos γ > cos α 
c) sen α > sen β 
d) sen β < cos γ 
e) cos β < cos γ 
 
10 Se simplificarmos a expressão: 
 
obteremos: 
 
a) senβ 
b) tgβ 
c) cosβ 
d) – cosβ 
e) – senβ 
 
11 (ITA) Sendo α e β os ângulos agudos de um triângulo 
retângulo, e sabendo que sen2 2β – 2 cos 2β = 0, então sen α é 
igual a: 
 
a) √2 / 2 
b) √2
4
 / 2 
c) √8
4
 / 4 
d) √8
4
 / 2 
e) zero 
 
12 Os vértices de um triângulo ABC, no plano cartesiano, são: A 
= (1, 0), B = (0, 1) e C = (0, √3). Então, o ângulo BÂC mede: 
 
a) 60° 
b) 45° 
c) 30° 
d) 18° 
e) 15° 
 
13 Na figura abaixo o raio da circunferência maior é o triplo do 
raio da menor. A reta s é tangente às duas circunferências. A 
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11 
reta t é tangente às duas circunferências, no mesmo 
ponto.Quanto vale cos(α/2)? 
 
 
a) 1/3 
b) ½ 
c) √2 / 2 
d) √3 / 2 
e) √2 / 3 
 
14 I. cos 225° < cos 215° 
II. tg 5π/12 > sen 5π/12 
III. sen 160° > sen 172° 
Das afirmações acima: 
 
a) todas são verdadeiras. 
b) todas são falsas. 
c) somente II e III são verdadeiras. 
d) somente II é verdadeira. 
e) somente I e II são verdadeiras. 
 
15 Se tgθ = 2, então o valor de 
 é igual a: 
 
a) -3 
b) -1/3 
c) 1/3 
d) 2/3 
e) ¾ 
 
16 (ITA)Sabe-se que x é um número real pertencente ao 
intervalo ] 0, 2π [ e que o triplo da sua secante, somado ao 
dobro da sua tangente, é igual a 3. Então, o cosseno de x é 
igual a: 
 
a) √3 / 4 
b) 2/7 
c) 5/13 
d) 15/26 
e) 13/49 
 
17 (ITA) Considere f : R →R definida por f(x) = 2 sen 3x – cos 
(
𝑥 – 𝜋
2
) . Sobre f podemos afirmar que: 
 
a) é uma função par. 
b) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4π. 
c) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4π/3. 
d) é uma função periódica de período fundamental 2π. 
e) não é par, não é ímpar e não é periódica. 
 
18 O quadrado ao lado tem O como centro e M como ponto 
médio de um de seus lados. Para cada ponto X pertencente aos 
lados do quadrado, seja u o ângulo MÔX, medido em radianos, 
no sentido anti-horário. O gráfico que melhor representa a 
distância de O a X, em função de θ, é: 
 
 
19 (ITA) Para x no intervalo [0, π/2], o conjunto de todas as 
soluções da inequação 
é o intervalo definido por: 
 
a) π/10 < x < π/2 
b) π/12 < x < π/4 
c) π/6 < x < π/3 
d) π/4 < x < π/2 
e) π/4 < x < π/3 
 
20 Resolva a equação tg2x + sen2x = 3cos2x no intervalo [0, 
2π]. A soma de todas as suas raízes nesse intervalo é igual a: 
 
a) 4π 
b) 3π 
c) 2π 
d) π 
 
21 No intervalo 0 ≤ x ≤ 2x, a equação trigonométrica 
sen9x + sen8 x + sen7 x + … + sen x + 1 = 0: 
 
a) não tem solução. 
b) tem uma única solução. 
c) tem duas soluções. 
d) tem três soluções. 
e) tem infinitas soluções. 
 
22 Dada a equação sen2x + a cosx – cos2x = 3, x ∈ [0, 2π] e a 
∈ |R, pode-se afirmar que: 
 
a) se a = – 4 ou a = 4, a equação possui uma única raiz. 
b) se a < – 4 ou a > 4, a equação possui uma única raiz. 
c) se a < – 4, a equação possui duas raízes. 
d) se – 4 < a < 4, a equação possui duas raízes. 
e) se a = 4, a equação possui duas raízes. 
 
23 O gráfico abaixo corresponde à função: 
 
a) y = 2 senx 
b) y = sen(2x) 
c) y = senx + 2 
d) y = sen(x/2) 
e) y = sen(4x) 
 
24 O dobro do seno de um ângulo θ, 0 < θ < π/2 , é igual ao triplo 
do quadrado de sua tangente. Logo, o valor de seu cosseno é: 
 
a) 2/3 
b) √3/2 
c) √2/2 
d) ½ 
e) √3/3 
 
25 Se sen(x) – cos(x) = 1/5 , então o valor de sen(2x) é igual a: 
 
a) 23/25 
b)24/25 
c) 1 
d) 26/25 
e) 27/25 
 
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12 
26 Na figura abaixo, as duas circunferências são tangentes 
entre si e tangentes às duas retas. Se o raio da circunferência 
maior é igual a quatro vezes o raio da menor e θ é a medida do 
ângulo formado pelas duas retas, então: 
 
 
a) sen θ = 9/25 
b) sen θ = 7/25 
c) cos θ = 16/25 
d) cos θ = 9/25 
e) cos θ = 7/25 
 
27 A expressão é igual a: 
 
a) tg α − tg β 
b) cotg α − cotg β 
c) sec α − sec β 
d) cossec α − cossec β 
e) cos α − cos β 
 
28 Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3 , então tg y é igual a: 
 
a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6 
 
29 Na figura está representada parte do gráfico de uma função 
periódica. 
 
Qual dos valores poderá ser o período da função? 
 
a) π/9 b) 2π/9 c) 2 π/3 d) 4 π/3 
 
30 Quantas são as soluções da equação 3sen x =1 que pertencem 
ao intervalo [0, 2π ]? 
 
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 
 
31 Considere, em R, a equação sen x +cos x = 4 . Qual das 
seguintes afirmações é verdadeira? 
 
a) A equação é impossível 
b) A equação tem exatamente uma solução 
c) A equação tem exatamente duas soluções 
d) A equação tem uma infinidade de soluções 
 
32 (EN) No intervalo [0, π] a equação 
 
possui soma dos inversos das raízes igual à: 
 
a) 15/2𝜋 
b) 117/10𝜋 
c) 15/𝜋 
d) 2𝜋 
e) 117/5𝜋 
 
33 O número de valores de x pertencentes ao intervalo (0, 90º) 
que satisfazem à equação é igual a: 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
34 (AFA) Os valores de m ∈ R para os quais a equação √2(sen 
x - cos x) = m2 - 2 admite soluções, são 
 
a) –1 ≤ m ≤ 1 
b) –2 ≤ m ≤ 2 
c) –2 ≤ m ≤ √2 
d) –2 ≤ m ≤ 1 
 
35 (ITA) O conjunto imagem e o período de f (x) = 2 sen2(3x) 
sen(6x) - 1 são, respectivamente 
 
a) [ −3, 3] e 2π 
b) [ -2 e 2] e 2𝜋/3 
c) [ -√2 e √2] e 𝜋/3 
d) [ -1, 3] e 𝜋/3 
e) [-1 e 3] e 2𝜋/3 
 
36 (EN) Sabendo-se que tgx = a e tgy = b ; pode-se reescrever: 
como: 
 
a) 
1−𝑎𝑏
1+𝑎𝑏
 . 
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
 
b) 
1+𝑎𝑏
1−𝑎𝑏
 . 
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
 
c) 
1−𝑎𝑏
1+𝑎𝑏
 . 
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
 
d) 
1+𝑎𝑏
1−𝑎𝑏
 . 
𝑏−𝑎
𝑎−𝑏
 
e) 
1+𝑎𝑏
1−𝑎𝑏
 . 
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
 
 
37 Encontre o valor de 
 
a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -2 
 
38 (AFA) Em uma apresentação da esquadrilha da fumaça, dois 
pilotos fizeram manobras em momentos diferentes deixando 
rastros de fumaça, conforme mostra a figura abaixo. 
 
As funções f1 e f2 que correspondem às manobras executadas 
pelos pilotos são 
 
a) f1(x)= 2 – sen(4/3x) e f2(x)= 4 – sen(4/3x) 
b) f1(x)= 2 + sen(4/3x) e f2(x)= 4 – sen(4/3x) 
c) f1(x)= 4 + sen(𝜋/2-2/3x) e f2(x)= 2 – sen(𝜋/2 + 4/3x) 
d ) f1(x)= 1 – sen(2/3x) e f2(x)= 1 – 3sen(𝜋/2 -4/3x) 
 
39 (AFA) Sabendo que o gráfico abaixo é da função y = a + 
sen bx , pode-se afirmar que a + b é um número: 
 
a) divisor de 18. 
b) primo. 
c) par. 
d) múltiplo de 7. 
 
40 (AFA) Sabendo que 0 < x < 𝜋/2, analise as proposições e 
classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F). 
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13 
 
Tem-se a seqüência 
 
a) V, V, V, V. 
b) V, V, F, V. 
c) F, V, F, F. 
d) V, F, F, F. 
 
41 (EN) Determine o valor do parâmetro k para que a função 
 
seja independente do arco x. 
 
42 (AFA) Considere {a, b, c, d} ∈ IR e as funções reais f e g 
tais que f(x) = a + b.cos(cx + d) e g(x) = a + b.tg(cx + d). 
Sabendo-se que a, b, c e d formam, nessa ordem, uma P.G. 
cuja soma dos termos é –20/9 e primeiro termo 1/9 é correto 
afirmar que 
 
a) a função g está definida para x = 3(𝜋 + 2)/2 
b) o período da função é 2π 
c) o conjunto imagem da função f é [ -4/9. 4/9] 
d) a função g é crescente para x ∈ ] (3𝜋+6)/2 , (5𝜋+6)/2[ 
 
43 (AFA) Considere a função real definida por 
 e as seguintes afirmações: 
 
São verdadeiras somente as afirmações contidas nos itens 
 
a) I e II 
b) II e III 
c) III e IV 
d) I e IV. 
 
44 (ITA) A solução da equação arctg x + arctg [x / (x+1)] = 
π/4 definida no conjunto dos reais diferentes de –1 é: 
 
a) 1 b) ½ c) 1/2 e 1 d) 2 e) 2 e 1 
 
45 (EsPCEx) Considere a progressão aritmética representada 
pela sequência ( 
7𝜋
12
.
47𝜋
60
,
59𝜋
60
, … ). Se todos os termos dessa PA 
forem representados num círculo trigonométrico, eles 
determinarão nesse círculo os vértices de um 
 
a) pentágono (5 lados) 
b) hexágono (6 lados) 
c) octógono (8 lados) 
d) decágono (10 lados) 
e) dodecágono (12 lados) 
 
46 (EsPCEx) As funções y = sen x e y = cos x estão representadas 
no gráfico abaixo. Então, a medida da área do triângulo retângulodefinido pelos segmentos retilíneos AB, BC e AC é: 
 
a) 
𝜋
8
(2 − √2) 
b) 
𝜋
8
 
c) 
𝜋
16
(2 − √2) 
d) 
𝜋√2
16
 
e) 
𝜋
16
(1 − √2) 
 
47 (EsPCEx) Na figura a seguir, são fornecidas as coordenadas 
cartesianas dos pontos P1 e P2. Denomina-se θ o ângulo PIÔP2 
 
Com base nessas informações pode-se afirmar que o valor de 
cosθ é 
 
a) (4√3-3)/10 
b) 13/10 
c) (3√3-4)/10 
d) 3/10 
e) (4+3√3)/10 
 
48 (Olimp. EUA) Prove que 
 
 
49 (ITA) Considere a equação 
 
Determine todas as soluções x no intervalo [0, π [. 
 
GABARITO 
1B 2C 3A 4E 5C 6C 7A 8A 9E 10C 11C 12E 13D 14C 15B 16C 
17B 18A 19A 20A 21B 22E 23A 24B 25D 26E 27A 28B 29D 30B 
31A 32B 33C 34B 35C 36C 37A 38B 39C 40B 41 3/2 42D 43D 
44B 45D 46C 47E 48 DEMONSTRAÇÃO 49 S= {
𝜋
6
,
𝜋
2
,
𝜋
6
,} 
 
SEQUÊNCIA NUMÉRICA: P.A. E P.G. 
01 (EFOMM) Todos os anos uma fábrica aumenta a produção em 
uma quantidade constante. No 5º ano de funcionamento, ela 
produziu 1460 peças, e no 8º ano, 1940. Quantas peças, então, 
ela produziu no 1º ano de funcionamento? 
 
a) 475 
b) 520 
c) 598 
d) 621 
e) 820. 
 
02 José decidiu nadar, regularmente, de quatro em quatro dias. 
Começou a fazê-lo em um sábado; nadou pela segunda vez na 
quarta-feira seguinte e assim por diante. Nesse caso, na 
centésima vez em que José for nadar, será: 
 
a) terça-feira. 
b) quarta-feira. 
c) quinta-feira 
d) sexta-feira. 
 
03 A empresa ACME concedeu a seus funcionários 
mensalmente, durante dois meses, um reajuste fixo de x% ao 
mês. Se ao final desses dois meses o reajuste acumulado foi de 
21%, o valor de x é: 
 
a) 10 
b) 10,5 
c) 11 
d) 11,5 
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14 
e) 21 
 
04 (EFOMM) Se o 5° número de uma P.A. de 9 termos é 16, 
então a soma de seus termos será: 
 
a) 76 
b) 96 
c) 144 
d) 176 
e) 196 
 
05 Se x, y e z são números inteiros e estão, nesta ordem, em 
progressão aritmética, então o produto 2x. 2y. 2z vale: 
 
a) 4y 
b) 6y 
c) 6z 
d) 8y 
e) 8x 
 
06 (ITA) Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros. 
A partir dele, constrói-se uma seqüência de triângulos do 
seguinte modo: os pontos médios dos lados de um triângulo são 
os vértices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor 
em centímetros quadrados que está mais próximo da soma das 
áreas dos 78 primeiros triângulos assim construídos,incluindo o 
triângulo inicial, é: 
 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
07 (AFA) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão 
aritmética (PA) é dada pela fórmula Sn = 3n2+n / n , então a 
soma do quarto com o sexto termo dessa PA é: 
 
a) 25 
b) 28 
c) 31 
d) 34 
 
08 Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os 
formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um 
triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na 
segunda, 5 na terceira e assim por diante, constituindo uma 
progressão aritmética. 
O número de formandos na cerimônia é: 
 
a) 400 
b) 410 
c) 420 
d) 800 
 
09 (ITA) O valor de n que torna a sequência 2 + 3n, –5n, 1 – 
4n uma progressão aritmética pertence ao intervalo: 
 
a) [–2, –1] 
b) [–1, 0] 
c) [0, 1] 
d) [1, 2] 
e) [2, 3] 
 
10 (AFA) Se a soma dos 6 primeiros termos de uma progressão 
aritmética é 21 e o sétimo termo é o triplo da soma do terceiro com o 
quarto termo, então o primeiro termo dessa progressão é: 
 
a) –7 
b) –8 
c) –9 
d) –10 
 
11 Na compra a prazo de um aparelho eletrodoméstico, o total 
pago por uma pessoa foi R$ 672,00. A entrada teve valor 
correspondente a 1/6 do total, e o restante foi pago em 4 
parcelas, cujos valores formaram uma progressão aritmética 
crescente de razão R$ 40,00. O valor da última prestação foi: 
 
a) R$ 220,00 
b) R$ 215,00 
c) R$ 210,00 
d) R$ 205,00 
e) R$ 200,00 
 
12 (IME) A soma dos números inteiros positivos de quatro 
algarismos que admitem 3, 5 e 7 como fatores primos é: 
 
a) 11025 
b) 90300 
c) 470005 
d) 474075 
e) 475105 
 
13 Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica 
têm ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus 
terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-
se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede 
o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o 
terceiro termo das progressões é: 
 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 16 
e) 18 
 
15 Uma cultura de certa bactéria, mantida sob condições ideais, 
triplica o seu volume a cada dia. Se o volume no 1º dia é de 9 cm3, 
o volume no quinto dia será: 
a) 405 cm3 
b) 729 cm3 
c) 939 cm3 
d) 1 350 cm3 
e) 2 187 cm3 
 
16 (EFOMM) Os 3 primeiros termos de uma progressão 
geométrica são 𝑎1= √2 , 𝑎2 = √2
3
 e 𝑎3 = √2
6
 . O quarto termo é 
 
a) 1 / √2 
b) 1 
c) √2
8
 
d) √2
9
 
e) ½ 
 
17 As empresas ALFA e BETA alugam televisores do mesmo 
tipo. A empresa ALFA cobra R$ 35,00 fixos pelos primeiros 30 
dias de uso e R$ 1,00 por dia extra. A empresa BETA cobra R$ 
15,00 pelos primeiros 20 dias de uso e R$ 1,50 por dia extra. 
Após n dias o valor cobrado pela empresa BETA passa a ser 
maior do que o cobrado pela empresa ALFA. O valor de n é: 
 
a) 25 
b) 35 
c) 40 
d) 45 
e) 50 
 
18 (EFOMM) A soma dos termos da progressão 2-1, 2-2, 2-3, ... 
,2-10 é: 
 
a) 2-(1+2+3+...+10) 
b) 2-1024 
c) 1024-1 
d) 513/1024 
e) 1023/1024 
 
19 Um atleta está se preparando para disputar a maratona nos 
jogos de Sidney. No último treino, a planilha do cronometrista 
mostrou que, nos primeiros 10 minutos, o atleta havia 
percorrido 3,5 km. Nos 10 minutos seguintes, 3,4 km; nos 10 
minutos a seguir, 3,3 km e assim sucessivamente; 100 metros a 
menos a cada 10 minutos de corrida. 
É correto afirmar que: 
 
a) O atleta levará 3 horas para percorrer 42 km. 
b) Nesse último treino, o atleta percorrerá 20 km em 2 horas. 
c) O atleta completará os 22 km em 2 horas e 20 minutos. 
d) O atleta percorrerá 30 km em 2 horas e 20 minutos. 
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15 
e) O atleta percorrerá 42 km em 2 horas e 30 minutos. 
 
20 (EFOMM) A progressão geométrica (x – 3, x + 1, ...) de 
termos reais não nulos admite um limite para a soma dos seus 
infinitos termos se, e somente se, 
 
a) x > 1 
b) x < 1 
c) x > 3 
d) x < 3 
e) 1 < x < 3. 
 
21 (AFA) A cada ano que passa, o valor de uma máquina 
diminui 10% em relação ao do valor do ano anterior. Se V for o 
valor da máquina no ano da compra, após 10 anos será 
 
a) (0,9)10 V 
b) (0,5)9 V 
c) (0,1)9 V 
d) (0,1)10 V 
 
22 Em uma progressão aritmética de n termos, sendo n ímpar, o 
termo central é: 
 
a) a diferença entre os termos extremos divididos por n. 
b) a média aritmética entre todos os termos multiplicada por dois. 
c) o dobro da soma dos termos divididos por n. 
d) a média aritmética de qualquer par de termos eqüidistantes 
dos extremos. 
e) a soma dos n termos dividida por 2. 
 
23 Qual é o menor número de termos que deve ter a progressão 
aritmética de razão r = 8 e primeiro termo a1 = –375, para que a 
soma dos n primeiros termos seja positiva? 
 
a) 94 
b) 95 
c) 48 
d) 758 
e) 750 
 
24 (EN) O valor do 
 
é igual a: 
 
a) 3/2 
b) ¾ 
c) -1/3 
d) -3/2 
e) -4/3 
 
25 (AFA) Num certo jogo de azar, apostando-se uma quantia x, 
tem-se uma das duas possibilidades seguintes: 
1º) perde-se a quantia x apostada; 
2º) recebe-se a quantia 2x. 
Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira: na 1ª vez, 
apostou 1 centavo; na segunda vez, apostou 2 centavos; na 3ª 
vez apostou 4 centavos e assim por diante, apostando em cada 
vez o dobro do que havia apostado na vez anterior. Nas 20 
primeiras vezes, ela perdeu. Na 21ª vez, ela ganhou. 
Comparando a quantia total T perdida e a quantia Q recebida, 
tem-se que Q é igual a: 
 
a) T/2 
b) 2T . 
c) 2(T +1) . 
d) T +1. 
 
26 (IME) Um quadrado de lado igual a um metro é dividido em 
quatro quadrados idênticos. Repete-se esta divisão com os 
quadrados obtidos e assim sucessivamente por n vezes. A figura 
abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo. 
Quando n → ∞, a soma em metros dos perímetros dos 
quadrados hachurados em todas as etapas é: 
 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
e) 12 
 
27 (OBM)Determine o valor da soma 
 
 
28 (EN) Sendo a o primeiro termo de uma progressão 
geométrica, b o termo de ordem (n +1) e c o termo de ordem 
(2n +1) , então a relação entre a, b e c é: 
a) c2 − ab + b2 = 0 
b) b2 – ac4 = 0 
c) b2 + a2 + 4ab – c2 = 0 
d) b2 + 2a 2cb + b 2c = 0 
e) b4 − 2acb 2 + a 2c2 = 0 
 
29 A interpolação de 5 meios aritméticos entre os números –8 e 
22 resulta na PA: 
 
a) (–8, –2, 4, …) 
b) (–8, –3, 2, 7, 12, …) 
c) (–8, –4, 0, 4, …) 
d) (–8, –3, –1, 3, …) 
e) Os dados são insuficientes para calcular. 
 
30 Dado o conjunto dos naturais de 1 a 100, isto é, C = {1, 2, 
3, ...98, 99, 100}, encontrar a soma dos naturais que não são 
múltiplos de 3. 
 
a) 3418 
b) 3067 
c) 3167 
d) 3267 
e) 3367 
 
31 Interpolando cinco meios geométricos entre √2 e 8 √2 , o 
termo médio obtido será: 
 
a) 2 
b) 2√2 
c) 4 
d) 4√2 
e) 8 
 
32 A tabela apresenta, em cada linha, o número de cabeças de 
um rebanho no final do ano dado. 
Se o rebanho continuar decrescendo anualmente na progressão 
geométrica indicada pela tabela, no final de 2006 o número de 
cabeças do rebanho estará entre: 
 : 
a) 10 e 80 
b) 80 e 100 
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16 
c) 100 e 400 
d) 400 e 800 
e) 800 e 1000 
 
33 (EN) Considere uma progressão geométrica de razão maior 
do que 1 em que três de seus termos consecutivos representam 
as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Se o primeiro 
termo dessa progressão geométrica é 64, então seu décimo 
terceiro termo vale: 
 
a) 2(1 + √3)6 
b) (1 + √3)12 
c) (1 + √5)6 
d) (1 + √5)12 / 2 
e) √3 
 
34 (ITA) Seja (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3,...; 𝑎𝑛,...) uma progressão geométrica 
infinita de razão positiva r, em que 𝑎1 = a é um número real não 
nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares 
desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos 
os termos de índices múltiplos de 3 é 16/13, determine o valor 
de a + r. 
 
35 Um turista anotou diariamente, por 5 dias, seus gastos na 
compra de artesanato e percebeu que essas quantias formavam 
uma progressão geométrica de razão 2. Se o gasto total foi de 
R$ 465,00, a maior quantia gasta em um dia na compra de 
artesanato foi: 
 
a) R$ 202,00 
b) R$ 208,00 
c) R$ 210,00 
d) R$ 225,00 
e) R$ 240,00 
 
36 Na segunda-feira, uma garota conta um segredo a três 
amigas. Na terça-feira, cada uma dessas amigas conta esse 
segredo a três outras amigas. E assim, a cada dia, no decorrer 
da semana, as garotas que ouviram o segredo no dia anterior, 
contam-no a três outras amigas. 
No final da sexta-feira dessa semana, o número de garotas que 
conhecem o segredo é igual a: 
 
a) 82 
b) 121 
c) 244 
d) 364 
e) 1090 
 
37 O número real x que satisfaz a sentença 
 é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
38 Uma pessoa tem determinada quantia depositada em um 
banco e faz retiradas regulares correspondendo sempre a 25% 
do saldo existente. 
Nessas condições, supondo-se que nenhum depósito foi feito, o 
percentual do seu saldo, em relação à quantia original, depois 
do quinto saque, corresponde, aproximadamente, a: 
 
a) 9,7% 
b) 12,1% 
c) 23,7% 
d) 25% 
e) 27,8% 
 
39 Considere a P.A. (2, 5, 8, 11, …) e a P.G. (3, 6, 12, 24, …). 
Na seqüência (2, 3, 5, 6, 8, 12, 11, 24, 14, 48, …), onde os 
termos da P. A. ocupam as posições ímpares e os da P.G., as 
posições pares, o seu 25° termo é: 
 
a) 602 
b) 38 
c) 3 x 224 
d) 49 
e) 25 
 
40 Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica 
têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus 
terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-
se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede 
o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o 
terceiro termo das progressões é: 
 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 16 
e) 18 
 
GABARITO 
1E 2B 3A 4C 5D 6A 7B 8A 9B 10C 11E 12D 13D 15B 16B 17C 18E 19E 
20B 21A 22D 23B 24B 25B 26C 27 10n+1 -9n-10/81 28E 29B 30E 31C 32C 
33C 34 a+r=11 35E 36D 37C 38C 39B 40D 
 
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 
01 (ITA) Sejam x, y e z números reais com y ≠ 0. Considere a 
matriz inversível 
 
Então: 
 
a) A soma dos termos da primeira linha de A-1 é igual a x + 1. 
b) A soma dos termos da primeira linha de A-1 é igual a 0. 
c) A soma dos termos da primeira coluna de A-1 é igual a 1. 
d) O produto dos termos da segunda linha de A-1 é igual a y. 
e) O produto dos termos da terceira coluna de A-1 
 é igual a 1. 
 
02 O sistema obtido da equação matricial é: 
 
a) Possível e indeterminado. 
b) Impossível. 
c) Possível e determinado com solução (2, 1, –1). 
d) Possível e determinado com solução (1, 1, 2). 
e) Possível e determinado com solução (– 1, 1, 2). 
 
03 Dadas as matrizes: 
 
O valor de x tal que det A = det B é: 
 
a) 0 
b) 5 
c) 1 
d) –1 
e) 2 
 
04 (ITA) Seja A ∈ M2×2 (IR) uma matriz simétrica e não nula, 
cujos elementos são tais que 𝑎11 , 𝑎12 e 𝑎22 formam, nesta 
ordem, uma progressão geométrica de razão q ≠ 1 e trA = 5𝑎11. 
Sabendo-se que o sistema AX = X admite solução não nula X ∈ 
𝑚2𝑥1(IR), pode-se afirmar que 𝑎11
2 + q2 é igual a 
 
a) 101/25 
b) 121/25 
c) 5 
d) 49/9 
e) 25/4 
 
05 A soma de todos os valores de k para os quais o sistema: 
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17 
 
admita uma infinidade de soluções é igual a: 
 
a) –2 
b) –1 
c) 0 
d) 1 
 
06 Para que o sistema 
 
tenha uma única solução, a constante k não pode assumir os 
valores: 
 
a) 0 e 1 
b) –1 e 1 
c) –1 e 1/2 
d) –1/2 e 1 
e) –1 e 0 
 
07 (ITA) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que 
AB = A e BA = B. Então, [(A + B)t]2 é igual a 
 
a) (A + B)2 
b) 2(At . Bt) 
c) 2(At + Bt) 
d) At + Bt 
e) At Bt 
 
08 (ITA) Sejam A e B matrizes n x n, e B uma matriz simétrica. 
Dadas as afirmações: 
(I) AB + BAt é simétrica 
(II) (A + At + B) é simétrica 
(III) ABAt é simétrica 
Temos que: 
 
a) apenas (I) é verdadeira 
b) apenas (II) é verdadeira 
c) apenas (III) é verdadeira 
d) apenas (I) e (III) são verdadeiras 
e) todas as afirmações são verdadeiras. 
 
09 O sistema 
 
nas variáveis x, y, z, admite uma única solução se, e somente 
se, k satisfizer à condição: 
 
a) k ≠ ± 2 
b) k = 1 
c) k ≠ ½ 
d) k ≠ 2/3 
e) k ≠ 1/3 
 
10 O sistema 
 
tem solução determinada se e somente se: 
 
a) a ≠ b 
b) 2a ≠ 5b 
c) 2a = 5b 
d) a ≠ –5b 
e) a ≠ 5b 
 
11 (ITA) Considere a matriz 
 
A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
12 (AFA) Se A = (aij)2x3 e B = (bij)3x4, a expressão para 
encontrar o elemento c23, onde AB = (cij), é igual a 
 
a) a 21b 31 + a 22b 32 + a 23b 33 
b) a 31b 11 + a 32b 21 + a 33b 31 
c) a 21b 13 + a 22b 23 + a 23b 33 
d) a 23b 32 
 
13 (AFA) As matrizes A, B e C são do tipo m x 3, n x p e 4 x r, 
respectivamente. Se a matriz transposta de (ABC) é do tipo 5 x 
4, então 
 
a) m = p 
b) mp = nr 
c) n + p = m + r 
d) r = n 
 
14 (AFA) Se os elementos da matriz A3x4 são definidos por aij = 
2i - j, então, o elemento b23 da matriz B = 2 -1A.At é 
 
a) 1 
b) 7 
c) 10 
d) 13 
 
15 (IME) Calcule o determinante 
 
 
16 A matriz 
 
não admite inversa, se: 
 
a) a = 2 
b) a = 3 
c) a = 4 
d) a = 5 
e) a = 6 
 
17 Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A) = 3 e se k é 
um número real tal que det(kA) = 192, então o valor de k é: 
 
a) 4 
b) 8 
c) 32 
d) 64 
e) 96 
 
18 O sistema linear 
 
 
a) é possível e determinado. 
b) é possível e indeterminado. 
c) é impossível. 
d) tem a soma de suas soluções igual a 2. 
e) tem o produto de suas soluções igual a 3. 
 
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18 
19 Examinando o sistema abaixo: 
 
Podemos concluir que o sistema é: 
 
a) Determinado. 
b) Indeterminado, com duas incógnitas arbitrárias. 
c) Indeterminado, com uma incógnita arbitrária. 
d) Impossível. 
e) Nada se pode afirmar. 
 
20 Considere o sistema abaixo, nas incógnitas x, y e z: 
 
Para que o sistema acima tenha solução, devemos ter que: 
 
a) a – b – c = 0 
b) 2a – b + c = 0 
c) 3a – 2b + c = 0 
d) 2a + b – 3c = 0 
e) a + b + c = 0 
 
21 Para que amédia aritmética das notas de uma turma de 20 
alunos aumentasse em 0,1, alterou-se uma dessas notas para 
7,5. Antes da alteração, tal nota era: 
 
a) 5,5 
b) 6,0 
c) 7,4 
d) 7,6 
e) 8,5 
 
22 (ITA) Sejam A e C matrizes n x n inversíveis tais que det(I 
+ C -1 A) = 1/3 e det A = 5. Sabendo-se que 
B = 3(A -1 + C -1)t ; então o determinante de B é igual a 
 
a) 3n 
b) 2 . 3n/52 
c) 1/5 
d) 3n-1/5 
e) 5.3n-1 
 
23 (ITA) Se 
. Então o valor do é 
igual a: 
 
a) 0 
b) 4 
c) 8 
d) 12 
e) 16. 
 
24 (ITA) Sejam a, b, c e d números reais não-nulos. Exprima o 
valor do determinante da matriz 
 
 
25 O número de alunos de uma sala de aula é menor que 50. 
Formando-se equipes de 7 alunos, sobram 6 e formando-se 
equipes de 9 alunos, sobram 5. Nessas condições, se forem 
formadas equipes de 8 alunos, o número de alunos que sobrará 
é igual a: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
26 A idade de Ricardo, hoje, é igual à idade de sua esposa Luíza 
mais ¾ da idade dela. Sabendo-se que há 10 anos a idade de 
Ricardo era o dobro da idade de sua esposa. Qual a soma das 
idades de Ricardo e Luíza, hoje? 
 
a) 40 
b) 70 
c) 110 
d) 150 
e) 190 
 
27 Três operários foram contratados para executar uma tarefa pela 
qual receberiam, juntos, a importância total de R$ 180,00. Um deles 
trabalhou cinco dias; o segundo, quatro; o último três. Supondo-se 
que cada um tenha recebido a mesma quantia por dia de trabalho, o 
valor pago ao que trabalhou menos dias foi: 
 
a) R$ 15,00 
b) R$ 30,00 
c) R$ 45,00 
d) R$ 60,00 
 
28 Um presidiário, ao escapar da penitenciária, entra num 
galpão da ferrovia e foge num veículo que anda sobre trilhos à 
velocidade constante de x km/h. A polícia chega ao galpão 42 
minutos após e inicia a perseguição em outro veículo sobre 
trilhos, numa velocidade constante de (x + 6) km/h. Sete horas 
após a saída da polícia, ela alcança o fugitivo. Qual a velocidade 
do veículo da polícia? 
 
a) 72 km/h 
b) 66 km/h 
c) 60 km/h 
d) 6 km/h 
e) 1 km/h 
 
29 Uma dona de casa programou uma recepção no aniversário 
de seu marido e solicitou a um Buffet que fizesse 7 salgadinhos 
de um certo tipo para cada convidado. No dia da recepção, ao 
receber os salgadinhos, notou que havia 2 a mais do que o 
encomendado. Por outro lado, compareceram à recepção 3 
convidados a mais do que o esperado. 
A dona da casa resolveu o imprevisto, distribuindo exatamente 
6 salgadinhos para cada convidado presente. Com base nessas 
informações, assinale a opção que contém o número de 
salgadinhos preparados pelo buffet. 
 
a) 108 
b) 114 
c) 120 
d) 126 
e) 132 
 
30 No esquema abaixo, o número 14 é o resultado que se 
pretende obter para a expressão final encontrada ao efetuar-se, 
passo a passo, a seqüência de operações indicadas, a partir de 
um dado número x. 
 
O número x que satisfaz as condições do problema é: 
 
a) divisível por 6. 
b) múltiplo de 4. 
c) um quadrado perfeito. 
d) racional não inteiro. 
e) primo. 
 
31 (AFA) Um suspeito de assaltar dois caixas de um 
supermercado foi intimado a prestar depoimento e fez a 
seguinte declaração: “No primeiro caixa foram roubados dois 
pacotes de notas de 20 reais, cinco pacotes de notas de 50 reais 
e um pacote de notas de 100 reais, totalizando 100 mil reais. No 
segundo caixa, foram roubados um pacote de notas de 20 reais 
e três pacotes de notas de 100 reais, num total de 50 mil reais. 
Os pacotes de notas de mesmo valor tinham a mesma 
quantidade de notas. Cada pacote de notas de 100 reais tinha 
igual valor de cada pacote de notas de 50 reais.” Diante do 
depoimento do suspeito, pode-se concluir que 
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19 
 
a) havia, necessariamente, 940 notas em cada pacote de notas 
de 20 reais. 
b) ele mentiu, necessariamente. 
c) ele pode ter falado a verdade. 
d) ele falou, necessariamente, a verdade. 
 
32 (AFA-07) Dados det A = –4, o valor 
de x em 
 
a) 1 
b) -1 
c) 2 
d) -13/5 
 
33 (AFA) Seja o sistema de equações 
 
em que a e b são números reais. É correto afirmar que 
 
a) se a = 0, existe b tal que S é impossível. 
b) Se b = 1 e a = 1, o sistema tem mais de uma solução. 
c) Se a = 0, o sistema possui somente a solução trivial. 
d) Se b é tal que o sistema terá uma única solução, 
qualquer que seja o valor de a. 
 
34 (AFA) Sendo Então: 
 
a) x = 3y 
b) x = -27y 
c) y = 27x 
d) y = -3x 
 
35 (AFA) (x, y, z) são as soluções do sistema 
 
Se x, y e z formam, nesta ordem, uma progressão aritmética, 
então a razão dessa progressão aritmética é igual a: 
 
a) 1/3 
b) 3/2 
c) x+y+z / 3 
d) x 
 
36 (AFA) Considere o sistema 
 
em que m e n são números reais e x, y e z são incógnitas. Para 
que este sistema seja possível e indeterminado deve-se ter 
 
a) m = 15 e n = 9. 
b) m = 15 e n qualquer. 
c) m ≠ 15 e n ≠ 9 
d) m ≠ 15 e n = 9 
 
37 (AFA) Sejam m e n números reais com m ≠ n e as matrizes 
 Para que a matriz mA + nB seja NÃO 
inversível é necessário que 
 
a) m e n sejam positivos 
b) m e n sejam negativos 
c) n+7m = 0 
d) n2 = 7m2 
 
38 (AFA) O valor do determinante de uma matriz de ordem n é 21. 
Se dividirmos a segunda linha desta matriz por 7 e multiplicarmos a 
matriz por 3, o valor do novo determinante será 
 
a) 3n 
b) 3n+1 
c) 3n 
d) 3n+3 
 
39 (AFA) As quantidades dos produtos que Elaine, Pedro e 
Carla compraram num mercado estão esquematizadas na tabela 
que segue 
 
Sabendo-se que Pedro gastou R$ 21,00 e Carla R$ 13,00, pode-
se concluir, necessariamente, que 
 
a) Elaine gastou R$ 10,00. 
b) o preço do produto C é R$ 3,00. 
c) o preço do produto A é R$ 1,00. 
d) o preço do produto B é R$ 3,00. 
 
40 (AFA) É dada a matriz onde a e b são números reais. 
Se então o determinante de A vale: 
 
a) 2a2 
b) –2a2 
c) zero 
d) 2a + 2b 
 
GABARITO 
1C 2E 3B 4A 5B 6D 7C 8E 9D 10D 11A 12C 13A 14D 15 46080 16D 17A 
18C 19C 20B 21A 22D 23D 24 (b-a) (c-a) (d-A) (c-b) (d-b) (d-c) 25A 26C 
27C 28B 29B 30C 31C 32A 33D 34C 35C 36A,C ou D 37A 38A 39D 40A 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
01 (AFA) As senhas de acesso a um determinado arquivo de 
um microcomputador de uma empresa deverão ser formadas 
apenas por 6 dígitos pares, não nulos. Sr. José, um dos 
funcionários dessa empresa, que utiliza esse microcomputador, 
deverá criar sua única senha. Assim, é INCORRETO afirmar que 
o Sr. José 
 
a) poderá escolher sua senha dentre as 212 possibilidades de 
formá-las. 
b) poderá escolher dentre 120 possibilidades, se decidir optar 
por uma senha com somente 4 dígitos iguais. 
c) terá 4 opções de escolha, se sua senha possuir todos os 
dígitos iguais. 
d) terá 480 opções de escolha, se preferir uma senha com apenas 
3 dígitos iguais. 
 
02 (AFA) Marque V para verdadeiro F para falso e, a seguir, 
assinale a opção correspondente. 
( ) Sendo A um conjunto com x elementos e B um conjunto 
com y elementos, o número de funções f: A → B é xy 
( ) Uma urna contém n bolas numeradas (de 1 a n). Se s 
bolas são retiradas sucessivamente e com reposição, o número 
de seqüências de resultados possíveis é ns 
( ) Com n algarismos distintos, entre eles o zero, pode-se 
escrever n4 números distintos de 4 algarismos. 
 
a) F – V – V 
c) V – F – V 
c) V – F – F 
d) F – V – F 
 
03 (AFA) A palavra que não muda o seu sentido, quer se leia 
da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, é 
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20 
chamada palíndromo (Ex., ovo, asa, acaiaca, serres, etc.). 
Considerando-se as 23 letras do nosso alfabeto, quantos 
anagramas de 6 letras com características de um palíndromo, 
pode-se formar? 
 
a) 236 
b) 233 
c) 323 
d) 623 
 
04 (AFA) Usando-se 5 algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, sem repeti-
los, a quantidade de números pares que se pode formar é: 
 
a) 1080 
b) 2160 
c) 2520 
d) 5040 
 
05 (AFA) Uma pessoa fará uma viagem e em cada uma de suas 
malas colocou um cadeado contendo um segredo formado por 
cinco dígitos. Cada dígito é escolhido dentre os algarismos: 0, 1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na primeira mala, o segredo do cadeado 
começa e termina com dígito par e os demais sãodígitos 
consecutivos em ordem crescente. Na segunda mala, o segredo 
do cadeado termina em dígito ímpar e apenas o 1º e 2º dígitos 
são iguais entre si. Dessa maneira, se ela esquecer: 
 
a) o segredo do cadeado da primeira mala, deverá fazer no 
máximo (5 2x 8 3) tentativas para abri-lo. 
b) o segredo do cadeado da segunda mala, o número máximo 
de tentativas para abri-lo será de 1890. 
c) apenas os três dígitos consecutivos em ordem crescente do 
cadeado da primeira mala, ela conseguirá abri-lo com, no 
máximo, 8 tentativas. 
d) apenas os dois primeiros dígitos do cadeado da segunda 
mala, deverá tentar no máximo 10 vezes para abri-lo. 
 
06 (AFA) Com base no conhecimento sobre análise 
combinatória, é correto afirmar que: 
(01) existem 2160 possibilidades de 8 pessoas ocuparem um 
veículo com 3 lugares voltados para trás e 5 lugares voltados 
para frente, sendo que 2 das pessoas preferem bancos voltados 
para trás, 3 delas preferem bancos voltados para frente e as 
demais não têm preferência. 
(04) com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, pode-se formar 525 
números ímpares com 4 algarismos e que não tenham zeros 
consecutivos. 
(08) podem ser formados 330 paralelogramos a partir de 7 retas 
paralelas entre si, interceptadas por outras 4 retas paralelas 
entre si. 
A soma das alternativas corretas é 
 
a) 05. 
b) 09. 
c) 12. 
d) 13 
 
07 (AFA) Uma prova consta de 3 partes, cada uma com 5 
questões. Cada questão, independentemente da parte a que 
pertença, vale 1 ponto, sendo o critério de correção “certo ou 
errado”. O número de maneiras diferentes de se alcançar 10 
pontos nessa prova, se devem ser resolvidas pelo menos 3 
questões de cada parte e 10 questões no total, é igual a: 
 
a) 1500. 
b) 150. 
c) 75. 
d) 1600. 
 
08 (AFA) Numa demonstração de paraquedismo, durante a 
queda livre, participam 10 paraquedistas. Em um certo 
momento, 7 deles devem dar as mãos e formar um círculo. De 
quantas formas distintas eles poderão ser escolhidos e dispostos 
nesse círculo? 
 
a) 120 
b) 720 
c) 86400 
d) 151200 
 
09 (AFA) Assinale a alternativa correta. 
 
a) Pode-se codificar quinhentos pacientes, por uma palavra de 
duas letras quando as letras são escolhidas de um alfabeto de 
25 letras. 
b) Nas calculadoras, os algarismos são frequentemente 
representados, iluminando-se algumas das sete barras reunidas 
na forma padrão 8. O número de diferentes símbolos que podem 
ser expressos pelas sete barras é igual a 7! (fatorial de 7). 
c) O número de anagramas da palavra ASTRONAUTA é igual a 10! 
(fatorial de 10). 
d) Entre 10 machos e 7 fêmeas de gatos experimentais, foi 
escolhida uma amostra de dois machos e duas fêmeas. O 
número de maneiras que isto pode ser feito é igual a 945. 
 
10 (AFA) Seja An,p o número de arranjos simples de n 
elementos distintos, tomando p a p. A equação An,3 = 6n tem 
como solução. 
 
a) uma raiz nula 
b) uma raiz positiva 
c) duas raízes positivas 
d) uma raiz positiva e outra negativa. 
 
11 (AFA) Numa sala de aula, estão presentes 5 alunos e 6 
alunas. Para uma determinada atividade, o professor deverá 
escolher um grupo formado por 3 dessas alunas e 3 dos alunos. 
Em seguida, os escolhidos serão dispostos em círculo de tal 
forma que alunos do mesmo sexo não fiquem lado a lado. Isso 
poderá ocorrer de n maneiras distintas. 
O número n é igual a 
 
a) 24.000 
b) 2.400 
c) 400 
d) 200 
 
12 (AFA) Uma pessoa deve escolher (não importando a ordem) 
sete, dentre dez cartões numerados de 1 a 10, cada um deles 
contendo uma pergunta diferente. Se nessa escolha houver, 
pelo menos três, dos cinco primeiros cartões, ela terá n formas 
de escolha. Sendo assim, pode-se afirmar que n é um número 
 
a) quadrado perfeito. 
b) múltiplo de 11. 
c) ímpar. 
d) primo. 
 
13 (AFA) Em uma reunião social, cada participante 
cumprimenta todos os outros uma única vez. Se houve um total 
de 36 cumprimentos, o número de participantes da reunião é 
 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d)10 
 
14 (AFA) Quatro pontos não-coplanares determinam, exatamente, 
quantos planos? 
 
a)1 
b) 2 
c) 3 
d) 4. 
 
15 (EN) No sistema decimal, a quantidade de números ímpares 
positivos menores que 1000, com todos os algarismos distintos é 
 
a) 360 
b) 365 
c) 405 
d) 454 
e) 500 
 
16 (EN) Um tapete de oito faixas deve ser pintado com as 
cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras que se 
pode pintar este tapete de modo que duas faixas consecutivas 
não sejam da mesma cor é: 
 
a) 256 
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21 
b) 384 
c) 520 
d) 6561 
e) 8574 
 
17 (EN) Entre os dez melhores alunos que frequentam o 
grêmio de informática da Escola Naval, será escolhido um 
diretor, um tesoureiro e um secretário. O número de maneiras 
diferentes que podem ser feitas as escolhas é: 
 
a) 720 
b) 480 
c) 360 
d) 120 
e) 60 
 
18 (EN) Um Aspirante ganhou, em uma competição na Escola 
Naval, quatro livros diferentes de Matemática, três livros diferentes 
de Física e dois livros diferentes de Português. Querendo manter 
juntos aqueles da mesma disciplina, concluiu que poderia enfileirá-los 
numa prateleira de sua estante, de diversos modos. A quantidade de 
modos com que poderá fazê-lo é 
 
a) 48 
b) 72 
c) 192 
d) 864 
e) 1728 
 
19 (EN) Um banco de sangue catalogou um grupo de 50 
doadores, assim distribuídos: 19 com tipo O; 24 com fator Rh 
(negativo); e 11 com fator Rh (positivo) e tipo diferente de O. 
Quantos são os modos possíveis de selecionar 3 doadores desse 
grupo que tenham sangue de tipo diferente de O, mas com fator 
Rh (negativo)? 
 
a) 4495 
b) 2024 
c) 1140 
d) 165 
e) 155 
 
20 (EN) O maior número de planos que podemos formar com 
10 pontos distintos do espaço, dos quais 6 são coplanares é: 
 
a) 30 
b) 31 
c) 100 
d)101 
e) 208 
 
21 (EN) Uma livraria vai doar 15 livros iguais a 4 bibliotecas. 
Cada biblioteca deve receber ao menos dois livros. O número de 
modos que esses livros podem ser repartidos nessa doação, é 
igual a 
 
a) 1365 
b) 840 
c) 240 
d) 120 
e) 35 
 
22 (ITA) Determine quantos números de 3 algarismos podem 
ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte 
regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto 
quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode 
aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido. 
 
a) 204 
b) 206 
c) 208 
d) 210 
e) 212 
 
23 (ITA) O número de divisores de 17 640 que, por sua vez, 
são divisíveis por 3 é: 
 
a) 24 
b) 36 
c) 48 
d) 54 
e) 72 
 
24 (ITA) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos 
formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes 
números são ímpares e começam com um dígito par? 
 
a) 375 
b) 465 
c) 545 
d) 585 
e) 625 
 
25 (ITA) Quantos números de seis algarismos distintos 
podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 
1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 
sempre ocupam posições adjacentes? 
 
a) 144 
b) 180 
c) 240 
d) 288 
e) 360 
 
26 (ITA) Listando-se em ordem crescente todos os números de 
cinco algarismos distintos, formados com os elementos do 
conjunto {1, 2, 4, 6, 7}, o número 62417 ocupa o n-ésimo 
lugar. Então n é igual a: 
 
a) 74 
b) 75 
c) 79 
d) 81 
e) 92 
 
27 (ITA) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos 
formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 
2 das letras a, b e c? 
 
a) 1692 
b) 1572 
c) 1520 
d) 1512 
e) 1392 
 
28 (ITA) Considere uma prova com 10 questões de múltipla 
escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada 
questão admite uma única alternativa correta, então o número 
de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 
das 10 questões é: 
 
a) 44 . 30 
b) 43 . 60 
c) 53 . 60 
d) 46.60 
e) 48.60 
 
29 (ITA) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 
dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano 
contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos 
podemos formar com os vértices nestes pontos? 
 
a) 210 
b) 315 
c) 410 
d) 415 
e) 521 
 
30 A figura abaixo representa um mapa das estradas que 
interligam as comunidades A, B, C, D, E e F.