Questão resolvida - Considere a função G (u) sen 3 u,- cos 3u,4u qual é o raio de curvatura da curva_ - Cálculo II - ESTÁCIO

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• Considere a função qual é o raio de curvatura da u = ⟨sen 3u , - cos 3u , 4u⟩G( ) ( ) ( )
curva?
 
Resolução:
 
É preciso calcular a curvatura de , que é dada por;uG( )
 
k u = =( )
∥ ' u × " u ∥
∥ ' u ∥
G ( ) G ( )
( G ( ) )3
dT
dS
 
Já o raio de curvatura é dado pelo inverso da cruvatura, ou seja;
 
𝜌 u =( )
1
k u( )
 
Temos que achar a função , para, posteriormente, achar a derivada que corresponde T s( )
d
dS
T
a curvatura da função vetorial ; o primeiro passo a derivada ;uG( ) ' uG ( )
 
u = ⟨cos 3u ⋅ 3, - -sen 3u ⋅ 3, 4⟩ = ⟨3cos 3u , 3sen 3u , 4⟩G'( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )
 
A função é dada por;S u( )
 
S t = ∥ ' u ∥ du( )
u
0
∫ G ( )
A norma de é;uG'( )
 
∥ ' u ∥= =G ( ) 3cos 3u + 3sen 3u + 4( ( ))2 ( ( ))2 ( )2 3 cos 3u + 3 sen 3u + 16( )2( ( ))2 ( )2( ( ))2
 
∥ ' u ∥= =G ( ) 9cos 3u + 9sen 3u + 162( ) 2( ) 9 cos 3u + sen 3u + 162( ) 2( )
 
Utilizando a identidade trigonométrica pitagórica : 3u + sen 3u = 1cos2( ) 2( )
 
 
(1)
(2)
 
∥ ' u ∥= = ∥ ' u ∥= 5G ( ) 9 1 + 16( ) 25 → G ( )
 
Agora, calculando ;S t( )
 
S u = ∥ ' u ∥ du S u = 5du = 5 ⋅ u - 5 ⋅ 0 = 5u - 0 S u = 5u( )
u
0
∫ G ( ) → ( )
u
0
∫ → ( )
Isolando u, fica;
 
S u = 5u 5u = S u =( ) → →
S
5
Vamos, então, substituir u na expressão de ;uG( )
 
= ⟨sen 3 ⋅ , - cos 3 ⋅ , 4 ⟩ S = ⟨sen , - cos , ⟩G
S
5
S
5
S
5
S
5
→G( )
3S
5
3S
5
4S
5
A função é a derivda de , ou seja;sT( ) SG( )
 
s = ' S = ⟨cos ⋅ , - -sen ⋅ , ⟩T( ) G ( )
3S
5
3
5
3S
5
3
5
4
5
 
s = ⟨ cos , sen , ⟩T( )
3
5
3S
5
3
5
3S
5
4
5
 
Achado , podemos, então, encontrar a derivada ;sT( )
d
dS
T
 
= ⟨ -sen ⋅ , cos , ⟩ = ⟨- ⋅ sen , ⋅ cos , 0⟩
d
dS
T 3
5
3S
5
3
5
3
5
3S
5
3
5
4
5
3
5
3
5
3S
5
3
5
3
5
3S
5
 
= ⟨- sen , cos , 0⟩
d
dS
T 3
5
2
3S
5
3
5
2
3S
5
 
 
 
Como visto em 1, o comprimento da cruva é o módulo ; que é dado por
dT
dS
 
=
dT
dS
- sen + cos + 0
3
5
2
3S
5
2
3
5
2
3S
5
2
( )2
 
=
dT
dS
- sen + cos + 0
3
5
2 2
3S
5
2
3
5
2 2
3S
5
2
 
= =
dT
dS
sen + cos
3
5
4
2
3S
5
3
5
4
2
3S
5
sen + cos
3
5
4
2
3S
5
2
3S
5
 
Utilizando a identidade trigonométrica pitagórica : + sen = 1cos2
3S
5
2
3S
5
= = = = = = =
dT
dS
1
3
5
4
( )
3
5
4
3
5
4
1
2
3
5
4
2
3
5
2
3
5
( )2
( )2
9
25
 
Finalmente, usando a equação 2, temos que o raio de curvatura da curva é:
 
𝜌 u = = ⋅( )
1
9
25
1
1
25
9
 
𝜌 u =( )
25
9
 
 
(Resposta )