DPEE1040 - P1 - 2015-1 - gabarito

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE PROCESSAMENTO DE ENERGIA ELÉTRICA 
CONTROLE DE SISTEMAS / CONTROLE DE SISTEMAS 1 
PROFESSOR: LEANDRO MICHELS 
 
1ª AVALIAÇÃO – 12/05/2015 - GABARITO 
Aluno: ____________________________________________ Matrícula:___________________ 
(1) Seja a figura abaixo a representação do comportamento dinâmico do sistema de controle de um servomotor 
cc com campo excitado por imãs permanentes, onde a malha interna representa a malha de controle de 
corrente de armadura do motor e a malha externa representa o sistema de controle de velocidade do motor. 
A malha interna de corrente é empregada para rejeitar distúrbios de torque dt que influenciam no 
desempenho da malha externa de velocidade. Assume-se que os blocos Ci, Cv, Gi, Gv, Hi e Hv descrevem 
ganhos ou equações diferenciais lineares e invariantes no tempo,. Ci
Hi
Gi
-+ +
+
+-
GvCv
+-
Hv
wr ev eiri
ea
va te w
dt
ke
ia tmib
wm
 
Assumindo que as funções Ci, Cv, Gi, Gv, ke, Hi e Hv são equações diferenciais lineares e invariantes no 
tempo, obtenha: 
a) (1,5 pontos) A representação na forma de operador derivada entre a referência wr e a saída w. 
Solução: 
Aplicando o princípio da superposição, válida para sistemas lineares e invariante no tempo, considera-se 
ea = 0 e dt = 0. 
Logo: 
 
   
   
     int 1
a i i
i i i i
i t C G
G
r t C G H
 
  
   
 (*) 
Aplicando-se na malha externa, tem-se: 
 
 
       
         
int
int1
e v v
r e v v v
t k C G G
t k C G G H
w    

w      
 (**) 
ou: 
 
 
              
                
         
                 
1
1
1
1
i i
e v v
i i i e v v i i
i ir i i i e v v v i i
e v v v
i i i
C G
k C G
t C G H k C G C G
C Gt C G H k C G H C G
k C G H
C G H
 
  
w         
 
 w           
    
   
 
(***) 
 Forma de correção:
 
 Equação (*) correta = 0,5 pontos 
 Equação (**) ou (***) correta = 1,0 pontos 
 
 
b) (1,5 pontos) A representação na forma de operador derivada entre o distúrbio de torque mecânico dt e 
a saída w. 
 
Solução: 
 
Aplicando o princípio da superposição, válida para sistemas lineares e invariante no tempo, considera-se 
ea = 0 e wt = 0. 
Logo: 
 
   
   
     int 1
a i i
i i i i
i t C G
G
r t C G H
 
  
   
 (*) 
 
Aplicando-se na malha externa, tem-se: 
 
 
 
 
         int1
v
r e v v v
t G
t k C G G H
w 

w      
 (**) 
ou: 
 
 
 
                
       
                 
1
1
1
1
v i i iv
i ir i i i e v v v i i
e v v v
i i i
G C G Ht G
C Gt C G H k C G H C G
k C G H
C G H
     w    
 w           
    
   
 
(***) 
 Forma de correção:
 
 Equação (*) correta = 0,5 pontos 
 Equação (**) ou (***) correta = 1,0 pontos 
 
 
 
(2) (3,0 pontos) Redesenhe o diagrama de blocos mostrado na figura acima (problema 1), substituindo os 
blocos Ci, Cv, Gi, Gv, ke, Hi e Hv pela representação entrada-saída na forma de operador derivada, de acordo 
com o comportamento dinâmico descrito na tabela abaixo. OBS.: Descreva os blocos na forma numérica. 
Bloco Representação dinâmica Modelo Pontuação 
Gi 
Dinâmica da corrente de 
armadura do motor 
( ) ( ) ( )ba a b a
di t
L R i t v t
dt
+ = 
onde: La = 100 mH, Ra = 0,5 Ω 
 
Solução: 
( ) 1 1
( ) 0,1 0,5
b
a a a
i
v L R
r
= =
r r+ r+
 0,4 pontos 
ke 
Acoplamento eletro-
mecânico ke = 3 
Solução: 
( ) 3
( )
e
e
a
k
i
τ r
= =
r
 0,1 pontos 
Gv 
Dinâmica da parte 
mecânica do motor 
( ) ( ) ( )m
d tJ B t t
dt
ω
+ ω = τ 
onde: J = 3 kg·m², B = 0,1 N·m·s/rad, 
 
Solução: 
( ) 1 1
( ) 3 0,1m J B
ω r
= =
τ r r+ r+
 0,4 pontos 
Ci 
Controlador de corrente do 
motor 
Controlador proporcional, onde: 
kp = 30 
 
Solução: 
( ) 30
( )
a
p
i
v
k
e
r
= =
r
 0,3 pontos 
Cv 
Controlador de velocidade 
do motor 
Controlador proporcional-integral, onde: 
kp = 2 e ki = 0.1 
 
Solução: 
( ) 0,1 2 0,12
( )
a i
p
i
v k
k
e
r r+
= + = + =
r r r r
 1,0 pontos 
Hi 
Sensor de corrente hi = 30 
Solução: 1
( ) 30
( )
a
i
a
i
h
i
r
= =
r
 0,1 pontos 
Hv 
Sensor de velocidade 
( )
( )
fm
f
s
s s
ωω
=
ω +ω
 onde: ωf = 1000 rad/s 
Solução: 
( ) 1000
( ) 1000
mω r =
ω r r+
 0,2 pontos 
-+ ++
+-+-
ωr ev eiri
ea
va τe ω
dt
ia τmib1
0,1 0,5r+ 3
30
302 0,1r+
r
1000
1000r+
1
3 0,1r+
 
 Forma de correção:
 
• Obtenção da função de transferência de cada bloco correta = conforme tabela acima 
• Desenho do diagrama de blocos com inserção de valores corretos = 0,5 pontos 
 
 
 
 
 
 
(3) Seja o sistema mecânico translacional representado na figura abaixo: 
M1 M2
K1
B1
B2
v2v1
f1
sem atrito
 
onde f1 é a força externa aplicada no sistema, e v1 e v2 as velocidades translacionais das massas M1 e M2, 
respectivamente. Observe que o contato das massas com o solo se dá sobre uma superfície lisa sem atrito. 
a) (2,0 Pontos) Obtenha o circuito elétrico equivalente (análogo) que descreve o comportamento dinâmico 
deste sistema. 
 
Solução: Circuito elétrico equivalente, incluindo os parâmetros de conversão. 
 
C1=M1 C2=M2
i1=f1 R2=1/B2
R1=1/B1
L1=1/K1
vC1 vC2
i1
iC1
iL1
iR1
iL1
iR1
iC2
iR2
 
 
 Forma de correção:
 
 Desenho do circuito correto = 1,0 pontos 
 Capacitância C1 equivalente correta = 0,1 pontos 
 Capacitância C2 equivalente correta = 0,1 pontos 
 Capacitância L1 equivalente correta = 0,3 pontos 
 Capacitância R1 equivalente correta = 0,3 pontos 
 Capacitância R2 equivalente correta = 0,3 pontos 
OBS.: Máximo = 2,0 pontos 
 
 
b) (2,0 Pontos) Represente o comportamento dinâmico do circuito elétrico análogo descrito no item (a) na 
forma de variáveis de estado, considerando como variável de entrada a força f1 e como variável de saída a 
velocidade v2. 
 
 
(*) 
 
Reescrevendo: 
 
1 1
1
1 1
1 1 1 1 1 1
2
2 1 2
2 1 2 1 2 2
1 1( ) 0
0
( )
( ) 1 1 1 1
( ) ( )
( )( ) 01 1
L
L
C
C
C
C
di t
L Ldt i t
dv t
v t i t
dt C RC RC C
v tdv t R R
dt C RC RRC
                                         
 (**) 
 (***) 
 
ou 
 
1
1 1
1
1 1 1
1 1
1 1 1 1
2
2 1 1 2
2 2 2
( )
0 0
( )
( ) 1 1
( ) ( )
( )( ) 01
L
L
M
M
M
M
df t
K Kdt f t
dv t B B
v t f t
dt M M M M
v tdv t B B B
dt M M C
                                         
 (**) 
 
 (***)
 
Forma de correção: 
• Equações (*) corretas = 0,5 pontos 
• Equação (**) correta = 1,0 pontos 
• Equação (***) correta = 0,5 pontos 
 
OBS.: 
- A inversão da ordem das variáveis de estado ou a escolha de outras variáveis de estado, desde que a resposta esteja 
correta, é válida. 
- A resposta pode ser tanto mostrada em função de parâmetros elétricosequivalentes ou mecânicos equivalentes.