CÁLCULO NÚMERICO

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Cálculo numérico
Aula 7: Integração Numérica
Apresentação
Nesta aula, calcularemos o valor aproximado de uma integral de�nida para sua primitiva. Para isso, veremos como
princípio substituir tal função por um polinômio que a aproxime razoavelmente. 
Objetivos
Identi�car e aplicar diferentes métodos para integração numérica, ou seja, métodos de aproximações.
Integração numérica
A integração numérica é uma técnica empregada na determinação de uma
integral de�nida, cuja função não é disponível ou não possui uma solução
analítica.
Para isso, aplicaremos a aproximação de uma integral de�nida por um somatório, ou seja, usando a substituição da função f(x)
por um polinômio que se aproxime razoavelmente no intervalo [a,b] (integral de�nida) e, assim, a integral seria trivial (integração
de polinômio).
Lembre-se, integral de�nida tem como notação:
Portanto, a aproximação será de�nida como:
f(x) d x∫ b
a
f(x) d x ≈ f( )+. . . + f( ),   ∈ [a, b],  i = 0, 1, . . . , n∫ b
a
A0 x0 An xn xi
Métodos de interpolação
A seguir, veremos alguns métodos de substituição de uma função por um polinômio que a aproxime razoavelmente. São eles:
01 Newton-Cotes
02 regra dos retângulos
03 regra dos trapézios
04 regra de Simpson
Fórmulas de Newton-Cotes
Nas fórmulas de Newton-Cotes, o polinômio que aproxima f(x) razoavelmente é aquele que interpola em pontos do intervalo
[a,b] igualmente espaçados.
Seja o intervalo [a,b] subdividido em subintervalos de comprimento h, onde:
h=(b-a)/n.
Regra dos retângulos
Seja o intervalo [a,b] no eixo x, que é particionado em n subintervalos igualmente espaçados [x , x ], com x = a, x = b e h = x
- x .
Seja f uma função contínua ou simplesmente Riemann integrável, cuja integral não é conhecida.
Nosso objetivo é calcular, pelo método da área dos retângulos (raciocínio utilizado no teorema de Riemann):
Para isso, subdividimos os intervalos [a,b] igualmente no eixo x e construímos retângulos. As áreas desses retângulos, quando
somados, será uma aproximação para a integral de�nida no intervalo [a,b] da função f(x) (área abaixo do grá�co no intervalo
[a,b], limitada pelo eixo x).
A área do retângulo será:
Também podemos de�nir R(h ) como:
Observe que h é uma constante. Logo, pela propriedade de somatório, pode sair do somatório, simpli�cando assim a
expressão.
i i+1 0 n i i-1
i
f(x) d x∫ b
a
R( ) =  f(xi)  , onde  h  =  b  − a/n.hn ∑n−1i=0 hi
n
R( ) =  f(xi)  ou R( )  =  R( )  =    f ( )hn ∑n−1i=0 hi hn hn ∑
n−1
i−0
+  +1xi xi
2
hi.
1
Saiba mais
Clique aqui para saber mais sobre regra dos retângulos.
Regra dos trapézios
A regra dos trapézios é uma extensão natural da regra dos retângulos, onde, em cada subintervalo, considera-se um polinômio
interpolador de grau 1, ou seja, uma reta.
Usando a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio p1(x) , que interpola f(x) no intervalo [x , x ] temos:
Onde: h = x - x e -h = x - x
Podemos, então, escrever a integral como:
I é a área do trapézio de altura h e bases f(x ) e f(x ).
0 1
f(x) d x  ≈   d x  = f( ) +  f( )dx∫ b
a
∫ x1
x0
p1 ∫
x1
x0
(x− )x1
( − )x0 x1
x0
(x− )x0
−x1 x0
x1
1 0 0 1
I = [f( )  + f( )  ]f( ) h
2
x0 x1 x0
0 1
javascript:void(0);
Como podemos observar, a área delimitada por f(x) no intervalo [x ,x ] (correspondente à área da integral de�nida) e a área do
trapézio possuem uma pequena diferença. Chamaremos esta diferença entre as áreas de erro.
Da interpolação temos que:
Integrando essa expressão, de�nimos o erro como:
A expressão do erro pode ser melhorada usando o teorema do valor médio (visto em cálculo), �cando a expressão da regra do
trapézio da seguinte forma:
Podemos usar a regra do trapézio repetidas vezes, �cando assim:
E o erro cometido como:
0 1
f(x) = (x) + (x − )(x − )  ,     ∈ ( , )p1 x0 x1 f''( )εx2 dx εx x0 x1
(x − )(x − )  = g(x)∫ x1
x0
x0 x1
f''( )εx
2
dx ∫
x1
x0
f''( )εx
2
dx
f''(c)  g(x)dx = então  f(x) dx = (f( ) + f( )) − f''(c)1
2
∫ x1
x0
−h3
6
∫ x1
x0
h
2
x0 x1
h3
12
I = [f( ) + 2[ f( ) +   f( )+. . . +( )],  [a,  b],    tais que  − = h,  i = 0, 1, . . . ,m − 1h
2
x0 x1 x2 xm−1 xi xi+1 xi
E =
−m  f''(ε)h3
12
Saiba mais
Clique aqui para saber mais sobre regra dos trapézios.
Regra de Simpson
Novamente, podemos usar a fórmula de Lagrange para chegarmos a fórmula de integração que representará a aproximação de
f(x) por um polinômio de grau 2.
Portanto, seja p (x) o polinômio que interpola f(x) nos pontos x = a, x = x + h e x = x + 2h = b.
De acordo com a fórmula de Lagrange, temos:
Passando a integral, teremos:
Para resolver as integrais podemos fazer uma mudança de variável para facilitar: x - x = zh. Logo, dx será: dx = hdz
Com esta mudança de variável a integral de�nida �cará:
Portanto, a aproximação �cará:
2 0 1 0 2 0
(x) = f( ) + f( ) + f( )P2 (x− )(x− )x1 x2(−h)(−2h) x0
(x− )(x− )x0 x2
(h)(−h)
x1
(x− )(x− )x0 x2
(2h)(h)
x2
f(x) d x = f(x) d x = (x) d x =∫ b
a
∫ x2
x0
∫ x2
x0
p2
(x − )(x − )dx − (x − )(x − )dxf( )x0
h2
∫ x2
x0
x1 x2
f( )x1
h2
∫ x2
x0
x0 x1
0
f( )h (z − 1)(z − 2)dz − f( )h z(z − 2)dz + f( )h z(z − 1)dzx0 ∫ 20 x1 ∫
2
0 x2 ∫
2
0
javascript:void(0);
O erro será de�nido por:
Esta fórmula também é conhecida como regra 1/3 de Simpson. Com o mesmo raciocínio do método anterior, a regra 1/3 de
Simpson repetida �cará:
Já o erro, também usando o mesmo raciocínio do método anterior, será:
f(x)dx ≅ [f( )  + 4f(( ) + f( ))∫ x2
x0
h
3
x0 x1 x2
E = (c), c ∈ ( )h5
90
f iv x0,x2
f(x)dx ≅ [f( )  + f( )] + 4[f( )  + f( )+. . . +f( )]∫ x2
x0
h
3
x0 xm x1 x3 xm−1
+ 2[f( ) + f( )+. . . +f( )]x2 x4 xm−2
|E| ≤
(b−a)h5
180
M4
onde m =  e M4 = ma (x)b−a
h
xx∈[ ]x0,x0 ∣∣f
iv ∣∣
Atividades
QUESTÃO 1
Usando a regra do retângulo, determine o valor de:
dx para n = 8∫ 1−1 x
3
QUESTÃO 2
Usando a regra do trapézio, determine o valor de:
dx para n = 6∫ 3.63
1
x
QUESTÃO 3
Usando ao método de Simpson, determine o valor de:
x ln x dx n = 4∫ 21
NotasReferências
ARENALES, Selma Helena de Vasconcelos; DAREZZO, Artur. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São
Paulo: Thomson Learning, 2008. 
BARROSO, Leônidas Conceição et. al. Cálculo numérico: com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987. 
RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São
Paulo: Pearson, 2006.
Próxima aula
Identi�cação e aplicação de diferentes métodos para integração numérica, ou seja, métodos de interpolação.
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