Questão resolvida - Em um problema de balanço de massa, a vazão de entrada e de saída é a mesma Um recipiente contém 1000 l de um líquido com 100 kg iniciais de uma substância A concentração da entrad

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• Em um problema de balanço de massa, a vazão de entrada e de saída é a mesma. 
Um recipiente contém de um líquido com iniciais de uma substância. A 1000 l 100 kg
concentração da entrada é de de líquido. Sabe-se que a concentração de 10 kg / L
substância no recipiente, 125 min, após o início do processo, é de . 8.960, 5 kg
Determine a vazão de entrada e de saída.
 
Resolução:
 
Sejam a vazão na entrada e na saída do recipiente igual , igual na entrada e na Q l / minv ( )
saída do recipiente, e a concentração da substância no recipiente. E temos que;S kg( )
 
A vazão em massa da substância que entra, ou seja, a quantidade de substância que entra no
 recipiente por minuto é : 
 
Q = 10 kg / L · Qᵥ L / min = 10Qᵥ kg / mins-entrada ( ) ( ) ( )
 
A vazão em massa da substância que sai, ou seja, a quantidade de substância que sai no
 recipiente por minuto é : 
 
Q = kg / L · Qᵥ L / min = 0, 001SQᵥ kg / mins-saída
S
1000
( ) ( )
 
Com isso, temos que a variação da quantidade de substância no recipiente é dada por;
 
= Q -Q = 10Qᵥ- 0, 001SQᵥ = 10 - 0, 001S Qᵥ
dS
dt
s-entrada s-saída →
dS
dt
→
dS
dt
( )
 
 Temos uma EDO, onde é uma constante já que a vazão de entrada e saída não varia, Qᵥ
mantendo a quantidade de líquido dentro do recipiente constante. Assim, vamos resolver a 
EDO fazendo, primeiro, uma separação de variáveis;
 
= 10 - 0, 001S Qᵥ = Qᵥdt ⋅ = QᵥdtdS
dt
( ) →
dS
10 - 0, 001S
→
1000
1000
dS
10 - 0, 001S
 
1000 ⋅ = Qᵥdt = Qᵥdt -1 ⋅ = QᵥdtdS
1000 ⋅ 10 - 0, 001S( )
→
1000dS
1000 ⋅ 10 - 1000 ⋅ 0, 001S)
→
1000dS
10000 - S
 
 
 
= - 1 ⋅Qᵥdt = - Qᵥdt -Qᵥdt = Qᵥdt = -10001000dS
-1 ⋅ 10000 - S( )
→
1000dS
S - 10000
→
1000dS
S - 10000
→
dS
S - 10000
 
Agora, integramos os dos membros, temos;
 
Qᵥdt = - 1000 Qᵥt + c = - 1000∫ ∫ dS
S - 10000
→ 1 ∫ dS
S - 10000
 
Vamos resolver a integral no segundo membro separadamente;
 
; u = S - 10000 du = dS =∫ dS
S - 10000
→ →∫ dS
S - 10000
∫du
u
 
= ln|u| + c = ln|S - 10000| + c∫du
u
2 2
 
Com a solução das integrais, a expressão fica;
 
Qᵥt + c = - 1000ln|S - 10000| + c1 2
 
 Temos, então, que isolar ;S t( )
 
Qᵥt + c = - 1000ln|S - 10000| + c -1000ln|S - 10000| + c = Qᵥt + c1 2 → 2 1 →
 
-1000ln|S - 10000| = Qᵥt + c - c ln|S - 10000| =1 2 →
Qᵥt + c - c
-1000
1 2
 
e = e S - 10000 = eln|S-10000|
-
Qᵥt + c - c
1000
1 2
→ ( )
- -
Qᵥt
1000
c - c
1000
1 2
 
S - 10000 = e S t = - e ⋅ e + 10000 S t = e ⋅ e + 10000
- +
Qᵥt
1000
c - c
1000
2 1
→ ( )
-
Qᵥt
1000
c - c
1000
2 1
→ ( )
c - c
1000
2 1
-
Qᵥt
1000
 
fazendo : k = e S t = ke + 10000
c - c
1000
2 1
→ ( )
-
Qᵥt
1000
 
Perceba que k é uma constante!
Inicialmente, haviam 100 kg de substância dentro do líquido, dessa forma temos a seguinte 
igualdade;
S 0 = 100( )
 
 
 
ou seja : S 0 = ke + 10000 = 100( )
-
Qᵥ ⋅ 0
1000
 
Resolvendo, é possível encontar o valor da constante k, como na sequência;
 
ke = 100 - 10000 ke = - 9900 ⋅ -1 k ⋅ 1 = -9900 k = -9900
0
1000
→
0 ( ) → →
 
Com isso, a expressão para a concentração da substância no recipiente fica;S t( )
 
S t = - 9900e + 10000( )
-
Qᵥt
1000
 
Passados 125 minutos, a concentração da substância no recipiente é de 8960,5 kg; ou seja;
 
S 125 = 8960, 5 ( )
Então;
 
-9900e + 10000 = 8960, 5 -9900e = 8960, 5 - 10000
-
Qᵥ ⋅ 125
1000
→
-
Qᵥ ⋅ 125
1000
 
-9900e = 1039, 5 e = e =
-
Qᵥ ⋅ 125
1000
→
-
Qᵥ ⋅ 125
1000 -1039, 5
-9900
→
-
Qᵥ ⋅ 125
1000 -1039, 5
9900
 
e = - 0, 105 ln|e | = ln| - 0, 105| - = ln| - 0, 105|
-
Qᵥ ⋅ 125
1000
→
-
Qᵥ ⋅ 125
1000
→
Qᵥ ⋅ 125
1000
 
-125Qᵥ = Qᵥ = -
1000 ⋅ ln|0, 105|
-125
→
1000 ⋅ ln|0, 105|
125
 
Qᵥ ≅ 18, 03 L /min
 
 
(Resposta )